第9章 因式分解 灵活因式分解 计算天天练 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

第九章 因式分解 第九章 因式分解 知识点3 灵活因式分解（一） 1 计算大冲关 （难度等级 ） 1．某校八年级数学课外阅读小组在一次活动中，他们阅读到了下面两个材料． 材料一：ap+aq+bp+bq＝（ap+aq）+（bp+bq）＝a（p+q）+b（p+q）＝（a+b）（p+q）； 材料二：p2+2pq+q2﹣1＝（p2+2pq+q2）﹣1＝（p+q）2﹣12＝（p+q+1）（p+q﹣1）． 八年级数学课外阅读小组，上面材料中的等式就是因式分解的过程．于是，他们又得到了一种分解因式的方法——分组分解法． 请你利用上面分解因式的方法，完成下列两题． （1）分解因式：x2+2x2y﹣y2﹣2xy2； （2）若a，b，c是△ABC的三条边长，求证：a2+b2﹣c2﹣2ab＜0． 2．阅读材料并解决问题：分解因式x2﹣4y2﹣2x+4y，细心观察这个式子就会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2），这种分解因式的方法叫做分组分解法．利用这种方法解决问题： ①分解因式：x2﹣6x+9﹣y2； ②已知△ABC的三边长a，b，c满足ac+a2﹣ab﹣bc＝0，试判断△ABC的形状． 3．第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式am+an+bm+bn因式分解，可以先把它的前两项分成组，并提出a，把它的后两项分成组，并提出b，从而得am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）．这时，由于a（m+n）+b（m+n）中又有公因式（m+n），于是可提公因式（m+n），从而得到（m+n）（a+b），因此有am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）．这种因式分解的方法叫做分组分解法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）ab﹣ac+b2﹣bc＝（ab﹣ac）+（b2﹣bc）＝a（b﹣c）+b（b﹣c）＝　 　 ； 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解； ①m2+5n﹣mn﹣5m＝　 　 ； ②x2﹣2x+1﹣y2＝　 　 ； 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足a2+2b2+c2＝2b（a+c），试判断这个三角形的形状，并说明理由． 第九章 因式分解 灵活因式分解（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”：ax+ay+bx+by 解：原式＝（ax+ay）+（bx+by） ＝a（x+y）+b（x+y） ＝（a+b）（x+y） 例2：“三一分组”：2xy+x2﹣1+y2 解：原式＝（x2+2xy+y2）﹣1 ＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1） 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： （1）分解因式： ①x2﹣xy+4x﹣4y； ②x2﹣y2+4y﹣4． （2）已知△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝0，试判断△ABC的形状． 2．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）． 解法一：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）． 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解． 第九章 因式分解 灵活因式分解（三） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2称做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式x2+2x﹣3． 原式＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）； 例如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值． 原式＝2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8． （1）用配方法分解因式：a2+2a﹣8； （2）当x为何值时，代数式﹣2x2﹣8x+5有最大值，并求出这个最大值； （3）求使得m2+m﹣5是完全平方数的所有整数m的积（直接写出答案）． 2．阅读下面材料，完成相应任务： 配方法因式分解 一般的，我们将形如a2±2ab+b2的多项式叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，但可以通过“添项”的方式，使多项式中的部分项是完全平方式，并且要使变形前后两个多项式的值保持不变，此方法称为配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，在因式分解、求代数式最值等问题中有着广泛的应用． 例如，我们可以用配方法将多项式x2+2x﹣3因式分解： x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）． 任务一： （1）运用配方法将多项式x2﹣6x﹣7因式分解； （2）用配方法说明多项式x2+6x+12的值一定是一个正数． 任务二： “创新小组”的同学受“配方法因式分解”的启发，在将多项式（x+y）2+4（x+y）﹣5因式分解时，将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原多项式可化为A2+4A﹣5，然后用配方法将多项式A2+4A﹣5因式分解，再把A＝x+y代入分解的结果，便达到将原多项式因式分解的目的． （3）请你帮助“创新小组”写出将多项式（x+y）2+4（x+y）﹣5因式分解的过程． 第九章 因式分解 灵活因式分解（四） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．阅读理解：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，这种解题方法叫做配方法．配方法在数学领域有着广泛的应用． 例1：分解因式x2+2x﹣3． 解：原式＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+3）（x﹣1）； 例2：求代数式x2+4x﹣5的最小值． 解：原式＝x2+4x+4﹣9＝（x+2）2﹣9， ∴当x＝﹣2时，x2+4x﹣5有最小值是﹣9． 【类比应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+6a+　　 ； （2）仿照例1的步骤，用配方法因式分解：m2﹣10m+24； （3）仿照例2的步骤，求4x2﹣12x+15的最小值； （4）若x2+2y2﹣2xy﹣8y+16＝0，求的算术平方根． 2．如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式x2+2x﹣3． 原式＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）． 例如：求代数式x2+4x+6的最小值． 原式＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2． （x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，x2+4x+6有最小值，最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝　 　 ，代数式x2﹣6x+12的最小值为　 　 ； （2）若y＝﹣x2+2x﹣3，则当x＝　　 时，y有最　　 值（填“大”或“小”），这个值是　　 ； （3）当a，b，c分别为△ABC的三边长，且满足a2+b2﹣6a﹣10b+34＝0时，求c的取值范围． 第九章 因式分解 灵活因式分解（五） /计算大冲关 （难度等级 ） 1．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． ①分组分解法：x2﹣2xy+y2﹣4＝（x2﹣2xy+y2）﹣4＝（x﹣y）2﹣22＝（x﹣y﹣2）（x﹣y+2）． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3） ③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项；2．分解常数项；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．得出原二次三项式的两个因式． 例如：x2+6x﹣7 分析： 解：原式＝（x+7）（x﹣1） （1）仿照以上方法，按照要求分解因式：（写出过程） ①（分组分解法）4x2+4x﹣y2+1； ②（拆项法）x2﹣6x+8； ③x2﹣5x+6＝　 　 ． （2）已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，求△ABC的周长． 2．【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第121页的阅读与思考： x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解 x2+（p+q）x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子进行因式分解呢？ 在第102页的练习第2题中，我们发现，（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq,这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出： （x+p）（x+q） =x2+px+qx+pq =x2+（p+q）x+pq. 因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）① 利用①式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如，将式子x2+3x+2分解因式．这个式子的二次项系数是1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，因此这是一个x2+（p+q）x+pq型的式子．利用①式可得x2+3x+2=（x+1）（x+2）． 上述分解因式x2+3x+2的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（图1）． 这样，我们也可以得到x2+3x+2=（x+1）（x+2）． 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式： （1）分解因式：y2+7y-18= ； 【知识应用】 （2）x2+mx+3=（x+n）（x-3），则m= ，n= ； 【拓展提升】 （3）如果x2+mx+6=（x+p）（x+q），其中m,p,q均为整数，求m的值． 灵活因式分解（一） 参考答案 1.【分析】（1）可先将多项式合理分组，再分别对组内进行因式分解，最后对整体进行因式分解； （2）先对多项式进行分组分解因式，再根据三角形三边关系判断因式的正负性，进而证明不等式． 【解答】（1）解：x2+2x2y﹣y2﹣2xy2 ＝ （x2﹣y2）+（2x2y﹣2xy2） ＝ （x+y）（x﹣y）+2xy（x﹣y） ＝ （x﹣y）（x+y+2xy）； （2）证明：a2+b2﹣c2﹣2ab＝ （a2﹣2ab+b2）﹣c2＝ （a﹣b）2﹣c2＝ （a﹣b+c）（a﹣b﹣c）， 因为a，b，c是△ABC的三条边长， 所以a+c＞b，a＜b+c，即a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0， 所以（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）＜0，即a2+b2﹣c2﹣2ab＜0． 2.【分析】利用因式分解的方法，等腰三角形的判定解答． 【解答】解：①x2﹣6x+9﹣y2 ＝（x﹣3）2﹣y2 ＝（x﹣3﹣y）（x﹣3+y）； ②∵△ABC的三边长a，b，c满足ac+a2﹣ab﹣bc＝0， ∴a（a+c）﹣b（a+c）＝0， ∴（a﹣b）（a+c）＝0， ∵a+c≠0， ∴a﹣b＝0， ∴a＝b． ∴△ABC是等腰三角形． 3.【分析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）①②利用分组分解法进行因式分解即可． （3）将等式右边的式子移到等式左边，利用分组分解法进行因式分解后，进行判断即可． 【解答】解：（1）ab﹣ac+b2﹣bc＝（ab﹣ac）+（b2﹣bc）＝a（b﹣c）+b（b﹣c）＝（a+b）（b﹣c）； 故答案为：（a+b）（b﹣c）； （2）①原式＝（m2﹣mn）﹣（5m﹣5n） ＝m（m﹣n）﹣5（m﹣n） ＝（m﹣n）（m﹣5）， 故答案为：（m﹣n）（m﹣5）； ②原式＝（x﹣1）2﹣y2 ＝（x+y﹣1）（x﹣y﹣1）； 故答案为：（x+y﹣1）（x﹣y﹣1）； （3）∵a2+2b2+c2＝2b（a+c）， ∴a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0， ∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）＝0， ∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0， ∴a﹣b＝0且b﹣c＝0， ∴a＝b且b＝c， ∴a＝b＝c， ∴这个三角形是等边三角形． 灵活因式分解（二） 参考答案 1.【分析】（1）①先分组，然后用提公因式法进行因式分解即可得到答案；②先分组，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可得到答案； （2）先利用因式分解，得到（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0，再根据平方的非负关系，得到a＝b＝c，即可判断△ABC的形状． 【解答】解：（1）①原式＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y） ＝x（x﹣y）+4（x﹣y） ＝（x﹣y）（x+4）； ②原式＝x2﹣（y2﹣4y+4） ＝x2﹣（y﹣2）2 ＝（x+y﹣2）（x﹣y+2）； （2）等边三角形，理由如下： ∵a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝0， ∴（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）＝0， ∴（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0， ∴a﹣b＝0，a﹣c＝0，b﹣c＝0， ∴a＝b，a＝c，b＝c， ∴a＝b＝c， ∴△ABC的形状是等边三角形． 2.【分析】（1）先进行分组为（x2﹣a2）+（x+a），再提取公因式（x+a），即可得到结果； （2）先分组为（ax﹣bx）+（a2﹣2ab+b2），再提取公因式（a﹣b），即可得到结果． 【解答】解：（1）x2﹣a2+x+a ＝（x2﹣a2）+（x+a） ＝（x+a）（x﹣a）+（x+a） ＝（x+a）（x﹣a+1）； （2）ax+a2﹣2ab﹣bx+b2 ＝（ax﹣bx）+（a2﹣2ab+b2） ＝x（a﹣b）+（a﹣b）2 ＝（a﹣b）（x+a﹣b）． 灵活因式分解（三） 参考答案 1.【分析】（1）通过配方法构造平方差形式，再利用平方差公式完成因式分解； （2）先提取二次项系数，对括号内式子配方后，结合二次项系数的正负判断最值的存在条件与取值； （3）通过设完全平方数为整数平方的形式，配方后转化为整数因数分解问题，枚举所有可能的因数对求出整数m，再计算乘积． 【解答】解：（1）a2+2a﹣8 ＝（a2+2a+1）﹣1﹣8 ＝（a+1）2﹣9 ＝（a+4）（a﹣2）； （2）﹣2x2﹣8x+5＝﹣2（x2+4x）+5 ＝﹣2[（x2+4x+4）﹣4]+5 ＝﹣2[（x+2）2﹣4]+5 ＝﹣2（x+2）2+13， ∴当（x+2）2＝0即x＝﹣2时，代数式有最大值，最大值为13； （3）设m2+m﹣5＝k2（k为非负整数）， 配方得：， 两边乘4整理得：（2m+1﹣2k）（2m+1+2k）＝21， ∴2m+1﹣2k和2m+1+2k均为整数，且为21的整数因数对，且2m+1﹣2k≤2m+1+2k， 21的整数因数对为：（1，21）、（3，7）、（﹣21，﹣1）、（﹣7，﹣3），分情况求解： ①当，两式相加得2（2m+1）＝22，解得m＝5； ②当，两式相加得2（2m+1）＝10，解得m＝2； ③当，两式相加得2（2m+1）＝﹣22，解得m＝﹣6； ④当，两式相加得2（2m+1）＝﹣10，解得m＝﹣3； 所有整数m为5、2、﹣6、﹣3，它们的积为5×2×（﹣6）×（﹣3）＝180． 2.【分析】（1）将x2﹣6x﹣7加上9再减去9，使多项式的值不变，变形为x2﹣6x+9﹣9﹣7，则x2﹣6x+9是完全平方式，再因式分解即可； （2）将x2+6x+12加上9再减去9，使得多项式的值不变，变形为x2+6x+9+12﹣9，其中x2+6x+9为完全平方式，再计算即可； （3）设A＝x+y，将原式变形为A2+4A﹣5，再用与上面相同的方法进行配方计算即可． 【解答】解：（1）原式＝x2﹣6x+9﹣9﹣7 ＝（x﹣3）2﹣16 ＝（x﹣3+4）（x﹣3﹣4） ＝（x+1）（x﹣7）； （2）原式＝x2+6x+9﹣9+12＝（x+3）2+3． ∵（x+3）2一定是一个非负数， ∴（x+3）2+3一定是一个正数． 即原式的值一定是一个正数； （3）设x+y＝A， 则原式化为：A2+4A﹣5， ∵A2+4A﹣5 ＝A2+4A+4﹣4﹣5 ＝（A+2）2﹣9 ＝（A+2+3）（A+2﹣3） ＝（A+5）（A﹣1）． ∴原式＝（x+y）2+4（x+y）﹣5＝（x+y+5）（x+y﹣1）． 灵活因式分解（四） 参考答案 1.【分析】（1）利用完全平方公式求解； （2）先凑成局部完全平方形式，再利用平方差公式进行因式分解； （3）将4x2﹣12x+15变形为完全平方加有理数的形式即可； （4）利用完全平方公式将x2+2y2﹣2xy﹣8y+16＝0变形为（x﹣y）2+（y﹣4）2＝0，求出x和y即可求解． 【解答】解：（1）原式＝a2+2×3×a+32＝（a+3）2， 故答案为：9； （2）原式＝m2﹣10m+25﹣1 ＝（m﹣5）2﹣1 ＝（m﹣5+1）（m﹣5﹣1） ＝（m﹣4）（m﹣6）． （3）4x2﹣12x+15＝（2x）2﹣12x+9+6＝（2x﹣3）2+6； 由于（2x﹣3）2≥0，所以（2x﹣3）2+6≥6， 即4x2﹣12x+15的最小值为6； （4）∵x2+2y2﹣2xy﹣8y+16＝0， ∴（x2﹣2xy+y2）+（y2﹣8y+16）＝0， ∴（x﹣y）2+（y﹣4）2＝0， ∴（y﹣4）2＝0，（x﹣y）2＝0， ∴y﹣4＝0，x﹣y＝0， ∴x＝4，y＝4， ∴， ∴的算术平方根为2． 2.【分析】（1）按照配方法将式子进行因式分解；用配方法将式子写成一个完全平方公式和一个常数的和，据此可得该式子有最小值． （2）将y进行配方，求出该式子有最大值，求出结果即可； （3）将题中式子进行配方，得到两个完全平方公式的和为0，根据完全平方公式的非负性，求出a，b，然后求出c的取值范围． 【解答】解：（1）原式＝m2﹣4m+4﹣4﹣5 ＝m2﹣4m+4﹣9 ＝（m﹣2）2﹣32 ＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3） ＝（m+1）（m﹣5）； x2﹣6x+12 ＝x2﹣6x+9+3 ＝（x﹣3）2+3，∴当x＝3时，x2﹣6x+12有最小值，最小值是3． 故答案为：（m+1）（m﹣5）；3． （2）y＝﹣x2+2x﹣3 ＝﹣x2+2x﹣1﹣2 ＝﹣（x﹣1）2﹣2， ∴﹣（x﹣1）2≤0， ﹣（x﹣1）2﹣2≤﹣2， ∴当x＝1时，y＝﹣x2+2x﹣3有最大值，最大值是﹣2． 故答案为：1；大；﹣2； （3）a2+b2﹣6a﹣10b+34＝0， 即a2﹣6a+9+b2﹣10b+25＝0， 即（a﹣3）2+（b﹣5）2＝0， 所以a﹣3＝0，b﹣5＝0， 所以a＝3，b＝5， ∴5﹣3＜c＜5+3， 即2＜c＜8． 灵活因式分解（五） 参考答案 1.【分析】（1）①将原式化为（4x2+4x+1）﹣y2，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②将原式化为x2﹣6x+9﹣1，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；③直接利用十字相乘法分解即可； （2）先利用完全平方公式对等式a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出a，b，c的值，然后求和即可得出答案． 【解答】解：（1）①原式＝（4x2+4x+1）﹣y2 ＝（2x+1）2﹣y2 ＝（2x+y+1）（2x﹣y+1）； ②原式＝x2﹣6x+9﹣1 ＝（x﹣3）2﹣1 ＝（x﹣3﹣1）（x﹣3+1） ＝（x﹣4）（x﹣2）； ③x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）； 故答案为：（x﹣2）（x﹣3）； （2）∵a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0， ∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0， ∴（a﹣2）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2＝0， ∴a＝2，b＝2，c＝3， ∴a+b+c＝2+2+3＝7． ∴△ABC的周长为7． 2.【分析】（1）原式利用十字相乘法求出解即可； （2）已知等式利用多项式乘多项式法则，以及多项式相等的条件求出m与n的值即可； （3）已知等式利用多项式乘多项式法则，以及多项式相等的条件确定出m的值即可． 【解答】解：（1）y2+7y-18=（y-2）（y+9）； 故答案为：（y-2）（y+9）； （2）已知等式整理得：x2+mx+3=（x+n）（x-3）=x2+（n-3）x-3n, ∴m=n-3，-3n=3， 解得：m=-4，n=-1； 故答案为：-4，-1； （3）已知等式整理得：x2+mx+6=（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq, ∴m=p+q,pq=6， ∵m,p,q均为整数， ∴p=2，q=3，m=5或p=-2，q=-3，m=-5或p=1，q=6，m=7或p=-1，q=-6，m=-7， 综上，m=5或-5或7或-7． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $