精品解析：云南曲靖市宣威市民族中学、七中2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学试题

2025-2026学年第二学期3月阶段测试卷高一数学 满分：150分考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数，则对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在中，角所对的边分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量：满足，，且，则与夹角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 5. 已知复数（为虚数单位），则的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角所对边分别为．若，则 =（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，若与垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，若点满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，角所对的边分别为，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则是锐角三角形 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则三角形有两解 D. 若，则是钝角三角形 11. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在方向上的投影向量为 D. 与垂直的单位向量为或 12. 在中，角所对的边分别为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最大值为4 C. 面积的最大值为3 D. 若为锐角三角形，则的取值范围是 三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知向量，，若，则实数___________． 14. 设复数，则___________． 15. 在中，角所对的边分别为，且，则___________． 16. 已知等边三角形的边长为2，点满足，则=___________． 四、解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知复数，其中． （1）若是纯虚数，求实数的值； （2）若在复平面内对应点位于第四象限，求实数的取值范围． 18. 已知向量，． （1）求与夹角的余弦值； （2）若向量，求． 19. 在中,角所对的边分别为 ,且满足 . （1）求角A的大小； （2）若的面积为，求的值． 20. 已知复数是关于的方程的一个根，其中． （1）求值； （2）若复数满足，求的最小值． 21. 某渔轮在海上航行，在点A处测得灯塔C在北偏东方向，渔轮以每小时20海里的速度向正东方向航行，1小时后到达点B，此时测得灯塔C在北偏东方向．求灯塔C到航线的距离（结果保留根号）． 22. 已知的角所对的边分别为，且． （1）判断的形状； （2）若，求周长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期3月阶段测试卷高一数学 满分：150分考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因，， 则. 2. 在复平面内，复数，则对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义求解即可. 【详解】解：由复数的几何意义得复数，在复平面内对应的点，是第四象限. 故选：D 3. 在中，角所对的边分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由正弦定理可得，所以或， 因，则，故为锐角，即. 4. 已知向量：满足，，且，则与的夹角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】C 【解析】 【详解】设与的夹角为，， 又，故. 5. 已知复数（为虚数单位），则的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， 所以 的共轭复数为 . 6. 在中，角所对的边分别为．若，则 =（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由余弦定理得. 7. 已知向量，，若与垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算坐标表示及数量积坐标运算计算即可求解. 详解】，，， 由与垂直得，即，解得. 8. 在中，，，若点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由 ，得 ， . 所以 二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知复数，，则下列结论正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【详解】， A：，正确 B：，正确 C：，错误 D：，错误 10. 在中，角所对的边分别为，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则是锐角三角形 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则三角形有两解 D. 若，则是钝角三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正、余弦定理与和差化积公式化简，逐一判断即可. 【详解】对于A，由，可知角为最大内角， 由余弦定理，，可知角为钝角，故是钝角三角形，即A错误； 对于B，由和正弦定理，可得， 即，因，则，即，故是等腰三角形，即B正确； 对于C，，因，故三角形有两解，即C正确； 对于D，由与和差化积公式，可得， 即，因， 则得，再由和差化积公式，可得， 即，因，则必有一个是钝角，即是钝角三角形，故D正确. 11. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在方向上的投影向量为 D. 与垂直的单位向量为或 【答案】ABCD 【解析】 【详解】A正确：. B正确：，. C正确：，，投影向量. D正确：设单位向量，满足且，解得或. 12. 在中，角所对的边分别为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最大值为4 C. 面积的最大值为3 D. 若为锐角三角形，则的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【详解】A选项，由余弦定理：，即，故A正确. B选项，由正弦定理，所以. 所以，故B正确. C选项，面积，由，得，当且仅当时等号成立，所以，故C错误. D选项，锐角三角形：，，得，，故D错误. 三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知向量，，若，则实数___________． 【答案】 【解析】 【详解】由可得，解得. 14. 设复数，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得， 由模长公式得. 15. 在中，角所对的边分别为，且，则___________． 【答案】4或 【解析】 【详解】由，得，由余弦定理. 当时，，，此时三角形为直角三角形； 当时，，，此时三角形为钝角三角形. 16. 已知等边三角形的边长为2，点满足，则=___________． 【答案】3 【解析】 【详解】由可知为中点，所以 四、解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知复数，其中． （1）若是纯虚数，求实数的值； （2）若在复平面内对应的点位于第四象限，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 若是纯虚数，则实部为且虚部不为，即， 由得或， 由得且， 故. 【小问2详解】 若对应点在第四象限，则实部且虚部，即， 由得或， 由得， 综上所述，实数取值范围是. 18. 已知向量，． （1）求与的夹角的余弦值； （2）若向量，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量夹角的坐标公式计算即得； （2）先求出向量的坐标，再求其模即可. 【小问1详解】 由，，可得， 且， 则； 小问2详解】 因， 则. 19. 在中,角所对的边分别为 ,且满足 . （1）求角A的大小； （2）若的面积为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由正弦定理得， 又， 代入得. 由，得， 即，. 由，所以易得，故. 【小问2详解】 ，即，得. 由余弦定理，得，即. 联立，得，故. 20. 已知复数是关于的方程的一个根，其中． （1）求的值； （2）若复数满足，求的最小值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由实系数方程的虚根成对的特点与韦达定理计算即得； （2）根据复数的几何意义利用（1）的结论数形结合计算即可. 【小问1详解】 由实系数方程的虚根成对的特点，可知方程的另一根为， 由韦达定理，. 【小问2详解】 因复数满足，则复数对应的点表示以为圆心、为半径的圆， 而，在复平面内表示点，而表示点与点的距离， 因点与圆心的距离为， 故 21. 某渔轮在海上航行，在点A处测得灯塔C在北偏东方向，渔轮以每小时20海里的速度向正东方向航行，1小时后到达点B，此时测得灯塔C在北偏东方向．求灯塔C到航线的距离（结果保留根号）． 【答案】海里 【解析】 【详解】如图，由题意海里，，， 故，由正弦定理，知 过C作于，则，， 即灯塔C到航线的距离为海里． 22. 已知的角所对的边分别为，且． （1）判断形状； （2）若，求周长的取值范围． 【答案】（1）直角三角形，且． （2）． 【解析】 【分析】（1）利用化简，代入余弦定理推导得，判断为直角三角形. （2）通过三角换元将周长表示为，变形为正切函数并利用单调性求范围. 【小问1详解】 由，得，即. 由余弦定理，故， 化简得，即， 所以为直角三角形，且. 【小问2详解】 由，，设，，则，， 周长. 令，， ， . 因 ，故 ，所以易得 . 分子分母同除以 ，并利用正切和角公式： ，由 时，得， 因此 ，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $