专题01 导数及其应用（7大考点34题）（期中真题汇编，湖南专用）高二数学下学期

专题01 导数及其应用 7大高频考点概览 考点01导数的几何意义（切线方程） 考点02导数与函数的单调性 考点03极值与最值 考点04解不等式 考点05构造函数比较大小 考点06利用导数研究恒成立与能成立问题 考点07利用导数研究零点与方程的根 ( 考点01 导数的几何意义（切线方程） ) 1．(23-24高二下·湖南常德沅澧共同体·期中)若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为______________. 2．(24-25高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)已知函数.若当时，存在过坐标原点的直线与曲线相切，则实数的取值范围为__________. 3．已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·湖南岳阳岳阳县第一中学、汨罗第一中学·期中)已知函数，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)无论取何值，函数的图象都在函数图象的上方，求实数的取值范围． ( 考点02 导数与函数的单调性 ) 5．(23-24高二下·湖南雅礼教育集团·期中)若函数在区间上单调递增，则的取值范围是______． 6．(23-24高二下·湖南师范大学附属中学·期中)已知函数为奇函数． (1)求的值； (2)当时，求的单调区间和极值． 7．(24-25高二下·湖南长沙第一中学·期中)已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，设，讨论函数的单调性； (3)若函数在上有且仅有2个零点，求实数的取值范围. ( 考点03 极值与最值 ) 8．(23-24高二下·湖南益阳·期中)已知（a为常数）在上有最大值3，则此函数在上的最小值是（ ） A． B． C． D． 9．(24-25高二下·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期中)已知函数的极小值点为0，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．(23-24高二下·湖南张家界慈利县第一中学·期中)函数的极小值点为____________. 11．(23-24高二下·湖南长沙第一中学、长沙一中城南中学等多校·期中)做一个容积为的圆柱形封闭容器，要求所用材料最省，则该容器的底面半径为______，表面积为______. 12．(23-24高二下·湖南邵阳邵阳县第二高级中学·期中)给定函数． (1)判定函数的单调性，并求出的极值； (2)画出的大致图像； (3)求出方程的解的个数． 13．(24-25高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)已知函数. (1)当时，求在区间上的最大值和最小值； (2)当时，证明：； (3)若，求实数的取值范围. 14．(24-25高二下·湖南部分学校·期中)已知函数，且的图象在点处的切线方程为． (1)求的解析式； (2)若是在上的一个极值点，证明：． ( 考点04 解不等式 ) 15．(24-25高二下·湖南长沙明德中学·期中)已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．(24-25高二下·湖南娄底涟源第二中学·期中)设函数是R上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（   ） A． B． C． D． 17．(24-25高二下·湖南娄底部分学校·期中)已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． ( 考点05 构造函数比较大小 ) 18．已知，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 19．(23-24高二下·湖南师范大学附属中学·期中)设，，，则（    ） A． B． C． D． 20．(24-25高二下·湖南衡阳祁东县第一中学·期中)已知， ，，则a，b，c的大小关系为（　　） A． B． C． D． 21．(24-25高二下·湖南常德临澧县第一中学·期中)已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． ( 考点0 6 利用导数研究恒成立与能成立问题 ) 22．已知，函数恒成立，则的最大值为______. 23．(24-25高二下·湖南衡阳祁东县第一中学·期中)若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是________________ 24．(24-25高二下·湖南部分学校·期中)已知不等式对任意成立，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D．e 25．(24-25高二下·湖南三新/H11/G10教育联盟·期中)设函数，. (1)试判断函数在区间上是否存在极值点，并说明理由； (2)若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 26．(23-24高二下·湖南名校联考联合体·期中)已知函数. (1)若（e为自然对数的底数），求函数的极值； (2)若，函数有两个零点，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 27．(24-25高二下·湖南名校联考联合体·期中)已知函数，为实数. (1)若函数在处的切线经过点，求的值； (2)若有极小值，且极小值大于2，求的取值范围； (3)若对任意的，且恒成立，求的取值范围.（为自然常数） ( 考点0 7 利用导数研究零点与方程的根 ) 28．(23-24高二下·湖南益阳·期中)已知函数，，若存在3个零点，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 29．(23-24高二下·湖南名校联考联合体·期中)已知函数，函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 30．(23-24高二下·湖南邵阳邵阳县第二高级中学·期中)（多选）已知函数，则（    ） A． B．有两个极值点 C．点是曲线的对称中心 D．有两个零点 31．(23-24高二下·湖南常德沅澧共同体·期中)（多选）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．只有一个零点 B．在处取得极大值为 C． D．若在区间上恒成立，则 32．(24-25高二下·湖南名校联考联合体·期中)（多选）已知函数，其中为正整数，且为常数，是函数大于的零点，其构成数列，则（    ） A．函数不可能有三个零点 B．函数的减区间为 C．对于任意的，函数在区间内均存在零点，则 D．存在实数使得数列的部分项构成无穷等比数列 33．(24-25高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若在处取得极小值，则 B．若，则 C．若，则曲线关于点中心对称 D．若，则有3个零点 34．(24-25高二下·湖南三新/H11/G10教育联盟·期中)（多选）已知函数，为常数，若函数有两个零点，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 导数及其应用 7大高频考点概览 考点01导数的几何意义（切线方程） 考点02导数与函数的单调性 考点03极值与最值 考点04解不等式 考点05构造函数比较大小 考点06利用导数研究恒成立与能成立问题 考点07利用导数研究零点与方程的根 ( 考点01 导数的几何意义（切线方程） ) 1．(23-24高二下·湖南常德沅澧共同体·期中)若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为______________. 【答案】 【分析】根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，根据直线垂直的性质，即可得出答案. 【详解】因为，所以， ，， 曲线在点处的切线斜率为， 又因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以. 故答案为：. 2．(24-25高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)已知函数.若当时，存在过坐标原点的直线与曲线相切，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先设切点坐标为，接着由导数几何意义和两点间斜率公式建立等量关系得到，接着构造函数，，再利用导数工具研究函数的单调性和函数值情况即可求解. 【详解】设切点坐标为，由题意可得，则. 又直线的斜率，所以， 得，即，其中，又， 所以.设，其中， 因为，当时，单调递增；当时，单调递减， 所以.当时，，且当时，. 由且得， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 3．已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】切点为，利用导数的几何意义求切线的斜率，设切线为：，可得，设，求，利用导数求的单调性和极值，切线的条数即为直线与图象交点的个数，结合图象即可得出答案. 【详解】设切点为，由可得， 所以在点处的切线的斜率为， 所以在点处的切线为：， 因为切线过点，所以， 即，即这个方程有三个不等根即可， 切线的条数即为直线与图象交点的个数， 设， 则 由可得，由可得：或， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 当趋近于正无穷，趋近于0，当趋近于负无穷，趋近于正无穷， 的图象如下图，且， 要使与的图象有三个交点，则. 则的取值范围是:. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键是通过分离参数得出关于的方程有三个不同的实数根，通过数形结合即可顺利得解. 4．(24-25高二下·湖南岳阳岳阳县第一中学、汨罗第一中学·期中)已知函数，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)无论取何值，函数的图象都在函数图象的上方，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在上为增函数，在上为减函数 (3) 【分析】（1）求出函数的导数后可求切线的斜率，故可求切线方程. （2）根据、分类讨论后可得导数的符号，从而可得函数的单调性. （3）利用参变分离结合导数可求参数的取值范围. 【详解】（1），，． 切线方程为，． （2）， 当时，，∴在上为增函数； 当时，， 令，得；令，得． ∴在上为增函数，在上为减函数． （3）无论取何值，函数的图象都在函数图象的上方， 即为恒成立，即，则，恒成立， 令，， ． 令，得；令，得， 则在上为增函数，在上为减函数， ∴， 则． ( 考点02 导数与函数的单调性 ) 5．(23-24高二下·湖南雅礼教育集团·期中)若函数在区间上单调递增，则的取值范围是______． 【答案】（ 【分析】求出转化为在区间上恒成立，再构造函数，结合导数，求在区间上的最小值可得答案. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，则， 所以在上递增，又，所以．所以的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】思路点睛：求出分离常数，利用构造函数法，结合导数，求得参数的取值范围. 6．(23-24高二下·湖南师范大学附属中学·期中)已知函数为奇函数． (1)求的值； (2)当时，求的单调区间和极值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由已知结合奇函数的定义即可求解； （2）先化简的解析式，对其求导，结合导函数与单调性及极值的关系即可求解. 【详解】（1）定义域：． 由已知：函数为奇函数，所以， 即，解得． （2）由（1）得：， 当时，因为，所以． 令，解得． 变化情况如下表： 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 所以在上单调递减，在上单调递增． 因此的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，有极小值，并且极小值为，无极大值. 7．(24-25高二下·湖南长沙第一中学·期中)已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，设，讨论函数的单调性； (3)若函数在上有且仅有2个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递增，在上单调递减； (3) 【分析】（1）求导，利用导数几何意义求出切线方程； （2）当时，，，求导，解不等式，得到函数单调性； （3）当时，由，得，令，，求导，得到其单调性，从而画出在上的图象，数形结合得到当时，直线与函数在上的图象有两个交点，得到答案. 【详解】（1）当时，，所以， 则，而， 所以所求切线方程为，即. （2）当时，，，所以， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减； （3）当时，由，得，令，， 依题意，直线与函数在上的图象有两个交点， ，当时，，当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的最大值为，且，， 画出在上的大致图象如图， 当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 所以实数的取值范围是. ( 考点03 极值与最值 ) 8．(23-24高二下·湖南益阳·期中)已知（a为常数）在上有最大值3，则此函数在上的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求函数的导数，利用导数结合函数的最大值求出a，即可求出函数的最小值． 【详解】由题意可知：， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递增，则上单调递减， 则函数的最大值为， 此时，且，， 可知当时，函数取得最小值为. 故选：A. 9．(24-25高二下·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期中)已知函数的极小值点为0，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，时，函数的无极小值，当，函数的极小值为，当，可得函数的极大值为，可得的取值范围. 【详解】由，可得， 因为函数的极小值点为0，所以， 若，则，所以在上单调递增，故函数无极小值， 又函数的极小值点为0，故， 又时，令，可得或， 当，所以，当，，所以0是函数的极小值点，符合题意， 又时，令，可得或， 当，，当，，所以0是函数的极大值点，不符合题意， 综上所述：m的取值范围是. 故选：A. 10．(23-24高二下·湖南张家界慈利县第一中学·期中)函数的极小值点为____________. 【答案】 【分析】对原函数求导，求出其单调区间，从而得到极小值点. 【详解】由题意得， 令，可得， 所以在上，单调递减， 在上，单调递增， 在上，单调递减， 所以处，取得极小值， 所以极小值点为. 故答案为：. 11．(23-24高二下·湖南长沙第一中学、长沙一中城南中学等多校·期中)做一个容积为的圆柱形封闭容器，要求所用材料最省，则该容器的底面半径为______，表面积为______. 【答案】 5 【分析】根据已知得到条件等式，然后将圆柱的表面积表示为的函数，利用导数即可求解. 【详解】设该容器的底面半径为，高为，表面积为．由，得． 所用材料最省即该容器的表面积最小，则． 令函数，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 要使所用材料最省，则该容器的底面半径为，表面积为． 故答案为：5；. 12．(23-24高二下·湖南邵阳邵阳县第二高级中学·期中)给定函数． (1)判定函数的单调性，并求出的极值； (2)画出的大致图像； (3)求出方程的解的个数． 【答案】(1)递减区间为，递增区间为；极小值为，无极大值； (2)作图见解析； (3)答案见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数探讨函数的单调性，求出函数的极值. （2）结合（1）分析函数的特性，作出函数图象. （3）结合（2）中的图象，数形结合求出方程解的个数. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 由，得，当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，无极大值， 所以函数的递减区间为，递增区间为；极小值为，无极大值. （2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，， 由，得，又，因此函数的图象过点，，， 当时，恒成立，当时，，而函数在的取值集合为， 于是函数在的值域为， 在坐标平面内作出函数的图象，如图：    （3）方程的解，即为直线与函数图象交点的横坐标， 由（2）知，当时，直线与函数图象没有交点； 当时，直线与函数图象有2个交点； 当或时，直线与函数图象有1个交点， 所以当时，没有解；当时有两个解； 当或时，有一个解. 13．(24-25高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)已知函数. (1)当时，求在区间上的最大值和最小值； (2)当时，证明：； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)最大值为，最小值为1. (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）把代入函数解析式，求导函数判断原函数在上的单调性，即可求出答案； （2）当时，令，求出最小值，即可证明； （3）依题意，，令，求出最小值即可. 【详解】（1）当时，，所以， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以在区间上的最大值为. 又，所以在区间上的最小值为. 所以在区间上的最大值为，最小值为1. （2）当时，令，其定义域为， 因为，令，得， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增，所以. 故. （另解）当时，令，其定义域为， 所以， 因为，而在上单调递增，且， 所以存在，满足，即，且 所以且，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，所以. （3）由，得， 即，即， 令，则， 令，则， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以当时，在内存在唯一的零点， 所以当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，因为， 因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以实数的取值范围为. 14．(24-25高二下·湖南部分学校·期中)已知函数，且的图象在点处的切线方程为． (1)求的解析式； (2)若是在上的一个极值点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）代入函数得，解得．利用导数的几何意义可得，从而可得的解析式； （2）分别讨论，，时，的单调性，从而可得，由是在上的一个极值点，得，所以解得 再根据三角函数的值域即可得证． 【详解】（1）由题可知，解得． ， 由，解得， . （2）证明：由（1）得． ①当时，， 所以，则， 所以在上单调递增． ②当时，． 令，则． 因为， 所以，则在上单调递减． 因为， 所以存在，使得，即，也即， 则在上，，在上，， 所以在上单调递增，在上单调递减． ③当时，，所以． 又，所以，故在上单调递减． 因为是在上的一个极值点，所以， 由上知在上单调递增，在上单调递减， 则，从而． 因为，所以 所以， 即． ( 考点04 解不等式 ) 15．(24-25高二下·湖南长沙明德中学·期中)已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数分析函数单调性，再判断函数的对称性，可得原不等式转化为，利用单调性解不等式即可. 【详解】的定义域为， ，所以， 所以的图象关于对称， 由，所以， 即， 由于，所以在上单调递增， 所以，解得， 故选：A 16．(24-25高二下·湖南娄底涟源第二中学·期中)设函数是R上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先构造函数，再利用函数单调性解不等式. 【详解】令， ∵函数在上是可导的偶函数， ∴在上也是偶函数 又当时，，∴， ∴， ∴在上是增函数 ∵， 由得 即不等式转化为， ∴x不为0时有， 而x为0时，不等式显然成立， ∴不等式的解集为. 故选：C. 17．(24-25高二下·湖南娄底部分学校·期中)已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，求导，结合已知条件得在定义域上单调递增，然后化简已知不等式得，利用单调性即可求解. 【详解】设， 则， 因为，所以，又，所以恒成立， 所以在定义域上单调递增． 故原不等式可转化为，又，所以， 所以，所以，故不等式的解集为． 故选：B ( 考点05 构造函数比较大小 ) 18．已知，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察的式子结构，构造函数，利用导数判断的单调性，从而得到，再利用对数函数的单调性判断出，从而得解. 【详解】因为， ，构造函数，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 因为，所以，即，即，所以； 又，所以，即. 综上，. 故选：. 19．(23-24高二下·湖南师范大学附属中学·期中)设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求导可得，令，可得，令，可得在上单调递增，令，可得，可得结论. 【详解】令，可得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以，即，当且仅当时等号成立， 从而当时，，则，故，； 设函数，则， 当时，，故在上单调递增， 则，则，综上所述有． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是构造函数，根据数式特点构造合适的函数，利用导数研究单调性，结合单调性比较大小. 20．(24-25高二下·湖南衡阳祁东县第一中学·期中)已知， ，，则a，b，c的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意构造函数，然后利用导数分析函数的单调性，利用单调性比较函数值的大小即可. 【详解】令，则， 令，解得， 所以在上单调递增， 令，解得， 所以在上单调递减. ，， ， 因为，所以，即. 故选：B 21．(24-25高二下·湖南常德临澧县第一中学·期中)已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，利用导数判断出的单调性，再利用单调性判断可得答案. 【详解】因为，， ，，， 构造函数，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因，所以，即，即，所以； 又，所以，即.综上，. 故选：C. ( 考点0 6 利用导数研究恒成立与能成立问题 ) 22．已知，函数恒成立，则的最大值为______. 【答案】1 【分析】当a为正偶数时，不符合题意，当a为正奇数时，只需研究时，分离参数得恒成立，设，利用导数求的最小值即可求解. 【详解】当a为正偶数时， 当时，，显然不符合题意； 当a为正奇数时，则当时，恒成立， 因此只需研究时，恒成立即可， 当时，成立， 则当时，，因为此时小于0，所以恒成立， 当时，恒成立， 令，，则， 令，得，即， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以函数在上取得最小值， 要使时，恒成立，则， 又因为a为正奇数，所以a的最大值为1， 综上所述，a的最大值为1. 故答案为：1. 【点睛】关键点点睛：本题求解参数的关键：一是对参数a分为正偶数和正奇数两部分讨论；二是当a是正奇数时，需要分离参数构造新函数，把恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导数求解最值即可. 23．(24-25高二下·湖南衡阳祁东县第一中学·期中)若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是________________ 【答案】 【分析】变形得到在上恒成立，令，求导得到其单调性和最值，令，则，参变分离，得到只需即可，令，求导得到其单调性，求出，得到答案. 【详解】因为不等式在上恒成立， 所以两边同除以得在上恒成立， 令，定义域为，则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以. 令，则，即在上恒成立， 即在上恒成立， 所以只需即可， 令，则， 令，则在上恒成立，单调递增， 又因为，所以当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以，即. 故答案为：. 24．(24-25高二下·湖南部分学校·期中)已知不等式对任意成立，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D．e 【答案】ABD 【分析】构造函数，由其单调性得到，再参变分离求最值即可求解. 【详解】原不等式可化为． 令，则原不等式等价于， 易知在上单调递增， 所以不等式可化为， 两边取对数即得，所以恒成立． 令， 则， 由，可得，由，可得， 可知在上单调递增，在上单调递减， 最大值为 所以，故，即实数的取值范围为． 符合条件的选项有ABD， 故选：ABD. 25．(24-25高二下·湖南三新/H11/G10教育联盟·期中)设函数，. (1)试判断函数在区间上是否存在极值点，并说明理由； (2)若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)存在极大值点，无极小值点，理由见解析 (2) 【分析】（1）先求出导函数，得出函数单调性结合零点存在定理判断导数零点即可得出极值点； （2）先求出导函数，构造函数分和及分类讨论得出单调性即可求参. 【详解】（1）， 令，则，则，恒小于0，单调递减， 且，，∴，， ，，单调递增，，，单调递减，故函数存在极大值点，无极小值点. （2），则. 又令，， ①当，即时，恒成立，∴在区间上单调递增， ∴，∴，∴在区间上单调递增， ∴（不合题意）； ②当，即时，，∴在区间上单调递减， ∴，∴，∴在区间上单调递减， ∴（符合题意）； ③当，即时，由，， ∴，使，且时，，， ， ∴在上单调递增，∴（不符合题意）； 综上，的取值范围是. 26．(23-24高二下·湖南名校联考联合体·期中)已知函数. (1)若（e为自然对数的底数），求函数的极值； (2)若，函数有两个零点，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)极小值为，无极大值； (2) 【分析】（1）直接求导得，再对分子求导即可得到的单调性和极值； （2）求导得，题意等价转化为有两个正根，再利用同构思想进行整体换元得有两个正根，最后再利用比值换元法即可. 【详解】（1），定义域为， ， 令，则在上单调递增， 由时，单调递减； 时，单调递增； ，无极大值. （2）， 令，可得， 原题意等价于有两个正根， 令，则，等价于有两个正根， 当时，恒成立，故在上单调递增， 对于，由，可得， 可得，可得， 令，由，可得， 由整理可得， ， 原题意等价于当时，恒成立， 等价于当时，恒成立， 令，则， ，则，解得， 当时，令，则当时，恒成立， 故在上单调递增，则， 即当时，恒成立，故在上单调递增， 则，.可知符合题意， 综上所述:实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是通过等价转化得有两个正根，然后再设，即利用比值换元法求出答案. 27．(24-25高二下·湖南名校联考联合体·期中)已知函数，为实数. (1)若函数在处的切线经过点，求的值； (2)若有极小值，且极小值大于2，求的取值范围； (3)若对任意的，且恒成立，求的取值范围.（为自然常数） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求导，由导数的几何意义可得切线方程，将点代入即可求解； （2）通过求导可得函数的极小值为，即可求解； （3）令，由已知可得在单调递减，将问题转化为求在上恒成立问题，即可求解. 【详解】（1）因为，所以，所以， 又，所以函数在处的切线方程为， 因为切线经过点，所以，解得； （2）由（1）知，函数的定义域为， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增，无极值， 当时，令，得， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，函数有极小值，极小值为， 由，所以，所以的取值范围为； （3）由得， 令，所以对任意的，且，恒成立， 所以在单调递减， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为二次函数在上单调递增， 所以函数在上的最小值为， 所以. ( 考点0 7 利用导数研究零点与方程的根 ) 28．(23-24高二下·湖南益阳·期中)已知函数，，若存在3个零点，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，将函数零点问题转化为函数图像交点问题，然后结合函数图像，代入计算，即可求解. 【详解】 令，即， 则函数的零点个数即为函数与函数交点的个数， 做出函数与函数的图像，如图所示， 当直线与曲线相切时， 又当时，，则，则，则，即且点为，此时， 因为存在3个零点，即函数与函数的图像有3个交点， 所以，解得， 所以a的取值范围是. 故选：D 29．(23-24高二下·湖南名校联考联合体·期中)已知函数，函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形为有两个实根，变形得到，设，求导得到单调性，进而求出，只需使有两个根，设，求导,即可求解最值得出的取值范围． 【详解】要使函数有两个零点，即有两个实根， 即有两个实根， 即，整理为， 设函数，则上式为， 因为恒成立，所以单调递增，所以， 所以只需使有两个根，设， ， 易知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 故函数在处取得极大值，也是最大值，则， 当时，；当时，， 要想有两个根，只需，解得， 即的取值范围是． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：由指对数运算等价变换为，即可由的单调性得. 30．(23-24高二下·湖南邵阳邵阳县第二高级中学·期中)（多选）已知函数，则（    ） A． B．有两个极值点 C．点是曲线的对称中心 D．有两个零点 【答案】ABC 【分析】求导后令，分析单调性并求出极值，即可判断ABD，利用函数对称性的定义可判断C。 【详解】，故A正确； 令，解得，当或时，，当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极小值，在取得极大值， 即，， 只有一个零点，故B正确D错误； ，所以关于对称，故C正确。 故选：ABC 31．(23-24高二下·湖南常德沅澧共同体·期中)（多选）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．只有一个零点 B．在处取得极大值为 C． D．若在区间上恒成立，则 【答案】ABD 【分析】对于A：令分析求解即可判断；对于B：求导，利用导数判断的单调性和极值；对于C：根据的单调性结合分析判断；对于D：分析可知原题意等价于在内恒成立，设，利用导数判断的单调性和最值，结合恒成立问题分析求解. 【详解】对于选项A：令，解得， 可知只有一个零点，故A正确； 对于选项B：由题意可知：的定义域为，， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减；    可知函数在处取得极大值也是最大值，故B正确； 对于选项C：因为函数在上单调递减，且， 由，可得，故C错误； 对于选项D：若，则， 原题意等价于在内恒成立，则， 设，定义域为，则， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 可知的最大值为，所以，故D正确； 故选：ABD. 32．(24-25高二下·湖南名校联考联合体·期中)（多选）已知函数，其中为正整数，且为常数，是函数大于的零点，其构成数列，则（    ） A．函数不可能有三个零点 B．函数的减区间为 C．对于任意的，函数在区间内均存在零点，则 D．存在实数使得数列的部分项构成无穷等比数列 【答案】ACD 【分析】利用导数判断函数的单调性，即可说明A，利用导数求出函数的单调区间，即可判断B，首先说明单调性，则，即可求出的取值范围，从而判断C，找到特殊值，即可判断D. 【详解】对于A：因为，所以， 所以在定义域上单调递增，所以函数不可能有三个零点，故A正确； 对于B：因为，所以， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为，故B错误； 对于C：当时，恒成立， 所以函数在上单调递增， 又， 所以函数在内均存在零点只需满足即可， 即，所以， 所以且， 又为正整数，所以，即，故C正确； 对于D：令，解得， 当时，， 则当时，，所以是上的严格增函数， 所以． 所以． 所以是恒为的常数列，故存在实数使得数列的部分项构成无穷等比数列，故D正确． 故选：ACD 33．(24-25高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若在处取得极小值，则 B．若，则 C．若，则曲线关于点中心对称 D．若，则有3个零点 【答案】ACD 【分析】根据题意得，求解a，并验证判断A；根据函数单调性判断B；通过判断C；根据函数单调性，并结合零点存在性定理判断D. 【详解】对于A，因为，因在处取得极小值， 则，得， 当时，， 当时，在上单调递增，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增，故在处取得极小值，故A正确； 对于B，当时，因，则在上单调递增， 故当时，，故B错误； 对于C，当时，因， 故曲线关于点中心对称，故C正确； 对于D，因为， 由，当时，，故在上单调递增； 时，则在上单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 因，， 由可得在上有一个零点； 因，， 由可得在上有一个零点； 又 由可得在有一个零点， 综上分析，可得函数有3个零点，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：根据函数极值点求参数值时，要注意需要验证. 34．(24-25高二下·湖南三新/H11/G10教育联盟·期中)（多选）已知函数，为常数，若函数有两个零点，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于选项A，根据函数零点与方程根的关系进行判断；对于选项B，通过作出函数图象，利用图象的交点情况确定参数范围；对于选项C，分情况讨论，利用函数的单调性来证明不等式；对于选项D，通过变量代换构造新函数，利用导数研究函数的单调性和最值来证明不等式. 【详解】对于A：因为有两个零点，，且，所以在上有两个根， 即在上有两个交点，，，故A错误； 对于B：作出的图象，与关系如图，，则，故B正确； 对于C：由A选项可知，当时，显然成立. 当时，等价于，可知，，，可知函数在区间上单调递增， 又，单调递减.要让，只需证， 又∵，∴只需证，令，则， ∵，∴，∴，∴函数在区间上单调递增，∴，∴，∴，∴，故C正确； 对于D：，，，，又，，，，∴，只需要证明，. 令，，，故D正确. 故选：BCD. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $