9.1.2 线性回归方程-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦线性回归方程核心知识点，前承线性相关关系认知，通过随机误差概念引入回归模型，结合最小二乘原理落实参数估计方法，后接线性与非线性回归方程的实际应用，构建从概念到应用的学习支架。 采用梯度进阶式教学，从基础判断训练到三类题型深化，例题结合脚长身高、西红柿产量等真实情境，培养用数学眼光观察现实问题的能力。思维建模环节提炼方法步骤，强化逻辑推理的数学思维，课中助力分层教学，课后训练帮助学生巩固模型应用，提升用数学语言表达实际问题的能力。

9.1.2　线性回归方程 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.结合具体实例,了解线性回归模型的含义,了解模型参数的统计意义,了解最小二乘原理,掌握线性 回归模型参数的最小二乘法. 2.针对实际问题,会用线性回归模型进行预测. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.随机误差 具有线性相关关系的两个变量的取值x,y,y的值不能由x确定,在此,我们将两者之间的关系表示为y=a+bx+ε,其中a+bx是确定性函数,ε称为随机误差. 2.随机误差产生的主要原因 (1)所用的确定性函数不恰当引起的误差; (2)忽略了某些因素的影响; (3)存在观测误差. 3.线性回归模型中a,b值的求法 将y=a+bx+ε称为线性回归模型. a,b的估计值为,,则 其中=xi,=yi. 4.回归直线和线性回归方程 直线=+x称为回归直线,此直线方程称为线性回归方程,其中称为回归截距,称为回归系数,称为回归值. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)在线性回归模型中,ε是bx+a预报真实值y的随机误差,它是一个可观测的量. (　　) (2)用最小二乘法求出的可能是正的,也可能是负的. (　　) (3)随机误差平方和越大,线性回归模型的拟合效果越好. (　　) (4)线性回归方程=x+必过点(,). (　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2.用最小二乘法得到一组数据(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)的线性回归方程为=2x+3,若xi=30,则yi= (　　) A.11 B.13 C.63 D.78 解析:选D　依题意,因为xi=30,所以==5,因为线性回归方程=2x+3一定过点(,),所以=2+3=2×5+3=13,所以yi=6×13=78. 3.某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据,运用Excel软件计算得=0.577x-0.448(x为人的年龄,y为人体脂肪含量).对年龄为37岁的人来说,下面说法正确的是 (　　) A.年龄为37岁的人体脂肪含量一定为20.90 B.年龄为37岁的人体脂肪含量约为21.01 C.年龄为37岁的人群中的人体脂肪含量平均为20.90 D.年龄为37岁的人群中的大部分人的人体脂肪含量约为31.5 解析:选C　当x=37时,=0.577×37-0.448=20.901≈20.90,由此估计,年龄为37岁的人群中的人体脂肪含量平均为20.90. 题型(一)　回归方程与样本中心 [例1]　为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其线性回归方程为=x+.已知xi=225,yi =1 600,=4,该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为 (　　) A.162 B.166 C.170 D.174 解析:选B　根据题意,得=xi=×225=22.5,=yi=×1 600=160,=4,由(22.5,160)在=x+上,得160=4×22.5+,即=70,故=4x+70,令x=24,得=4×24+70=166,即该学生身高约为166 cm. |思|维|建|模|　已知线性回归方程=x+,有以下结论 (1)表示x每增加1个单位,y的平均变化量,>0为正相关,<0为负相关. (2)回归直线过样本中心点(,),其他测量值不一定满足方程. (3)由方程得到的值为预测值,有一定的偏差,但有一定的指导作用. [针对训练] 1.已知变量x和y的统计数据如表: x 1 2 3 4 5 y 6 6 7 8 8 根据上表可得线性回归方程为=0.6x+,据此可以预测当x=8时,= (　　) A.8.5 B.9 C.9.5 D.10 解析:选D　==3,==7,则7=0.6×3+,∴=5.2,∴=0.6x+5.2,∴当x=8时,预测=0.6×8+5.2=10.故选D. 2.[多选]根据某班学生的物理成绩y,数学成绩x,得到y与x具备线性相关关系,并求得其线性回归方程为=22.05+0.625x,则下列说法正确的是 (　　) A.x与y正相关,说明数学成绩优秀对物理的学习有一定的促进作用 B.某同学数学考了96分,可以预测他的物理成绩约为82分 C.某同学数学因为其他原因没考,则他物理能考22.05分 D.数学每提高1分,物理大约会提高0.625分 解析:选ABD　因为=22.05+0.625x,0.625>0,所以x与y正相关,A正确;将x=96代入方程,得约为82,B正确;用数学成绩预测物理成绩时,应用正常情况下的数学成绩,故C错误;由的意义易知D正确. 题型(二)　求线性回归方程 [例2]　为实施乡村振兴,科技兴农,某村建起了田园综合体,并从省城请来专家进行技术指导.根据统计,该田园综合体西红柿亩产量的增加量y(千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的对应数据如下. x/千克 2 4 5 6 8 y/千克 300 400 400 400 500 (1)由上表数据可知,可用线性回归模型拟合y与x的关系,请计算相关系数r并加以说明;(若|r|>0.75,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合) (2)求y关于x的线性回归方程,并预测当液体肥料每亩使用量为20千克时,西红柿亩产量的增加量约为多少千克? 参考数据:≈3.16. 解:(1)由已知数据可得 =×(2+4+5+6+8)=5, =×(300+400+400+400+500)=400, (xi-)(yi-)=600,(xi-)2=20, (yi-)2=20 000, ∴相关系数r==≈0.95. ∵|r|>0.75,∴可用线性回归模型拟合y与x的关系. (2)===30, =-=400-30×5=250, ∴线性回归方程为=30x+250. 当x=20时,=30×20+250=850. 即当液体肥料每亩使用量为20千克时,西红柿亩产量的增加量约为850千克. 　　|思|维|建|模| 1.求线性回归方程的基本步骤 (1)列出散点图,从直观上分析数据间是否存在线性相关关系; (2)计算:,,,,xiyi; (3)代入公式求出=x+中参数,的值; (4)写出线性回归方程并对实际问题作出估计. [注意]　只有在散点图大致呈线性相关关系时,求出的线性回归方程才有实际意义,否则求出的线性回归方程毫无意义. 2.使用线性回归方程进行预测时,需注意以下问题 (1)线性回归方程只适用于所研究的样本的总体. (2)线性回归方程一般都有时效性. (3)自变量的取值不能离样本数据的范围太远,一般自变量的取值在样本数据范围内. [针对训练] 3.市场调查员小王统计了某款拖把的销售单价x(单位:元)与月销量y(单位:个)之间的一组数据如下表所示: 单价x/元 18 19 20 21 22 月销量y/个 570 520 420 320 270 (1)根据以往经验,y与x具有线性相关关系,求y关于x的线性回归方程; (2)若这款拖把的进货价为14元/个,根据(1)中回归方程,求该拖把月利润最大时拖把的单价为多少元.(结果精确到0.1元) 解:(1)由表中数据得=×(18+19+20+21+22)=20,=×(570+520+420+320+270)=420, ∴= = ==-80, ∴=-=420+80×20=2 020, 故y关于x的线性回归方程为=-80x+2 020. (2)设每月的总利润为Q,则Q(x)=(-80x+2 020)(x-14)=-80x2+3 140x-28 280, ∵抛物线y=Q(x)的对称轴方程为x==19.625≈19.6, ∴该拖把月利润最大时,拖把的单价约为19.6元. 题型(三)　求非线性回归方程 [例3]　某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时,为创造更大价值,提高亩产量,积极开展技术创新活动,该农场采用了延长光照时间的方案,选取了20间大棚(每间一亩)进行试点,得到各间大棚产量数据并绘制成散点图.光照时长为x(单位:小时),大棚蔬菜产量为y(单位:千斤/每亩),记w=ln x. (1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+dln x,哪一个适宜作为大棚蔬菜产量y关于光照时长x的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由); (2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程(结果保留小数点后两位); (3)根据实际种植情况,发现上述回归方程在光照时长位于6~14小时内拟合程度良好,利用(2)中所求方程估计当光照时长为e2小时时(e为自然对数的底数),大棚蔬菜亩产量约为多少. 参考数据: xi yi wi xiyi wiyi 290 102.4 52 4 870 540.28 137 1 578.2 272.1 解:(1)根据散点图,开始的点在某条直线旁,但后面的点会越来越偏离这条直线,因此y=c+dln x更适宜作为大棚蔬菜产量y关于光照时长x的回归方程类型. (2)记w=ln x,则y=c+dw,===5.12,===2.6, ==≈3.26,=-=5.12-3.26×2.6≈-3.36, 所以=3.26w-3.36,即=3.26ln x-3.36. (3)当x=e2时,=3.26ln e2-3.36=3.16,即大棚蔬菜亩产量约为3.16千斤. |思|维|建|模|　非线性回归问题的解题步骤 (1)根据原始数据作出散点图; (2)根据散点图选择恰当的拟合函数; (3)作恰当的变换,将其转化成线性回归方程求解; (4)在上面的基础上通过相应的变换,即可得非线性回归方程. [针对训练] 4.红蜘蛛是柚子的主要害虫之一,能对柚子树造成严重伤害,每只红蜘蛛的平均产卵数y(个)和平均温度x(℃)有关,现收集了以往某地的7组数据,得到下面的散点图及一些统计量的值. 参考数据(z=ln y) xiyi xizi 5 215 17 713 714 27 81.3 3.6 (1)根据散点图判断,y=bx+a与y=cedx(其中e=2.718…为自然对数的底数)哪一个更适合作为平均产卵数y(个)关于平均温度x(℃)的回归方程类型;(给出判断即可,不必说明理由) (2)由(1)的判断结果及表中数据,求出y关于x的回归方程.(计算结果精确到0.1) 解:(1)由散点图可以判断,随温度升高,产卵数增长速度变快,符合指数函数模型的增长,所以y=cedx更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型. (2)将y=cedx两边同时取自然对数,可得ln y=ln c+dx,令z=ln y, 由题中的数据可得,xizi-7　=33.6,-7=112,所以===0.3, 则ln c=-=3.6-0.3×27=-4.5, 所以z关于x的线性回归方程为z=0.3x-4.5,故y关于x的回归方程为y=e0.3x-4.5. 学科网（北京）股份有限公司 $