6.1.3 共面向量定理-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（苏教版）

6.1.3　共面向量定理 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 1.了解共面向量的概念.　2.理解空间向量共面的充要条件,会证明空间四点共面. 共面向量定理 (1)共面向量:一般地,能平移到同一平面内的向量叫作共面向量.显然,任意两个空间向量都是共面向量. (2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组(x,y),使得p=xa+yb.这就是说,向量p可以由两个不共线的向量a,b线性表示 向量共面的证明 (1)证明点P在平面ABC内,可以用=x+y,也可以用=+x+y.若用=x+y+z,则必须满足x+y+z=1. (2)判断三个向量共面一般用p=xa+yb,证明三线共面常用=x+y,证明四点共面常用=x+y+z(其中x+y+z=1) 题型(一)　对共面向量概念的理解 [例1]　下列命题正确的是 (　　) A.用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量,则这两个向量一定不共面 B.已知空间四边形ABCD,则由四条线段AB,BC,CD,DA分别确定的四个向量之和为零向量 C.若存在有序实数组(x,y)使得=x+y,则O,P,A,B四点共面 D.若三个向量共面,则这三个向量的起点和终点一定共面 解析:选C　A错误,空间中任意两个向量都是共面的;B错误,因为四条线段确定的向量没有强调方向;C正确,因为,,共面,所以O,P,A,B四点共面;D错误,没有强调零向量. |思|维|建|模| (1)任意两个空间向量都是共面向量; (2)若a,b不共线且同在平面α内,则p与a,b共面的意义是p在α内或p∥α. [针对训练] 1.[多选]下列说法正确的是 (　　) A.若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行 B.已知空间任意两向量a,b,则向量a,b共面 C.已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p,总存在实数x,y,z,使得p=xa+yb+zc D.若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0 解析:选BD　若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线可以重合,并不一定平行,故A错误;根据共面向量的定义可知,空间中的任意两个向量都是共面的,故B正确;只有当空间的三个向量a,b,c不共面时,对于空间的任意一个向量p,总存在实数x,y,z,使得p=xa+yb+zc成立,若空间中的三个向量共面,此说法并不成立,故C错误;根据向量的加法法则即可判断D正确. 题型(二)　向量共面的判定与证明 [例2]　如图,已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,F,G,H,并且使====k,求证:E,F,G,H四点共面. 证明:在平行四边形ABCD中,=+, 得-=(-)+(-), 由已知得(-)=(-)+(-),于是得=+, ∴E,F,G,H四点共面. [变式拓展] 若本例条件“====k”变为“==m,==k”,其他条件不变.求证:E,F,G,H四点共面. 证明:在平行四边形ABCD中,=+,得-=(-)+(-), 由已知得-=-+-,即=+-,=. ∴E,F,G,H四点共面. |思|维|建|模|　利用向量法证明向量共面的策略 (1)若已知点P在平面ABC内,则有=x+y或=x+y+z(x+y+z=1),然后利用指定向量表示出已知向量,用待定系数法求出参数. (2)证明三个向量共面(或四点共面),需利用共面向量定理,证明过程中要灵活进行向量的分解与合成,将其中一个向量用另外两个向量来表示. [针对训练] 2.如图,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,M为DD1的中点,N在AC上,且AN∶NC=2∶1,求证:与,共面. 证明:因为=-, =+=-, ==(+). 所以=-=(+)- =(-)+ =+. 所以与,共面. 题型(三)　共面向量定理的应用 [例3]　如图所示,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点. (1)用向量法证明E,F,G,H四点共面; (2)用向量法证明BD∥平面EFGH. 证明:(1)如图所示,连接BG,EG,则 =+=+(+)=++=+. 由共面向量定理知E,F,G,H四点共面. (2)设=a,=b,=c,则=-=c-a. =+=-+(c+b)=-a+b+c,=+=-c+(a+b)=a+b-c. 假设存在x,y,使=x+y. 即c-a=x+y=a+b+c. ∵a,b,c不共线.∴解得 ∴=-.∴,,是共面向量, ∵BD不在平面EFGH内,∴BD∥平面EFGH. |思|维|建|模| 利用向量判断线面平行有两种方法:一是利用共线向量定理,找出平面内的一个向量与直线上的向量共线;二是利用共面向量定理,找出平面内不共线的两个向量能表示出直线上的向量.两种方法中注意说明直线不在平面内. [针对训练] 3.如图所示,在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,O是B1D1的中点. 求证:B1C∥平面ODC1. 证明:设=a,=b,=c,则=c-a,又O是B1D1的中点, 所以==(b-a).因为D1D􀱀C1C, 所以=c,=+=(b-a)+c. =-(a+b),假设存在实数x,y,使=x+y,所以c-a=x-y·(a+b)=-(x+y)a+xc+b,且a,b,c不共线,所以x=1,(x+y)=1,且=0,即x=1,y=1.所以=+, 所以,,是共面向量, 又因为不在,所确定的平面ODC1内, 所以B1C∥平面ODC1. 学科网（北京）股份有限公司 $