6.1.2 空间向量的数量积 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（苏教版）

6.1.2　空间向量的数量积 [课时跟踪检测] 1.在正四面体ABCD中,点E,F分别是AC,AD的中点,则与的夹角为 (　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析:选C　由题意,可得=,所以<,>=<,>=180°-<,>=180°-60°=120°. 2.在三棱锥A⁃BCD中,AB=AC=AD=2,∠BAD=90°,∠BAC=60°,则·等于 (　　) A.-2 B.2 C.-2 　D.2 解析:选A　·=·(-)=·-·=2×2cos 90°-2×2cos 60°=-2. 3.已知空间向量a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则cos<a,b>= (　　) A. B. C.- D. 解析:选D　因为a+b+c=0,所以c=-(a+b),所以|c|=|a+b|,所以|c|2=|a|2+2|a||b|cos<a,b>+|b|2,所以16=4+12cos<a,b>+9,所以cos<a,b>=. 4.在空间四边形ABCD中,∠ABD=∠BDC=90°,AC=2BD,则在上的投影向量为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　设AC=2,BD=1,由·=·=0,=++,则·=(++)·=||2,所以在上的投影向量为·=·=. 5.已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为BB1,CD的中点,则||等于 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　因为=++=++,所以||2==+++·+·+·,因为在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,CD,BB1,BC两两互相垂直,所以||==. 6.[多选]在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,下列命题是真命题的是 (　　) A.(++)2=3 B.·(-)=0 C.与的夹角为60° D.正方体的体积为||·(·) 解析:选AB　如图所示,(++)2=(++)2==3,故A为真命题;·(-)=·=0,故B为真命题;连接CD1,易知与的夹角是与夹角的补角,而与的夹角为60°,故与的夹角为120°,故C为假命题;正方体的体积为||||||,故D为假命题. 7.如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,…,8)是上底面上其余的八个点,则集合{y|y=·,i=1,2,3,…,8}中的元素个数为 (　　) A.1 B.2 C.4 D.8 解析:选A　由题意可知,=+,则·=·(+)=+·.因为棱长为1,AB⊥BPi,所以·=0,所以·=+·=1+0=1,故集合{y|y=·,i=1,2,3,…,8}中的元素个数为1. 8.在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,如图所示,在鳖臑ABCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=CD,M为AD的中点,则异面直线BM与CD夹角的余弦值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　设AB=BC=CD=1,由题意得=(+)=(++),所以||2=(++)2=(++)=,·=(++)·==.设异面直线BM与CD的夹角为θ,则cos θ===. 9.[多选]在四面体P⁃ABC中,下列说法正确的是 (　　) A.若=+,则=3 B.若Q为△ABC的重心,则=++ C.若·=0,·=0,则·=0 D.若四面体P⁃ABC的各棱长都为2,M,N分别为PA,BC的中点,则||=1 解析:选ABC　对于A,∵=+,∴3=+2,∴2-2=-,∴2=,∴3=+,即3=,故A正确;对于B,若Q为△ABC的重心,则++=0,∴3+++=3,∴3=++,即=++,故B正确;对于C,若·=0,·=0,则·+·=0,∴·+·(+)=0,∴·+·+·=0,∴·+·-·=0,∴(-)·+·=0,∴·+·=0,∴·+·=0,∴·(+)=0,∴·=0,故C正确;对于D,∵=-=(+)-=(+-),∴||=|--|.∵|--|2=++-2·-2·+2·=4+4+4-4-4+4=8,∴||=×=,故D错误.故选ABC. 10.(5分)已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为a,则·=　　　　.  解析:如图,=-,=-=-,∴·=(-)·(-)=·-·-·+||2=0-0-0+a2=a2. 答案:a2 11.(5分)已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,<a,b>=135°,且m⊥n,则实数λ等于　　　　.  解析:∵m⊥n,∴m·n=(a+b)·(a+λb)=|a|2+λa·b+a·b+λ|b|2=18+λ·3×4·cos 135°+3×4·cos 135°+λ·16=18-12λ-12+16λ=6+4λ=0,∴λ=-. 答案:- 12.(5分)点P是棱长为1的正方体ABCD⁃A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点,则·的取值范围是　　　　.  解析:设=x+y(0≤x≤1,0≤y≤1),则=-=+-x-y=+(1-x)-y,=-=-x-y=(1-y)-x,∴·=[+(1-x)-y]·[(1-y)-x]=-x(1-x)-y(1-y)=+-,易知当x=y=时,·取得最小值为-;当x=0或x=1,且y=0或y=1时,·取得最大值为0, ∴·的取值范围是. 答案: 13.(10分)已知正四面体OABC的棱长为1,如图所示. (1)确定向量在直线OB上的投影向量,并求·;(4分) (2)确定向量在平面ABC上的投影向量,并求·.(6分) 解:(1)如图①,取OB的中点P,连接AP,则AP⊥OB, 因此即为在直线OB上的投影向量.所以·=·=×1=. (2)如图②,设O在底面ABC内的射影为Q,易知Q为底面中心,则OQ⊥平面ABC,连接AQ并延长交BC于点M,则M为BC的中点,AM⊥BC, 且AQ=AM=,所以即为在平面ABC上的投影向量. 所以·=·=×1×cos 30°=. 14.(15分)如图,在四棱锥P⁃ABCD中,四边形ABCD为矩形,且AB=2AD=2,PA=2,∠PAB=∠PAD=. (1)求线段PC的长度;(5分) (2)求异面直线PC与BD夹角的余弦值;(5分) (3)若E为AB的中点,证明:PA⊥ED.(5分) 解:(1)∵=+=++,∴=+++2·+2·+2·=4+4+1-2×2-2×1=3,∴||=,∴线段PC的长度为. (2)∵·=(++)·(-)=·-·+·-·+·-·=-1×2×-2×2+1×1+2×2×+0-0=-2,||=, ∴cos<,>===-, 故异面直线PC与BD夹角的余弦值为. (3)证明:∵E为AB的中点,∴AD=AE, ∵·=·(-)=·-·=2×1×-2×1×=0,∴⊥,即PA⊥ED. 15.(15分)如图,在四棱锥P⁃ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥DC,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点. (1)证明:BE⊥PD;(6分) (2)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求线段PF的长.(9分) 解:(1)证明:∵E为PC的中点,∴=(+)=(-+-)=(+-)=(+),又=-, ∴·=(-)=0,∴BE⊥PD. (2)∵F为PC上一点,∴可设=λ(0≤λ≤1),∴=+=-+λ=-+λ(+2-)=(1-λ)-(1-2λ)·+λ.又=+2,BF⊥AC, ∴·=[(1-λ)-(1-2λ)+λ]·(+2)=-2(1-2λ)+4λ=0,解得λ=. ∵||===2, ∴PF=PC=,即线段PF的长为. 学科网（北京）股份有限公司 $