精品解析：河南省信阳市浉河中学2022年5月九年级中考模拟数学试卷

22-05-08—浉河中学九年级中考全真模拟数学试卷 一、选择题（共30分） 1. 的倒数是（ ） A B. C. D. 2. 为庆祝首个“中国农民丰收节”，十渡镇西河村举办“西河稻作文化节”活动．西河水稻种植历史悠久，因“色白粒粗，味极香美，七煮不烂”而享誉京城．已知每粒稻谷重约0.000035千克，将0.000035用科学记数法表示应为（　　） A. 35×10﹣6 B. 3.5×10﹣6 C. 3.5×10﹣5 D. 0.35×10﹣4 3. 如图是一根空心方管，它的主视图是（　　） A B. C. D. 4. 下表是某公司员工月收入的资料． 月收入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3400 3300 1000 人数 1 1 1 3 6 1 11 1 能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（　　） A. 平均数和众数 B. 平均数和中位数 C. 中位数和众数 D. 平均数和方差 5. 下列运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若一次函数的图象不经过第二象限，则关于的方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 7. 如图，和相交于点O，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，，，，分别以和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，直线与延长线交于点，连接，则的内切圆半径是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 9. 若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 10. 如图所示，菱形ABCD中，直线l⊥边AB，并从点A出发向右平移，设直线l在菱形ABCD内部截得的线段EF的长为y，平移距离x＝AF，y与x之间的函数关系的图象如图2所示，则菱形ABCD的面积为（　　） A. 3 B. C. 2 D. 3 二、填空题（共15分） 11. 若分式的值为零，则_____． 12. 如图，C，D在圆上，是直径，若，则___________． 13. 将分别标有“学”“习”“强”“国”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“强国”的概率是________． 14. 如图，在边长为4的正方形中，以为直径的半圆交对角线于点E，以C为圆心、长为半径画弧交于点F，则图中阴影部分的面积是_________． 15. 如图，直角三角形纸片中，，，，点D为的中点，点E为一动点（不与端点重合），且，沿直线折叠该纸片，点C的对应点为，再沿直线折叠该纸片，点C的对应点为，设点，D之间的距离为d，则d的取值范围为________． 三、解答题（共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量翡翠湖某处东西岸边，两点之间的距离．如图所示，小星站在湖边的处遥控无人机，无人机在处距离地面的飞行高度是，此时从无人机测得岸边处的俯角为，他抬头仰视无人机时，仰角为，若小星的身高，（点，，，在同一平面内）． （1）求仰角的正弦值； （2）求，两点之间的距离（结果精确到）．（，，，，，） 18. 2020年云南昆明被评为“全国文明城市”，云南省以省会昆明领衔，已拥有9个文明城市．在共创文明城市期间．某校为了了解家长对昆明市创建全国文明城市相关知识的知晓情况，通过发放问卷进行测评，从中随机抽取20份答卷，并统计成绩（成绩得分用x表示，单位：分），收集数据如下： 88 81 96 86 97 95 90 100 87 80 85 86 82 90 90 100 100 94 93 100 整理数据： 3 5 a 7 分析数据： 平均分 中位数 众数 91 b c 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表格中a，b，c的值； （2）该校有1600名家长参加了此次问卷测评活动，请估计成绩不低于90分的人数是多少？ 19. 如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A、B，点B的坐标为(3，3)，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F，一次函数y＝mx+n的图象经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E． （1）若AC＝OD，求反比例函数和一次函数的解析式； （2）在（1）的条件下，连接BE，求ABE的面积； （3）若BCAE，请直接写出BC的长． 20. 某种在同一平面进行传动机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，并且带动连杆绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以为半径的上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，并测得． （1）如图3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，与是相切的．”你认为他的判断对吗？并说明理由； （2）求滑块Q在平直滑到l上可以左右滑动的最大距离． 21. 茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了、两种不同的茶具.