6.2 用表格表示的变量间关系 讲 义2025-2026学年北师大版七年级数学下册

用表格表示的变量间关系 一、教学要求 教学目标 （1）经历探索具体情境中两个变量之间的关系的过程，获得探索变量之间关系的体验； （2）在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，并能举出反映变量之间关系的例子； （3）能从表格中获得变量之间的信息，能用表格表示两个变量之间的关系，并根据表格中的数据尝试对变化趋势进行初步的预测． 重难点分析 （1）重点：具体情境中识别自变量与因变量； （2）难点：从表格中识别两个变量间的关系，并应用获得的信息解题. 二、知识讲解 【问题探究】 （1）汽车以的速度匀速行驶，行驶的路程是km，行驶的时间是h． ①题目中有哪些量？ ②不变的量有哪些？变化的量有哪些？ 答案：①路程、时间、速度            ②不变的量：速度               变化的量：时间、路程 （2）每张电影票的售价为10元． ①若一场售出150张票，则该场的票房收入是              元； ②若一场售出205张票，则该场的票房收入是              元； ③若一场售出张票，则该场的票房收入为元，则              元; ④以上问题中存在哪些量                               ，其中不变的量有              ，变化的量有                ． 1500；2050；10x 单价、销售数量、总销售额； 单价； 销售数量、总销售额． 上述问题的变化过程中，对量进行了怎么样的分类？ 常量与变量 在一个变化过程中，数值发生变化的量为 变量，数值始终不变的量为常量. 表格法表示变量间关系 列表法是把自变量的一系列值与因变量的对应值列成一个表的方法． 在用表格表示它们之间的关系时，通常表格 第一行为自变量取值，第二行为因变量取值． 优点 列表法一目了然，表格中已有的自变量的每一个值，不需计算就可以直接查出与它对应的因变量的值，使用方便 缺点 列表法具有局限性，列出的值有限，而且不容易看出因变量与自变量之间的对应 例题 1 .年月，历时九年建设的港珠澳大桥正式通车．住在珠海的小亮一家，决定自驾去香港旅游，经港珠澳大桥去香港全程千米，汽车行进速度为千米/时，若用（千米）表示小亮家汽车行驶的路程，行驶时间用（小时）表示，下列说法正确的是（   ）． A.是自变量，是因变量 B.是自变量，是因变量 C.是自变量，是因变量 D.是自变量，是因变量 【答案】 C 【解析】 ∵小亮家汽车行驶的路程随着行驶时间的变化而变化， ∴是自变量，是因变量． 故选． 练习 2 .骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化．在这一问题中，因变量是（   ）． A.时间 B.骆驼 C.沙漠 D.骆驼的体温 【答案】 D 【解析】 由题意，骆驼的体温随时间的变化而变化，因此变量为骆驼的体温．故选． 3 .小邢到单位附近的加油站加油，如图是小邢所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是（   ）． A.金额 B.数量 C.单价 D.金额和数量 【答案】 D 【解析】 常量是固定不变的量，变量是变化的量，单价是常量，而金额是随着数量的变化而变化的． 故选． 例题 4 .某人以每时千米的速度从甲地向乙地行驶，甲、乙两地相距千米，当他走了小时后，他距乙地还有千米，在这个问题中，           与           是常量，           是自变量，           是因变量． 【答案】 【解析】 根据路程的等量关系得到与关系，从而判断常量与变量， ∵速度为每小时千米，时间为小时， ∴行驶的路程为千米， ∴距乙地的路程为千米， ∴， ∴常量为，， 自变量为， 因变量为． 练习 5 .“早穿皮枖，午穿纱，围着火炉吃西瓜，”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，温度随时间变化而变化，其中自变量是           ，因变量是           ． 【答案】 时间温度 【解析】 时间，温度． 6 .世纪花居民小区收取电费的标准是元/千瓦时，当用电量为（单位：千瓦时）时，收取电费为（单位：元）在这个问题中，下列说法中正确的是（   ）． A.是自变量，元/干瓦时是因变量 B.是自变量，是因变量 C.元/千瓦时是自变量，是因变量 D.是自变量，是因变量 【答案】 D 【解析】 在这个问题中，是自变量，是因变量，元/千瓦时是常数． 故选． 例题 7 . 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度（）与所挂的物体的质量（）之间有下面的关系，下列说法不正确的是（   ）． A.弹簧不挂重物时的长度为 B.与都是变量，且是自变量，是因变量 C.物体质量每增加，弹簧长度增加 D.所挂物体质量为时，弹簧长度为 【答案】 A 【解析】 ∵弹簧不挂重物时的长度为， ∴选项不正确； ∵与都是变量，且是自变量，是因变量， ∴选项正确； ∵，，，，， ∴物体质量每增加，弹簧长度增加， ∴选项正确； ∵ ∴所挂物体质量为时，弹簧长度为， ∴选项正确． 故选． 练习 8 . 乐乐和科学小组的同学们在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度之间关系的一些数据（如下表）： 温度/ 声速/（） 下到说法中错误的是（  ）． A.在这个变化过程中，当温度为时，声速是 B.温度越高，声速越快 C.当空气温度为时，声音可以传播 D.当温度每升高，声速增加 【答案】 C 【解析】 选项，当空气温度为时，声速为，可以传播，故选项错误． 9 . 某学习小组做了一个实验：从一幢高的楼顶随手放下一只苹果，测得有关数据如下： 下落时间 下落路程 则下列说法错误的是（   ）． A.苹果每秒下落的路程越来越长 B.苹果每秒下落的路程不变 C.苹果下落的速度越来越快 D.可以推测，苹果落到地面的时间不超过秒 【答案】 B 【解析】 由图表可知，苹果在下落过程中，越来越快， 每秒之间路程增加依次为、、、等等． 故选． 例题 10 . 心理学家发现，学生对概念的接受能力与提出概念所用的时间（单位：分）之间有如下关系：（其中） 提出概念所用时间（） 对概念的接受能力（） ( 1 )上表中反映了哪两个变量之间的关系？ ( 2 )当提出概念所用时间是分钟时，学生的接受能力是多少？ ( 3 )根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强； ( 4 )从表中可知，当时间在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ 【答案】 (1)提出概念所用的时间和对概念接受能力两个变量． (2)学生的接受能力是． (3)提出概念分钟时，学生的接受能力最强． (4)当时，值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当时，值逐渐减小，学生的接受能力逐步降低． 【解析】 (1)提出概念所用的时间和对概念接受能力两个变量． (2)当时，，所以时间是分钟时，学生的接受能力是． (3)当时，的值最大是，所以提出概念分钟时，学生的接受能力最强． (4)由表中数据可知：当时，值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当时，值逐渐减小，学生的接受能力逐步降低． 练习 11 . 一辆小汽车在高速公路上从静止到起动秒内的速度经测量如下表： 时间（秒） 速度（米/秒） ( 1 )上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ ( 2 )如果用时间表示时间，表示速度，那么随着的变化，的变化趋势是什么？ ( 3 )当每增加秒，的变化情况相同吗?在哪个时间段内，增加的最快? ( 4 )若高逮公路上小汽车行驶速度的上限为千米／小时，试估计大约还需几秒这辆小汽车的速度就将达到这个上限． 【答案】 (1)上表反映了时间与速度之间的关系，时间是自变量，速度是因变量． (2)到秒和到秒时随着的增大而增大，而到时随着的增大而减小． (3)当每增加秒，的变化情况不相同，在第到秒时，的增加最大． (4)秒． 【解析】 (1)上表反映了时间与速度之间的关系，时间是自变量，速度是因变量． (2)由表格可知，如果用表示时间，表示速度，那么随着的变化，的变化趋势是到秒和到秒时随着的增大而增大，而到时随着的增大而减小． (3)当每增加秒，的变化情况不相同，在第到秒时，的增加最大． (4)千米/小时米/秒米/秒， 由，且， 所以估计大约还需秒． 12 . 根据心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力与提出概念所用的时间（分钟）之间有如下关系（其中） 提出概念所用时间 对概念的接受能力 ( 1 )上表中反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量? ( 2 ) 根据表格中的数据，提出概念所用时间是多少时，学生的接受能力最强? ( 3 ) 学生对一个新概念的接受能力在什么时间段内逐渐增强?在什么时间段内逐渐减弱? 【答案】 (1)反映了提出概念所用时间与学生对概念的接受能力之间的关系，其中提出概念所用的时间是自变量，学生对概念接受能力是因变量． (2)提出概念分钟时，学生的接受能力最强． (3)当时，值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强； 当时，值逐渐减小，学生的接受能力逐步减弱． 【解析】 (1)上表反映了提出概念所用时间与学生对概念的接受能力之间的关系，其中提出概念所用的时间是自变量，学生对概念接受能力是因变量． (2)当时，的值最大是，所以提出概念分钟时，学生的接受能力最强． (3)由表中数据可知：当时，值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强； 当时，值逐渐减小，学生的接受能力逐步减弱． 三、知识总结   学科网（北京）股份有限公司 $ 用表格表示的变量间关系 一、教学要求 教学目标 （1）经历探索具体情境中两个变量之间的关系的过程，获得探索变量之间关系的体验； （2）在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，并能举出反映变量之间关系的例子； （3）能从表格中获得变量之间的信息，能用表格表示两个变量之间的关系，并根据表格中的数据尝试对变化趋势进行初步的预测． 重难点分析 （1）重点：具体情境中识别自变量与因变量； （2）难点：从表格中识别两个变量间的关系，并应用获得的信息解题. 二、知识讲解 【问题探究】 （1）汽车以的速度匀速行驶，行驶的路程是km，行驶的时间是h． ①题目中有哪些量？ ②不变的量有哪些？变化的量有哪些？ 答案：①路程、时间、速度            ②不变的量：速度               变化的量：时间、路程 （2）每张电影票的售价为10元． ①若一场售出150张票，则该场的票房收入是              元； ②若一场售出205张票，则该场的票房收入是              元； ③若一场售出张票，则该场的票房收入为元，则              元; ④以上问题中存在哪些量                               ，其中不变的量有              ，变化的量有                ． 1500；2050；10x 单价、销售数量、总销售额； 单价； 销售数量、总销售额． 上述问题的变化过程中，对量进行了怎么样的分类？ 常量与变量 在一个变化过程中，数值发生变化的量为 变量，数值始终不变的量为常量. 表格法表示变量间关系 列表法是把自变量的一系列值与因变量的对应值列成一个表的方法． 在用表格表示它们之间的关系时，通常表格 第一行为自变量取值，第二行为因变量取值． 优点 列表法一目了然，表格中已有的自变量的每一个值，不需计算就可以直接查出与它对应的因变量的值，使用方便 缺点 列表法具有局限性，列出的值有限，而且不容易看出因变量与自变量之间的对应 例题 1 .年月，历时九年建设的港珠澳大桥正式通车．住在珠海的小亮一家，决定自驾去香港旅游，经港珠澳大桥去香港全程千米，汽车行进速度为千米/时，若用（千米）表示小亮家汽车行驶的路程，行驶时间用（小时）表示，下列说法正确的是（   ）． A.是自变量，是因变量 B.是自变量，是因变量 C.是自变量，是因变量 D.是自变量，是因变量 练习 2 .骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化．在这一问题中，因变量是（   ）． A.时间 B.骆驼 C.沙漠 D.骆驼的体温 3 .小邢到单位附近的加油站加油，如图是小邢所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是（   ）． A.金额 B.数量 C.单价 D.金额和数量 例题 4 .某人以每时千米的速度从甲地向乙地行驶，甲、乙两地相距千米，当他走了小时后，他距乙地还有千米，在这个问题中，           与           是常量，           是自变量，           是因变量． 练习 5 .“早穿皮枖，午穿纱，围着火炉吃西瓜，”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，温度随时间变化而变化，其中自变量是           ，因变量是           ． 6 .世纪花居民小区收取电费的标准是元/千瓦时，当用电量为（单位：千瓦时）时，收取电费为（单位：元）在这个问题中，下列说法中正确的是（   ）． A.是自变量，元/干瓦时是因变量 B.是自变量，是因变量 C.元/千瓦时是自变量，是因变量 D.是自变量，是因变量 例题 7 . 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度（）与所挂的物体的质量（）之间有下面的关系，下列说法不正确的是（   ）． A.弹簧不挂重物时的长度为 B.与都是变量，且是自变量，是因变量 C.物体质量每增加，弹簧长度增加 D.所挂物体质量为时，弹簧长度为 练习 8 . 乐乐和科学小组的同学们在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度之间关系的一些数据（如下表）： 温度/ 声速/（） 下到说法中错误的是（  ）． A.在这个变化过程中，当温度为时，声速是 B.温度越高，声速越快 C.当空气温度为时，声音可以传播 D.当温度每升高，声速增加 9 . 某学习小组做了一个实验：从一幢高的楼顶随手放下一只苹果，测得有关数据如下： 下落时间 下落路程 则下列说法错误的是（   ）． A.苹果每秒下落的路程越来越长 B.苹果每秒下落的路程不变 C.苹果下落的速度越来越快 D.可以推测，苹果落到地面的时间不超过秒 例题 10 . 心理学家发现，学生对概念的接受能力与提出概念所用的时间（单位：分）之间有如下关系：（其中） 提出概念所用时间（） 对概念的接受能力（） ( 1 )上表中反映了哪两个变量之间的关系？ ( 2 )当提出概念所用时间是分钟时，学生的接受能力是多少？ ( 3 )根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强； ( 4 )从表中可知，当时间在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ 练习 11 . 一辆小汽车在高速公路上从静止到起动秒内的速度经测量如下表： 时间（秒） 速度（米/秒） ( 1 )上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ ( 2 )如果用时间表示时间，表示速度，那么随着的变化，的变化趋势是什么？ ( 3 )当每增加秒，的变化情况相同吗?在哪个时间段内，增加的最快? ( 4 )若高逮公路上小汽车行驶速度的上限为千米／小时，试估计大约还需几秒这辆小汽车的速度就将达到这个上限． 12 . 根据心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力与提出概念所用的时间（分钟）之间有如下关系（其中） 提出概念所用时间 对概念的接受能力 ( 1 )上表中反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量? ( 2 ) 根据表格中的数据，提出概念所用时间是多少时，学生的接受能力最强? ( 3 ) 学生对一个新概念的接受能力在什么时间段内逐渐增强?在什么时间段内逐渐减弱? 三、知识总结   学科网（北京）股份有限公司 $