大题专项04立体几何（A卷·基础巩固）--2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》（原卷版+解析版）

编写说明：2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及湖南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第4个专题，内容为立体几何。 2026版湖南省（对口招生）《数学考纲专题练》 专题4 立体几何 （A卷·基础巩固） 班级 姓名 学号 成绩 一、解答题 1．我们把轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱.如图，已知一个等边圆柱的轴截面ABCD的面积为16cm²，求这个等边圆柱的体积. 【答案】 【分析】根据圆柱的结构特征，圆柱的体积公式即可求解. 【详解】设圆柱底面半径为，高为由题意得，，， 解得，则圆柱的体积为：. 2．已知长方体中． (1)分别求与、与所成的角的大小； (2)直线与所成的角和直线与所成的角是否相等？ 【答案】(1)0；． (2)相等． 【分析】（1）两条平行直线所成的角为0；两条垂直直线所成的角为. （2）可用等角定理来判定空间中的两个角相等． 【详解】（1）在长方体中，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴与所成的角的大小为0． 又∵长方体的各个面都是矩形， ∴， ∴与所成的角的大小为． （2）显然，直线与所成的角是，直线与所成的角是． ∴，， 根据等角定理可判定， ∴直线与所成的角和直线与所成的角相等． 3．已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥.求它的表面积. 【答案】 【分析】由题意可知四棱锥为正四棱锥，根据底面棱长可以求出斜高，最后求出侧面积即可求解. 【详解】因为四棱锥的底面为正方形，各侧面均为正三角形， 所以四棱锥为正四棱锥. 因为正四棱锥底面棱长为5， 所以正四棱锥的斜高为， 所以正四棱锥的表面积为. 4．已知有一个底面边长为2高为3的正三棱柱 (1)求此三棱柱侧面积； (2)求此三棱柱表面积. 【答案】(1)18 (2) 【分析】（1）根据题意，结合正棱柱的侧面积公式，即可求解； （2）根据题意，结合正棱柱的表面积公式，即可求解. 【详解】（1）因为正三棱柱的底面边长为2，高为3， 所以该正三棱柱侧面积； （2）因为正三棱柱的底面是边长为2的正三角形，正三棱柱的高为3， 所以底面上的高为， 所以该正三棱柱表面积. 5．如图所示，在正方体中，是底面两条对角线的交点.    (1)求证： 平面； (2)求直线与平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）证明：因为在正方体中，可知平面， 又平面，所以， 又因为､是正方形ABCD的对角线，因此， 又､是平面内的两条相交直线， 所以平面. （2）连接，由（1）可知直线和平面所成的角为， 且为直角三角形，， 设正方体棱长为1，可得，， 所以，且， 所以，因此和平面所成的角为.    6．如图所示，在正三棱柱中，，是边的中点，交于点. (1)证明：平面; (2)若直线与平面所成的角为60°，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】（1）由中位线可得，从而得证； （2）找到与平面所成的角，并求得，变换三棱锥的顶点和底面，易求其体积. 【详解】（1）证明：由题意可知E为的中点，D是BC的中点， 所以DE是的一条中位线， 于是 而平面，平面， 所以平面. （2）在中，，， 在正三棱柱中，平面 在平面内的射影为， 即是与平面ABC所成的角 故， 所以在中， . 故三棱锥的体积为 . 7．如图所示，已知正四棱柱的底面是正方形，，. (1)求证：； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，即可证明线线垂直； （2）根据三棱锥的体积公式求解. 【详解】（1）证明：连接， ∵是正方形，故， ∵平面 ，平面，故， 而平面，平面，，∴平面, ∵平面，∴. （2）由长方体知， 平面， ∴三棱锥的体积： . 8．如图所示，在三棱柱中，底面，，，D为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明过程见解析. (2). 【分析】（1）由直线与平面垂直的定义与判定方法即可得解. （2）由直线与平面所成的角的定义及解直角三角形即可得解. 【详解】（1）在三棱柱中, 底面. 所以. ,,为中点. 所以. ，且两直线在平面内， 所以. （2） 连接,因为,所以是直线与平面形成的角. 在直角中. 所以. 综上所述:直线与平面所成角为 9．如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P，Q分别是CC1，C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ． 【答案】证明见解析 【详解】[证明]连接CD1，AD1，因为P，Q分别是CC1，C1D1的中点， 所以PQ∥CD1，且CD1⊄平面BPQ，PQ⊂平面BPQ，所以CD1∥平面BPQ． 又D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，所以四边形ABQD1是平行四边形，所以AD1∥BQ， 又因为AD1⊄平面BPQ，BQ⊂平面BPQ，所以AD1∥平面BPQ． 又AD1∩CD1＝D1，所以平面ACD1∥平面BPQ，因为AC⊂平面ACD1，所以AC∥平面BPQ． 10．在棱柱中，底面为平行四边形，为线段上一动点． 证明：平面； 【答案】证明见解析； 【详解】连接，． ∵为棱柱，∴且， ∴四边形为平行四边形，∴， 又平面，平面，∴平面． 同理平面， 又且，平面，∴平面平面， 又平面，∴平面． 11．如图，在三棱柱中，⊥平面，，是等边三角形，分别是棱的中点．证明：平面．    【答案】证明见解析 【分析】由线线平行证明面面平行，再由面面平行证明线面平行； 【详解】    连接BD. 因为E，F分别是棱AC，BC的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 因为D，F分别是棱，BC的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，则. 因为平面，平面，所以平面. 因为平面ABD，平面ABD，且，平面 所以平面平面， 因为平面ABD，所以平面. 12．阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体.如图，四棱锥就是阳马结构，平面，且，连接，，分别是，的中点.    (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意取CD中点为H，连接HE，HF，通过证明面面平行，从而得到线面平行； （2）根据题意证明得为直角三角形，通过作垂直，从而找出二面角的平面角，根据几何关系，求出其正切值即可. 【详解】（1）如图，取CD中点为H，连接HE，HF. 因为E，F分别是PC，BD的中点， H为CD的中点， 所以，. 又因为， 所以. 因为平面PAD，平面PAD， 所以平面PAD. 同理可得，平面PAD， 因为平面EFH，平面EFH，， 所以平面平面PAD， 因为平面EFH，所以平面PAD. （2）在中，PD＝DC＝2，，E为PC的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以， 因为底面为长方形， 所以， 又因为平面，， 所以平面， 因为平面， 所以， 在中，BC＝2，，， 所以， 又因为BD为正方形ABCD的对角线， 所以， 所以，即为直角三角形， 在中过E作，垂足为M， 则， 得， 所以M为DF的中点，连接MH， 因为M，H分别为DF，DC的中点， 所以MH为的中位线，所以，， 又因为正方形的对角线相互垂直，所以， 即∠EMH为平面EBD与平面CBD所成二面角的平面角， 由（1）可知，EH＝1，， 所以，    所以平面EBD与平面CBD所成二面角的正切值为 13．如图，已知，是、之间一点，过点的直线、交于、，交于、.若，，，求.    【答案】. 【分析】由面面平行的性质即可得解. 【详解】∵. ∴由、确定平面. ∵，平面，平面. ∴. ∴，即，解得. 综上所述：. 二、证明题 14．如图，在正三棱柱中，平面，，分别为，的中点．求证：面. 【答案】证明见解析 【分析】由线面平行的判定定理证明即可. 【详解】 分别为的中点， ， ，， . 15．已知D是直角三角形的斜边的中点，，，垂直于所在的平面，且．    (1)若的中点为F，证明：平面； (2)求线段和的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）在中，D是的中点，F是的中点，所以，由线面平行的判定可证明； （2）因为垂直于所在的平面，所以，，分别在和中，利用勾股定理可求解. 【详解】（1）在中，D是的中点，F是的中点， 所以． 又因为平面，平面内， 所以平面． （2）因为垂直于所在的平面， 所以，. 在中， 由勾股定理得． 在中， 由勾股定理得． 16．如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点.求证：    (1) (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由且，所以四边形为平行四边形，即可证明. （2）根据等角定理即可证明. 【详解】（1）证明：∵在正方体中，、分别是棱、的中点， ∴，且， ∴四边形为平行四边形， ∴. （2）∵在正方体中，、分别是棱、的中点， ∴，且， ∴四边形为平行四边形， ∴. 由（1）知. 由图形可知，和均为锐角. ∵，， 根据等角定理可判定. 17．求证：夹在两个平行平面间的两条平行线段相等． 已知：如图，平面平面，AB和DC为夹在，间的平行线段．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】由面面平行的性质得到线线平行，进而证明出四边形ABCD是平行四边形，得到结论. 【详解】因为，所以AB和DC确定平面AC． 又因为直线AD，BC分别是平面AC与平面，的交线， 因为平面平面， 所以，故四边形ABCD是平行四边形． 所以． 18．如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，四点共面，，．求证：. 【答案】证明见解析 【分析】由面面平行的性质得到线线平行. 【详解】因为平面平面，四点共面， 且平面平面，平面平面， 所以． 19．如图，在正方体中，，，，点M，N分别是，的中点．    (1)试用，，表示． (2)求证：平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据点M，N的位置用基底表示向量； （2）证明向量与平面中的向量共线，即可证明平面． 【详解】（1）    因为，所以， 同理，， 所以； （2）证明：因为，所以，即， 因为平面，平面，所以平面． 20．如图，在正方体中，、、分别是、、的中点.求证：平面平面. 【答案】证明见解析. 【详解】∵、分别是，的中点，∴ 又平面平面平面 ∵且 ，故四边形为平行四边形，进而 又平面平面平面， 平面， 故平面平面 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $公共基础课，考纲专题练 厨A职教 》 编写说明：2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等 职业学校数学课程标准》及湖南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考 试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体 系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第 4个专题，内容为立体几何。 2026版湖南省（对口招生）《数学考纲专题练》 专题4立体几何 (A卷·基础巩固) 班级 姓名 学号 成绩 一、解答题 1,我们把轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱如图，已知一个等边圆柱的轴截面ABCD 的面积为16cm2,求这个等边圆柱的体积. 2.已知长方体ABCD-A1B1C1D,中， D C B A B (1)分别求A,B与D,C、AB与BC所成的角的大小； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课，考纲专题练 A职教 》 (2)直线A,B与AB所成的角和直线D,C与DC所成的角是否相等？ 3,已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥S-ABCD.求它的表面积. S 4.已知有一个底面边长为2高为3的正三棱柱 B C B (1)求此三棱柱侧面积： (2)求此三棱柱表面积。 5.如图所示，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，O是底面ABCD两条对角线的交点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课，考纲专题练 扇A职教 》 D B C B (1)求证：BD⊥平面AA,C1C; (2)求直线BA,与平面AA,C,C所成的角， 6.如图所示，在正三棱柱ABC-A1B,C,中，BC=4,D是BC边的中点，A,C交AC1 于点E C B A (1)证明：A1B/(平面AC1D: (2)若直线AC,与平面ABC所成的角为60°，求三棱锥D-ACC,的体积. 7.如图所示，已知正四棱柱ABCD-A,B,C1D1的底面ABCD是正方形，AA1=4, AB=2. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课，考纲专题练 A职教 》 B (1)求证：BD,⊥AC; (2)求三棱锥B1-BCD1的体积 8.如图所示，在三棱柱ABC-A,B,C,中，AA1⊥底面ABC,AA,=AB=BC ∠ABC=90,D为AC的中点. B B D (1)求证：BD⊥平面AAC1C; (2)求直线BA,与平面AA,C,C所成角的大小， 9.如图，直四棱柱ABCD-ABCD,的底面是梯形，AB‖CD,AD⊥DC,CD=2,DD1= AB=1,P,Q分别是CC,CD,的中点.求证：AC平面BPQ D 0 D-- B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·考纲专题练 A职教 》 10.在棱柱ABCD-A,B,C1D1中，底面ABCD为平行四边形，P为线段B1D1上一动点 A 0 B 证明：AP‖平面C,BD 11.如图，在三棱柱ABC-A1B,C1中，AA1⊥平面ABC,4AA1=3AB,△ABC是等 边三角形，D,E,F分别是棱B,C1,AC,BC的中点.证明：AD平面C,EF, E A D 12.阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的 四棱锥体.如图，四棱锥P-ABCD就是阳马结构，PD⊥平面ABCD,且 PD=AB=AD=2,连接BD,E,F分别是PC,BD的中点 69 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课，考纲专题练 A职教 》 (1)证明：EF/(平面PAD (2)求平面EBD与平面CBD所成二面角的正切值. 13.如图，已知a‖B,P是a、B之间一点，过点P的直线AB、CD交a于A、C,交β于B、 D.若PA=3,PB=5,PC=4,求PD. B 二、证明题 14.如图，在正三棱柱ABC-A1B,C1中，AA1⊥平面ABC,D,E分别为AC,AA的 中点.求证：DE/i面A,BC C B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 A职教 》 15.已知D是直角三角形ABC的斜边AB的中点，AC=8,BC=6,EC垂直于△ABC所 在的平面，且EC=6 E C -- A D B (1)若BC的中点为F,证明：DF‖平面AEC (2)求线段AE和BE的长. 16.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是棱CC1、BB1、DD1的中 点求证： D A G-- (1)GBI D,F (2)∠BGC=∠FD,E. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课，考纲专题练 A职教 》 17.求证：夹在两个平行平面间的两条平行线段相等 已知：如图，平面al元平面B,AB和DC为夹在a,B间的平行线段.求证：AB=DC· D 18,如图，在多面体ABCDEF中，面ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD,平面ABF∥ 平面CDE,A,D,E,F四点共面，AB=DE=2,AF=1·求证：AF∥DE 19.如图.在正方体ABCD-A,B,C,D,中，AA,=a恋=6AD=c点M,N分别 是AD,BD的中点 D C A B M (1)试用a,b,c表示MN (2)求证：MN/平面ABB1A1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 A职教 》 20.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点. 求证：平面D,EF∥平面BDG. D G B D F E 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！