若购进种茶具1套和种茶具2套，需要250元；若购进种茶具3套和种茶具4套则需要600元. （1）、两种茶具每套进价分别为多少元？ （2）由于茶具畅销，老板决定再次购进、两种茶具共80套，茶具工厂对两种类型的茶具进行了价格调整，种茶具的进价比第一次购进时提高了，种茶具的进价按第一次购进时进价的八折；如果茶具店老板此次用于购进、两种茶具的总费用不超过6240元，则最多可购进种茶具多少套？ （3）若销售一套种茶具，可获利30元，销售一套种茶具可获利20元，在（2）的条件下，如何进货可使再次购进的茶具获得最大的利润？最大的利润是多少？ 22. 已知抛物线经过，两点，对称轴是直线． （1）求抛物线的解析式； （2）若，为抛物线上两点．Q为抛物线上点C和点D之间的动点（含点C，D），点Q纵坐标的取值范围为，求的值． 23. 问题呈现： 下图是小致复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考，请帮助小致完成以下学习任务． （1）如图，平分，点P在上，M、N分别是、上的点，，求证：． 小致的思考：要证明，只需证明即可． 请根据小致的思路，结合图①，解出完整的证明过程． 结论应用： （2）如图②，在四边形中，，平分线和的平分线交于边上点P，求证：． （3）在（2）的条件下，如图③，若，，当有一个内角是时，的面积是________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 22-05-08—浉河中学九年级中考全真模拟数学试卷 一、选择题（共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可． 【详解】的倒数是， 故选：C． 2. 为庆祝首个“中国农民丰收节”，十渡镇西河村举办“西河稻作文化节”活动．西河水稻种植历史悠久，因“色白粒粗，味极香美，七煮不烂”而享誉京城．已知每粒稻谷重约0.000035千克，将0.000035用科学记数法表示应为（　　） A. 35×10﹣6 B. 3.5×10﹣6 C. 3.5×10﹣5 D. 0.35×10﹣4 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】0.000035=3.5×10﹣5． 故选C． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 如图是一根空心方管，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看是：大正方形里有一个小正方形， ∴主视图为： 故选：A． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，注意看不到的线画虚线． 4. 下表是某公司员工月收入的资料． 月收入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3400 3300 1000 人数 1 1 1 3 6 1 11 1 能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（　　） A. 平均数和众数 B. 平均数和中位数 C. 中位数和众数 D. 平均数和方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数，中位数．结合表格数据差异较大分析即可得解． 【详解】解：∵这组数据中有差异较大的数据，求平均数会导致平均数较大， ∴利用中位数与众数可以更好地反映这组数据的集中趋势． 故选：C． 5. 下列运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，正确，不符合题意； D、，原计算错误，符合题意． 6. 若一次函数的图象不经过第二象限，则关于的方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用一次函数性质得出k＞0，b≤0，再判断出△=k2-4b＞0，即可求解. 【详解】解：一次函数的图象不经过第二象限， ，， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一次函数的图像和一元二次方程根的判别式是解题的关键. 7. 如图，和相交于点O，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对顶角定义和外角的性质逐个判断即可． 【详解】解：A．∵与是对顶角， ∴， 故本选项不符合题意； B．∵是的外角， ∴， 故本选项不符合题意； C．∵是的外角， ∴， 故本选项不符合题意； D．∵是的外角， ∴， 故本选项符合题意． 【点睛】三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 8. 如图，在四边形中，，，，，分别以和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，直线与延长线交于点，连接，则的内切圆半径是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别以和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，连接P，Q则PQ为BC的垂直平分线，可得EB=EC，又∠B=60°，所以△EBC为等边三角形，作等边三角形EBC的内切圆，设圆心为M，则M在直线PQ上，连接BM，过M作BC垂线垂足为H，在Rt△BMH中，BH=BC=AD=，∠MBH=∠B=30°，通过解直角三角形可得出MH的值即为△BCE的内切圆半径的长． 【详解】解：有题意得PQ为BC的垂直平分线， ∴EB=EC， ∵∠B=60°， ∴△EBC为等边三角形， 作等边三角形EBC的内切圆，设圆心为M， ∴M在直线PQ上， 连接BM，过M作MH垂直BC于H，垂足为H， ∵ ∴BH=BC=AD= ， ∵∠MBH=∠B=30°， ∴在Rt△BMH中,MH=BH×tan30°=×=4． ∴的内切圆半径是4． 故选：A． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线定理，等边三角形的判定，等边三角形内切圆半径的求法，解直角三角形，解题关键在于理解题意，运用正确的方法求三角形内切圆半径． 9. 若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由反比例函数，可知图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，由此分三种情况①若点A、点B在同在第二或第四象限；②若点A在第二象限且点B在第四象限；③若点A在第四象限且点B在第二象限讨论即可． 【详解】解：∵反比例函数， ∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ①若点A、点B同在第二或第四象限， ∵， ∴a-1＞a+1， 此不等式无解； ②若点A在第二象限且点B在第四象限， ∵， ∴， 解得：； ③由y1＞y2，可知点A在第四象限且点B在第二象限这种情况不可能． 综上，的取值范围是． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键，注意要分情况讨论，不要遗漏． 10. 如图所示，菱形ABCD中，直线l⊥边AB，并从点A出发向右平移，设直线l在菱形ABCD内部截得的线段EF的长为y，平移距离x＝AF，y与x之间的函数关系的图象如图2所示，则菱形ABCD的面积为（　　） A. 3 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】将图1和图2结合起来分析，分别得出直线l过点D，B和C时对应的x值和y值，从而得出菱形的边长和高，从而得其面积． 【详解】解：由图2可知，当直线l过点D时，x＝AF＝a，菱形ABCD的高等于线段EF的长，此时y＝EF＝ ； 直线l向右平移直到点F过点B时，y＝； 当直线l过点C时，x＝a+2，y＝0 ∴菱形的边长为a+2﹣a＝2 ∴当点E与点D重合时，由勾股定理得a2+＝4 ∴a＝1 ∴菱形的高为 ∴菱形的面积为2． 故选C． 【点睛】本题是动点函数图象问题，将图形的运动与函数图象结合起来分析，是解决此类问题的关键， 二、填空题（共15分） 11. 若分式的值为零，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式值为零的条件：分子等于零且分母不等于零． 根据分式值为零的条件可得且，即可求解． 【详解】解：由题意得：且， 解得：． 故答案为：． 12. 如图，C，D在圆上，是直径，若，则___________． 【答案】##26度 【解析】 【分析】做辅助线，根据同弧所对的圆周角相等，以及直径所对的圆周角为，然后直接求解即可． 【详解】连接， ∵是直径， ∴， ∵ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查圆周角的概念，解题关键是直径所对的圆周角为． 13. 将分别标有“学”“习”“强”“国”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“强国”的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图列举出所有可能的情况和两次摸出的球上的汉字组成“强国”的情况，然后利用概率公式求解． 【详解】解：设“学”用A表示，“习”用B表示，“强”用C表示，“国”用D表示， 画树状图如下： ∴共有12种等可能的情况，其中两次摸出的球上的汉字组成“强国”的情况有2种， ∴两次摸出球上的汉字组成“强国”的概率是． 14. 如图，在边长为4的正方形中，以为直径的半圆交对角线于点E，以C为圆心、长为半径画弧交于点F，则图中阴影部分的面积是_________． 【答案】3-6 【解析】 【分析】连接BE，可得是等腰直角三角形，弓形BE的面积=，再根据阴影部分的面积=弓形BE的面积+扇形CBF的面积-的面积，即可求解． 【详解】连接BE， ∵在正方形中，以为直径的半圆交对角线于点E， ∴∠AEB=90°，即：AC⊥BE， ∵∠CAB=45°， ∴是等腰直角三角形，即：AE=BE， ∴弓形BE的面积=， ∴阴影部分的面积=弓形BE的面积+扇形CBF的面积-的面积 =+-=3-6． 故答案是：3-6． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，扇形的面积公式，添加辅助线，把不规则图形进行合理的分割，是解题的关键． 15. 如图，直角三角形纸片中，，，，点D为的中点，点E为一动点（不与端点重合），且，沿直线折叠该纸片，点C的对应点为，再沿直线折叠该纸片，点C的对应点为，设点，D之间的距离为d，则d的取值范围为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由勾股定理可得，设与交于点，作点关于直线的对称点，连接交于，由，点为的中点，可得，连接，，则与关于直线对称，由对称性可得点在以点为圆心，5为半径的上运动，即可得出答案． 【详解】解：，，， ， 如图，设与交于点，作点关于直线的对称点，连接交于， 点与点关于对称， ，， ， ， ， ， 点为的中点， ，即， ， ， ， 连接，，则与关于直线对称， 、关于直线对称，且点，，共线，点，，共线，且，点在以点为圆心，5为半径的上运动， 当点在上时，点、之间的距离最小，最小值为， 又， 的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、圆外一点到圆上点的距离最值等知识，熟练掌握折叠的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 三、解答题（共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）先计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可； （2）先计算单项式乘以多项式和利用完全平方公式进行计算，再合并同类项即可． 【详解】解：（1） （2） 17. 随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量翡翠湖某处东西岸边，两点之间的距离．如图所示，小星站在湖边的处遥控无人机，无人机在处距离地面的飞行高度是，此时从无人机测得岸边处的俯角为，他抬头仰视无人机时，仰角为，若小星的身高，（点，，，在同一平面内）． （1）求仰角的正弦值； （2）求，两点之间的距离（结果精确到）．（，，，，，） 【答案】（1）仰角的正弦值为 （2），两点之间的距离约为 【解析】 【分析】（1）如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，利用四边形BDFE为矩形得到EF=BD，DF=BE=1.6m，则AF=160m，然后根据正切的定义求解； （2）先利用勾股定理计算出EF=120m，再在Rt△ACD中利用正切的定义计算出CD，然后计算BD+CD即可． 【小问1详解】 如图，过点作于，过点作于， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， 即． 答：仰角的正弦值为； 【小问2详解】 在中，， 在中，，， ∵， ∴， ∴． 答：，两点之间的距离约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 18. 2020年云南昆明被评为“全国文明城市”，云南省以省会昆明领衔，已拥有9个文明城市．在共创文明城市期间．某校为了了解家长对昆明市创建全国文明城市相关知识的知晓情况，通过发放问卷进行测评，从中随机抽取20份答卷，并统计成绩（成绩得分用x表示，单位：分），收集数据如下： 88 81 96 86 97 95 90 100 87 80 85 86 82 90 90 100 100 94 93 100 整理数据： 3 5 a 7 分析数据： 平均分 中位数 众数 91 b c 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表格中a，b，c的值； （2）该校有1600名家长参加了此次问卷测评活动，请估计成绩不低于90分的人数是多少？ 【答案】（1），， （2）960人 【解析】 【分析】（1）将数据从小到大重新排列，再根据中位数和众数概念求解可得； （2）用总人数乘以样本中成绩不低于90分的人数占被调查人数的比例即可得． 【小问1详解】 解：， 将这组数据重新排列为：80 81 82 85 86 86 87 88 90 90 90 93 94 95 96 97 100 100 100 100， 第10位、11位都是90，故中位数， 100出现了4次，出现的次数最多，故众数； 【小问2详解】 解：估计成绩不低于90分的人数是（人）． 19. 如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A、B，点B的坐标为(3，3)，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F，一次函数y＝mx+n的图象经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E． （1）若AC＝OD，求反比例函数和一次函数的解析式； （2）在（1）的条件下，连接BE，求ABE的面积； （3）若BCAE，请直接写出BC的长． 【答案】（1）y＝， （2）6 （3） 【解析】 【分析】（1）求出A点坐标，代入反比例函数及一次函数解析式求得； （2）S△ABE＝S△ABD+S△BDE求得； （3）设A点坐标，求出kAE和kBC，由kAE＝kBC可得． 【小问1详解】 ∵B（3，3）， ∴＝3， ∴k＝9， ∴y＝， ∵OD＝3， ∴AC＝OD＝4， ∴＝4， ∴x＝， ∴A（，4）， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 S△ABE＝S△ABD+S△BDE ＝ ＝ ＝ ＝6； 【小问3详解】 设A（a，）， 直线AD：y＝mx+3过A点， ∴am+3＝， ∴m＝， 设直线BC的解析式是：y＝cx+d， ∴， ∴c＝， ∵BC∥AE， ∴＝， ∴a＝， 经检验．a＝是原方程的解， ∴C（，0）， ∴BC2＝（3﹣）2+（）2， ∴BC＝． 【点睛】本题考查了反比例函数及一次函数图象与性质，一次函数与一次函数图象的关系，解决问题的关键是熟练掌握反比例函数及一次函数的基础知识． 20. 某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，并且带动连杆绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以为半径的上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，并测得． （1）如图3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，与是相切的．”你认为他的判断对吗？并说明理由； （2）求滑块Q在平直滑到l上可以左右滑动的最大距离． 【答案】（1）小明的判断正确，理由见解析 （2）滑块Q在平直滑到l上可以左右滑动的最大距离 【解析】 分析】（1）利用勾股定理逆定理，得到，即可得证； （2）由题意知，当点三点共线时，点离点的距离最远，利用勾股定理求出当点在点右边时，点离点的最大距离，再乘以，即可得解． 【小问1详解】 小明的判断正确，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∵为的半径， ∴与是相切， ∵H点与Q点重合， ∴与是相切的； 【小问2详解】 由题意知，当点三点共线时，点离H点的距离最远， 如图，当点Q在H点右边时， ∴， 故当点Q在H点右边时，点Q离H点的最大距离为， 同理，当点Q在H点左边时，点Q离H点的最大距离为， ∴滑块Q在平直滑到l上可以左右滑动的最大距离． 【点睛】本题考查勾股定理定理及其逆定理，以及切线的判定，熟练掌握切线的判定方法，以及确定点三点共线时，点离点的距离最远，是解题的关键． 21. 茶为国饮，茶文化是中国传统文化重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了、两种不同的茶具.若购进种茶具1套和种茶具2套，需要250元；若购进种茶具3套和种茶具4套则需要600元. （1）、两种茶具每套进价分别为多少元？ （2）由于茶具畅销，老板决定再次购进、两种茶具共80套，茶具工厂对两种类型的茶具进行了价格调整，种茶具的进价比第一次购进时提高了，种茶具的进价按第一次购进时进价的八折；如果茶具店老板此次用于购进、两种茶具的总费用不超过6240元，则最多可购进种茶具多少套？ （3）若销售一套种茶具，可获利30元，销售一套种茶具可获利20元，在（2）的条件下，如何进货可使再次购进的茶具获得最大的利润？最大的利润是多少？ 【答案】（1）种茶具每套进价为100元，种茶具每套进价为75元；（2）最多可购进种茶具30套；（3）再次购进种茶具30套，种茶具50套可使利润最大，最大利润为1900元 【解析】 【分析】（1）设种茶具每套进价为元，种茶具每套进价为元，根据题目中的等量关系列出方程进而求解即可. （2）设再次购进种茶具套，则购进种茶具套，此次用于购进、两种茶具的总费用不超过6240元，列出不等式，即可求解. （3）设总利润为元，则.根据一次函数的性质即可求解. 【详解】（1）设种茶具每套进价为元，种茶具每套进价为元， 解之得：. ∴种茶具每套进价为100元，种茶具每套进价为75元. （2）设再次购进种茶具套，则购进种茶具套， ， ， ， ， ∴最多可购进种茶具30套. （3）设总利润为元，则 . ∵，随的增大而增大，又∵， ∴当时最大（元）， ∴当购进种茶具30套时，种茶具的数量：（套）， ∴再次购进种茶具30套，种茶具50套可使利润最大，最大利润为1900元. 【点睛】考查二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，比较基础，难度不大. 22. 已知抛物线经过，两点，对称轴是直线． （1）求抛物线的解析式； （2）若，为抛物线上两点．Q为抛物线上点C和点D之间的动点（含点C，D），点Q纵坐标的取值范围为，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据对称轴公式可得，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求可得函数的增减性，求出和时x的值，则可得的取值范围，再根据题意可得，据此可确定m、n的值，进而可得答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∵抛物线经过，两点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线的解析式为，且， ∴抛物线开口向下， ∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， 在中，当时，，解得或， 当时，，解得或， ∵，且对称轴为直线， ∴或， ∵Q为抛物线上点C和点D之间的动点（含点C，D）， ∴， ∴或， ∴或． 23. 问题呈现： 下图是小致复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考，请帮助小致完成以下学习任务． （1）如图，平分，点P在上，M、N分别是、上的点，，求证：． 小致的思考：要证明，只需证明即可． 请根据小致的思路，结合图①，解出完整的证明过程． 结论应用： （2）如图②，在四边形中，，的平分线和的平分线交于边上点P，求证：． （3）在（2）的条件下，如图③，若，，当有一个内角是时，的面积是________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）8或 【解析】 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）在上截取，连接，由“”可证，可得； （3）延长交于点，由“”可证，可得，分三种情况讨论，由角平分线性质和锐角三角函数可求解． 【小问1详解】 解：∵平分， ， 又， ， ； 【小问2详解】 证明：如图2，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ， ， ， 平分， ， 又， ， ， ； 【小问3详解】 解：由（2）可知， ， ， ， ， 的平分线交于边上点P， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图3，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 若时，则， ∴(不合题意舍去)； 若时，则， 如图4，过点作于于， ∴， ∵， ∴， ∴； 若时，如图5，过点作于，    ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的面积是8或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $