第12章　定义　命题　证明 课件 2025-2026学年 苏科版数学七年级下册

第12章　定义 命题 证明 12.2　命题  　命题 1.(2025江苏无锡惠山期末)下列语句是命题的是 ( ) A.若a2=4,求a的值 B.两直线相交有几个交点 C.画一个角等于已知角 D.若a=b,则a2=b2     D     解析　可以判断真假的陈述句叫作命题,选项A,C是祈使句, 选项B是疑问句,均不符合题意,故选D. 2.下列语句中,哪些是命题?哪些不是命题?是命题的,请先将 它改写为“如果……,那么……”的形式,再指出命题的条件 和结论. (1)同号两数的和一定不是负数. (2)若x=2,则10-5x=0. (3)延长线段AB至点C,使B是AC的中点. (4)互为倒数的两个数的积为1. 解析    (1)是命题.改写为“如果两个数同号,那么这两个数的 和一定不是负数”.条件是两个数同号,结论是这两个数的和 一定不是负数. (2)是命题.改写为“如果x=2,那么10-5x=0”.条件是x=2,结论 是10-5x=0. (3)不是命题. (4)是命题.改写为“如果两个数互为倒数,那么这两个数的积 为1”.条件是两个数互为倒数,结论是这两个数的积为1.  　真命题和假命题 3.(2025江苏苏州期末)下列命题中,属于真命题的是 ( ) A.同位角相等 B.若x2=y2,则x=y C.同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行 D.任意三条线段组成的图形都是三角形     C     解析    A.两直线平行,同位角相等,故A不符合题意;B.若x2=y2, 则x=±y,故B不符合题意;C.命题是真命题,故C符合题意;D.三 角形是封闭图形,任意三条线段组成的图形不一定是三角形, 故D不符合题意.故选C. 4.(2025江苏南京秦淮外国语学校期末)下列命题:①如果AC= BC,那么点C是线段AB的中点;②不相等的两个角一定不是对 顶角;③直角三角形的两个锐角互余;④内错角相等;⑤两点之 间,直线最短.其中是真命题的有_______.(填写序号) 　②③     解析　①当点C在线段AB上,且AC=BC时,点C是线段AB的中 点,故①是假命题,不符合题意;②是真命题,符合题意;③是真 命题,符合题意;④两直线平行,内错角相等,故④是假命题,不 符合题意;⑤两点之间,线段最短,故⑤是假命题,不符合题意. 故答案为②③. 5.【学科特色·教材变式P151习题T2】下列命题的条件是什 么?结论是什么?并判断命题的真假. (1)如果∠A=∠B,∠B=∠C,那么∠A=∠C. (2)同角的余角相等. 解析    (1)条件是∠A=∠B,∠B=∠C,结论是∠A=∠C,是真命题. (2)条件是两个角是同角的余角,结论是这两个角相等,是真命 题.  　原命题、逆命题 6.(2025江苏徐州沛县期末)已知命题“如果a=b,那么-a=-b”, 则该命题的逆命题是 ( ) A.如果a=b,那么-a=-b B.如果-a=-b,那么a=b C.如果a=b,那么-a≠-b D.如果-a≠-b,那么a=b     B     解析　命题“如果a=b,那么-a=-b”的逆命题是如果-a=-b,那 么a=b,故选B. 7.下列说法正确的是 ( ) A.命题一定有逆命题 B.真命题的逆命题一定是假命题 C.真命题的逆命题一定是真命题 D.假命题的逆命题一定是假命题     A     解析　命题一定有逆命题,故A选项说法正确.真命题的逆命 题不一定是假命题,也不一定是真命题,故B,C选项说法错误. 假命题的逆命题不一定是假命题,故D选项说法错误.故选A. 8.(2025江苏常州期末)命题“如果a=0或b=0,那么(a+b)2=a2+b2” 的逆命题是_____________________________. 　如果(a+b)2=a2+b2,那么a=0或b=0     解析　交换命题的条件和结论之后即可写出原命题的逆命题. 9.(2025江苏泰州泰兴期末)命题“对顶角相等”的逆命题是 _____________________________________________________ _______. 顶角)     　如果两个角相等,那么这两个角是对顶角(或相等的角是对 解析　命题“对顶角相等”可以写成“如果两个角是对顶 角,那么这两个角相等”,所以逆命题是如果两个角相等,那么 这两个角是对顶角.(或相等的角是对顶角) 10.下列句子是命题吗?若是,把它改写成“如果……,那么……”的形式,并写出它的逆命题,同时判断原命题和逆命题的真假. (1)一个角的补角比这个角的余角大多少度? (2)垂线段最短,对吗? (3)等角的补角相等. (4)两条直线相交只有一个交点. (5)同旁内角互补. (6)邻补角的平分线互相垂直. 解析　对一件事情作出判断的句子是命题,因为(1)(2)是疑问 句,所以(1)(2)中的句子不是命题,(3)(4)(5)(6)中的句子是命题. (3)改写:如果两个角相等,那么它们的补角相等,该命题是真命 题.逆命题:如果两个角的补角相等,那么这两个角相等,该命题 是真命题. (4)改写:如果两条直线相交,那么它们只有一个交点,该命题是 真命题.逆命题:如果两条直线只有一个交点,那么这两条直线 相交,该命题是真命题. (5)改写:如果两个角是同旁内角,那么它们互补,该命题是假命 题.逆命题:如果两个角互补,那么这两个角是同旁内角,该命题 是假命题. (6)改写:如果两条射线是一组邻补角的平分线,那么它们互相 垂直,该命题是真命题.逆命题:如果两条射线垂直,那么这两条 射线是邻补角的平分线,该命题是假命题.   11.(2025江苏扬州期末,★☆☆)下列各命题的逆命题成立的 是 ( ) A.对顶角相等 B.两直线平行,内错角相等 C.如果a=b,那么a2=b2 D.如果a>0,b>0,那么ab>0     B     解析    A.逆命题为相等的角是对顶角,不成立,不符合题意; B.逆命题为内错角相等,两直线平行,成立,符合题意;C.逆命题 为如果a2=b2,那么a=b,因为如果a2=b2,那么a和b相等或互为相 反数,所以逆命题不成立,不符合题意;D.逆命题为如果ab>0, 那么a>0,b>0,因为如果ab>0,那么a和b同为正数或同为负数, 所以逆命题不成立,不符合题意.故选B. 12.(2024江苏盐城射阳月考,★☆☆)写出下列命题的逆命题, 并判断此逆命题的真假. (1)如果a>0,b<0,那么ab<0. (2)两直线平行,同旁内角互补. 解析    (1)逆命题:如果ab<0,那么a>0,b<0,是假命题. (2)逆命题:同旁内角互补,两直线平行,是真命题. 13.(2025上海宝山月考改编,★☆☆)判断下列语句是不是命 题,如果是,改写为“如果……,那么……”的形式,写出它的条 件和结论和逆命题,并判断原命题和逆命题是真命题还是假 命题;如果不是,请说明理由. (1)美丽的中国. (2)延长线段AB到点C,使BC=AB. (3)整数是有理数. 解析    (1)(2)不是命题,理由:它们没有作出判断. (3)是命题. 改写为“如果一个数是整数,那么这个数是有理数”. 条件为“一个数是整数”,结论为“这个数是有理数”. 这个命题是真命题.其逆命题为有理数是整数,为假命题.   14.【新课标·推理能力】【阅读材料】如果一个命题的条件 和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题互 为逆命题;如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 条件的否定和结论的否定,那么这两个命题互为否命题;如果 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条 件的否定,那么这两个命题互为逆否命题.例如:命题“若a>0 且b>0,则ab>0”的逆命题为“若ab>0,则a>0且b>0”,否命题 为“若a≤0或b≤0,则ab≤0”,逆否命题为“若ab≤0,则a≤0 或b≤0”. 根据以上材料解决下面的问题: 【尝试运用】写出命题“若a,b都是奇数,则a+b是偶数”的 逆命题、否命题及逆否命题,并判断它们的真假. 解析　逆命题:若a+b是偶数,则a,b都是奇数.该命题为假命题. 否命题:若a,b不都是奇数,则a+b不是偶数.该命题为假命题. 逆否命题:若a+b不是偶数,则a,b不都是奇数.该命题为真命题. $专项突破8　角度计算的有关模型  　翻折模型中的角度计算 1.【学科特色·多解法】(2025江苏南京鼓楼月考)如图,∠A=55°, ∠B=60°,将三角形纸片ABC的一角折叠,使点C落在△ABC 外的C'处.若∠2=90°,则∠1的度数为 ( )     C     A.20°　　　    B.30° C.40°　　　    D.无法确定 解析　【解法一】三角形内角和定理的推论: 在△ABC中,∠A=55°,∠B=60°, ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=65°, 如图,连接CC',   由折叠可得∠DC'E=∠DCE=65°, ∵∠1=∠3+∠4,∠2=∠5+∠6, ∴∠1+∠2=2∠DC'E=130°, ∵∠2=90°,∴∠1=130°-90°=40°.故选C. 【解法二】三角形内角和定理: 在△ABC中,∠A=55°,∠B=60°,∴∠C=180°-∠A-∠B=65°, 由折叠可得∠CDE=∠C'DE,∠CED=∠C'ED, 在△CDE中,∠CDE+∠CED=180°-∠C, ∵∠1=180°-2∠CDE,∠2=180°-2∠CED, ∴∠1+∠2=180°+180°-2(∠CDE+∠CED)=360°-2(180°- ∠C), ∵∠C=65°,∠2=90°, ∴∠1=360°-2×(180°-65°)-90°=40°.故选C. 方法解读　在与三角形有关的角度计算时,三角形内角和定 理及其推论往往都能使用,有意识地使用三角形的外角等于 与它不相邻的两个内角的和,往往能使求解更简便. 2.如图,将四边形纸片ABCD沿MN折叠,点A,D分别落在点A1,D1 处.若∠1+∠2=140°,则∠B+∠C= ( )   A.120°　　　    B.110°　　　    C.135°　　　    D.150°     B     解析　∵∠1+∠2=140°, ∴∠AMA1+∠DND1=180°+180°-140°=220°. 由折叠可得∠AMN=∠A1MN,∠DNM=∠D1NM, ∴∠AMN+∠DNM= (∠AMA1+∠DND1)=110°. ∵∠A+∠D+∠AMN+∠DNM=360°, ∠A+∠D+∠B+∠C=360°, ∴∠B+∠C=∠AMN+∠DNM=110°.故选B. 3.(2025江苏扬州江都期末改编)如图,在△ABC中,∠A=75°,将 ∠B,∠C按如图所示的方式折叠,若∠ADB'=30°,求∠1+∠2+ ∠3的度数. 解析　如图,连接CC',BB',   由折叠可得∠4=∠5,∠FCG=∠FC'G, 在△ABC中,∠FCG+∠4=180°-∠A=105°①, ∠1+∠2=∠FCC'+∠FC'C+∠GCC'+∠GC'C=∠FCG+∠FC'G =2∠FCG②, ∠3=∠4+∠6+∠5+∠7=2∠4+(∠6+∠7)③, ∠ADB'=∠6+∠7=30°④, ②+③得∠1+∠2+∠3=2∠FCG+2∠4+(∠6+∠7), 将①、④代入,得∠1+∠2+∠3=2×105°+30°=240°.  　角平分线模型中的角度计算 4.(2025山东德州月考)【探究发现】 (1)如图1,在△ABC中,点P是内角∠ABC和外角∠ACD的平分 线的交点,试猜想∠P与∠A之间的数量关系,并证明你的猜想. 【迁移拓展】 (2)如图2,在△ABC中,点P是内角∠ABC和外角∠ACD的n等 分线的交点,即∠PBC= ∠ABC,∠PCD= ∠ACD,试猜想∠P 与∠A之间的数量关系,并证明你的猜想. 【应用创新】 (3)如图3,AD,BE相交于点C,∠ABC,∠CDE,∠ACE的平分线交 于点P,∠A=35°,∠E=25°,则∠BPD=_______.             解析    (1)∠P= ∠A. 证明:∵点Р是∠ABC和∠ACD的平分线的交点, ∴∠PBC= ∠ABC,∠PCD= ∠ACD, ∵∠ACD=∠A+∠ABC,∠PCD=∠P+∠PBC, ∴∠P=∠PCD-∠PBC= ∠ACD- ∠ABC= ∠A, 即∠P= ∠A. (2)∠P= ∠A. 证明:∵∠PBC= ∠ABC,∠PCD= ∠ACD,∠ACD=∠A+ ∠ABC,∠PCD=∠P+∠PBC, ∴∠P=∠PCD-∠PBC= ∠ACD- ∠ABC= ∠A,即∠P= ∠A. (3)同(1)同理得∠BPC= ∠A,∠DPC= ∠E, ∴∠BPD=∠BPC+∠DPC= (∠A+∠E), ∵∠A=35°,∠E=25°, ∴∠BPD= (∠A+∠E)=30°.故答案为30°. $第12章　定义 命题 证明 12.4　定理 第１课时　三角形内角和定理及其推论  　定理、推论 1.下列说法错误的是 ( ) A.命题不一定是定理,但定理一定是命题 B.定理不可能是假命题 C.真命题是定理 D.数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理     C     解析　一般情况下,数学中把一些基本的、重要的真命题叫 作定理,故C中说法错误,故选C.  　三角形内角和定理 2.(2025山东威海中考)如图,直线CF∥DE,∠ACB=90°,∠A= 30°.若∠1=18°,则∠2等于 ( )   A.42°　　　    B.38°　　　    C.36°　　　    D.30°     A     解析　∵∠1=18°,∴∠ACF=90°+∠1=108°. ∵CF∥DE,∴∠ADE=∠ACF=108°. ∵∠ADE+∠2+∠A=180°,∠A=30°, ∴∠2=180°-30°-108°=42°.故选A. 3.(2025江苏南通海门期中)如图,CE⊥AF,垂足为E,CE与BF相 交于点D,∠F=40°,∠C=30°,则∠DBC=___________°.       100     解析　∵CE⊥AF,∴∠FED=90°. ∵∠F=40°,∴∠FDE=180°-∠F-∠FED=50°, ∴∠BDC=∠FDE=50°. ∵∠C=30°,∴∠DBC=180°-∠C-∠BDC=100°.  　三角形内角和定理的推论 4.(2025四川南充中考)如图,把含有60°角的直角三角尺的斜 边放在直线l上,则∠α的度数是 ( )   A.120°　　　    B.130°　　　    C.140°　　　    D.150°     D     解析　由题意得α=90°+60°=150°.故选D. 5.(2025山东烟台中考)下图是一款儿童小推车的示意图,若AB ∥CD,∠1=30°,∠2=70°,则∠3的度数为 ( )   A.40°　　　    B.35°　　　    C.30°　　　    D.20°     A     解析　∵AB∥CD,∴∠A=∠1=30°, ∵∠2=∠3+∠A,∠2=70°,∴∠3=70°-30°=40°.故选A. 6.(2025江苏南京期末)如图,D是△ABC的边BC上一点,∠B= ∠BAD,∠ADC=70°,∠BAC=80°,则∠C=__________°.       65     解析　∵∠B+∠BAD=∠ADC=70°,∠B=∠BAD, ∴∠B= ∠ADC=35°. ∵∠BAC=80°,∴∠C=180°-∠B-∠BAC=65°.   7.(2024天津中考,★★☆)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=40°, 以点A为圆心,适当长为半径画弧,交AB于点E,交AC于点F,再 分别以点E,F为圆心,大于 EF的长为半径画弧,两弧(所在圆 的半径相等)在∠BAC的内部相交于点P,画射线AP,与BC相交 于点D,则∠ADC的大小为 ( )     B     A.60°　　　    B.65°　　　     C.70°　　　    D.75° 解析　∵∠C=90°,∠B=40°, ∴∠BAC=90°-∠B=90°-40°=50°, 由作图知,AP平分∠BAC, ∴∠BAD= ∠BAC= ×50°=25°, ∵∠ADC=∠B+∠BAD, ∴∠ADC=40°+25°=65°.故选B. 8.(2025江苏南京建邺二模,★★☆)如图,在△ABC中,AD是高, AE是角平分线,若∠B=α,∠C=β,则∠DAE= ( )   A. 　　　    B. -β C. 　    D.      A     解析　∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∠B=α,∠C=β, ∴∠BAC=180°-α-β. ∵AE平分∠BAC, ∴∠CAE= ∠BAC=90°- α- β. ∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∴∠CAD=90°-β, ∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=90°-β- = .故选A. 9.(2025江苏盐城三校联考,★★☆)已知:如图,在△ABC中,AD 是角平分线,E为边AB上一点,连接DE,∠EAD=∠EDA,过点E 作EF⊥BC,垂足为F. (1)试说明:DE∥AC. (2)若∠DEF=40°,∠B=36°,求∠BAC的度数. 解析    (1)∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD. ∵∠EAD=∠EDA,∴∠EDA=∠CAD,∴DE∥AC. (2)∵EF⊥BD, ∴∠EFD=90°, ∴∠EDF=180°-∠DEF-∠EFD=50°, ∴∠BED=180°-∠B-∠BDE=94°, ∵DE∥AC,∴∠BAC=∠BED=94°. 10.【学科特色·方程思想】(2025江苏苏州期末,★★★)如图, 在△ABD中,∠BAD=∠BDA,点E,C在BD的延长线上,连接AC, AE,且∠EAC=∠ECA. (1)若∠BAE=90°,求∠DAC的度数. (2)若∠BAE=n,请直接用含n的式子表示∠DAC的度数. 解析　设∠BAD=∠BDA=α,∠EAC=∠ECA=β. (1)∠AEB=∠EAC+∠ECA=2β,∠B=180°-2α, ∵∠BAE=90°, ∴∠EAD=∠BAE-∠BAD=90°-α, 在△ABE中,∠B+∠AEB=180°-∠BAE=90°, 即(180°-2α)+2β=90°, ∴2α-2β=90°,∴α-β=45°, 则∠DAC=∠EAD+∠CAE=90°-α+β=45°. (2)∵∠BAE=n,∴∠EAD=n-α, 由(1)得∠B+∠AEB=180°-∠BAE, 即(180°-2α)+2β=180°-n,化简得n=2α-2β, 即α-β= n, ∵∠EAC=β, ∴∠DAC=n-α+β=n-(α-β)=n- n= n. 方法解读　对于三角形中求角度问题,如果出现相等的角,且 角度等量关系相对复杂,设相等的角为未知数,通过三角形内 角和定理或推论建立方程,能实现数形结合,从而将抽象图形 数据化,更简便地解决问题.   11.【新课标·推理能力】(2025江苏无锡省锡中期末)数学中, 我们把有一个内角大于180°的四边形称为镖形. (1)【学科特色·多解法】如图1,在镖形ABCD中,试探索内角 ∠A,∠B,∠D与钝角∠BCD之间的数量关系,并说明理由. 【拓展延伸】 (2)如图2,若∠EOD=α,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_______. (用含α的代数式表示) (3)如图3,已知直角△ABC的直角顶点A落在直线l上,过点B,C 分别作l的垂线段,垂足为E,F,若∠ABE,∠ACF的平分线交于 点D,则∠D=_______. (4)如图4,在(3)的条件下,BD1,CD1分别为∠ABD,∠ACD的平分 线,它们的交点为D1;BD2,CD2分别为∠ABD1,∠ACD1的平分线, 它们的交点为D2;……,以此类推,则∠D2 025=_______°. 解析    (1)∠BCD=∠A+∠B+∠D.理由如下: 【解法一】如图,延长BC交AD于点M,   ∵∠BCD=∠CMD+∠D,∠CMD=∠A+∠B, ∴∠BCD=∠A+∠B+∠D. 【解法二】如图,连接AC并延长, ∵∠1=∠B+∠3,∠2=∠D+∠4, ∴∠BCD=∠1+∠2=∠BAD+∠B+∠D. (2)α. 详解:由(1)得∠BFC=∠A+∠B+∠C, ∠EOD=∠D+∠E+∠EFD=α, ∵∠BFC=∠EFD, ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=α. (3)45°.详解:由(1)得∠BAC=∠D+∠DBA+∠DCA=90°, ∵BE⊥l,CF⊥l,∴∠BEA=∠CFA=90°, ∴∠ABE+∠BAE=90°,∠ACF+∠CAF=90°, ∵∠BAC=90°,∴∠BAE+∠CAF=90°, ∴∠ABE+∠ACF=90°, ∵BD平分∠ABE,CD平分∠ACF, ∴∠DBA= ∠ABE,∠DCA= ∠ACF, ∴∠DBA+∠DCA= ∠ABE+ ∠ACF= (∠ABE+∠ACF)=45°, ∴∠D+45°=90°,∴∠D=45°. (4) . 详解:由(1)得∠BAC=∠D1+∠D1BA+∠D1CA=90°, 由(3)同理得∠D1BA+∠D1CA= , ∴∠D1=90°- =90°- ; 由(1)得∠BAC=∠D2+∠D2BA+∠D2CA=90°, 由(3)同理得∠D2BA+∠D2CA= , ∴∠D2=90°- =90°- ; ∴∠D3=90°- ; …… ∴∠D2 025=90°- =  $第12章　定义 命题 证明 12.1　定义  　定义 1.【学科特色·教材变式P146讨论】下面四个选项中,∠1与∠2是对顶角的是 ( )  　　　     　　　     　　　         C     解析　根据对顶角的定义知,选项C中∠1与∠2是对顶角.故 选C. 2.(2025江苏无锡锡山月考)下列语句中,是定义的是 ( ) A.点A到点B的距离是3 cm B.两直线平行,同位角相等 C.直角都相等 D.两边相等的三角形是等腰三角形     D     解析　对一个概念作出明确规定的语句叫作这个概念的定 义,选项D中的语句具备定义的特征,选项A,B,C中的语句不具 备定义的特征.故选D. 3.下面给一些概念下的定义合适的是 ( ) A.四个角相等的四边形叫作正方形 B.含有两个未知数的方程叫作二元一次方程 C.求不等式解集的过程叫作解不等式 D.相等的角叫作对顶角     C     解析    A.四个角相等的四边形有可能是长方形,所以该定义 不合适;B.含有两个未知数,含未知数项的次数都是1的方程叫 作二元一次方程,所以该定义不合适;D.两条直线相交所成的 四个角中,有公共顶点没有公共边的两个角是对顶角,所以该 定义不合适;C.该定义合适,为解不等式的定义.故选C. 4.(2025广东深圳福田期中)若定义 表示(2xyz)3, 表 示-4adcb,则运算 × 的结果是_____________. 　-256m6n5     解析　由题意,得(2×2mn)3×(-4m3n2) =64m3n3×(-4m3n2) =-256m6n5. 5.写出不等式、一元一次不等式的定义,画出表示它们之间关 系的示意图. 解析　不等式:用不等号表示数量之间关系的式子叫作不等式. 一元一次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的 不等式叫作一元一次不等式. 它们之间的关系如图.   6.【新考向·代数推理】(2024河北中考,★★★)“铺地锦”是 我国古代一种乘法运算方法,可将多位数乘法运算转化为一 位数乘法和简单的加法运算.淇淇受其启发,设计了如图1所示 的“表格算法”,图1表示132×23,运算结果为3 036.图2表示 一个三位数与一个两位数相乘,表格中部分数据被墨迹覆盖, 根据图2中现有数据进行推断,正确的是 ( )    A.“20”左边的数是16 B.“20”右边的“ ”表示5 C.运算结果小于6 000 D.运算结果可以表示为4 100a+1 025 答案　D 解析　设这个三位数与两位数分别为100x+10y+z和10m+n,由 题图2可得x,y,z,m,n均为大于或等于1且小于10的正整数,填入 “表格算法”,如图1,   由题意,得mz=20=4×5,nz=5=1×5,ny=2=1×2,nx=a,观察上述等 式可得z=5,m=4,n=1,y=2, 填入“表格算法”,并计算,如图2,   所以“20”左边的数是my=4×2=8,故A不正确; “20”右边的“ ”表示4,故B不正确; 运算结果可以表示为1 000(4a+1)+a×100+2×10+5×1=4 100a +1 025,故D正确; 当a>1时,运算结果大于6 000,故C不正确.故选D.   7.【新课标·运算能力】【学科特色·分类讨论思想】(2025江苏 扬州中学树人教育集团期末)定义:任意两个数a,b,按(a+1)(b+1) 运算得到一个新数c,称所得的新数c为a,b的“和积数”. (1)若a=4,b=-2,求a,b的“和积数”c. (2)若ab= ,a2+b2=8,求a,b的“和积数”c. 解析    (1)根据“和积数”的定义,得当a=4,b=-2时,c=(4+1)× (-2+1)=-5. (2)根据题意,得c=(a+1)(b+1)=ab+a+b+1. ∵ab= ,a2+b2=8, ∴(a+b)2=a2+b2+2ab=8+1=9,∴a+b=3或a+b=-3. 当a+b=3时,c= +3+1= ;当a+b=-3时,c= -3+1=- . 综上所述,c的值为 或- . $第12章　定义 命题 证明 12.4　定理 第2课时　多边形内角和定理和多边形外角和定理    　多边形内角和定理 1.(2025北京中考)若一个六边形的每个内角都是x°,则x的值为  ( ) A.60　　　    B.90　　　    C.120　　　    D.150     C     解析　∵一个六边形的每个内角都是x°,∴每个内角的度数 为(6-2)×180°÷6=120°.故选C. 2.(2025四川眉山中考)如图,直线l与正五边形ABCDE的边AB, DE分别交于点M,N,则∠1+∠2的度数为 ( ) A.216°　　　    B.180°　　　     C.144°　　　    D.120°     C     解析　∵∠A=∠E= ×180°×(5-2)=108°,∴∠AMN+∠ENM= 360°-∠A-∠E=144°.∵∠1=∠AMN,∠2=∠ENM,∴∠1+∠2=∠AMN+∠ENM=144°.故选C. 3.如图,在五边形ABCDE中,∠C,∠D,∠E的和为360°,试判断 AE与BC的位置关系,并说明理由.   解析    AE∥BC.理由:因为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°×(5- 2)=540°,∠C,∠D,∠E的和为360°,所以∠A+∠B=540°-360°=180°,所以AE∥BC. 4.阅读小明和小红的对话,解决下列问题.        (1)这个“多加的锐角”是______度. (2)小明求的是几边形的内角和? (3)若这个多边形是正多边形,则这个正多边形的一个内角是 多少度? 解析    (1)∵n边形内角和为(n-2)×180°,是180°的整数倍, 1 830°=180°×10+30°, ∴这个“多加的锐角”是30°.故答案为30. (2)设这个多边形的边数为n, 根据题意,得(n-2)×180°=1 800°,解得n=12. 答:小明求的是十二边形的内角和. (3)正十二边形的一个内角为 =150°. 答:这个正多边形的一个内角是150°. 方法归纳　有关多边形的内角和及边数的计算题,一般设多 边形的边数为n,然后根据多边形的内角和公式列方程求解.  　多边形外角和定理 5.(2025江苏南通海安月考)参加创客兴趣小组的同学给机器 人设定了如图所示的程序,机器人从点O出发,沿直线前进1米 后左转18°,再沿直线前进1米,又向左转18°,……,照这样走下 去,机器人第一次回到出发地O点时,一共走的路程是  ( ) C     A.10米　　　    B.18米　　　    C.20米　　　    D.36米 解析　根据题意得回到出发地时机器人走的路线所形成的轨 迹是一个正多边形,且每一个外角是18°,360°÷18°=20,所以该正多边形为正二十边形,一共走的路程是20×1=20米.故选C. 6.(2025江苏扬州中考)若多边形的每个内角都是140°,则这个 多边形的边数为_________.     9     解析　∵多边形的每个内角都是140°, ∴多边形的每个外角都是180°-140°=40°, ∴这个多边形的边数为360°÷40°=9.故答案为9. 7.(2025江苏宿迁宿城期末)已知一个多边形的内角和是它的 外角和的3倍,这个多边形的边数是_________.     8     解析　设这个多边形的边数为n, 由题意得(n-2)·180°=360°×3, 解得n=8.故这个多边形的边数是8. 8.(2025江苏南京秦淮期末改编)如图,直线AC,BC与正九边形 的两条边重合,则∠ACB=___________°.       100     解析　由题意得∠CAB=∠CBA=360°÷9=40°, ∴∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=180°-40°-40°=100°. 故答案为100.   9.(2025四川凉山州中考,★★☆)已知一个多边形的内角和是 它外角和的4倍,则从这个多边形的一个顶点处可以引出  ( ) A.6条对角线　　　    B.7条对角线 C.8条对角线　　　    D.9条对角线     B     解析　设这个多边形的边数为n, 由题意得180°·(n-2)=360°×4, 解得n=10,∴这个多边形是十边形, ∴从这个多边形一个顶点处可以引10-3=7条对角线.故选B. 10.(2025江苏南京期末,★★☆)如图,在四边形ABCD中,BE,CE 分别平分∠ABC,∠BCD,∠A+∠D=270°,则∠BEC的度数为  ( ) A.120°　　　    B.135°　　　    C.150°　　　    D.145°     B     解析　∵∠A+∠D=270°, ∴∠ABC+∠BCD=360°-270°=90°. ∵BE,CE分别平分∠ABC,∠BCD, ∴∠EBC= ∠ABC,∠ECB= ∠BCD, ∴∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB=180°-(∠EBC+∠ECB)= 180°- (∠ABC+∠BCD)=180°-45°=135°.故选B. 11.(2025江苏淮安经开区期末,★★☆)小李家装饰地面,已有 正三角形形状的地砖,现打算购买另一种不同形状的正多边 形地砖,与正三角形地砖在同一顶点处进行平面镶嵌,则小李 不应购买的地砖形状是 ( ) A.正方形 B.正六边形 C.正八边形 D.正十二边形     C     解析　正三角形一个内角度数为180°÷3=60°,A.正方形的每 个内角为90°,90°×2+60°×3=360°,所以能密铺;B.正六边形的每个内角为120°,120°+60°×4=360°,所以能密铺;C.正八边形的每个内角为135°,135°与60°无法组成360°的角,所以不能密铺;D.正十二边形的每个内角是150°,150°×2+60°= 360°,所以能密铺.故选C. 12.(2025吉林长春中考,★★☆)图1是一个正十二面体,它的每 个面都是正五边形,图2是其表面展开图,则∠α为________度.  　          36     解析　∵正五边形的每个外角为360°÷5=72°, ∴正五边形的每个内角为180°-72°=108°, ∴∠α=360°-3×108°=360°-324°=36°. 13.(2025江苏南京玄武期末,★★☆)如图,∠A+∠B+∠C+∠D +∠E+∠F+∠G=_________.       540°     解析　连接DG,AC,如图, 在四边形EFGD中,∠E+∠F+∠EDG+∠DGF=360°, ∵∠1+∠2=∠3+∠4,∠5+∠6+∠B=180°, ∴∠GAB+∠B+∠BCD+∠EDC+∠E+∠F+∠AGF=(∠E+∠F +∠EDG+∠DGF)+(∠5+∠6+∠B)=360°+180°=540°. 故答案为540°.   14.【新课标·推理能力】(2025江苏扬州期末)【问题探究】 (1)如图1,在△ABC中,∠A=60°,BP,CP分别平分∠ABC和 ∠ACB,则∠BPC的度数是______. (2)如图2,∠DBC与∠ECB是△ABC的两个外角,且∠DBC+ ∠ECB=210°,则∠A=______. 【拓展与应用】 (3)如图3,∠F为四边形ABCD的内角∠ABC的平分线与外角 ∠DCE的平分线构成的锐角,若设∠A=α,∠D=β,求∠F的度数. (用含α,β的式子表示) (4)如图4,BI平分∠ABC,CI平分∠ACB,D,E分别在AB,AC上,把 △ADE沿DE折叠,使点A与点I重合,若∠1+∠2=130°,则∠BIC =_______. 解析    (1)∵BP,CP分别平分∠ABC和∠ACB, ∴∠PBC= ∠ABC,∠PCB= ∠ACB, ∴∠PBC+∠PCB= (∠ABC+∠ACB)= (180°-∠A), ∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=90°+ ∠A, ∵∠A=60°,∴∠BPC=120°. 故答案为120°. (2)∵∠DBC与∠ECB是△ABC的两个外角,且∠DBC+∠ECB= 210°, ∴∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=210°, ∵∠ACB+∠A+∠ABC=180°, ∴∠A=210°-180°=30°.故答案为30°. (3)如图,延长BA,CD交于点Q, ∵∠BAD=α,∠ADC=β, ∴同(2)可得∠Q=α+β-180°, ∵∠F为∠ABC的平分线与∠DCE的平分线构成的锐角, ∴∠FBE= ∠QBC,∠FCE= ∠QCE. ∴∠F=∠FCE-∠FBE= (∠QCE-∠QBC), ∴∠F= ∠Q= (α+β-180°)= α+ β-90°. (4)∵∠1+∠2=130°, ∴∠ADI+∠AEI=180°+180°-(∠1+∠2)=230°, ∴∠A=∠DIE= ×(360°-230°)=65°, ∵BI平分∠ABC,CI平分∠ACB, ∴同(1)可得∠BIC=90°+ ∠A=90°+32.5°=122.5°. 故答案为122.5°. $第12章　定义 命题 证明 12.4　定理 第3课时　反证法  　反证法 1.(2025江苏无锡锡山期中)用反证法证明,若|a|<5,则a2<25时, 应假设 ( ) A.|a|≥5　　　     B.|a|>5 C.a2≥25　　　    D.a2>25     C     解析　反证法的步骤中,第一步是假设结论不成立, ∴应假设a2≥25.故选C. 2.(2025江苏镇江期末)用反证法证明命题“三角形中至少有 一个内角小于或等于60°”时,应假设____________________ __________. 都大于60°     　三角形中每一个内角 解析　假设结论不成立,即假设三角形中每一个内角都大于 60°.  　平行线的性质定理 3.(2024四川巴中中考)如图,直线m∥n,一块含有30°角的直角 三角尺按如图所示的方式放置.若∠1=40°,则∠2的大小为  ( )       A     A.70°　　　    B.60° C.50°　　　    D.40° 解析　如图,过A作直线p∥直线n,   ∴∠3=∠1=40°.∵m∥n,p∥n,∴m∥p, ∴∠2=∠BAC=30°+∠3=30°+40°=70°. 故选A.  　反例 4.(2025江苏常州期末)若要说明命题“如果|a|=|b|,那么a=b” 是假命题,则可以举反例为 ( ) A.a=0,b=0　　　    B.a=1,b=-1 C.a=2,b=2　　　    D.a=2,b=-1     B     解析　反例应为满足|a|=|b|,但不满足a=b的一对a,b的值.选项 B中a=1,b=-1符合,故选B. 5.下列选项中能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个 反例是 ( )             A     解析　选项A中两个角都是30°,这两个角相等,且这两个角不 是对顶角,可以说明“相等的角是对顶角”是假命题,故选A. 6.(2025江苏南京联合体期末)为说明“对于任何数a,a2>a”是 假命题,举一个反例,a的值可以是________________.      (答案不唯一)     解析　当a= 时,a2= = , < ,即a2<a,可以说明“对于任何 数a,a2>a”是假命题, 故答案为 (答案不唯一).   7.(2025江苏无锡梁溪一模,★☆☆)用反证法证明“在直角三 角形中,至少有一个锐角不小于45°”时,应假设这个直角三角 形中 ( ) A.有一个锐角小于45°　　　    B.两个锐角都小于45° C.两个锐角都大于45°　　　    D.有一个锐角大于45°     B     解析　“至少有一个锐角不小于45°”的反面是两个锐角都 小于45°.故选B. 8.(2025江苏无锡新吴期末,★★☆)请用反证法证明:已知:|a|> a,求证:a<0. 证明　假设a≥0,当a≥0时,|a|=a, 这与已知|a|>a相矛盾, ∴假设不成立,∴a<0. 9.(★★☆)如图1,已知AC∥BD,点P是直线AC,BD间的一点,连 接AB,AP,BP,过点P作直线MN∥AC. (1)MN与BD的位置关系是什么?请说明理由. (2)试说明:∠APB=∠PBD+∠PAC. (3)如图2,AC∥BD,当点P在直线AC上方时,(2)中的三个角的 数量关系是否成立?如果成立,试说明理由;如果不成立,试探 索它们存在的关系,并说明理由. 解析    (1)MN∥BD.理由如下: ∵AC∥BD,MN∥AC, ∴MN∥BD. (2)∵AC∥MN,MN∥BD, ∴∠PBD=∠1,∠PAC=∠2, ∴∠APB=∠1+∠2=∠PBD+∠PAC. (3)不成立.它们的关系是∠APB=∠PBD-∠PAC. 理由:如图,过点P作PQ∥AC.   ∵AC∥BD,∴PQ∥AC∥BD, ∴∠PAC=∠APQ,∠PBD=∠BPQ, ∴∠APB=∠BPQ-∠APQ=∠PBD-∠PAC. $第12章　定义 命题 证明 12.3　证明  　推理说明的必要性 1.下列选项中用到推理的是 ( ) A.根据a=10 cm,b=10 cm,得a=b B.观察得到了五边形有五个内角 C.老师告诉了我们关于古长城的许多故事 D.由公理知道过两个点有且只有一条直线     A     解析　推理是一种思维形式,通过已知的判断推导出新的结 论.A选项,由a=10 cm,b=10 cm,得到a=b,故A符合题意;B,C选 项只是叙述事实,不是推理,故B,C不符合题意;D选项没有推 理过程,故D不符合题意.故选A. 2.【学科特色·教材变式P152讨论】先观察,再验证: (1)图1中的实线是直的还是弯曲的? (2)图2中两条线段a与b哪一条更长? (3)图3中的直线AB与直线CD平行吗?             解析　观察可能得出的结论:(1)题图1中的实线是弯曲的. (2)题图2中a更长一些.(3)AB与CD不平行.(答案不唯一) 测量比较验证得(1)题图1中的实线是直的.(2)a与b一样长. (3)AB与CD平行.  　证明 3.(2025江苏连云港海州期末)请根据条件进行推理,完成下面 的证明,并在括号内注明理由. 已知:如图,D是∠ABC的平分线上一点,DE∥BC交AB于点E. 求证:∠1=2∠2. 证明:∵DE∥BC, ∴∠1=_______(____________), ∠2=_______(____________), ∵BD平分∠ABC, ∴∠ABC=_______( ), ∴∠1=2∠2. 解析　∵DE∥BC, ∴∠1=∠ABC(两直线平行,内错角相等), ∠2=∠DBC(两直线平行,同位角相等), ∵BD平分∠ABC, ∴∠ABC=2∠DBC(角平分线的定义), ∴∠1=2∠2. 故答案为∠ABC;两直线平行,内错角相等;∠DBC;两直线平 行,同位角相等;2∠DBC;角平分线的定义. 4.(2025江苏南京秦淮期末)证明:三个连续自然数中,前两个数 乘积与后两个数乘积的和一定为偶数. 证明　设这三个连续自然数分别为n-1,n,n+1(n≥1), 则(n-1)·n+n·(n+1)=n2-n+n2+n=2n2, ∴三个连续自然数中,前两个数乘积与后两个数乘积的和一 定为偶数. 5.(2025江苏宿迁宿城期末)阅读并完成下面的证明: 如图,AB∥CD,点F在线段CD上,线段AF的延长线与线段BC的 延长线相交于点E,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AD∥BE.   证明:∵AB∥CD(已知), ∴∠4=_______(___________), ∵∠3=∠4(已知), ∴∠3=_______(___________), ∵∠1=∠2(已知), ∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF,即∠BAE=_______, ∴∠3=_______(等量代换), ∴AD∥BE(___________). 解析　∵AB∥CD(已知), ∴∠4=∠BAE(两直线平行,同位角相等), ∵∠3=∠4(已知),∴∠3=∠BAE(等量代换), ∵∠1=∠2(已知),∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF, 即∠BAE=∠CAD,∴∠3=∠CAD(等量代换), ∴AD∥BE(内错角相等,两直线平行). 故答案为∠BAE;两直线平行,同位角相等;∠BAE;等量代换; ∠CAD;∠CAD;内错角相等,两直线平行.   6.(2025江苏常州新北期末,★★☆)在探究“过直线外一点P 作已知直线a的平行线”的活动中,王玲同学通过如图所示的 折纸方式找到了符合要求的直线,在这个过程中她可能用到 的推理依据组合是 ( ) ①平角的定义;②邻补角的定义;③折叠的性质;④同旁内角互 补,两直线平行;⑤两直线平行,内错角相等. A.②④　　　     B.③⑤ C.①②⑤　　　    D.①③④ 答案　D 解析　如图,第一次折纸,应用①平角的定义、③折叠的性质, 得∠BAP=∠EAP= ×180°=90°, 第二次折纸,应用①平角的定义、③折叠的性质, 得∠APD=∠FPD= ×180°=90°, ∴∠BAP+∠APD=180°, ∴BE∥CD,即b∥a,应用④同旁内角互补,两直线平行,故选D. 7.(2025江苏南通如皋期末,★★☆)如图,已知AC∥FE,∠1+∠2= 180°. (1)求证:∠FAB=∠BDC. (2)若AC平分∠FAD,EF⊥BE于点E,∠FAD=80°,求∠BCD的 度数. 解析    (1)证明:∵AC∥EF,∴∠1+∠FAC=180°. 又∵∠1+∠2=180°,∴∠FAC=∠2,∴FA∥CD, ∴∠FAB=∠BDC. (2)∵AC平分∠FAD, ∴∠FAC=∠CAD= ∠FAD.由(1)知∠FAC=∠2, ∵∠FAD=80°,∴∠2= ×80°=40°. ∵EF⊥BE,AC∥EF,∴AC⊥BE, ∴∠ACB=90°,∴∠BCD=90°-∠2=50°.   8.【新课标·推理能力】【新考向·代数推理】(2025江苏宿迁 宿城期末) 【发现】 比任意一个奇数大5的数与此奇数的平方差能被5整除. 【验证】 (1)82-32=_________=_______×5. (2)设奇数为2n+1,试说明:比2n+1大5的数与2n+1的平方差能 被5整除. 【延伸】 (3)请利用整数k说明“比任意一个整数大5的数与此整数的 平方差被10除的余数为5”. 解析    (1)82-32=(8+3)×(8-3)=11×5, 故答案为(8+3)×(8-3);11. (2)(2n+1+5)2-(2n+1)2 =(2n+6+2n+1)(2n+6-2n-1) =5(4n+7), ∵n为整数, ∴5(4n+7)是5的倍数, 即比2n+1大5的数与2n+1的平方差能被5整除. (3)任意的整数为k,则比k大5的数为k+5, (k+5)2-k2=(k+5+k)(k+5-k) =10k+25 =10k+20+5 =10(k+2)+5, ∵k为整数,∴10(k+2)+5被10除的余数为5, 即比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10除的余数 为5. $第12章　自主检测 时间：40分钟 满分：100分 一、选择题(每题5分,共40分) 1.(2025江苏无锡梁溪期末)用反证法证明“一个三角形中最 多有一个钝角”时,应先假设在三角形中     ( ) A.有一个钝角　　　    B.有两个钝角 C.有三个钝角　　　    D.有不止一个钝角     D     解析　先假设结论不成立,即假设在三角形中有不止一个钝 角,故选D. 2.下列语句中,属于定义的是 ( ) A.直线AB和CD垂直吗 B.过线段AB的中点C作AB的垂线 C.规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴 D.同旁内角互补,两直线平行     C     解析    A选项是疑问句,不是定义;B选项是祈使句,不是定义; C选项对数轴概念作出明确规定,是定义;D选项不是定义.故 选C. 3.下列语句中不是命题的是 ( ) A.锐角小于钝角 B.作AC的垂直平分线 C.对顶角不相等 D.三角形的内角和等于180°     B     解析　作AC的垂直平分线不是陈述句,不是命题.故选B. 4.(2025江苏扬州江都期末)下列命题中是真命题的是 ( ) A.相等的角是对顶角 B.垂线段最短 C.若a,b满足|a|=|b|,则a=b D.同旁内角互补     B 解析    A.相等的角不一定是对顶角,原命题是假命题,不符合 题意;B.垂线段最短,原命题是真命题,符合题意;C.若a,b满足|a| =|b|,则a=±b,原命题是假命题,不符合题意;D.两直线平行,同旁 内角互补,原命题是假命题,不符合题意.故选B. 5.给出下列命题:①能被3整除的数也能被6整除;②等式两边 同时除以同一个数,结果仍是等式;③x=2是一元一次方程x-2= 0的根;④两点之间,线段最短.其中可以作为定理的有 ( ) A.1个　　　    B.2个　　　    C.3个　　　    D.4个     A 解析　能被3整除的数不一定能被6整除,故①是假命题,不能 作为定理;等式两边同时除以同一个不为0的数,结果仍是等 式,故②是假命题,不能作为定理;x=2是一元一次方程x-2=0的 根,是真命题,但不是基本的、重要的,不能作为定理;两点之 间,线段最短,是基本的、重要的真命题,可以作为定理,故可以 作为定理的有④,共1个.故选A. 6.(2025四川凉山州中考)如图,DF∥AB,∠BAC=120°,∠ACE= 100°,则∠CED= ( )   A.30°　　　    B.40°　　　    C.60°　　　    D.80°     B     解析　如图,延长AC交直线DF于点G, ∵DF∥AB,∠BAC=120°, ∴∠AGE=180°-120°=60°, ∵∠ACE=∠AGE+∠CED=100°, ∴∠CED=100°-60°=40°.故选B. 7.(2025江苏南通启东月考)一天,李明和爸爸一起到建筑工地, 看见了一个如图所示的人字架,爸爸说:“李明,我考考你!这 个人字架中的∠3=110°,你能求出∠1比∠2大多少吗?”请你 帮李明计算一下,正确的答案是 ( )       C     A.50°　　　    B.60° C.70°　　　    D.80° 解析　如图,∵∠3=110°,∴∠4=180°-∠3=70°, ∴∠1-∠2=∠4=70°.故选C.   8.【跨物理·光的反射】(2025江苏宿迁泗阳一模)如图1,点B是 正八边形的边AF上一点,一束光线从点B发出,经过两次反射 后到达边AG上的点E处,若∠ABC=65°,则∠AED的度数为(提 示:入射光线、反射光线和反射平面所成的夹角相等,如图2所 示,∠1=∠2) ( )            A     A.70°　　　    B.65° C.55°　　　    D.60° 解析　如图,在五边形AGHCB中,∠ABC+∠A+∠G+∠H+ ∠HCB=(5-2)×180°=540°, 在五边形CIJKD中,∠DCI+∠I+∠J+∠K+∠KDC= (5-2)×180°=540°, ∵正八边形每一个内角均为180°- =135°, ∴∠I=∠J=∠K=∠A=∠G=∠H=∠L=∠F=135°, 由入射光线、反射光线和反射平面所成的夹角相等得∠DCI =∠HCB, ∴∠KDC=∠ABC=65°,∴∠LDE=∠KDC=65°, ∴在五边形DLFAE中,∠AED=(5-2)×180°-3×135°-65°= 70°.故选A. 二、填空题(每题6分,共18分) 9.(2025江苏南京秦淮期末)写出命题“互为倒数的两个数乘 积为1”的逆命题:_____________________________________ ___________________________________. 为倒数(或乘积为1的两个数互为倒数)     　如果两个数的乘积为1,那么这两个数互 10.(2025北京中考)能说明命题“若a2>4b2,则a>2b”是假命题 的一组数a,b的值为a=____ ___,b=________________.     1(答案不唯一)     　-3(答案不唯一)     解析　当a=-3,b=1时,a2=9,4b2=4,a2>4b2,∵2b=2,∴a<2b,故原命 题是假命题.故答案为-3;1(答案不唯一). 11.(2025江苏南通海安月考)如图,△ABC中,∠BAC=60°,∠C= 80°,∠BAC的平分线AD交BC于点D,点E是AC上一点,且 ∠ADE=∠B,则∠CDE=__________°.       30     解析　∵在△ABC中,∠BAC=60°,∠C=80°, ∴∠B=180°-60°-80°=40°. ∵AD平分∠BAC,∴∠BAD= ∠BAC=30°, ∴∠ADC=∠B+∠BAD=70°. ∵∠ADE=∠B=40°,∴∠CDE=30°. 三、解答题(共42分) 12.(8分)一个n边形的每个外角都相等,它的内角与相邻外角 的度数之比为7∶2. (1)求这个n边形一个内角的度数. (2)求这个n边形的内角和. 解析    (1)∵一个n边形的每个外角都相等,它的内角与相邻外 角的度数之比为7∶2, ∴一个内角的度数为180°× =140°, ∴该n边形的一个内角的度数为140°. (2)该n边形一个外角为180°× =40°, 则n=360°÷40°=9, ∴这个n边形的内角和为(9-2)×180°=1 260°. 13.(2025江苏宿迁期末)(10分)如图,点F,D在△ABC的边BC上, 点E,G分别在AB,AC上.请你从三个选项:①∠1+∠2=180°, ②∠DGC=∠BAC,③EF∥AD中任选出两个作为条件,另一个 作为结论,组成一个真命题,并加以证明. 解析　条件:①∠1+∠2=180°,②∠DGC=∠BAC. 结论:③EF∥AD. 证明:∵∠DGC=∠BAC,∴DG∥AB, ∴∠BAD=∠1. ∵∠1+∠2=180°,∴∠2+∠BAD=180°, ∴EF∥AD.(答案不唯一) 14.【新考向·新定义题】(2025江苏无锡锡山期中)(12分)定 义:使a-b=ab-1成立的一对有理数a,b称为“共生有理数对”, 记作(a,b).例如:∵-2-1=-2×1-1,∴(-2,1)是“共生有理数对”. (1)判断 是不是“共生有理数对”,并说明理由. (2)若5是“共生有理数对”中的一个有理数,则这个“共生有 理数对”为_______. (3)若(m,n)是“共生有理数对”,且m=n+2,求(-2)mn的值. 解析    (1) 不是“共生有理数对”. 理由:∵-6- =- ,-6× -1=-5, ∴-6- ≠-6× -1, ∴ 不是“共生有理数对”. (2)设这个“共生有理数对”为(5,a)或(b,5). 当“共生有理数对”为(5,a)时,5-a=5a-1, 解得a=1,∴这个“共生有理数对”为(5,1); 当“共生有理数对”为(b,5)时,b-5=5b-1, 解得b=-1,∴这个“共生有理数对”为(-1,5). 故答案为(5,1)或(-1,5). (3)∵(m,n)是“共生有理数对”, ∴m-n=mn-1.∵m=n+2,∴n+2-n=mn-1, ∴mn=3,∴(-2)mn=(-2)3=-8. 15.【新考向·结论探究题】(2025江苏徐州期末节选)(12分)已 知:AB∥CD,点E,F分别在直线AB,CD上,点O在直线AB,CD之 间,且∠EOF=90°. (1)如图1,若∠AEO=150°,求∠OFD的度数. (2)如图2,EG平分∠AEO,连接FG,若∠EGF=135°,∠GFO与 ∠CFG相等吗?若相等,请证明你的结论;若不相等,请说明理由. 解析    (1)如图,过点O作OH∥AB, ∵AB∥CD,∴AB∥CD∥OH, ∴∠AEO+∠EOH=180°,∠OFD=∠HOF, ∵∠AEO=150°,∴∠EOH=30°,∵∠EOF=90°, ∴∠HOF=60°,∴∠OFD=60°. (2)结论:∠GFO与∠CFG相等. 证明:延长EG交CD于Z,如图,   设∠AEZ=α,∵AB∥CD,∴∠EZF=α, ∵射线EG平分∠AEO,∴∠GEO=α, ∵∠EGF=135°,∴∠CFG=∠EGF-∠EZF=135°-α, 在四边形GEOF中,∠GFO=360°-∠GEO-∠EGF-∠EOF=360° -α-135°-90°=135°-α, ∴∠CFG=∠GFO. $