陕西西安市新城区西安秦川机械厂子弟中学2025-2026学年九年级下学期三月学情自测数学试题

2025-2026学年九年级下学期三月学情自测数学试题 一．选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1．﹣2026的相反数是（　　） A．﹣2026 B．2026 C． D． 2．下列图形中，以直线为轴旋转一周，可以形成圆柱的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于D．若AB＝3，AC＝8，则△ADC的面积为（　　） A． B．12 C．16 D．20 4．将不等式0的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 5．一次函数y＝﹣x向上平移2个单位长度得到（　　） A．y＝﹣x﹣2 B．y＝﹣x+2 C．y＝﹣2x+2 D．y＝﹣2x﹣2 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝8，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转得到Rt△A1B1C，当A1，B1，A三点共线时，AA1的值为（　　） A．12 B． C． D． 7．如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的边长为（　　） A．2.4cm B．4.8cm C．5cm D．9.6cm 8．已知抛物线y＝ax2﹣5ax+4a（a≠0）不经过第二象限，与x轴交于A，B两点，其顶点C．这条抛物线关于x轴对称的抛物线顶点为C′，若四边形ACBC′是正方形，则a的值为（　　） A． B． C． D．或 二．填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9．分解因式：9﹣m2＝　 　 ． 10．观察如图图形，则第n个图形中三角形的个数是　 　 ． 11．在“6•18年中大促”活动中，某网店所有商品打五折销售．明明的妈妈在该网店购买一件冲锋衣，加上邮费（邮费相当于原价的5%）共付132元，这件冲锋衣的原价是　 　 元/件． 12．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为 　 　 ． 13．已知反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而减小．则k的值可以为　 　 .（写出一个即可） 14．如图，在正方形ABCD中，M是AB的中点，AC与DM交于点O，则的值为　 　 ，若阴影部分的面积为3，则正方形ABCD的边长是　 　 ． 三．解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15．（5分）计算：． 16．（5分）计算：（x+2）（x﹣2）﹣x（x﹣1）． 17．（5分）计算：，其中|x|＝2． 18．（7分）如图，BD是▱ABCD的对角线．请用尺规作图法，在线段AD上求作一点E，使∠AEB＝2∠ADB．（保留作图痕迹，不写作法） 19．（7分）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AC＝DF，AB＝DE，BC＝EF，求证：BC∥EF． 20．（7分）某种品牌的护眼罩分为三种型号，分别用A，B，C表示，假设它们被购买者选中的可能性均相同． （1）小明选择A型号的护眼罩的概率是　 　 ； （2）小明和小强分别购买了一种型号的护眼罩，用列表法或画树状图法，求小明和小强选择了同一种型号护眼罩的概率． 21．（7分）某天早上李伟在家里发现阳光通过窗口照射到室内，会在地面上留下亮区．李伟想通过已经掌握的知识求出家里窗户的高度．于是李伟利用家里的工具测得：此时阳光通过窗口照射到地面上留下2.7m宽的亮区，测得亮区到窗口下的墙脚距离EC＝8.7m，整个窗口高度AB＝1.8m，请你帮求李伟通过已学知识求出窗口底边离地面的高BC的长度． 22．（7分）五一节期间，申老师一家自驾游去了离家170千米的某地，如图是他们离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象． （1）求出AB段图象的函数表达式； （2）他们出发2小时时，离目的地还有多少千米？ 23．（7分）综合实践活动既能够让学生接触实际，又能够培养学生的实践能力，从而达到增强学生的知识体系、认知水平、思维能力及创新意识的目的．某校在一学期结束后，想要了解学生参加综合实践活动的情况，随机调查了该校部分学生，对他们这学期参加综合实践活动的天数进行了统计．根据统计的结果，绘制出如图所示的统计图．请根据相关信息，解答下列问题： （1）所抽取学生这学期参加综合实践活动天数的众数是 　 　 天，中位数是 　 　 天； （2）求所抽取学生这学期参加综合实践活动天数的平均数； （3）若该校有1200名学生，请估计这学期参加综合实践活动的天数为8天的学生人数． 24．（7分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D为的中点，连接AD，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）延长ED交AB的延长线于点F，若，DF＝4，求⊙O的半径和DE的长． 25．（7分）小宝以新区音乐喷水池底上的直线为x轴，喷管OA所在的竖直直线为y轴，两直线的交点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，利用数学模型推演喷泉水柱的行进路线．y（m）表示水柱上点的铅直高度，x（m）表示水柱上的点到y轴的水平距离．其中一个喷头喷出的水柱形似抛物线y＝ax2+3x+b（a≠0，x＞0），水柱从点A（0，）处喷出，点B（1，2）在水柱上． （1）求水柱所在抛物线的解析式及水柱最高点的铅直高度； （2）在喷水池内放置了一尾汉白玉金鱼，鱼嘴中心点P距喷水管的水平距离为4m，铅直高度为m，水柱能否恰巧从点P处落入金鱼口中？若能，请说明理由；若不能，请在保持铅直高度不变的情况下设计应该放置的位置． 26．（7分）在正方形ABCD中，点F为边BC上一点（点F不与点B、C重合），联结AF，过点A作AE⊥AF，交射线CD于点E，取EF中点G，联结BG． （1）求证：BF＝DE； （2）求证：； （3）当∠AFB＝60°，请直接写出的值． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B． A A B B A C B 二．填空题 9．（3+m）（3﹣m）． 10．（3n+1）． 11．240． 12．20°． 13．1（答案不唯一）． 14．，． 三．解答题 15．解：原式． 16．解：（x+2）（x﹣2）﹣x（x﹣1） ＝x2﹣4﹣x2+x ＝x﹣4． 17．解：原式 ， ∵|x|＝2且分式有意义， ∴x＝2， ∴原式． 18．解：如图，点E即为所求． 19．证明：在△ACB和△DFE中， ， ∴△ACB≌△DFE（SSS）， ∴∠ACB＝∠DFE， ∵∠ACB+∠BCF＝180°，∠DFE+∠EFC＝180°， ∴∠BCF＝∠EFC， ∴BC∥EF． 20．解：（1）∵护眼罩分为三种型号，被购买者选中的可能性均相同， ∴小明选择A型号的护眼罩的概率是， 故答案为：； （2）小明和小强分别从A，B，C三种型号护眼罩中购买了一种型号的护眼罩，作树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小明和小强选择了同一种型号护眼罩的结果有3种， ∴小明和小强选择同一种型号眼罩的概率． 21．解：光线是平行的，即BD∥AE， ∴△BCD∽△ACE， ∴， ∴， ∴BC＝4m． 22．解：（1）设AB段图象的函数表达式为y＝kx+b（1.5≤x≤2.5）， 把A（1.5，90）、B（2.5，170）代入y＝kx+b得： ， 解得， 所以AB段图象的函数表达式为y＝80x﹣30（1.5≤x≤2.5）， （2）当x＝2时，他们离家的距离y＝80×2﹣30＝130（km）， 此时，离目的地的距离是170﹣130＝40（km）． 23．解：（1）所抽取学生这学期参加综合实践活动天数的众数是6天，中位数是6（天）， 故答案为：6，6； （2）所抽取学生这学期参加综合实践活动天数的平均数为（4×6+5×8+6×12+7×4+8×10）＝6（天）； （3）（名）， 答：估计这学期参加综合实践活动的天数为8天的学生人数为300名． 24．（1）证明：连接OD，如图： ∵点D为的中点， ∴， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵OA＝OD， ∴∠BAD＝∠ADO， ∴∠ADO＝∠CAD， ∴OD∥AE， ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：如图： 在Rt△ODF中，， ∵DF＝4， ∴OF＝5， ∴， ∴OA＝OD＝3， ∴AF＝OA+OF＝8， ∵OD∥AE， ∴△FOD∽△FAE， ∴，即， ∴， ∴若，DF＝4，则． 25．解：（1）由题意，把 ，B（1，2）分别代入 y＝ax2+3x+b（a≠0，x＞0）， ∴． ∴． ∴水柱所在抛物线的解析式为：． ∵， ∴水柱最高点的铅直高度为 ． （2）由题意，水柱不能恰巧从点P处落入金鱼口中．理由如下： ∵x＝4时，， ∴水柱不能恰巧从点P处落入金鱼口中． 改进建议： 令 ， ∴． ∴，x2＝0（ 不合题意，舍去）． ∴在保持铅直高度不变的情况下，P应放置在距喷水管的水平距离为 处． 26．（1）证明：四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∴∠BAF+∠DAF＝90°， ∵AE⊥AF， ∴∠DAE+∠DAF＝90°， ∴∠BAF＝∠DAE， 在正方形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°， ∴∠ABF＝∠ADE＝90°， 在△ABF与△ADE中， ， ∴△ABF≌△ADE（ASA） ∴BF＝DE； （2）证明：如图，连接AG，CG，作GM⊥BC于点M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB，∠BCD＝∠ABC＝90°， ∵AE⊥AF， ∴∠EAF＝∠ECF＝90°， ∵点G为EF的中点， ∴AG＝CGEF， 在△ABG与△CBG中， ， ∴△ABG≌△CBG（SSS） ∴∠ABG＝∠CBG∠ABC90°＝45°， 即∠MBG＝45°， ∵GM⊥BC， ∴∠BMG＝90°， 在Rt△BMG中，sin∠MBG＝sin45°， ∴BGMG，∠BMG＝∠ECF＝90°， ∴GM∥CE， ∴， ∵点G为EF的中点， ∴GF＝GE， ∴1， ∴FM＝CM， ∴MG为△ECF的中位线， ∴MGEC， ∴BGMGECEC； （3）解：∵△ABF≌△ADE，∴∠AFB＝∠AED， ∵∠AFB＝60°，∴∠AED＝60°， ∵∠ADE＝90°， 在Rt△ADE中，sin∠AED＝sin60°，cos∠AED＝cos60°， ∴AD＝AE•sin60°AE，DE＝AE•cos60°AE， 在正方形ABCD中，CD＝ADAE， ∴EC＝CD+DEAEAAE， ∴BGECAE＝v6+√2AE， ∴． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/27 23:27:28；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $