6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时）教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修三教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 《6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时）》教学设计 1、 课标及课标分析 （一）课标要求 通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义，能根据具体问题的特征，选择分类或分步的方法解决简单的计数问题，发展数学抽象、逻辑推理等数学核心素养。 （二）课标分析 本节课是人教A版选择性必修第三册第六章计数原理的开篇内容，两个计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，是后续学习排列、组合、二项式定理的理论基础，在整个计数原理知识体系中处于奠基地位。课标要求学生通过具体实例感知两个计数原理的内涵，而非单纯的公式记忆，强调对“完成一件事” “分类” “分步”核心概念的理解，要求学生能结合问题特征选择合适的计数方法，培养从具体到抽象的数学抽象能力和逻辑推理能力，同时让学生体会计数原理在实际生活中的应用价值，为后续复杂计数问题的解决搭建思维框架。 2、 教材分析 “分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时）”是计数原理章节的起始课，是整个计数问题的基础。教材以生活中的计数实例为切入点，通过座位编号、专业选择等具体问题，引导学生抽象出分类加法和分步乘法两个计数原理，进而通过典例和变式巩固原理的理解与应用，最后对比两个原理的联系与区别。本节课的内容不仅为排列、组合的学习提供了思想方法，也为解决实际生活中的计数问题提供了工具，在数学知识体系和实际应用中都具有重要作用，同时也是培养学生数学抽象、逻辑推理等核心素养的优质素材。 3、 学情分析 学生在高中阶段前期的学习中，已经接触过简单的计数问题，具备了一定的直观计数能力和逻辑思考能力，但尚未形成系统的计数方法。本节课的两个计数原理看似简单，但其核心概念“完成一件事” “分类” “分步”的理解具有一定抽象性，学生容易混淆分类与分步的区别，在实际问题中难以准确判断是分类还是分步，也容易出现分类“重漏”、分步“缺失”的问题。此外，学生对原理的应用停留在简单套公式层面，缺乏对问题本质的分析。但学生具备较强的实例感知能力，教师可通过生活实例和层层递进的问题引导，帮助学生突破难点，形成正确的计数思维。 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：通过对生活中计数实例的分析，抽象概括出分类加法计数原理和分步乘法计数原理的定义及本质，理解“完成一件事” “分类” “分步”的内涵，提升从具体到抽象的思维能力。 1. 逻辑推理素养：能通过实例分析分类与分步的区别和联系，推导出两个计数原理的推广形式，能运用原理分析和解决简单的计数问题，培养逻辑推理和论证能力。 1. 数学运算素养：熟练运用两个计数原理进行简单的计数运算，准确计算完成一件事的不同方法数，培养严谨的运算习惯和准确的运算能力。 1. 数学建模素养：能将实际生活中的计数问题转化为两个计数原理的数学模型，运用原理解决实际问题，体会数学在实际生活中的应用价值，提升数学建模意识和实践能力。 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：分类加法计数原理、分步乘法计数原理的定义、内涵及其简单应用；能根据具体问题特征判断分类或分步。 1. 难点：理解“完成一件事”的含义，准确区分分类与分步；分类时做到“不重不漏”，分步时做到“步骤完整”。 6、 教学过程 环节一：检查预习 展示预习问题，让学生独立回答，教师巡视指导： (1) 从甲地到乙地，有2条公路和3条铁路，那么从甲地到乙地共有______种不同的走法。（答案：5） (2) 从甲地到乙地需先乘火车到丙地，再乘汽车到乙地，其中火车有3趟，汽车有2趟，那么从甲地到乙地共有______种不同的走法。（答案：6） (3) 若完成一件事有两类方案，第1类有m种方法，第2类有n种方法，则完成这件事共有______种方法；若完成一件事需两步，第1步有m种方法，第2步有n种方法，则完成这件事共有______种方法。（答案：；） 对回答正确的学生给予肯定，对回答错误的学生引导其分析错误原因，初步让学生感知分类与分步的不同计数思路。 环节二：引入课题 （一）温故知新，情境导入（3分钟） 提问学生：在日常生活中，我们经常会遇到“数个数”的问题，比如数班级的人数、数从家到学校的路线数、数选书的方法数，大家都是用什么方法来计数的？ 学生自由回答后，教师点评：当数量较少时，我们可以逐个计数，但当数量较多时，逐个计数既麻烦又容易出错，今天我们就来学习两种高效的计数方法——分类加法计数原理和分步乘法计数原理。 展示生活中的计数实例（汽车号牌编号、高考志愿选专业），引出本节课的主题，激发学生的学习兴趣。 环节三：合作探究 1. 分类加法计数原理（5分钟） 提出探究问题：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 组织学生分组讨论，引导学生分析： 要完成的事情是给一个座位编号； 编号有两类方案：第一类用大写英文字母，有26种不同方法；第二类用阿拉伯数字（0-9），有10种不同方法； 两类方案中的方法互不相同，任选一种方法都能独立完成编号这件事。 学生计算得出结果：种，教师引导学生抽象出分类加法计数原理： 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。 强调核心要点：类类独立，不重不漏，即任何一类中的任何一种方法都能独立完成这件事，分类时要做到没有重复、没有遗漏。 探究推广：完成一件事有类不同方案，第1类有种方法，第2类有种方法，，第类有种方法，则完成这件事共有种不同的方法。 2. 分步乘法计数原理（5分钟） 提出探究问题：用A、B、C、D、E、F这6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以“A1、A2、…、B1、B2…”的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？ 引导学生对比上一个问题，分析本次计数的特征： 要完成的事情还是给一个座位编号； 编号需要分两个步骤完成：第1步确定英文字母，有6种不同方法；第2步确定阿拉伯数字，有9种不同方法； 两个步骤相互依存，只有依次完成两步，才能完成编号这件事，且第1步的每一种方法都对应第2步的9种方法。 学生计算得出结果：种，教师引导学生抽象出分步乘法计数原理： 完成一件事需要两个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。 强调核心要点：步步相依，步骤完整，即每一步的方法都不能独立完成这件事，必须依次完成所有步骤，且每一步的方法数不受上一步的影响。 探究推广：完成一件事需要个步骤，做第1步有种方法，做第2步有种方法，，做第步有种方法，则完成这件事共有种不同的方法。 3. 两个计数原理的对比（5分钟） 组织学生分组讨论：分类加法计数原理和分步乘法计数原理有什么相同点和不同点？ 学生发言后，教师总结并板书，明确两个原理的核心区别： 计数原理 相同点 不同点 核心要求 分类加法计数原理 均用于计算“完成一件事”的不同方法数 分类完成，类类相加；任何一类方法能独立完成事情 分类不重不漏 分步乘法计数原理 均用于计算“完成一件事”的不同方法数 分步完成，步步相乘；每步方法不能独立完成事情，需步骤完整 分步步骤完整 引导学生思考：判断一个计数问题用哪个原理，关键看什么？（答案：关键看完成这件事的方式是“分类”还是“分步”）。 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟） 让学生独立完成，教师巡视指导，及时纠正错误，重点关注学生对“分类” “分步”的判断。 (1) 填写高考志愿时，一名同学了解到A大学有5个感兴趣的专业，B大学有4个感兴趣的专业，且两所大学的专业无重复，若该同学只能选一个专业，共有多少种不同的选择？ 解：完成“选一个专业”这件事分两类方案，根据分类加法计数原理，共有种不同选择。 (2) 某班有男生30名，女生24名，从中选出男、女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？ 解：完成“选男、女生各1名”这件事分两步，第1步选男生有30种方法，第2步选女生有24种方法，根据分步乘法计数原理，共有种不同选法。 (3) 从1，2，3三个数字中任选一个作为十位数字，从4，5两个数字中任选一个作为个位数字，能组成多少个不同的两位数？ 解：完成“组成两位数”这件事分两步，第1步选十位数字有3种方法，第2步选个位数字有2种方法，根据分步乘法计数原理，共有种不同两位数。 2. 综合练习（7分钟） 教师引导学生分析题目，展示解题思路和过程，强调解题要点，突破重难点。 例1 书架上第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书。 (1) 从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？ 分析：完成“取1本书”分三类方案，分别从第1、2、3层取，分类加法计数原理。 解：种，即共有9种不同的取法。 (2) 从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同的取法？ 分析：完成“各取1本书”分三步，依次从第1、2、3层取，分步乘法计数原理。 解：种，即共有24种不同的取法。 (3) 从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？ 分析：完成“取两本不同学科的书”先分类，再分步；分类为“计算机+文艺” “计算机+体育” “文艺+体育”三类，每类内部分步取书。 解： 计算机+文艺：种； 计算机+体育：种； 文艺+体育：种； 根据分类加法计数原理，共有种不同的取法。 例2 现有高一年级学生3名，高二年级学生5名，高三年级学生4名。 (1) 从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾活动，有多少种不同的选法？ 解：分类加法计数原理，种。 (2) 从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾活动，有多少种不同的选法？ 解：分步乘法计数原理，种。 变式 一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法，4人只会用第2种方法，从中选出1人完成这项工作，共有多少种不同的选法？若从这9人中选1人用第1种方法，1人用第2种方法合作完成这项工作，共有多少种不同的选法？ 解：①分类加法计数原理，种；②分步乘法计数原理，种。 小试牛刀： 第1题 某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有( C ) A. 3种 B. 6种 C. 7种 D. 9种 第2题 如图，一只蚂蚁沿着长方体的棱从顶点A爬到顶点，则其中经过3条棱的路线共有（ ）条。 第3题 现有甲、乙、丙、丁四名大学生利用暑假到学校的实践基地进行实习，每人从A，B，C三个基地中任选一个，若甲不去A基地，则不同的选法有（ ）种。 第4题 甲、乙两个篮球运动员在球衣号分别为6，8，9，18的四件球衣中各随机选一件，则甲选的是偶数号球衣的不同选法有（ ）种。 环节五：课堂小结 请学生自主回顾本节课所学内容，同桌之间相互交流，回答以下问题： 本节课学习了哪两个计数原理？它们的定义分别是什么？ 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的核心区别是什么？ 解决计数问题的关键步骤是什么？ 教师对学生的回答进行补充和完善，梳理知识体系： 两个原理：分类加法（）、分步乘法（）； 核心区别：分类独立完成，分步相依完成； 解题关键：先判断“完成一件事”的方式是分类还是分步，分类做到不重不漏，分步做到步骤完整。 强调：两个计数原理是解决所有计数问题的基础，后续学习的排列、组合都将基于这两个原理展开，要注重对原理本质的理解，而非单纯套公式。 环节六：布置作业 1. 书面作业：完成课本P5的练习题1、3、4，巩固两个计数原理的基本应用；完成课时达标检测1，提升计数问题的解题能力。 2. 拓展作业：寻找生活中运用分类加法或分步乘法计数原理的实际问题，记录下来并尝试用原理解决，如商场的搭配问题、出行的路线问题、彩票的号码组合问题等。 3. 预习引导：预习下一课内容，思考两个计数原理在更复杂计数问题中的综合运用，尝试分析需要同时分类和分步的计数问题的解题思路。 授课人个案修改记录： 教学反思 本节课以生活实例为载体，通过探究、讨论、练习等方式引导学生理解两个计数原理的内涵，注重培养学生的数学抽象和逻辑推理素养。教学中需关注学生对“完成一件事” “分类” “分步”核心概念的理解，通过对比辨析帮助学生区分两个原理，避免混淆。在练习环节，发现部分学生仍存在分类“重漏”、分步“缺失”的问题，后续教学中需增加针对性的变式练习，引导学生先分析问题本质，再选择计数方法。同时，要注重联系生活实际，让学生体会计数原理的应用价值，激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。 学科网（北京）股份有限公司 $