高二下学期数学28个易混易错全归纳（知识清单，数列、导数、计数原理、概率与统计）高二数学下学期人教A版

高二下数学中的28个易混易错全归纳 内容导览 易混易错01忽略数列与一般函数的区别致错 2 易混易错02 由Sn求an忽略n=1的讨论致错 3 易混易错03 等比数列问题忽略公比q的讨论致错 3 易混易错04 裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错 4 易混易错05 错位相减求和错判项数、公比或符号致错 5 易混易错06 对导数的概念理解不到位致错 6 易混易错07 错用函数的求导法则致错 6 易混易错08混淆“在某点”和“过某点”切线的区别致错 7 易混易错09 利用导数求函数单调区间忽略定义域致错 9 易混易错10淆极值点与导数等于零的点的区别致错 9 易混易错11已知单调性求参数时混淆条件致错 10 易混易错12判断函数零点个数时画图致错 11 易混易错13 混淆两个计数原理致错 12 易混易错14 分步“有序”致错 13 易混易错15 分步不合理导致重复或遗漏致错 13 易混易错16忽视排列数组合数公式的隐含条件致错 14 易混易错17 分组问题混淆“均分”与“非均分”致错 15 易混易错18 计数时混淆有序与定序而掉入陷阱 16 易混易错19 混淆“系数”与“二项式系数”而致错 17 易混易错20 混淆互斥、对立、独立事件的概念致错 18 易混易错21 混淆“有放回”与“不放回”致错 19 易混易错22 古典概型问题列举样本点时重复或遗漏致错 19 易混易错23 对条件概率理解不透彻致错 20 易混易错24 求分布列时忽视了概率之和为1而致错 21 易混易错25 混淆二项分布与超几何分布致错 22 易混易错26 混淆函数关系和相关关系而致错 24 易混易错27 忽视回归直线与回归曲线方程的区别与联系致错 25 易混易错28 求解独立性检验问题对的值理解不准确致错 27 易混易错01忽略数列与一般函数的区别致错 辨析：在处理数列的求值、分析数列的性质时一定要注意数列的定义域是离散的，不是连续的. 【典例】（25-26高三上·安徽部分重点中学期中）已知数列满足，，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知数列满足，若对于任意的都有成立，则正整数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】（25-26高三上·天津南开·期末）设数列的通项公式为，若数列是单调递减数列，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 易混易错02 由Sn求an忽略n=1的讨论致错 辨析：利用Sn与an的关系求an，作差后往往会得到一个项或和的递推关系式，这是一定要检验递推关系是否对所有的正整数都成立，然后再根据递推关系求通项公式. 【典例】（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式 . 【跟踪训练1】（25-26高二上·天津红桥·阶段练习）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 . 【跟踪训练2】（2025高三上·江西南昌·专题练习）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ） A． B． C． D． 易混易错03 等比数列问题忽略公比q的讨论致错 辨析：注意等比数列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比数列求和公式求和时要先判断公比是否可能为1，，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论. 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）已知在等比数列中，，前三项之和，则公比的值是（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【典例2】（24-25高三上·浙江绍兴·期中）已知等比数列，首项为，公比为，前项和为，若数列是等比数列，则（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】（2026·辽宁大连·模拟预测）是正项等比数列，记为数列的前项和，且满足，则数列的公比为___________． 【跟踪训练2】（25-26高二上·重庆·期末）在等比数列中，，，则______． 易混易错04 裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错 辨析：用裂项相消法求和时，裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前面剩余的正数项，则后面剩余的是负数项. 【典例】（25-26高三上·湖南长沙期末） 已知等差数列满足：，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若等差数列的公差不为零，且数列满足：，求数列的前99项和. 【跟踪训练1】（25-26高二下·全国·单元测试）已知在数列中，且，设，，则数列前项和________． 【跟踪训练2】（2026·广东湛江·一模）在数列中，，令，则数列的前15项的和为（   ） A．2 B．3 C． D．4 易混易错05 错位相减求和错判项数、公比或符号致错 辨析：利用错位相减法求和时，首先要判断两边需要乘的公比是多少；二是相减后最后一项要变号；三是利用等比数列求和公式求和时要判断项数，四是要注意对结果化简，另外可以用n=1代入检验结果是否成立. 【典例】（25-26高三上·新疆喀什·月考）记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列. (1)求的通项公式； (2)数列满足，求数列的前n项和. 【跟踪训练1】（25-26高三下·青海西宁·开学考试）已知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，且，数列的前n项和为，则_________． 【跟踪训练2】（25-26高三上·河南新乡·期末）过三棱柱的棱的中点M且与底面ABC平行的平面内的一动点O满足：对任意都成立，且，则数列的前n项和 ． 易混易错06 对导数的概念理解不到位致错 辨析：(1)，要注意定义式中的分母一定是分子两个函数值对应自变量的差，如果不是要通过调整系数实现对应；(2)的代数意义表示函数在处的瞬时变化率；(3)的几何意义表示曲线在处切线的斜率． 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）如果函数在处的导数为1，那么（    ） A． B．1 C．2 D． 【典例2】（25-26高三上·河北·月考）已知函数在处可导，若，则（    ） A．27 B．2 C．3 D．7 【跟踪训练1】（25-26高二上·江苏泰州·月考）设函数在处存在导数为1，则（　　） A． B． C．2 D． 【跟踪训练2】（25-26高三上·江苏盐城·期中）已知函数，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 易混易错07 错用函数的求导法则致错 辨析：（1）复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数,即； （2）求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元. 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）函数的导数为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·江苏·月考）已知函数及其导函数的定义域均为，若，都为偶函数，则（    ） A．440.5 B．441.5 C．442.5 D．443.5 【跟踪训练1】(多选）（25-26高二上·安徽·月考）下列计算正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【跟踪训练2】（25-26高二下·山东滨州·开学考试）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 易混易错08混淆“在某点”和“过某点”切线的区别致错 辨析：利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点： （1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． （2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点． （3）曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别：曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线；曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 【典例1】（24-25高三上·上海·开学考试）经过点可以作与曲线相切的不同直线共有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【典例2】（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则 . 【答案】 【解析】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 【跟踪训练1】（25-26高二上·安徽·期末）已知函数，过点作曲线的切线，则此切线与轴和直线所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D．1 【跟踪训练2】（26-27高二上·重庆·期末）过作函数的切线恰好能作两条，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 易混易错09 利用导数求函数单调区间忽略定义域致错 辨析：（1）求函数的单调区间必须树立定义域优先的思想，即先求函数的定义域，然后再定义域上求函数的单调区间；（2）含参函数单调性讨论的分类标准：①函数类型；②开口方向；③判别式；④导数等于0有根无根；⑤两根大小；⑥极值点是否在定义域内. 【典例】（24-25高二下·福建泉州·月考）函数的单调减区间为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】（2025·四川·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练2】（多选题）（2026·湖北武汉·模拟预测）对于函数，则（   ） A．函数的单调递减区间为 B． C．若方程有6个不等实数根，则 D．对任意正实数，且，若，则 易混易错10淆极值点与导数等于零的点的区别致错 辨析：导数等于零点的点不一定是函数的极值点，对于可导函数而言，其极值点应满足两个条件，一是导数等于零，二是在极值点两边导函数的符号相反. 【典例1】（25-26高三上·吉林长春·阶段练习）若是函数的极小值点，则的极大值为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知函数，若为的极小值点，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．1或3 【跟踪训练1】（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数在处取得极大值，则（   ） A．9或1 B．3 C．2 D．1 【跟踪训练2】（多选）（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数有两个极值点，则（   ） A． B．当时，有三个零点 C．当时，仅有一个零点 D． 易混易错11已知单调性求参数时混淆条件致错 辨析：已知函数的单调性求参数时，要注意以下几点：（1）熟悉基本函数的单调性。 （2）注意下列二者之间的区别：函数在区间I上单调递增（减）；函数的单调递增（减）区间是D. 注意：其中 . （3）首先明确已知函数的单调性；然后根据已知条件列出关于所求参数的不等式，正确解出含参数的不等式，结果要用集合或区间的形式表示出来. 【典例1】（24-25高三上·山东临沂·期中）若函数的单调递减区间恰为，则实数a的值为 ． 【典例2】（25-26高二上·北京·期中）如果在区间上不单调，那么实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】（25-26高三下·海南·月考）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】（2026高二下·福建福州·专题练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 易混易错12判断函数零点个数时画图致错 利用导数研究函数的图象变化时一定要区分图象趋向无穷时，是趋近无穷还是趋近于一个常数. 【典例1】（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，若有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·江西新余·一模）已知在上有两个不同零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】（2026·安徽合肥·一模）已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】（2026·安徽安庆·一模）已知，若函数恰有1个零点，则（   ） A．e B． C．1 D．3 易混易错13 混淆两个计数原理致错 辨析：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的合理选择 分类→将问题分为互相排斥的几类，逐类解决→分类加法计数原理； 分步→将问题分为几个相互关联的步骤，逐步解决→分步乘法计数原理. 在解决有关计数问题时，应注意合理分类，准确分步，同时还要注意列举法、模型法、间接法和转换法的应用. 【典例1】（2025·上海高考真题）有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（   ）． A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·广东清远·期末)如图，要让电路从处到处只有一条支路接通，则不同的路径有(    )    A．5种 B．6种 C．7种 D．9种 【跟踪训练1】（2025·高二·重庆·期中）某单位有5位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2）最多只能用一天，则不同的用车方案种数是（    ） A．24 B．27 C．30 D．33 【跟踪训练2】（25-26高三上·浙江杭州·期末）已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为____________． 易混易错14 分步“有序”致错 辨析：主要错是混淆有序抽取（排列）与无序抽取（组合），把一次性取件按分步有顺序计算，误用分步乘法，与实际无序抽取不符，造成计数重复偏大.针对这种错误，应对策略是认真审题，分清是排列问题还是组合问题，其中对于“至少”“至多”类型的问题，可从两个方面处理：一是从正面进行处理，可以根据要求进行合理分类，利用分类加法计数原理求解；二是求解该事件的对立事件，即利用排除法求解，其实质还是先进行分类．求解时要根据具体情况选取类别较少的一种方法进行解答． 【典例】（24-25高二上·福建泉州·阶段训练）有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法是（ ） A． 560 B． 2735 C． 1136 D． 480 【跟踪训练1】（25-26高三上·山东日照·期末）从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，则甲、乙至多有人被选中的不同选法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【跟踪训练2】（2025高三·全国·专题练习）多个平台公布了“2023年十大流行语”，其中有相同的也有不同的，现从中共选取12个流行语，包括“i人/e人”“显眼包”“特种兵式旅游”“遥遥领先”“多巴胺××”“情绪价值”“双向奔赴”“村BA”“主打一个××”“搭子”“命运的齿轮开始转动”“质疑××，理解××，成为”，其中“显眼包”“特种兵式旅游”“多巴胺××”“遥遥领先”在多个平台公布的“2023年十大流行语”中出现，被称为“最热流行语”．从这12个流行语中选择4个不同的流行语，则至多包含2个“最热流行语”的选法共有（    ） A．482种 B．462种 C．392种 D．270种 易混易错15 分步不合理导致重复或遗漏致错 辨析：对分步计数理解不清，忽略每步需满足颜色不冲突，随意按区域顺序涂色，未考虑相邻限制，导致步骤间矛盾，结果出错. 【典例】（25-26高三上·湖北省直辖县级单位·期中）用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（   ） A．384种 B．168种 C．108种 D．192种 【跟踪训练1】（24-25高二下·广东深圳·期中）将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是（    ） A B E C D A．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有种不同涂法 B．若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法 C．若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 D．若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 【跟踪训练2】（25-26高二下·全国·课后作业）将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使每一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可使用，则不同染色的方法种数为（   ） A．80 B．100 C．110 D．120 易混易错16忽视排列数组合数公式的隐含条件致错 辨析：在排列组合数的计算中，要注意上标和下标的限制条件，从而根据条件正确计算，或列出相应的方程、不等式（组）求解参数的值. 【典例1】（25-26高三上·上海宝山·统考）已知关于正整数的方程，则该方程的解为 . 【典例2】（24-25高二下·吉林·期末）若，则_________. 【跟踪训练】（24-25高二下·江苏无锡·月考）（1）求值：； （2）解方程：； （3）解不等式：. 易混易错17 分组问题混淆“均分”与“非均分”致错 辨析：（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种： ①完全均匀分组，每组元素的个数都相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． （2）分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种： ①相同元素的分配问题，常用“挡板法”； ②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配； ③有限制条件的分配问题，采用分类求解． 【典例】将6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ (1)(非均匀分组)-堆一本，一堆两本，一堆三本； (2)（定向分配）甲得一本，乙得两本，丙得三本； (3)（不定向分配）-人得一本，一人得二本，一人得三本； (4)（平均分配）平均分给甲、乙、丙三人； (5)（平均分组）平均分成三堆． 【跟踪训练1】（25-26高二下·江西赣州·开学考试）诗句“风景这边独好”洋溢着诗人对江西山水的喜爱．现有甲、乙、丙等6人前往江西上犹“阳明湖”、崇义“阳岭”和大余“丫山”三个景点旅游，已知每人随机只去其中一个景点，每个景点至少有一人选择，则甲乙不去同一个景点且丙一定去上犹“阳明湖”旅游的概率为________． 【跟踪训练2】（25-26高三上·甘肃嘉峪关·期末）甲、乙、丙等6名学生准备利用假期时间从三个社区中选一个参加志愿者活动，每个社区至少安排1人． (1)若每个社区刚好安排2人，则不同的安排方法有多少种？ (2)若甲、乙、丙全部分到同一个社区，则不同的安排方法有多少种？ (3)若甲、乙、丙分别分到三个社区，则不同的安排方法有多少种？ 易混易错18 计数时混淆有序与定序而掉入陷阱 辨析：1.一般地，对于某些元素的顺序固定型问题，解决时有两种方法： (1)倍缩法：先不考虑限制条件，所有元素全排列，再除以定序元素的全排列； (2)空位(或占位)法：在总位置中，安排非定序元素的位置，然后对定序元素进行排列时，只有1种排法．如已知n个不同的元素进行排列，要求其中m(m≤n，n∈N*，m∈N*)个元素相对顺序固定不变，有种不同的方法，或从n个位置中排m个元素之外的n－m个元素，再放这定序的m个元素，共有A种不同的方法． 对于给定元素顺序确定，再插入其他元素进行排列：顺序确定的元素为n个，新插入的元素为m个，则排列数为. 2.相同元素分配问题的处理策略 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题． (2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板． 【典例1】（25-26高三上·全国·专题训练）用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（    ） A．8个 B．12个 C．18个 D．24个 【典例2】（25-26高三上·郑州·模拟）某班2026年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插入方法的种数为(　　) A．2 B．11 C．36 D．42 【跟踪训练1】（25-26高三上·河南商丘·月考）甲、乙、丙、丁等6人排成一排，甲乙丙按从左到右、从高到低的固定顺序，共有排法（   ） A．144种 B．108种 C．120种 D．360种 【跟踪训练2】（25-26高三上·天津·期末）现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（   ） A．8400 B．11760 C．13440 D．20160 易混易错19 混淆“系数”与“二项式系数”而致错 辨析：处理二项展开式的系数问题要区分“二项式系数”与“项的系数”的区别：二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等. 【典例】（25-26高三·上海·随堂练习）已知的二项展开式中，二项式系数最大的项为a，系数最大的项为b，则 ． 【跟踪训练1】（25-26高二上·上海·期末）已知 的展开式中只有第6项系数最大，则展开式中的常数项是_______ . 【跟踪训练2】（2025高三·全国·专题练习）已知，二项式展开式的前三项的系数成等差数列，则展开式中二项式系数的最大值为______，系数最大值为______． 易混易错20 混淆互斥、对立、独立事件的概念致错 辨析: (1)判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件. (2)互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点：①相同点：二者都是描述两个事件间的关系； ②不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 【典例】 (多选)（2026广东广州一中期中）现有，两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球，，再将两箱子混合后取出一个小球，事件：“小球为红色”，事件：“小球为白色”，事件：“已知颜色的前提一下，小球为红色”，则下列说法错误的有（    ） A．发生的概率为 B．与互斥 C．与相互独立 D．发生的概率为 【跟踪训练1】(多选)（25-26高二下·黑龙江·开学考试）已知随机事件满足，且事件与相互独立，则下列说法正确的是（    ） A．若与相互独立，则 B．若，则与相互独立 C．若与互斥，且与也相互独立，则 D．若与相互独立，且与也相互独立，则 【跟踪训练2】（25-26高三上·四川达州·期末）如图，一个电路中有四个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．记“电路是通路”，“电路是断路”，“至少三个元件正常”，“恰有三个元件正常”，则（    ） A．与互斥，但不对立 B．与互斥，但不对立 C． D． 易混易错21 混淆“有放回”与“不放回”致错 辨析：在处理与抽样有关的概率问题时要区分“有放回抽取”和“无放回抽取”的不同，有放回抽取时每一次抽取背景是一样的，即总体个数不变概率不变；无放回抽取时每一次抽取背景是变化的，即总体个数要变，概率也变. 【典例1】（25-26高三·上海·课堂例题）已知向量，，从6张大小相同分别标有号码的卡片中，有放回地抽取两张，、分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足的概率是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·浙江·期中）某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】（25-26高三上·广西贵港·开学考试）不透明的盒子中装有大小质地相同的2个红球、2个白球、4个黄球，若采取不放回的方式每次从盒子中随机摸出一个小球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量，则______． 【跟踪训练2】（25-26高三下·四川成都·开学考试）从0，1，2，…，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中小于325的共有___________个；若从这10个数字中每次有放回地随机抽取一个数字称为一次试验，抽中数字7则试验停止，若要使随机事件“在前N次试验内停止试验”的概率大于0.523，N的最小值为___________． （参考数据：，） 易混易错22 古典概型问题列举样本点时重复或遗漏致错 辨析：在解决这类问题时，首要步骤是确认试验是否符合古典概型的特征.随后，关键在于构建样本空间，这一过程中需特别注意两点：一是样本中的元素是否存在顺序性，因为顺序的不同会构成不同的样本空间；二是取样时是否允许元素重复，即取样是放回还是不放回，这直接决定了样本中元素是否可以重复出现.明确了这两点后，就可以计算出样本空间的总样本点数量，以及所求事件对应的样本点数量，最后利用古典概型的概率计算公式，得出所求事件的概率. 【典例】（多选）（2026湖南衡阳三中月考）某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确的是（   ） A．甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为 B．乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为 C．丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高 D．丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同 【跟踪训练1】(2024全国甲文科高考)甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 【跟踪训练2】（25-26高二下·黑龙江绥化·开学考试）将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，观察向上的点数，则点数之差的最大值为4的概率是________． 易混易错23 对条件概率理解不透彻致错 辨析：解决条件概率问题的步骤 第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率．题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率．若为条件概率，则进行第二步． 第二步，计算概率，这里有两种思路： 思路一 缩减样本空间法计算条件概率，如求P(A|B)，可分别求出事件B，AB包含的基本事件的个数，再利用公式P(A|B)＝计算 思路二 直接利用公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝计算 【典例】（25-26高二上·辽宁·期末）某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】（25-26高三下·天津河西·开学考试）盒中有个白球、个黑球（这些球除颜色外没有其他差异）.随机从中抽取一个球，观察其颜色后放回，并放入个与取出的球同色的球，再次从盒中随机取出一个球.则第二次取出的球是白球的概率为________；在第一次取出白球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为________. 【跟踪训练2】（2026·江西·一模）学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为___________． 易混易错24 求分布列时忽视了概率之和为1而致错 辨析：1.利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值. 2.利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率. 3.可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 0.36 则常数 ． 为常数，则______. 【跟踪训练2】（24-25高二下·陕西西安·月考）设是一个离散型随机变量，其分布列为如下，则 __________． 易混易错25 混淆二项分布与超几何分布致错 辨析：“二项分布”与“超几何分布”的区别 (1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要.(2)有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理. 【典例1】（25-26高三上·辽宁朝阳·期末）2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章．现随机抽取100位市民，将市民按年龄分为“青年组”和“非青年组”，同时统计是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下： 看过 没看过 合计 青年组 30 20 50 非青年组 15 35 50 合计 45 55 100 记表示“抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，其概率为表示“抽取到的市民为非青年组”，其概率为． (1)给出的估计值； (2)现从抽取的青年组市民中，按是否看过《哪吒之魔童降世2》用分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中看过《哪吒之魔童降世2》的人数的分布列和数学期望． 【典例2】（25-26高三上·安徽宣城·期末）某社区举办“公益知识闯关赛”，共有100名居民报名参赛，每位参赛者需完成“第一轮基础知识作答”和“第二轮拓展知识比拼”两项任务.已知每位参赛者第一轮基础知识作答成功的概率为，且不同参赛者第一轮成功与否相互独立；若某位参赛者第一轮基础知识作答成功时，他第二轮拓展知识比拼成功的概率为；若他第一轮基础知识作答失败时，第二轮拓展知识比拼成功的概率为，若两项任务均成功，则视为最终闯关成功. (1)若随机抽取一名参赛居民，求其第二轮拓展知识比拼成功的概率； (2)记为参赛居民中闯关成功的人数，求的数学期望与方差. 【跟踪训练1】（25-26高三下·天津红桥·开学考试）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为________；若3次活动中，甲获胜的次数记为，则随机变量的期望为________. 【跟踪训练2】（25-26高二上·山东德州·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元． ①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少? ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠?（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 易混易错26 混淆函数关系和相关关系而致错 辨析：相关关系与函数关系是不同的，相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种确定的关系，而且函数关系是一种因果关系，但相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 【典例】（24-25高三上·江西南昌·训练）对两变量间的关系，下列论述正确的是（    ） A．任何两个变量都具有相关关系 B．正方形的面积与该正方形的边长具有相关关系 C．农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系 D．一个学生的数学成绩与物理成绩之间是一种非确定性的关系 【跟踪训练】（多选）（2025高二·全国·专题练习）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系.根据一组样本数据，用最小二乘法建立的经验回归方程为，则下列结论中正确的是（    ） A．y与x具有正的线性相关关系 B．经验回归直线一定经过点 C．若该大学某女生身高增加2cm，则其体重约增加1.7kg D．若该大学某女生身高为170cm，则可以判断其体重必为58.79kg 易混易错27 忽视回归直线与回归曲线方程的区别与联系致错 辨析：在求回归曲线方程时一定要先判断回归曲线类型，若是非直线方程，就要转化为回归直线方程求解，在计算过程中要注意求回归系数的两个公式之间的相互转化. 常见的非线性回归模型： （1）指数函数型（且，） 两边取自然对数，，即， 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． （2）对数函数型 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． （3）幂函数型 两边取常用对数，，即， 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． （4）二次函数型 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． （5）反比例函数型型 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． 【典例1】（25-26高二上·全国·期末）红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数（个）和温度（）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 25 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中；；； (1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？ (2)根据（1）中所选择的模型，求出关于的回归方程． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，， 【典例2】（2025高二·全国·专题练习）根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x，y进行回归分析，设，利用最小二乘法，得到线性回归方程为，则下列说法中正确的是（    ） A．变量y关于x的非线性回归曲线是轴对称图形 B．变量y关于x的非线性回归曲线是中心对称图形 C．当时，变量y的估计值取到最小值e D．当时，变量y的估计值取到最大值 【跟踪训练】（2026·陕西西安·模拟预测）近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 购买量（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 (1)计算与的相关系数（保留三位小数）； (2)求关于的线性回归方程，并预测该地区2026年新能源汽车购买数量． 参考公式：． 参考数值：． 易混易错28 求解独立性检验问题对的值理解不准确致错 辨析：在实际问题中,独立性检验的结论仅是一种数学关系表述,得到的结论有一定的概率出错．在利用2×2列联表计算的值之前,先假设两个分类变量是无关的,最后再利用的值的大小对二者关系进行含概率的判断． 【典例1】（25-26高二·全国·假期作业）随着国家三孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的三孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表． 非一线 一线 总计 愿生 45 20 65 不愿生 13 22 35 总计 58 42 100 附表 0.025 0.010 0.001 5.024 6.635 10.828 由算得，，参照附表，得到的正确结论是（   ） A．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” B．在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关” 【典例2】（多选）（25-26·陕西汉中·一模）某人工智能研究实验室开发出一款全新的聊天机器人，该实验室对使用该款聊天机器人的120位用户进行调研，得到的调研数据如下表所示，则（   ） 年龄 周平均使用时间 超过4小时 不超过4小时 总计 不超过40岁 54 b 72 40岁以上 c d 总计 72 120 附：，． （1）当时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的； （2）当时，有90%的把握判断变量A，B有关联； （3）当时，有99%的把握判断变量A，B有关联； （4）当时，有99.9%的把握判断变量A，B有关联． A． B．用样本估计总体，每位使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间超过4小时的概率为 C．没有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关 D．有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关 【跟踪训练1】（2025·湖南·一模）随着人工智能应用软件豆包、Kimi、DeepSeek陆续出现，AI成为各行各业创新应用的热门话题．某课题小组对本市各行业人群使用AI频率进行调查研究，下列说法正确的是（　　） A．甲同学根据调查数据，利用最小二乘法得到AI每周使用频次关于年龄的经验回归方程为，可以推断使用频次与年龄正相关且相关系数为0.2 B．乙同学开展了AI每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，且相关程度很强 C．丙同学研究性别因素是否影响AI使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到，可以认为不同性别的AI使用频次有差异 D．丁同学得到经验回归方程①和②，通过决定系数来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的分别约为0.731和0.997，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①好很多 【跟踪训练2】（2026·辽宁大连·模拟预测）为研究事件与事件的关系，某机构进行了一次随机抽样调查，共回收有效问卷份，调查结果按是否满足事件和事件分类统计，得到如下列联表（表中数字对应相应情况的人数），用频率估计概率． 是否满足事件 是否满足事件 满足事件 不满足事件 合计 满足事件 不满足事件 合计 (1)如果事件与事件无关，证明：； (2)已知： （i）填写表格剩余内容； （ii）已知依据小概率值的独立性检验，可以判断事件与事件有关，求有效问卷数的最小值． 附：，． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 高二下数学中的28个易混易错全归纳 内容导览 易混易错01忽略数列与一般函数的区别致错. 2 易混易错02由Sn求an忽略n=1的讨论致错. 3 易混易错03等比数列问题忽略公比q的讨沦致错3 易混易错04裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错 4 易混易错05错位相减求和错判项数、公比或符号致错 5 易混易错06对导数的概念理解不到位致错 6 易混易错07错用函数的求导法则致错… 6 易混易错08混淆“在某点”和“过某点”切线的区别致错。 7 易混易错09利用导数求函数单调区间忽略定义域致错9 易混易错10淆极值点与导数等于零的点的区别致错.9 易混易错11已知单调性求参数时混淆条件致错】 ………10 易混易错12判断函数零点个数时画图致错.11 易混易错13混淆两个计数原理致错.12 易混易错14分步“有序”致错… …13 易混易错15分步不合理导致重复或遗漏致错 .13 易混易错16忽视排列数组合数公式的隐含条件致错」 …14 易混易错17分组问题混淆均分”与《非均分”致错15 易混易错18计数时混淆有序与定序而掉入陷阱…16 易混易错19混淆%系数刀与二项式系数”而致错….17 1/ 学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 易混易错20混淆互斥、对立、独立事件的概念致错 18 易混易错21混淆“有放回”与“不放回”致错 .19 易混易错22古典概型问题列举样本点时重复或遗漏致错。…19 易混易错23对条件概率理解不透彻致错. …20 易混易错24求分布列时忽视了概率之和为1而致错.….21 易混易错25混淆二项分布与超几何分布致错. .22 易混易错26混淆函数关系和相关关系而致错。 .24 易混易错27忽视回归直线与回归曲线方程的区别与联系致错 .25 易混易错28求解独立性检验问题对2的值理解不准确致错….27 易混易错01忽略数列与一般函数的区别致错 避坑指南 辨析：在处理数列的求值、分析数列的性质时一定要注意数列的定义域是离散的，不是连续的， 【典例】(25-26高三上安徽部分重点中学期中)已知数列{a,}满足4=10,1二0=2，则4的最小值 n 为() A. 16 B. 2 3 C.27 D.210-1 4 1og.(n+2),n<8 【跟踪训练1】(25-26高三上山东菏泽·期末)己知数列{a}满足4.= (9-a）n-an≥8' 若对于任意的 n∈N都有a.<a1成立，则正整数a的取值范围是() A.{2,3,4,5,6,7,89} B.{2,3,4,5,6,7,8} C.(1,9) D.{2,3,4,5,6,7} 【跟踪训练2】(25-26高三上·天津南开·期末)设数列{a}的通项公式为a。=-n2+an,若数列{a}是单调 21 命学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 递减数列，则实数α的取值范围为() A.(-0,2) B.(-3,+0) C.（-m,2] D.(-0,3) 易混易错02由Sn求an忽略n=1的讨论致错 避坑指南 辨析：利用S.与的关系求，作差后往往会得到一个项或和的递推关系式，这是一定要检验递推关系 是否对所有的正整数都成立，然后再根据递推关系求通项公式 【典例】(2024高三·全国·专题练习)已知数列{a}的前n项和为Sn,若a=1,2Sn=a1,则数列{a}的通 项公式」 【跟踪训练1】（25-26高二上·天津红桥·阶段练习)已知数列{a}的前n项和为S。,且S。=2n2+3n-1, 则数列的通项公式为a。= 【跟踪训练2】(2025高三上江西南昌·专题练习)已知8是数列{a,}的前n项和，4=1， S_n+2 S n 则{a}的通项公式为() A.an=21-1 B.a =4+1 2 C.a=n D.a=2-n 易混易错03等比数列问题忽略公比q的过论致错 避坑指南 a1,q=1 辨析：注意等比数列的求和公式是分段表示的：S。=a1-q) ,q≠1'所以在利用等比数列求和公式求和 1-q 时要先判断公比是否可能为1，若公比未知，则要注意分两种情况q=1和1讨论. 【典例1】(2025高三全国专题练习)己知在等比数列{a}中，a,=7,前三项之和S=21,则公比9的 值是() 31 命学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 A.1 c1或 D.-1或 【典例2】(24-25高三上·浙江绍兴·期中)己知等比数列{a},首项为a1,公比为9，前n项和为S。,若 数列{S+号是等比数列，则() A.4-q=1 B.q-4=1 C.Sn-g-1=1 D.S-aq"=1 【跟踪训练1】(2026辽宁大连·模拟预测){a}是正项等比数列，记S.为数列{4}的前n项和，且满足 S=S,+S2,则数列{a}的公比为 【跟踪训练2】(25-26高二上：重庆期末)在等比数列{a}中，4+4+4+4，=2， a+a2+a+a=4,则a=. 易混易错04裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错 避坑指南 辨析：用裂项相消法求和时，裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一项 和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前面剩余的 正数项，则后面剩余的是负数项 【典例】(25-26高三上·湖南长沙期末)已知等差数列{an}满足：4=2，且a,a2,a4成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式： (2)若等差数列{红，}的公差不为零，且数列私，}满足：6= 1/1 求数列{b}的前99项和Tg 4/ 学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 【跟踪训练1】(25-26高二下·全国单元测试)已知在数列{an}中，a。=11且nan-(n-1)a=1,设 ad -,neN*,则数列bn}前n项和T=一· 【跟踪训练2】(2026广东湛江一模)在数列a,}中，4=1aH=√4+1，令6-a+a则数列} 的前15项的和为() A.2 B.3 C.15 D.4 易混易错05错位相减求和错判项数、公比或符号致错 0避坑指南 辨析：利用错位相减法求和时，首先要判断两边需要乘的公比是多少：二是相减后最后一项要变号；三是利 用等比数列求和公式求和时要判断项数，四是要注意对结果化简，另外可以用=1代入检验结果是否成立. 【典例】(25-26高三上·新疆喀什·月考)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a=1, S 是公差为的等 a. 3 差数列， (I)求{a}的通项公式： ②版列级满延么器。，求资到物的前口项阳 【跟踪训练1】(25-26高三下·青海西宁·开学考试)己知数列{a1-2a}是以2为首项，2为公比的等比数 列，且a=2,数列{a,}的前n项和为，则- C410 5/ 学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 【跟踪训练2】(25-26高三上·河南新乡·期末)过三棱柱ABC-AB,C的棱AA的中点M且与底面ABC平 的平面内的一动点0满足：04+血0B一0C+O4=0对任意nEN都成立，且4号， 2n+3 4m+2 列{an}的前n项和Sn=」 易混易错06对导数的概念理解不到位致错 避坑指南 辨析：④f(,)=my-mf+A0)-f),要注意定义式中的分母一定是分子两个函数值对应自变 △x-→0△X△x0 △x 量的差，如果不是要通过调整系数实现对应；（②）f'(x,)的代数意义表示函数f(x)在x,处的瞬时变化率： (3)'(x。)的几何意义表示曲线y=f(x)在x=x。处切线的斜率. 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业)如果函数y=f(x)在x=1处的导数为1，那么 m+-f0-() A. B.1 C.2 D. 【典例2】（25-26高三上·河北·月考)已知函数f(x)在x=7处可导，若 1mf7+30-f0-2A9-=15,则f(7)=() △x A.27 B.2 C.3 D.7 【跟踪训练1】(25-26高二上·江苏泰州·月考)设函数f(x)在x=1处存在导数为1，则 lim f+2△x)-f(但-（) △x>0 3△x 1 A.3 B. C.2 D. 3 【跟踪训练2】(25-26高三上·江苏盐城·期中)已知函数f)=-x,若1m1+2A)-但-L, △x 则实数a=() B.2 D.1 【答案】A 易混易错07错用函数的求导法则致错 61 学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 避坑指南 辨析：（1)复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即 y=yu (2)求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导，注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形 式，再求导：三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或 较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元 【典例1】(2025高三全国专腿练习)函数y=x血(2x+5)的导数为(） A.y'=2xIn(2x+5) B.y=2x+5 C.y-m(2x+5)+2x+5 D,y=n2x+5)+x+ 【典例2】(25-26高三上江苏-月考)已知函数f(及其导函数f(田的定义域均为R,若f1-4) 子-0+2) 都为偶函数，则 () A.440.5 B.441.5 C.442.5 D.443.5 【跟踪训练1】（多选）(25-26高二上·安徽月考)下列计算正确的是() A.若f(x)=(x2-3x+1)e,则f"(x)=(x2-x-2)e1 B.若f()=cos牙，则f()=im写 C.若f()=simx-cos cOSx ,则f(x)= y (sinx-cosx)2 D.若f)=2+1og,3x+1),则f'(x)=2'ln2+ 1 (3x+1)n3 【跟踪训练2】(25-26高二下·山东滨州·开学考试)下列选项正确的是() A.(sinl0）=cosl0 B.(Igx)'=1 C.[(2x+1)(2x-1)]=8x D.(e)=e* 易混易错08混淆“在某点”和“过某点”切线的区别致错 避坑指南 7/ 命学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 辨析：利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点： (1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标. (2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点， (3)曲线y=f(x)“在”点P(x,)处的切线与“过”点P(x,)的切线的区别：曲线=∫(x)在点 P(x,,)处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为k=∫(x),是唯一的一条切线；曲线 f(0过点P飞，)的切线，是指切线经过点卫，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可 能有多条 【典例1】(24-25高三上·上海·开学考试)经过点P1,-2)可以作与曲线2x3-3x-y=0相切的不同直线共 有() A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 【典例2】（2025全国一卷·高考真题)若直线y=2x+5是曲线y=e*+x+a的一条切线，则a=」 【答案】4 【解析】法一：对于y=e+x+a,其导数为y'=e+l, 因为直线y=2x+5是曲线的切线，直线的斜率为2， 令y'=e+1=2,即e=1,解得x=0, 将x=0代入切线方程y=2x+5,可得y=2×0+5=5, 所以切点坐标为(0,5)， 因为切点(0,5)在曲线y=e*+x+a上， 所以5=e°+0+a,即5=1+a,解得a=4. 故答案为：4. 法二：对于y=e+x+a,其导数为y'=e+l, 假设y=2x+5与y=e+x+a的切点为(xo,yo), 「eo+1=2 则y=2x+5,解得a=4. yo=e*+xo+a 【跟踪训练1】(25-26高二上安徽期末)已知函数f()=】,过点P1,0)作曲线y=f(x)的切线，则此 8/ 命学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 切线与y轴和直线y=x所围成的三角形的面积为() A号 、 B. C. D.1 【跟踪训练2】(26-27高二上重庆期末)过a,0)作函数f(x)=的切线恰好能作两条，则实数α的取值 范围为() A.（-0,0) B.(0,+o) C.(4,+o) D.(-m,0)U(4,+∞) 易混易错09利用导数求函数单调区间忽略定义域致错 避坑指南 辨析：(1)求函数的单调区间必须树立定义域优先的思想，即先求函数的定义域，然后再定义域上求函数 的单调区间：(2)含参函数单调性讨论的分类标准：①函数类型；②开口方向：③判别式：④导数等于 0有根无根；⑤两根大小；⑥极值点是否在定义域内， 【典例】(24-25高二下福建泉州月考)函数y=血x+ 的单调减区间为() A.(-0,1) B.(0,1) c.(1,e) D.(1,+0) 【跟踪训练1】(2025四川模拟预测)已知函数f(x)=nx-3x+a(a∈R),则f(x)的单调递增区间为 () A. B. c.(0,3) D.(3,+0) 练2】《多洗》2026湖北武汉模拟限沙对于藏网， A.函数f(x)的单调递减区间为(0,1)UL,e) B.f(<f(2) C.若方程If(xl)=k有6个不等实数根，则k>e D.对任意正实数x,x2,且x≠2，若f(x)=f(x2),则xx2>e2 易混易错10淆极值点与导数等于零的点的区别致错 避玩指南 9/ 命学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 辨析：导数等于零点的点不一定是函数的极值点，对于可导函数而言，其极值点应满足两个条件，一是导 数等于零，二是在极值点两边导函数的符号相反 【典例1(2525商三上·吉林长春·阶段练习)若x=0是函数f)吉-(a+ 1 x2+(a2+ax-1的极 小值点，则f(x)的极大值为( 【典例2】(25-26高二上·陕西榆林·期末)已知函数f(x)=(x-m,若x=1为f(x)的极小值点，则实 数m的值为() A.-1 B.1 C.3 D.1或3 【跟踪训练1】(25-26高二上河北石家庄·期末)已知函数f(x)=x(x-a)在x=1处取得极大值，则a= () A.9或1 B.3 C.2 D.1 【跟踪训练2】（多选）(25-26高二上江苏南京期末)已知函数(x)=ar-3r+-a(a≠0)有两个极 值点，(：<)，则() A.a∈(-3,0)U0,3) B.当f(x)f(x)<0时，f(x)有三个零点 C.当a·f(x2)>0时，f(x)仅有一个零点 D.f)+fs)归 a 易混易错11已知单调性求参数时混淆条件致错 避坑指南 辨析；己知函数的单调性求参数时，要注意以下几点：(1)熟悉基本函数的单调性。 (2)注意下列二者之间的区别：函数在区间I上单调递增（减）；函数的单调递增（减）区间是D 注意：其中IsD (3)首先明确已知函数的单调性；然后根据已知条件列出关于所求参数的不等式，正确解出含参数的 不等式，结果要用集合或区间的形式表示出来， 10/ 高二下数学中的28个易混易错全归纳 内容导览 易混易错01忽略数列与一般函数的区别致错 2 易混易错02 由Sn求an忽略n=1的讨论致错 4 易混易错03 等比数列问题忽略公比q的讨论致错 5 易混易错04 裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错 8 易混易错05 错位相减求和错判项数、公比或符号致错 10 易混易错06 对导数的概念理解不到位致错 12 易混易错07 错用函数的求导法则致错 14 易混易错08混淆“在某点”和“过某点”切线的区别致错 17 易混易错09 利用导数求函数单调区间忽略定义域致错 20 易混易错10淆极值点与导数等于零的点的区别致错 22 易混易错11已知单调性求参数时混淆条件致错 26 易混易错12判断函数零点个数时画图致错 28 易混易错13 混淆两个计数原理致错 32 易混易错14 分步“有序”致错 34 易混易错15 分步不合理导致重复或遗漏致错 36 易混易错16忽视排列数组合数公式的隐含条件致错 38 易混易错17 分组问题混淆“均分”与“非均分”致错 40 易混易错18 计数时混淆有序与定序而掉入陷阱 43 易混易错19 混淆“系数”与“二项式系数”而致错 45 易混易错20 混淆互斥、对立、独立事件的概念致错 47 易混易错21 混淆“有放回”与“不放回”致错 50 易混易错22 古典概型问题列举样本点时重复或遗漏致错 52 易混易错23 对条件概率理解不透彻致错 54 易混易错24 求分布列时忽视了概率之和为1而致错 56 易混易错25 混淆二项分布与超几何分布致错 57 易混易错26 混淆函数关系和相关关系而致错 61 易混易错27 忽视回归直线与回归曲线方程的区别与联系致错 62 易混易错28 求解独立性检验问题对的值理解不准确致错 66 易混易错01忽略数列与一般函数的区别致错 辨析：在处理数列的求值、分析数列的性质时一定要注意数列的定义域是离散的，不是连续的. 【典例】（25-26高三上·安徽部分重点中学期中）已知数列满足，，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为数列满足，，即， 当时，则有，所以，，，， 上述等式全部相加得， 所以， 也满足，故对任意的，， 所以， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，因为，，故（易错点）， 注意数列中的n为正整数 所以的最小值为.故选B. 【跟踪训练1】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知数列满足，若对于任意的都有成立，则正整数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意数列为递增数列， 所以，则且， 又为正整数，由知，， 当时，，符合， 同理均符合， 当时，，不符合， 故正整数的取值范围是. 故选：D. 【跟踪训练2】（25-26高三上·天津南开·期末）设数列的通项公式为，若数列是单调递减数列，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为数列是单调递减数列， 所以恒成立， 则，即， 又，则，所以，则实数a的取值范围为. 故选：D 易混易错02 由Sn求an忽略n=1的讨论致错 辨析：利用Sn与an的关系求an，作差后往往会得到一个项或和的递推关系式，这是一定要检验递推关系是否对所有的正整数都成立，然后再根据递推关系求通项公式. 【典例】（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式 . 【答案】 【解析】由得，时，，两式相减得， 所以当时，是公比为3的等比数列，而，则， 由不满足上式得.（易错点） 易错之处是：忽视n=1，而得到错解. 【跟踪训练1】（25-26高二上·天津红桥·阶段练习）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】当时，，而不满足上式，所以数列的通项公式为. 【跟踪训练2】（2025高三上·江西南昌·专题练习）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则， 所以， 当时，， 当时，满足， 所以数列的通项公式为. 故选：C 易混易错03 等比数列问题忽略公比q的讨论致错 辨析：注意等比数列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比数列求和公式求和时要先判断公比是否可能为1，，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论. 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）已知在等比数列中，，前三项之和，则公比的值是（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】C 【解析】当时，，符合题意（易错点）； 本处容易忽视q=1这一种情形 当时，，解得. 综上，的值是1或. 故选：C 【典例2】（24-25高三上·浙江绍兴·期中）已知等比数列，首项为，公比为，前项和为，若数列是等比数列，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设等比数列的公比为，则. 若，则，由题意可得，即， 所以，，解得，不合乎题意； 若，则，则， 由题意可得，即， 所以，，可得. 故选：B. 【跟踪训练1】（2026·辽宁大连·模拟预测）是正项等比数列，记为数列的前项和，且满足，则数列的公比为___________． 【答案】1 【解析】若，成立； 因是正项等比数列，则，且， 由可得， 化简得，分解因式得， 故或，因为且，故此情况下无解． 综上所述：满足题意． 故答案为：1. 【跟踪训练2】（25-26高二上·重庆·期末）在等比数列中，，，则______． 【答案】或 【解析】设等比数列的公比为. （1）当时，若，则的各项均为正数， 所以，与已知不符，所以， 所以， 所以，① 而，② ②①得，即，解得. 代入得. （2）当时，若，则的各项均为负数， 所以，与已知不符，所以， 所以， 所以，③ 而，④ ④③得，即，解得. 代入得. 故答案为：或. 易混易错04 裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错 辨析：用裂项相消法求和时，裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前面剩余的正数项，则后面剩余的是负数项. 【典例】（25-26高三上·湖南长沙期末） 已知等差数列满足：，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若等差数列的公差不为零，且数列满足：，求数列的前99项和. 【解析】（1）设等差数列的公差为d，依题意，，，成等比数列， 所以，解得：或 当时，；当时，， 所以数列的通项公式为或. （2）因为等差数列的公差不为零，由（1）知（）， 则， 所以 (易错点) 裂项相消时保留的项往往是与首末序号对称的项，如本题中保留了第2项和倒数第2项 【跟踪训练1】（25-26高二下·全国·单元测试）已知在数列中，且，设，，则数列前项和________． 【答案】 【解析】，， 为常数列，，. 由题设，当时，有， 解得，即适合上式． ，，， ． 即. 【跟踪训练2】（2026·广东湛江·一模）在数列中，，令，则数列的前15项的和为（   ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【解析】因为，所以，即， 故为首项是，公差为的等差数列，所以，． ， 所以数列的前项的和， 故， 故选：B． 易混易错05 错位相减求和错判项数、公比或符号致错 辨析：利用错位相减法求和时，首先要判断两边需要乘的公比是多少；二是相减后最后一项要变号；三是利用等比数列求和公式求和时要判断项数，四是要注意对结果化简，另外可以用n=1代入检验结果是否成立. 【典例】（25-26高三上·新疆喀什·月考）记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列. (1)求的通项公式； (2)数列满足，求数列的前n项和. 【解析】（1）由得，又是公差为的等差数列，故，即； 当时，，两式相减得， 累乘得：， 所以通项公式为：. （2）由，代入得：，用错位相减法求： ， ， 两式相减得：(易错点)， 此处相减后容易漏项或者错判项数 整理后得：. 【跟踪训练1】（25-26高三下·青海西宁·开学考试）已知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，且，数列的前n项和为，则_________． 【答案】 【解析】因为是以2为首项，2为公比的等比数列，所以， 所以，即，又， 所以是首项为1，公差为的等差数列． 得，所以， 所以， 则， 两个等式作差可得， ， 故．则． 【跟踪训练2】（25-26高三上·河南新乡·期末）过三棱柱的棱的中点M且与底面ABC平行的平面内的一动点O满足：对任意都成立，且，则数列的前n项和 ． 【答案】 【解析】作出示意图如下：    设直线与底面ABC的交点为E， 则根据题意可知O为的中点，所以， 又， 所以， 又因为A，B，C，E四点共面，且，，不共面， 所以， 所以，所以， 因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 所以， ， 两式相减得： ， 所以． 易混易错06 对导数的概念理解不到位致错 辨析：(1)，要注意定义式中的分母一定是分子两个函数值对应自变量的差，如果不是要通过调整系数实现对应；(2)的代数意义表示函数在处的瞬时变化率；(3)的几何意义表示曲线在处切线的斜率． 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）如果函数在处的导数为1，那么（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以（易错点）． 要注意分母中x的改变量要与分子中x的改变量一致 故选：A． 【典例2】（25-26高三上·河北·月考）已知函数在处可导，若，则（    ） A．27 B．2 C．3 D．7 【答案】C 【解析】因为 ， 所以. 故选：C. 【跟踪训练1】（25-26高二上·江苏泰州·月考）设函数在处存在导数为1，则（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】由题意可知， . 故选：D. 【跟踪训练2】（25-26高三上·江苏盐城·期中）已知函数，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，故， 所以， 可得，解得. 故选：A. 易混易错07 错用函数的求导法则致错 辨析：（1）复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数,即； （2）求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元. 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）函数的导数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以 .（易错点） 注意复合函数求导时内层函数也要求导 故选：D 【典例2】（25-26高三上·江苏·月考）已知函数及其导函数的定义域均为，若，都为偶函数，则（    ） A．440.5 B．441.5 C．442.5 D．443.5 【答案】C 【解析】因为为偶函数， 所以， 即， 即， 所以； 又因为是偶函数， 所以， 即， 所以， 即， 所以， 即，， 在中，令， 则有 所以； 在中，令， 可得， 在中，令， 则有， 所以； 又因为， 所以， 所以成等差数列，公差，首项为， 所以； 同理可得， 所以成等差数列，公差，首项为， 所以； 所以. 故选：C. 【跟踪训练1】(多选）（25-26高二上·安徽·月考）下列计算正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【解析】，则，故A正确； ，则，故错误； ，则，故C正确； ，则，故D错误． 故选：AC 【跟踪训练2】（25-26高二下·山东滨州·开学考试）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于为常数，故，故A错误； 而，故B错误； 而，故C正确； 而，故D错误． 易混易错08混淆“在某点”和“过某点”切线的区别致错 辨析：利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点： （1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． （2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点． （3）曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别：曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线；曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 【典例1】（24-25高三上·上海·开学考试）经过点可以作与曲线相切的不同直线共有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】D 【解析】设切点为（易错点）， 易错之处是误以为点P一定是切点 ， 则切线的斜率为， 又切线过点， 所以， 则，设， 则，令， 解得或， 当和时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 又，， ，， 所以存在,；；， 所以与轴有3个交点， 则经过有3条切线. 故选：D. 【典例2】（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则 . 【答案】 【解析】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 【跟踪训练1】（25-26高二上·安徽·期末）已知函数，过点作曲线的切线，则此切线与轴和直线所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】函数，求导得，设切点为，则， 依题意，，解得，因此切点，切线斜率， 切线方程为，由得两直线交点，如图：    而切线与轴交于点，则， 所以所求三角形面积为. 故选：A 【跟踪训练2】（26-27高二上·重庆·期末）过作函数的切线恰好能作两条，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设切点为，由求导得，则切线的斜率为，故切线方程为， 因切线经过点，则得，化简得，显然，则得， 又因过作函数的切线恰好能作两条，即函数与函数有两个不同的交点. 的定义域为，函数求导得， 则当时，，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，且， 当时，，当时，，当时，，当时，. 作出函数的图象如下： 由图知，过作函数的切线恰好能作两条等价于或，解得或. 故选：D. 易混易错09 利用导数求函数单调区间忽略定义域致错 辨析：（1）求函数的单调区间必须树立定义域优先的思想，即先求函数的定义域，然后再定义域上求函数的单调区间；（2）含参函数单调性讨论的分类标准：①函数类型；②开口方向；③判别式；④导数等于0有根无根；⑤两根大小；⑥极值点是否在定义域内. 【典例】（24-25高二下·福建泉州·月考）函数的单调减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为， ， 由得，所以的单调减区间为.（易错点） 注意此函数的定义域不是R 故选：D. 【跟踪训练1】（2025·四川·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为，则， 因为，由，可得， 故函数的单调递增区间为. 故选：A. 【跟踪训练2】（多选题）（2026·湖北武汉·模拟预测）对于函数，则（   ） A．函数的单调递减区间为 B． C．若方程有6个不等实数根，则 D．对任意正实数，且，若，则 【答案】BCD 【解析】函数的定义域为，求导得， 对于A，由，得或，由，得， 因此函数的单调递减区间为和，A错误； 对于B，由A得，函数在上单调递增，，B正确； 对于C，为偶函数，当时，， 由A项知，函数的单调减区间为和，单调递增区间为， 又当时，，当时，， 当时，，时，， 当时，，当时，，时，， 函数的图象如图：    观察图象得，当且仅当时，直线与函数的图象有6个不同交点， C正确； 对于D，不妨设，由，得，即， 令函数，， 求导得， 当时，，，在上单调递增， 由，得，即，因此， 函数，求导得，当时，，在上单调递减， 而，则，即，D正确. 故选：BCD 易混易错10淆极值点与导数等于零的点的区别致错 辨析：导数等于零点的点不一定是函数的极值点，对于可导函数而言，其极值点应满足两个条件，一是导数等于零，二是在极值点两边导函数的符号相反. 【典例1】（25-26高三上·吉林长春·阶段练习）若是函数的极小值点，则的极大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得， 又是函数的极小值点，所以，解得或（易错点）， 注意：可导函数在极值点处的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点 当时，， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 即是的极大值点，不符合题意，故舍去(易错点)； 需注意检验，极值点不一定是极大值点 当时，， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 即是的极大值点，是的极小值点，符合题意， 此时， 所以的极大值为. 故选：D 【典例2】（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知函数，若为的极小值点，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．1或3 【答案】B 【解析】函数，定义域为. 所以. 由题可知，，即，所以或. 当时，. 令，则或；令，则. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值. 当时，. 令，则或；令，则. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得极大值. 综上，实数的值为. 故选：B. 【跟踪训练1】（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数在处取得极大值，则（   ） A．9或1 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】因为函数，所以， 又因为在处取得极大值，所以，所以或， 当时，，所以单调递减，单调递增， 所以在处取得极小值，不符合题意舍去； 当时，，所以单调递增，单调递减， 所以在处取得极大值，符合题意； 则. 【跟踪训练2】（多选）（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数有两个极值点，则（   ） A． B．当时，有三个零点 C．当时，仅有一个零点 D． 【答案】BCD 【解析】对于A，由，得， 因为函数有两个极值点， 所以有两个不等的实数根， 即有两个不等的实数根， 所以，解得或，故A错误； 对于B，当时，二次函数与轴有两个不同的交点，开口向上， 当时，；当，；当，， 所以是极大值，是极小值，又，则可得有三个零点. 同理可得当时，有三个零点，故B正确； 对于C，当时，由B可知是极小值，又，所以， 此时极大值，所以函数在，函数从递增到有1个零点， 其余区间内无零点， 同理可得当时，函数仅有一个零点， 综上所述：当时，仅有一个零点，故C正确； 对于D，由韦达定理可得， ， 又， 所以，故D正确. 故选：BCD. 易混易错11已知单调性求参数时混淆条件致错 辨析：已知函数的单调性求参数时，要注意以下几点：（1）熟悉基本函数的单调性。 （2）注意下列二者之间的区别：函数在区间I上单调递增（减）；函数的单调递增（减）区间是D. 注意：其中 . （3）首先明确已知函数的单调性；然后根据已知条件列出关于所求参数的不等式，正确解出含参数的不等式，结果要用集合或区间的形式表示出来. 【典例1】（24-25高三上·山东临沂·期中）若函数的单调递减区间恰为，则实数a的值为 ． 【答案】 【解析】由题意得，， ∵函数的单调递减区间恰为， 即的解集为，（易错点） 注意单调递减区间为[-1,4]与在区间[-1,4]上递减是有区别的 ∴所以和4是的两根， ∴． 【典例2】（25-26高二上·北京·期中）如果在区间上不单调，那么实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知，依题意可得在上有解， 即方程在上有解，显然当时，， 因此实数a的取值范围为. 【跟踪训练1】（25-26高三下·海南·月考）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数，则， 因为在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立，即， 又，当且仅当，即时等号成立， 所以函数在上的最大值为，所以， 所以的取值范围为． 【跟踪训练2】（2026高二下·福建福州·专题练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为， 导函数， 假设函数不存在单调递减区间，则在恒成立， 即在恒成立，即， 令，因为，所以， 则函数在时取得最小值，最小值为， 所以，所以， 根据题意，函数存在单调递减区间， 所以. 易混易错12判断函数零点个数时画图致错 利用导数研究函数的图象变化时一定要区分图象趋向无穷时，是趋近无穷还是趋近于一个常数. 【典例1】（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，若有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若有两个零点，则有两个解， 等价于有两个解，因为，，所以， 令，原式等价于有两个解， 因为，则当时，所以在上单调递增， 所以有两个大于零的解.（易错点） 注意定义域：x不能为负 解，可得，令， 则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且， 的图象如图：（易错点） 当x趋近于正无穷大时，趋近于0，而不是趋近于负无穷大 所以当时，有两个交点，即有两个零点. 故选：A 【典例2】（2026·江西新余·一模）已知在上有两个不同零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得， 故等式可变形为， 等式两边同时乘以可得， 若，对任意的，，则，故， 所以，但，等式不成立，不符合题意，所以， 构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数， 由可得， 所以，参变分离得， 构造函数，其中，则， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 所以函数的极大值为， 又因为，，且，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 因此实数的取值范围是. 故选：D. 【跟踪训练1】（2026·安徽合肥·一模）已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为有且仅有三个零点，则方程有且仅有三个根， 令，则， 由得；得； 则在单调递增，在上单调递减，则， 因为时；时，且时， 所以的函数图象如图： 因为不是的根， 所以有两个根，其中一个根位于，另一根位于或另一根是， 但方程的两根的乘积为， 所以一个根位于，另一根位于， 则，得， 故的取值范围是. 故选：C 【跟踪训练2】（2026·安徽安庆·一模）已知，若函数恰有1个零点，则（   ） A．e B． C．1 D．3 【答案】B 【解析】由，可得恒为的一个零点， 令，则恰有1个零点， 等价于的唯一零点是，或无零点. 因为，且， 所以恒成立，在上单调递增. 又时，时，因此必然存在唯一零点. 当的零点是时，可得 即，解得，. 易混易错13 混淆两个计数原理致错 辨析：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的合理选择 分类→将问题分为互相排斥的几类，逐类解决→分类加法计数原理； 分步→将问题分为几个相互关联的步骤，逐步解决→分步乘法计数原理. 在解决有关计数问题时，应注意合理分类，准确分步，同时还要注意列举法、模型法、间接法和转换法的应用. 【典例1】（2025·上海高考真题）有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币， 共有种情况，（易错点） 注意：分类相斥，分步相依 要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C， 若保留两条边，则可保留也可擦去， 共有种情况； 若保留两条边，则可保留也可擦去， 共有种情况（其中有一种情况与上面重复），（易错点） 注意剔除重复的方法 则要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，共有种情况， 所以可以到达C点的概率为. 故选：B. 【典例2】（25-26高二下·广东清远·期末)如图，要让电路从处到处只有一条支路接通，则不同的路径有(    )    A．5种 B．6种 C．7种 D．9种 【答案】C 【解析】由分类加法计数原理以及分步乘法计数原理可知， 不同的路径有种.故选：C. 【跟踪训练1】（2025·高二·重庆·期中）某单位有5位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2）最多只能用一天，则不同的用车方案种数是（    ） A．24 B．27 C．30 D．33 【答案】B 【解析】15日至18日，有2天奇数日和2天偶数日，车牌尾数中有3个奇数和2个偶数．通过按日期分步，分2类， 第一类：，第二类：，共27种. 故选：B． 【跟踪训练2】（25-26高三上·浙江杭州·期末）已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为____________． 【答案】 【解析】由可知，函数的值域中的任何元素y都满足. 因为值域非空，所以1必在值域中，即. 若仅有，则对任意，有. 此时对于，令，则.而，这与仅有的假设矛盾. 故中至少有一个元素的函数值为1. 具体分类如下： 1、若5个函数值都为1，此时共有1种情况； 2、若仅有4个函数值为1，又，则另外4个中应有3个函数值为1有种， 如，依题意只能从中取值，有3种情况，此时共有种； 3、若仅有3个函数值为1，又，则另外4个中应有2个函数值为1有种， 如，依题意只能从中取值，有种情况，此时共有种； 4、若仅有2个函数值为1，又，则另外4个中应有1个函数值为1有种， 如，依题意都只能取2，有1种情况，此时有种情况； 综上所述，这样的函数的个数共有个. 故答案为：. 易混易错14 分步“有序”致错 辨析：主要错是混淆有序抽取（排列）与无序抽取（组合），把一次性取件按分步有顺序计算，误用分步乘法，与实际无序抽取不符，造成计数重复偏大.针对这种错误，应对策略是认真审题，分清是排列问题还是组合问题，其中对于“至少”“至多”类型的问题，可从两个方面处理：一是从正面进行处理，可以根据要求进行合理分类，利用分类加法计数原理求解；二是求解该事件的对立事件，即利用排除法求解，其实质还是先进行分类．求解时要根据具体情况选取类别较少的一种方法进行解答． 【典例】（24-25高二上·福建泉州·阶段训练）有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法是（ ） A． 560 B． 2735 C． 1136 D． 480 【答案】 C 【解析】方法一 将“至少有1个是一等品”的不同取法分三类：“恰有1个一等品”“恰有2个一等品”“恰有3个一等品”．由分类加法计数原理，得不同取法有（种）（易错点）． 至少至多型产品抽取问题一般分类讨论或用间接法求解 方法二 考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法，得至少有1个一等品的不同取法有（种），故选C. 【错因分析】由于对实际问题中“至少有1个一等品”意义理解不明，可能导致下面的错误：按分步乘法计数原理，第一步确保有1个一等品，有种取法；第二步从余下的19个零件中任取两个，有种不同的取法，故共有（种）取法，实际上这个解法是错误的．下面我们作如下分析，第一步取出1个一等品，那么第二步就有3种可能：①取出的2个都是二等品，这时的取法有（种）；②取出1个一等品，1个二等品，因为取出2个一等品是分步完成的，这2个一等品的取法就有了先后顺序，而实际上这2个一等品是没有先后顺序的，因此这时的取法就产生了多一倍的重复，即这时的取法有（种）；③取出的2个都是一等品，这时我们取出的3个都是一等品了，实际的取法种数应是． 【跟踪训练1】（25-26高三上·山东日照·期末）从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，则甲、乙至多有人被选中的不同选法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【解析】从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，不同的选法种数为种， 若甲、乙两人都被选中，则不同的选法种数为种， 因此，甲、乙至多有人被选中的不同选法有种. 故选：C. 【跟踪训练2】（2025高三·全国·专题练习）多个平台公布了“2023年十大流行语”，其中有相同的也有不同的，现从中共选取12个流行语，包括“i人/e人”“显眼包”“特种兵式旅游”“遥遥领先”“多巴胺××”“情绪价值”“双向奔赴”“村BA”“主打一个××”“搭子”“命运的齿轮开始转动”“质疑××，理解××，成为”，其中“显眼包”“特种兵式旅游”“多巴胺××”“遥遥领先”在多个平台公布的“2023年十大流行语”中出现，被称为“最热流行语”．从这12个流行语中选择4个不同的流行语，则至多包含2个“最热流行语”的选法共有（    ） A．482种 B．462种 C．392种 D．270种 【答案】B 【解析】解法一：由题意可知，可以分三类： 第一类，不包含“最热流行语”，有（种）不同的选法； 第二类，包含1个“最热流行语”，有（种）不同的选法； 第三类，包含2个“最热流行语”，有（种）不同的选法． 综上，至多包含2个“最热流行语”共有（种）不同的选法． 解法二：正难则反， 从12个流行语中选择4个不同的流行语共有（种）不同的选法， 包含3个“最热流行语”有（种）不同的选法， 包含4个“最热流行语”有（种）不同的选法． 所以至多包含2个“最热流行语”共有（种）不同的选法． 故选：B． 易混易错15 分步不合理导致重复或遗漏致错 辨析：对分步计数理解不清，忽略每步需满足颜色不冲突，随意按区域顺序涂色，未考虑相邻限制，导致步骤间矛盾，结果出错. 【典例】（25-26高三上·湖北省直辖县级单位·期中）用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（   ） A．384种 B．168种 C．108种 D．192种 【答案】D 【解析】先给2，5染色，有种方法，（易错点） 涂色时常先从中间部分涂起 若1和5同色，则4有2种涂法；若1和5不同色，则4有种涂法．（易错点） 涂色时一般按相对区域同色或异色分类处理 因为1，4分别与3，6对称，所以不同的染色方法有种． 故选：D 【跟踪训练1】（24-25高二下·广东深圳·期中）将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是（    ） A B E C D A．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有种不同涂法 B．若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法 C．若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 D．若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 【答案】AB 【解析】对于A，每块区域任意涂上一种颜色，即每块区域都有4种选择，则有种不同涂法，A正确； 对于B，若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则B和D同色，A和E同色，则共有种不同涂法，故B正确； 对于C，因4种不同颜色全部用上，B，D同色，相邻区域不同色，故可以先涂B，D区域，有种涂法， 因三个区域都与B，D相邻，故只需将余下的3种颜色在上全排，有种涂法，则共有种涂法，故C错误； 对于D，按照ABC的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法， 因B，D不同色（D只有一种颜色可选），此时ABCD四块区域所用颜色各不相同，涂E只能与A同色，此时共有24种涂法，故D错误． 故选：AB. 【跟踪训练2】（25-26高二下·全国·课后作业）将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使每一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可使用，则不同染色的方法种数为（   ） A．80 B．100 C．110 D．120 【答案】D 【解析】如图，若先染有5种色可选，有4种色可选，有3种色可选，有2种色可选， 则不同染色方法共有（种）． 故选：D. 易混易错16忽视排列数组合数公式的隐含条件致错 辨析：在排列组合数的计算中，要注意上标和下标的限制条件，从而根据条件正确计算，或列出相应的方程、不等式（组）求解参数的值. 【典例1】（25-26高三上·上海宝山·统考）已知关于正整数的方程，则该方程的解为 . 【答案】或 【解析】根据组合数的性质，由 可知：或，（易错点） 需注意考虑上组合数方程上标间的限制条件 即或，所以和均满足题意， 所以该方程的解为：或. 【典例2】（24-25高二下·吉林·期末）若，则_________. 【答案】3 【解析】由题设，且，， 则， 所以，则， 所以，可得（非整数解舍）. 【跟踪训练】（24-25高二下·江苏无锡·月考）（1）求值：； （2）解方程：； （3）解不等式：. 【解析】（1）原式； （2）由可得或， 解方程，即，解得或， 解方程，即，解得或， 又因为、均为整数，且， 所以或符合要求，和均不符合要求. 故或； （3）由可得， 由题意可知且，整理可得，即， 解得，又因为且，所以. 易混易错17 分组问题混淆“均分”与“非均分”致错 辨析：（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种： ①完全均匀分组，每组元素的个数都相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． （2）分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种： ①相同元素的分配问题，常用“挡板法”； ②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配； ③有限制条件的分配问题，采用分类求解． 【典例】将6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ (1)(非均匀分组)-堆一本，一堆两本，一堆三本； (2)（定向分配）甲得一本，乙得两本，丙得三本； (3)（不定向分配）-人得一本，一人得二本，一人得三本； (4)（平均分配）平均分给甲、乙、丙三人； (5)（平均分组）平均分成三堆． 【分析】本例为分组或分配问题，分配问题是把物件分给不同的人（或团体），是有顺序可言的,而分组问题，只是把物件分成组，是无顺序的，两者有着明显的不同. 【解析】（1)先在6本书中任取一本，作为一堆，有种取法，再从余下的五本书中任取两本，作为一堆，有种取法，再后从余下三本取三本作为一堆，有种取法，故共有分法（种）（易错点）； 非均匀分组，利用计数原理分完即可 (2)由(1)知，分成三堆的方法有种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦为（种）． (3)由(1)知，分成三堆的方法有种，但每一种分组方法又有种不同的分配方案，故一人得一本，一人得两本，一人得三本的分法有（种）（易错点） 不定向分配，先分组后分配 （4）3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书本中任取出2本的方法有 种，甲不论用哪一种方法取得2本书后，已再从余下的4本书中取书有种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本中取两本书，有 种方法，所以一共有=90种方法． （5）把6本不同的书分成三堆，每堆二本与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人二本的区别在于，后者相当于把六本不同的书，平均分成三难后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人．因此，设把六本不同的书，平均分成三堆的方法有x 种，那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应有种，由（4）知，把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有 种．所以＝ ，则(种）. （易错点） 要注意平均分组与平均分配的区别，前者要作除法，后者不用作除法 【跟踪训练1】（25-26高二下·江西赣州·开学考试）诗句“风景这边独好”洋溢着诗人对江西山水的喜爱．现有甲、乙、丙等6人前往江西上犹“阳明湖”、崇义“阳岭”和大余“丫山”三个景点旅游，已知每人随机只去其中一个景点，每个景点至少有一人选择，则甲乙不去同一个景点且丙一定去上犹“阳明湖”旅游的概率为________． 【答案】 【解析】一方面，6人前往3个景点，每个景点至少有1人，可分为三类： ①各景点人数分别为1，2，3：先将6人分为三组（1人，2人，3人），再分配到3个景点，方法数为种； ②各景点人数均为2：先将6人平均分为三组（2人，2人，2人），再分配到3个景点，方法数为种； ③各景点人数分别为1，1，4：先将6人分为三组（1人，1人，4人），再分配到3个景点，方法数为种；所以共有种方法． 另一方面：要满足每个景点至少有1人，甲乙不去同一个景点且丙一定去上犹可分为三类：①甲乙去了上犹和崇义各一人，这里种情况； 再对除甲乙丙外的3人使用间接法：除甲乙丙外的3人先不作要求任其随意选择，有种，再减去不合题意的，即大余没有人前往的情况，有种， 由分步乘法原理，得第①情形共有种； ②甲乙去了上犹和大余各一人，这种情形与①相同，也是38种： ③甲乙去了崇义和大余各一人，这里种情况； 由于此时每个景点都至少有一人了，所以除甲乙丙外的3人可以随意安排景点，有种，由分步乘法原理，可得第③情形有种； 最后由分类加法原理，可得三种情形共有种： 综上，已知每人随机只去其中一个景点，每个景点至少有一人选择，则甲乙不去同一个景点且丙一定去上犹“阳明湖"旅游的概率为. 【跟踪训练2】（25-26高三上·甘肃嘉峪关·期末）甲、乙、丙等6名学生准备利用假期时间从三个社区中选一个参加志愿者活动，每个社区至少安排1人． (1)若每个社区刚好安排2人，则不同的安排方法有多少种？ (2)若甲、乙、丙全部分到同一个社区，则不同的安排方法有多少种？ (3)若甲、乙、丙分别分到三个社区，则不同的安排方法有多少种？ 【解析】（1）将6名学生平均分成3组， 分法数为（种）， 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）； （2）①甲、乙、丙看作一组，有1种分法． 将剩下的3人分成2组，分法数为（种）， 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）； ②甲、乙、丙和剩余3人中的1人形成一组，其余2人各一组，有3种分法． 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）； 综上不同的安排方法有（种）； （3）甲、乙、丙分别安排到3个社区，有（种）， 剩下的3人每人都可以选择3个社区中的任意一个，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）. 易混易错18 计数时混淆有序与定序而掉入陷阱 辨析：1.一般地，对于某些元素的顺序固定型问题，解决时有两种方法： (1)倍缩法：先不考虑限制条件，所有元素全排列，再除以定序元素的全排列； (2)空位(或占位)法：在总位置中，安排非定序元素的位置，然后对定序元素进行排列时，只有1种排法．如已知n个不同的元素进行排列，要求其中m(m≤n，n∈N*，m∈N*)个元素相对顺序固定不变，有种不同的方法，或从n个位置中排m个元素之外的n－m个元素，再放这定序的m个元素，共有A种不同的方法． 对于给定元素顺序确定，再插入其他元素进行排列：顺序确定的元素为n个，新插入的元素为m个，则排列数为. 2.相同元素分配问题的处理策略 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题． (2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板． 【典例1】（25-26高三上·全国·专题训练）用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（    ） A．8个 B．12个 C．18个 D．24个 【答案】C 【解析】当首位为2时，这样的五位数有个(易错点)； 2个0之间没有顺序，2个1之间没有顺序，故需作除法 当首位为1时，这样的五位数有个（易错点）. 2个0之间没有顺序，，故需作除法 综上，这样的五位数共有个. 故选：C. 【典例2】（25-26高三上·郑州·模拟）某班2026年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插入方法的种数为(　　) A．2 B．11 C．36 D．42 【答案】D 【解析】将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有6×7＝42种插入方法． 【跟踪训练1】（25-26高三上·河南商丘·月考）甲、乙、丙、丁等6人排成一排，甲乙丙按从左到右、从高到低的固定顺序，共有排法（   ） A．144种 B．108种 C．120种 D．360种 【答案】C 【解析】从6个位置中取3个让甲乙丙按指定顺序站位，有种方法； 再排余下3人，有种方法， 所以不同排法种数为. 故选：C 【跟踪训练2】（25-26高三上·天津·期末）现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（   ） A．8400 B．11760 C．13440 D．20160 【答案】B 【解析】首先从下层八个商品中抽取三个，共有种结果， 再将其放入上层时，由于上层原有商品保持相对顺序不变，可以使用定序问题中的缩倍法，共有种结果， 因此根据计数原理可知共有种结果. 故选：B 易混易错19 混淆“系数”与“二项式系数”而致错 辨析：处理二项展开式的系数问题要区分“二项式系数”与“项的系数”的区别：二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等. 【典例】（25-26高三·上海·随堂练习）已知的二项展开式中，二项式系数最大的项为a，系数最大的项为b，则 ． 【答案】 【解析】由题意得（易错点）， 二项式系数最大的项为最中间的一项（n为偶数）或最中间的两项（n为奇数） 通项， 当满足时，系数最大，（易错点） 一般利用夹击法求系数最大的项，即此项系数不小于前一项系数，也不小于后一项系数 ，即，解得 又 解得， 所以， 故． 【跟踪训练1】（25-26高二上·上海·期末）已知 的展开式中只有第6项系数最大，则展开式中的常数项是_______ . 【答案】210 【解析】已知 的展开式中只有第6项系数最大，所以，解得. 通项公式为： . 令，则，所以常数项为. 【跟踪训练2】（2025高三·全国·专题练习）已知，二项式展开式的前三项的系数成等差数列，则展开式中二项式系数的最大值为______，系数最大值为______． 【答案】 70 7 【解析】二项式通项公式为： ， 所以第一项的系数为：，第二项的系数为：， 第三项的系数为： ， 由于前三项的系数成等差数列， 所以，解得，或， 因为至少有前三项，所以（舍），故， 所以二项式系数的最大值为. 二项式通项公式为：， 设第项的系数最大，故， 即，即， 解得， 因为，所以或， 故系数最大的项为或. 故系数最大值为7. 易混易错20 混淆互斥、对立、独立事件的概念致错 辨析: (1)判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件. (2)互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点：①相同点：二者都是描述两个事件间的关系； ②不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 【典例】 (多选)（2026广东广州一中期中）现有，两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球，，再将两箱子混合后取出一个小球，事件：“小球为红色”，事件：“小球为白色”，事件：“已知颜色的前提一下，小球为红色”，则下列说法错误的有（    ） A．发生的概率为 B．与互斥 C．与相互独立 D．发生的概率为 【答案】ABD 【解析】根据题意可得，故A错误；根据互斥事件的定义可知与不互斥，故B错误； 由题可得，，所以与相互独立(易错点)，故C正确； 若两事件从表面上很难判断是否独立，可通过乘法公式加以验证 对于D，事件分为三类： 颜色都为白球,则混合后袋中有白球4个,红球6个,取出红球概率； 颜色都为红球,则混合后袋中有白球6个,红球4个,取出红球概率为- 颜色一红一白,则混合后袋中有白球5个，红球5个，取出红球概率为，故D不对. 【跟踪训练1】(多选)（25-26高二下·黑龙江·开学考试）已知随机事件满足，且事件与相互独立，则下列说法正确的是（    ） A．若与相互独立，则 B．若，则与相互独立 C．若与互斥，且与也相互独立，则 D．若与相互独立，且与也相互独立，则 【答案】ABD 【解析】因为事件与相互独立，所以事件与相互独立， 所以， 因为，A正确； ，又， 所以，又， 所以，即与相互独立，B正确； 因为与互斥，所以， 又因为与相互独立， 所以，C错误； 因为与相互独立，所以， 又因为与相互独立，所以，故D正确. 故选：ABD. 【跟踪训练2】（25-26高三上·四川达州·期末）如图，一个电路中有四个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．记“电路是通路”，“电路是断路”，“至少三个元件正常”，“恰有三个元件正常”，则（    ） A．与互斥，但不对立 B．与互斥，但不对立 C． D． 【答案】BC 【解析】选项A：电路不可能同时通路和断路，故，互斥成立； 全集是所有元件状态组合，覆盖了通路和断路所有情况，故是对立事件，故A错误； 选项B：表示至多两个元件正常，表示恰有三个元件正常， ，互斥成立，仅覆盖正常数，未包含 “四个元件都正常”，故不对立，故B正确； 选项C：恰有三个元件正常时，必有一个元件失效，由电路图可知： 任意三个元件正常时，电路均保持通路，即必然发生， ，故C正确； 选项D：“电路是断路”， 表示至多两个元件正常， 若正常，失效，此时正常元件数为2，但电路为通路， 故发生时不一定发生，故D错误． 故选：BC． 易混易错21 混淆“有放回”与“不放回”致错 辨析：在处理与抽样有关的概率问题时要区分“有放回抽取”和“无放回抽取”的不同，有放回抽取时每一次抽取背景是一样的，即总体个数不变概率不变；无放回抽取时每一次抽取背景是变化的，即总体个数要变，概率也变. 【典例1】（25-26高三·上海·课堂例题）已知向量，，从6张大小相同分别标有号码的卡片中，有放回地抽取两张，、分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有个， 由，即， 故满足的基本事件有共个，(易错点) 注意：有放回抽取一是元素有顺序，二是元素可重复 所以所求概率为. 故选：D. 【典例2】（25-26高三上·浙江·期中）某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】；故选：C. 【跟踪训练1】（25-26高三上·广西贵港·开学考试）不透明的盒子中装有大小质地相同的2个红球、2个白球、4个黄球，若采取不放回的方式每次从盒子中随机摸出一个小球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量，则______． 【答案】 【解析】从8个球中随机不放回摸出5个球的试验共种， 的事件有：①第5次摸到的球是黄球，则前4次摸到的球均为白球和红球种； ②第5次摸到的球是白球，则前4次摸到的球可能为2红2黄或1红3黄种； ③第5次摸到的球是红球，则前4次摸到的球可能为2白2黄或1白3黄种， 所以. 【跟踪训练2】（25-26高三下·四川成都·开学考试）从0，1，2，…，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中小于325的共有___________个；若从这10个数字中每次有放回地随机抽取一个数字称为一次试验，抽中数字7则试验停止，若要使随机事件“在前N次试验内停止试验”的概率大于0.523，N的最小值为___________． （参考数据：，） 【答案】 163 8 【解析】根据题意，①百位为1或2，满足要求的数字有个；②百位为3，若十位为0或1，满足要求的数字有个，若十位为2，满足要求的数字有3个， 所以满足要求的数字一共有个. 根据题意，“在前N次试验内停止” 的对立事件是 “在前N次试验都未抽中7”，单次试验未抽中7的概率为，“在前N次试验都未抽中7” 的概率为， 则“在前N次试验内停止” 的概率为，所以，则有，所以N的最小值为8. 易混易错22 古典概型问题列举样本点时重复或遗漏致错 辨析：在解决这类问题时，首要步骤是确认试验是否符合古典概型的特征.随后，关键在于构建样本空间，这一过程中需特别注意两点：一是样本中的元素是否存在顺序性，因为顺序的不同会构成不同的样本空间；二是取样时是否允许元素重复，即取样是放回还是不放回，这直接决定了样本中元素是否可以重复出现.明确了这两点后，就可以计算出样本空间的总样本点数量，以及所求事件对应的样本点数量，最后利用古典概型的概率计算公式，得出所求事件的概率. 【典例】（多选）（2026湖南衡阳三中月考）某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确的是（   ） A．甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为 B．乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为 C．丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高 D．丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同 【答案】BD 【解析】对于A，甲同学仅仅随机选择一个选项，共有4种结果，分别为A，B，C，D， 其中有3种结果满足要求，分别为A，B，D，故能得2分的概率为，A错误； 对于B，列举可得以下所有可能结果：AB,AC,AD,BC,BD,CD，共6种，其中能得4分的结果有：AB,BD,AD，共3种，故能得4分的概率为,B正确； 对于C，丙同学可以选择两个选项，三个选项和四个选项，共有11种结果， 分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD（易错点）， 列举时要做到不重不漏 其中得分的结果有4种，为AB，AD，BD，ABD，故得分的概率为， 由B可知，乙同学仅随机选择两个选项，能得分的概率为， ，故丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率低，C错误； 对于D，丁同学选择至少一个选项，共有15种结果， 分别为A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD（易错点）， 其中ABCD这个选项易遗漏 能得2分的结果为A，B，D，故能得2分的概率为， 能得4分的结果为AB，AD，BD，故能得4分的概率为， 丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同，D正确. 【跟踪训练1】(2024全国甲文科高考)甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 【答案】B 【解析】根据题意画出树状图,如图, 共有24种排法, 其中丙不在排头,且甲或乙在排尾的排法共有8种, 故所求概率P==. 【跟踪训练2】（25-26高二下·黑龙江绥化·开学考试）将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，观察向上的点数，则点数之差的最大值为4的概率是________． 【答案】 【解析】将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次共有种情况， 若点数之差的最大值为4，则最大点数为5，最小点数为1，或者最大点数为6，最小点数为2， 若个数为，则有3种情况；若个数为，则有3种情况； 若个数为或或，则有种情况， 故最大点数为5、最小点数为1时，共有种． 当最大点数为6，最小点数为2时， 若个数为，则有3种情况；若个数为，则有3种情况； 若个数为或或，则有种情况， 故最大点数为6、最小点数为2时，共有种， 综上，点数之差的最大值为4的概率为：． 易混易错23 对条件概率理解不透彻致错 辨析：解决条件概率问题的步骤 第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率．题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率．若为条件概率，则进行第二步． 第二步，计算概率，这里有两种思路： 思路一 缩减样本空间法计算条件概率，如求P(A|B)，可分别求出事件B，AB包含的基本事件的个数，再利用公式P(A|B)＝计算 思路二 直接利用公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝计算 【典例】（25-26高二上·辽宁·期末）某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设“学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升”为事件A，则，， 设“学生肥胖”为事件B，则，， 由全概率公式可得，（易错点） 注意A,B并非相互独立事件 所以若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为. 故选：A 【跟踪训练1】（25-26高三下·天津河西·开学考试）盒中有个白球、个黑球（这些球除颜色外没有其他差异）.随机从中抽取一个球，观察其颜色后放回，并放入个与取出的球同色的球，再次从盒中随机取出一个球.则第二次取出的球是白球的概率为________；在第一次取出白球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为________. 【答案】 / / 【解析】记事件第一次取出白球，记事件第二次取出白球，则，， 若第一次取出白球，并放入个与取出的球同色的球，盒子中有个白球、个黑球， 则， 若第一次取出黑球，并放入个与取出的球同色的球，盒子中有个白球、个黑球， ， 所以， 故答案为：；. 【跟踪训练2】（2026·江西·一模）学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为___________． 【答案】 【解析】设为第天选A套餐，为第天选B套餐， 则， ； 从而， ， . 易混易错24 求分布列时忽视了概率之和为1而致错 辨析：1.利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值. 2.利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率. 3.可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 0.36 则常数 ． 【答案】/ 【解析】由题意可知：， 即，解得或， 又因为，解得，（易错点） 要注意两点：一是概率之和为1，二是各概率值介于0至1之间 所以常数. 【跟踪训练1】（24-25高二下·辽宁沈阳·月考）离散型随机变量的分布列为为常数，则______. 【答案】 【解析】， 因为， 所以，解得. 【跟踪训练2】（24-25高二下·陕西西安·月考）设是一个离散型随机变量，其分布列为如下，则 __________． 【答案】/ 【解析】因为随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于， 所以， 解得或， 又因为随机变量的概率非负不大于， 所以，， 解得， 综上. 易混易错25 混淆二项分布与超几何分布致错 辨析：“二项分布”与“超几何分布”的区别 (1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要.(2)有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理. 【典例1】（25-26高三上·辽宁朝阳·期末）2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章．现随机抽取100位市民，将市民按年龄分为“青年组”和“非青年组”，同时统计是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下： 看过 没看过 合计 青年组 30 20 50 非青年组 15 35 50 合计 45 55 100 记表示“抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，其概率为表示“抽取到的市民为非青年组”，其概率为． (1)给出的估计值； (2)现从抽取的青年组市民中，按是否看过《哪吒之魔童降世2》用分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中看过《哪吒之魔童降世2》的人数的分布列和数学期望． 【解析】（1）A表示抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》，B表示抽取到的市民为非青年组． 样本容量，没看过电影的总人数55，抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》的频率为， 因此的估计值为， 抽取到的市民为非青年组的总人数50，抽取到的市民为非青年组的频率为， 因此的估计值为. 法一：， 在抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》条件下，抽到的市民为青年组的频率为， 因此的估计值为； 法二：， 在抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》条件下，抽到的市民为青年组的频率为， 因此的估计值为； （2）按照分层抽样，抽取的5人中看过《哪吒之魔童降世2》的有3人，没看过《哪吒之魔童降世2》的有2人， 则看过《哪吒之魔童降世2》的人数的取值范围为， 由题意，看过《哪吒之魔童降世2》的人数，则，（易错点） 在产品抽取模型中超几何分布是不放回抽取，二项分布是有放回抽取，注意区别 此时，，. 则的分布列为： X 1 2 3 所以，或． 【典例2】（25-26高三上·安徽宣城·期末）某社区举办“公益知识闯关赛”，共有100名居民报名参赛，每位参赛者需完成“第一轮基础知识作答”和“第二轮拓展知识比拼”两项任务.已知每位参赛者第一轮基础知识作答成功的概率为，且不同参赛者第一轮成功与否相互独立；若某位参赛者第一轮基础知识作答成功时，他第二轮拓展知识比拼成功的概率为；若他第一轮基础知识作答失败时，第二轮拓展知识比拼成功的概率为，若两项任务均成功，则视为最终闯关成功. (1)若随机抽取一名参赛居民，求其第二轮拓展知识比拼成功的概率； (2)记为参赛居民中闯关成功的人数，求的数学期望与方差. 【解析】（1）设事件为“第一轮基础知识作答成功”，事件为“第二轮拓展知识比拼成功”， 由题意可知，，则， 根据全概率公式，第二轮拓展知识比拼成功的概率为： . （2）闯关成功需要两项任务均成功，即事件，其概率为： ， 因不同参赛者的第一轮结果相互独立，且第二轮成功概率仅依赖于自身第一轮结果， 故各参赛者的闯关成功事件相互独立， 记为名居民中闯关成功的人数，则， 所以数学期望， 方差：. 【跟踪训练1】（25-26高三下·天津红桥·开学考试）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为________；若3次活动中，甲获胜的次数记为，则随机变量的期望为________. 【答案】 2 【解析】设甲在猜谜活动中猜对为事件，设乙在猜谜活动中猜对为事件， 则由题意知，甲猜对的概率，乙猜对的概率. 在一次猜谜活动中，甲获胜即甲猜对，乙猜错为事件， 则甲获胜的概率； 由题意可知，甲获胜的次数服从二项分布， 所以随机变量的期望为. 【跟踪训练2】（25-26高二上·山东德州·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元． ①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少? ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠?（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 【解析】（1）由题意X可能取值为20，30，50， 则，，， 则X的分布列如下表： X 20 30 50 P 由期望公式可得； （2）①由题意刚好可以抽三次，获得90元返现的情况为：三次抽奖每次返现金都是30元或者两次20元，一次50元， 则概率为； ②若打九折，需支付金额为：（元） 由（1）知每次抽中的均值为29元，则抽取三次总的均值为：（元）， 因为，故打折更划算． 易混易错26 混淆函数关系和相关关系而致错 辨析：相关关系与函数关系是不同的，相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种确定的关系，而且函数关系是一种因果关系，但相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 【典例】（24-25高三上·江西南昌·训练）对两变量间的关系，下列论述正确的是（    ） A．任何两个变量都具有相关关系 B．正方形的面积与该正方形的边长具有相关关系 C．农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系 D．一个学生的数学成绩与物理成绩之间是一种非确定性的关系 【答案】D 【解析】对A：当两个变量之间具有确定关系时，两个变量之间是函数关系，而不是相关关系，所以A错误； 对B：正方形的面积与该正方形的边长之间是函数关系，所以B错误；（易错点） 若对概念不清，容易误以为此选项是相关关系 对C：农作物的产量与施化肥量之间是相关关系，是非确定性的关系，所以C错误； 对D：学生的数学成绩与物理成绩之间是相关关系，是非确定性的关系，所以D正确； 故选：D. 【跟踪训练】（多选）（2025高二·全国·专题练习）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系.根据一组样本数据，用最小二乘法建立的经验回归方程为，则下列结论中正确的是（    ） A．y与x具有正的线性相关关系 B．经验回归直线一定经过点 C．若该大学某女生身高增加2cm，则其体重约增加1.7kg D．若该大学某女生身高为170cm，则可以判断其体重必为58.79kg 【答案】ABC 【解析】由经验回归方程为知，y随x的增大而增大，所以y与x具有正相关关系，故A正确. 由最小二乘法建立回归方程的过程知，经验回归直线一定经过样本中心点，故B正确. 利用经验回归方程可以估计因变量，但只是预测值，故C正确，D不正确， 故选：ABC 易混易错27 忽视回归直线与回归曲线方程的区别与联系致错 辨析：在求回归曲线方程时一定要先判断回归曲线类型，若是非直线方程，就要转化为回归直线方程求解，在计算过程中要注意求回归系数的两个公式之间的相互转化. 常见的非线性回归模型： （1）指数函数型（且，） 两边取自然对数，，即， 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． （2）对数函数型 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． （3）幂函数型 两边取常用对数，，即， 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． （4）二次函数型 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． （5）反比例函数型型 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． 【典例1】（25-26高二上·全国·期末）红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数（个）和温度（）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 25 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中；；； (1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？ (2)根据（1）中所选择的模型，求出关于的回归方程． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，， 【解析】（1）模型①更合适． 模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄， 所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适． （2）令与温度可以用线性回归方程来拟合，则．(易错点) 注意这里是非线性回归模型，需通过换元转化为线性回归模型求解 ， ， 则关于的线性回归方程为，即， 产卵数关于温度的回归方程为． 【典例2】（2025高二·全国·专题练习）根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x，y进行回归分析，设，利用最小二乘法，得到线性回归方程为，则下列说法中正确的是（    ） A．变量y关于x的非线性回归曲线是轴对称图形 B．变量y关于x的非线性回归曲线是中心对称图形 C．当时，变量y的估计值取到最小值e D．当时，变量y的估计值取到最大值 【答案】AD 【解析】将代入线性回归方程， 得，即，故回归曲线关于直线轴对称； 当时，取到最大值2，因为在R上单调递增，则取到最大值. 故选：AD 【跟踪训练】（2026·陕西西安·模拟预测）近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 购买量（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 (1)计算与的相关系数（保留三位小数）； (2)求关于的线性回归方程，并预测该地区2026年新能源汽车购买数量． 参考公式：． 参考数值：． 【解析】（1）由题意，， 则，， 则． 故与的相关系数为． （2）由（1）， 则， 故关于的线性回归方程为， 令，则， 故可预测该地区2026年新能源汽车购买数量为万辆. 易混易错28 求解独立性检验问题对的值理解不准确致错 辨析：在实际问题中,独立性检验的结论仅是一种数学关系表述,得到的结论有一定的概率出错．在利用2×2列联表计算的值之前,先假设两个分类变量是无关的,最后再利用的值的大小对二者关系进行含概率的判断． 【典例1】（25-26高二·全国·假期作业）随着国家三孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的三孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表． 非一线 一线 总计 愿生 45 20 65 不愿生 13 22 35 总计 58 42 100 附表 0.025 0.010 0.001 5.024 6.635 10.828 由算得，，参照附表，得到的正确结论是（   ） A．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” B．在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关” 【答案】BC 【解析】依题意，， 所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“生育意愿与城市级别有关”．(易错点) 注意计算所得的的值需大于临界值 故选：BC 【典例2】（多选）（25-26·陕西汉中·一模）某人工智能研究实验室开发出一款全新的聊天机器人，该实验室对使用该款聊天机器人的120位用户进行调研，得到的调研数据如下表所示，则（   ） 年龄 周平均使用时间 超过4小时 不超过4小时 总计 不超过40岁 54 b 72 40岁以上 c d 总计 72 120 附：，． （1）当时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的； （2）当时，有90%的把握判断变量A，B有关联； （3）当时，有99%的把握判断变量A，B有关联； （4）当时，有99.9%的把握判断变量A，B有关联． A． B．用样本估计总体，每位使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间超过4小时的概率为 C．没有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关 D．有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关 【答案】BD 【解析】不超过40岁且周平均使用时间不超过4小时的； 40岁以上且周平均使用时间超过4小时的； 40岁以上的总计为， 故40岁以上且周平均使用时间不超过4小时的. 选项A：，A错误； 选项B：周平均使用时间超过4小时的样本数为72， 总样本数120，概率为，B正确； 年龄 周平均使用时间 超过4小时 不超过4小时 总计 不超过40岁 54 18 72 40岁以上 18 30 48 总计 72 48 120 ， 因， 故有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关. 所以C选项错误，D选项正确. 故选：BD 【跟踪训练1】（2025·湖南·一模）随着人工智能应用软件豆包、Kimi、DeepSeek陆续出现，AI成为各行各业创新应用的热门话题．某课题小组对本市各行业人群使用AI频率进行调查研究，下列说法正确的是（　　） A．甲同学根据调查数据，利用最小二乘法得到AI每周使用频次关于年龄的经验回归方程为，可以推断使用频次与年龄正相关且相关系数为0.2 B．乙同学开展了AI每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，且相关程度很强 C．丙同学研究性别因素是否影响AI使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到，可以认为不同性别的AI使用频次有差异 D．丁同学得到经验回归方程①和②，通过决定系数来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的分别约为0.731和0.997，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①好很多 【答案】BD 【解析】A选项：在经验回归方程中，斜率参数，只能说明使用频次与年龄正相关，但相关系数不是0.2，故A错误； B选项：样本相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关性越强，，说明两个变量正线性相关，且相关程度很强，故B正确； C选项：根据小概率值的独立性检验，计算得到，没有充分证据证明不同性别的AI使用频次有差异，故C错误； D选项：决定系数越接近于1，模型的拟合效果越好，经验回归方程①和②的分别约为0.731和0.997，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①好． 故选：BD． 【跟踪训练2】（2026·辽宁大连·模拟预测）为研究事件与事件的关系，某机构进行了一次随机抽样调查，共回收有效问卷份，调查结果按是否满足事件和事件分类统计，得到如下列联表（表中数字对应相应情况的人数），用频率估计概率． 是否满足事件 是否满足事件 满足事件 不满足事件 合计 满足事件 不满足事件 合计 (1)如果事件与事件无关，证明：； (2)已知： （i）填写表格剩余内容； （ii）已知依据小概率值的独立性检验，可以判断事件与事件有关，求有效问卷数的最小值． 附：，． 【解析】（1）设列联表中四个格子的人数分别为 ：满足事件且满足事件的人数； ：满足事件但不满足事件的人数； ：不满足事件但满足事件的人数； ：不满足事件且不满足事件的人数； 则总人数．若事件与事件无关，则有 ， 整理得．又，代入得 . 代入计算公式 . （2）（i）．由已知，用频率估计得满足事件且的人数等于不满足事件但满足的人数， 设均为．又满足事件的合计为，故，解得， 即. 不满足事件且不满足事件的人数为，即．由总人数得 . 于是填写完整的表格如下： 满足事件 不满足事件 合计 满足事件 不满足事件 合计 （ii）．由（i）中数据计算： 则， ，所以. 依题意，在时，临界值，要判断事件与事件有关，需， 即. 由于为正整数，且表格中所有人数均为整数，是10的倍数．故有效问卷数的最小值为40． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 高二下数学中的28个易混易错全归纳 内容导览 易混易错01忽略数列与一般函数的区别致错. 2 易混易错02由Sn求an忽略n=1的讨论致错. 易混易错03等比数列问题忽略公比q的讨沦致错5 易混易错04裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错8 易混易错05错位相减求和错判项数、公比或符号致错 .10 易混易错06对导数的概念理解不到位致错 .12 易混易错07错用函数的求导法则致错… …14 易混易错08混淆“在某点”和“过某点”切线的区别致错 17 易混易错09利用导数求函数单调区间忽略定义域致错……20 易混易错10淆极值点与导数等于零的点的区别致错.22 易混易错11已知单调性求参数时混淆条件致错】 .4.26 易混易错12判断函数零点个数时画图致错28 易混易错13混淆丙个计数原理致错32 易混易错14分步“有序”致错… .34 易混易错15分步不合理导致重复或遗漏致错 .36 易混易错16忽视排列数组合数公式的隐含条件致错」 .38 易混易错17分组问题混淆0均分”与“非均分”致错…40 易混易错18计数时混淆有序与定序而掉入陷阱…43 易混易错19混淆0系数”与二项式系数刃而致错.…45 1/ 学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 易混易错20混淆互斥、对立、独立事件的概念致错 47 易混易错21混淆“有放回”与“不放回”致错 .50 易混易错22古典概型问题列举样本点时重复或遗漏致错…………….52 易混易错23对条件概率理解不透彻致错.… .54 易混易错24求分布列时忽视了概率之和为1而致错.56 易混易错25混淆二项分布与超几何分布致错 .57 易混易错26混淆函数关系和相关关系而致错。 ,61 易混易错27忽视回归直线与回归曲线方程的区别与联系致错 62 易混易错28求解独立性检验问题对2的值理解不准确致错…66 易混易错01忽略数列与一般函数的区别致错 避坑指南 辨析：在处理数列的求值、分析数列的性质时一定要注意数列的定义域是离散的，不是连续的， 【典例】(25-26高三上安徽部分重点中学期中)已知数列{a,}满足4=10,1二0=2，则4的最小值 n 为() 4. 16 B. D.210-1 2 3 4 【答案】B 【解析】因为数列{a}满足a=10,-a=2,即a1-a=2n, n 当n≥2时，则有a-a1=2(n-1),所以a-a=2,4-4=4,…,a-a1=2(n-1), 上述等式全部相加得a,-4=2+4++20a-1)=2+21-2m-少=忙-n 2 所以a。=2-n+a=n2+10-n, 2/ 学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 a=10也满足a,=m2+10-n,故对任意的neN,a,=n2+10-n, 所以4=心+10-n=n+10-1, n n 由对勾函数的单调性可知，函数y=x+10-1在(0，而)上单调递减，在(0，+切)上单调递增， 烟为3西<4因为导=391华 a=4+1,故a<4（易错点)， 3 2 注意数列中的n为正整数 所以的最小值为马=1故选B, 33 【跟踪训练1】(25-26高三上山东菏泽·期末)已知数列{a}满足a.= 1og。(n+2),n<8 (9-a)n-an≥8，若对于任意的 n∈N都有a<a成立，则正整数a的取值范围是() A.{2,3,4,5,6,7,8,9} B.{2,3,4,5,6,7,8} C.(1,9) D.{2,3,4,5,6,7} 【答案】D 【解析】由题意数列{a}为递增数列， a>1 所以 9-a>0 ,则1<a<9且log。9<72-9a, log.9<8(9-a-a 又a为正整数，由1<a<9知，a∈{2,3,4,5,6,7,8， 当a=2时，log29<log224=72-9×2,符合log。9<72-9a, 同理a=3,4,5,6,7均符合， 当a=8时，1og9>logs1=0=72-9×8,不符合log.9<72-9a, 故正整数a的取值范围是{2,3,4,5,6,7}. 故选：D. 【跟踪训练2】(25-26高三上·天津南开·期末)设数列{a}的通项公式为an=-n2+an,若数列{a}是单调 递减数列，则实数a的取值范围为() A.（-0,2) B.（-3,+) C.(-0,2] D.(-0,3) 3/ 命学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 【答案】D 【解析】因为数列{a}是单调递减数列， 所以a+1-a,<0恒成立， 则-(n+1)2+a(n+1)-（-n2+mm)=-2n+a-1<0,即a<2+1, 又neN,则2n+1≥3，所以a<3,则实数a的取值范围为(-o,3) 故选：D 易混易错02由Sn求an忽略n=1的过论致错 ①避坑指南 辨析：利用S.与的关系求，作差后往往会得到一个项或和的递推关系式，这是一定要检验递推关系 是否对所有的正整数都成立，然后再根据递推关系求通项公式 【典例】(2024高三·全国专题练习)己知数列{4}的前n项和为Sn,若4=1,2S.=a1,则数列{a}的通 项公式 1,n=1 【答案】an= 2×3w-2,n≥2 【解析】由2Sn=an+1得，n≥2时，2Sa-1=a,两式相减得aa1=3a, 所以当n≥2时，{an}是公比为3的等比数列，而a2=2,则a=2×3”-2(n≥2)， 1,n=1 由4=1不满足上式得a.= 2x3,2x（易错点) 易错之处是：忽视n=1,而得到错解a,=2×3”-2. 【跟踪训练1】（25-26高二上·天津红桥·阶段练习)己知数列{a,}的前n项和为S。,且Sn=2n2+3n-1, 则数列的通项公式为a。= 「4，n=1 【答案】 4n+1,n≥2 41 命学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 【解析】当n≥2时，a,=S-S1=(2m2+3-1)-(2(n-1)2+3(01-1)-1=4+1,而a=S=4不满足上 「4，n=1 式，所以数列的通项公式为a.= 4n+1,n≥2 【跟踪训练2】(2025高三上江西南昌·专题练习)已知8，是数列a)的前n项和，4=1，-”+2 S,n' 则{a}的通项公式为() A.a,=2n-1 B.a=+1 2 C.a=n D.a =2-n 【答案】C 【解析】因为4=1，则S=1, 所以-是三8总是”--+知， S S2 S3 S-2 S 123 n-2n-122 当me2时a=-r+----=n 2 当n=1时，满足a.=n, 所以数列{a}的通项公式为a=n. 故选：C 易混易错03等比数列问题忽略公比q的过论致错 Q避坑指南 na,9=1 辨析：注意等比数列的求和公式是分段表示的：S,=4(1-q) ,q1:所以在利用等比数列求和公式求和 1-9 时要先判断公比是否可能为1，若公比未知，则要注意分两种情况q=1和q1讨论. 【典例1】(2025高三·全国专题练习)已知在等比数列{an}中，a=7,前三项之和S,=21,则公比9的 值是() 1 A.1 1 B. 2 c.1或-2 D.-1或 5/ 命学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 【答案】C 【解析】当q=1时，4=7，S,=21,符合题意（易错点）： 本处容易忽视q=1这一种情形 当q≠1时， 4q2=7 (+49+4g2=21'解得g=-1 2 综上，g的值是1或2 1 故选：C 【典例2】(24-25高三上浙江绍兴·期中)己知等比数列{a},首项为41，公比为9，前n项和为S。,若 数列{S+}是等比数列，则() A.a-g=1 B.g-a=1 C.S.-q=1 D.Sn-a9”=1 【答案】B 【解析】设等比数列{S.+}的公比为t,则t≠0. 若q=1,则Sn+1=a+1,由题意可得Sn1+1=t(Sn+1),即(n+1)a+1=t2a1+t, a1=0 所以， 了&+二，解得：1·不合乎题意 若q≠1，则8=%1-g）-3g,则3+1=a+1g）-ag, 1-9 1-g 1-q 由题意可得S1+1=t(S+1,即+1-9-a94_t(a+1-g)-tag 1-4 1-9 [q-4=1 所以， a+1-q=a+1-g0,可得化-4 ag=ta 故选：B 【跟踪训练1】(2026辽宁大连·模拟预测){a.}是正项等比数列，记S.为数列{a}的前n项和，且满足 S=S+S2,则数列{a}的公比为 【答案】1 61 学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 【解析】若q=1,S=5a=S,+S2成立： 因{a}是正项等比数列，则4>0，q>0且q≠1， 由8，=8+8可得9(g-_(g-)4(g-1) 9-1q-1q-1 化简得g-g3-g2+1=0,分解因式得(q-1)(g-1)=0, 故q=1或q=-1,因为q>0且q≠1，故此情况下无解. 综上所述：q=1满足题意. 故答案为：1. 【跟踪训练2】(25-26高二上·重庆·期末)在等比数列{a}中，4+4+4+4=2， 1a+a+la+la=4,则a=一 【答1器我。 10 【解析】设等比数列{a}的公比为9 (1)当4>0时，若q>0,则{an}的各项均为正数， 所以4+4+l4+4=4+42+4+a=2≠4，与已知不符，所以q<0, 所以a=aq0,a=aq2)0,a4=aq<0, 所以a+4+a+a=4-a2+4-a=41-q+q2-4)=a(1-q)1+q2)=4,① 而a+4+a+a=41+q+q2+q)=a(1+q)1+q2)=2,② ②÷①得 0-片号ma 227 代入a1+q1+g)=2得4=210=10. 39 (2)当a<0时，若q>0,则{an}的各项均为负数， 所以a+a+a+la=-(a+4+a4+4)=-2≠4，与已知不符，所以q<0, 所以a2=a49>0,a=4q2(0,a4=a44〉0， 7/ 学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 所以a+a+a+la=-4+a-a+a=a（-1+q-q2+q)=4(g-1)1+q)=4,③ 而a+4+a,+a=a(1+q+q2+q）=a1+q)1+q2）=2,④ ④÷③得 即g2,解得q=-3 f代入a1+901+q）=2得a=c2×1010 21 21或10 故答案为：10或 1 易混易错04裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错 避坑指南 辨析：用裂项相消法求和时，裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一项 和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前面剩余的 正数项，则后面剩余的是负数项 【典例】（25-26高三上·湖南长沙期末)己知等差数列{an}满足：4=2，且a,a2,a,成等比数列. (1)求数列{a}的通项公式： b=- (2)若等差数列{4n}的公差不为零，且数列{b}满足： 1 1 ,求数列b}的前99项和T9 -an 【解析】(1)设等差数列{a}的公差为d,依题意，2,2+d，2+3d成等比数列， 所以(2+d)2=2(2+3d,解得：d=0或d=2 当d=0时，a。=2；当d=2时，a.=2+(n-1)×2=2n, 所以数列{an}的通项公式为a.=2或a,=2n. (2)因为等差数列{an}的公差不为零，由(1)知a.=2n(n∈N), 1 则名s 1 所以Tg=b+b,+b,+…+bg 81 学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 =(2-+W3-2)±(N4-3)+…±00-V9)=100-1=10-1=9(易错点) 裂项相消时保留的项往往是与首末序号对称的项，如本题中保留了第2项和倒数第2项 【跟踪训练1】(25-26高二下·全国单元测试)己知在数列{a}中，a6=11且1a。-(n-1)a=1,设 6、1 aa, ,n∈N*,则数列bn}前n项和T,= 【】品 【g1a-a-a.是片可如.号合a n-1 nn(n-1)n-1 n ÷a.1 n-1n-1 }为希藏到：11号-20u2小，a=2-02 由题设nan-(n-1)a+1=1,当n=1时，有14-Q-1)%2=1, 解得4=1，即4=1适合上式. a,=21-l,neN*,b=1 dn-n-凯品 1 -0+或) 即T= 2n+1 跟踪训练21(2026广东湛江一隙)在数列a冲，4=14,4二V位+1，令6十2，则数列孤 的前15项的和为() A.2 B.3 c.5 D.4 【答案】B 【解析】因为a1=Va+1,所以a=C+1,即a12-a.2=1, 故{a}为首项是1，公差为1的等差数列，所以a=n,a,=√n. 1 1 D = =n+1-n, aa+1+a.√n+l+Vn 所以数列b}的前n项的和S,=n+1-l, 故S=V15+1-1=V16-1=4-1=3, 故选：B. 91 学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 易混易错05错位相减求和错判项数、公比或符号致错 Q避坑指南 辨析：利用错位相减法求和时，首先要判断两边需要乘的公比是多少；二是相减后最后一项要变号；三是利 用等比数列求和公式求和时要判断项数，四是要注意对结果化简，另外可以用=1代入检验结果是否成立. 【典例】(25-26高三上新疆喀什，月考)记S.为数列{a,}的前n项和，已知4=1， 是公差为的等 差数列： (1)求{a}的通项公式： 2”州 (2)数列b}满足b= i+0,求数列私，}的前n项和7. 【解析】(1)由4=1得氵=1，又 a 是公荣为的爷老数到，受1+0-小-”2.即 3 a. 3 ,s+2 3 an: 当n≥2时，S1=n+12 号04，两式相减得.-S1=a,→+2a-n+a 30. 3a1=a,→8-n+1 a-1n-1 g.3.4..n+1=1.+D, 累乘得：a,=a123“n-1 2 所以通项公式为：a。= n+1) 2 2)6=2 ·a,代入a=m+得：b,=2=2“，用错位相减法求7： 2 n+12 T=12+222+3.23++n2, 2T=122+223+3.24+…+(n-1)2”+2”1, 两式相减得：-Tn=2+2+23+24+…+2”-n21=2(2”-1)-n2"(易错点)， 此处相减后容易漏项或者错判项数 整理后得：Tn=(n-1)21+2. 【跟踪训练1】(25-26高三下·青海西宁·开学考试)己知数列{a1-2a}是以2为首项，2为公比的等比数 10/