8.1用集合图解决实际问题-【七彩课堂】2025-2026学年五年级数学下册同步教学设计（冀教版）

第一课时 用集合图解决实际问题 ◆教学内容：冀教版《数学》五年级下册第90、91页。 ◆教学目标： 知识与技能；结合具体事例，经历探索并画图表示一些特殊数学问题的过程。 　过程与方法；　能集合图表示事物中的数量关系，能解决一些特殊的数学问题。 　情感态度与价值观：体验用图描述事物的直观性，认识到许多实际问题可以借助画图来分析和解决。 ◆教学重点：能结合具体事例，经过探索解决简单实际问题。 ◆教学难点：能找出事物中的数量关系解决一些特殊的数学问题，能进行判断和预测。 ◆教学准备：多媒体课件，圆规，彩笔。 ◆学具准备：课件，椭圆形纸张若干， 彩笔 教学过程： 一、情景导入 教师谈话复习三种统计图在表示数据方面的特点，引出研究用图表示数学问题。 　师：同学们，在统计知识的学习中，我们知道了条形统计图、折线统计图和扇形统计图都能直观地表示数据某个方面的情况，谁能具体说一说每种统计图在表示事物时具有什么样的特点？ 生：条形统计图可以表示数量的多少。 生：折线统计图不但能表示数量的多少，还可以表示数量的变化情况。 生：扇形统计图可以清楚地表示部分与整体之间的关系。师：好，统计图是用图表示事物的很好方式。在数学上，有些特殊问题还可以用其它的画图的方式表示出来，今天就请同学们和我一起走进“探索乐园”，去研究怎样用图表示事物，感受探索的快乐吧！ 板书：用图表示事物。 设计意图： 让学生们观察图形，通过图形的了解引入课题，激发学习兴趣，吸引学生的注意力，也强化了对集合图的理解。明白表示部分与整体关系时，用什么图形，还可以用到今天所学的知识——统计图。 二、探索活动1 1．教师口述：某学校六年级（1）班有40名同学，其中女生有18名。板书出有关数据学生讨论：女生人数和全班人数有什么关系？ 得出：女生人数和全班人数是包含关系。 　　 师：我们还是从最熟悉的我们身边的事情开始。先来看来自六（1）班的几个问题。某学校六年级（1）班有40名同学，其中女生有18名。 教师板书：全班40人，女一18人。 师：想一想，女生人数和全班人数是一种什么关系？ 生：是部分与整体的关系。 师：对，是部分与整体的关系。这种关系也可以说是包含关系，即全班40人中包含女生的18人。 教师完成板书：全班40人，女生18人→包含关系。 2.提出：如何用图表示女生和全班40名同学的关系呢？鼓励学生回顾以前学过的知识画图表示。 　 师：如何你能用图表示出女生和全班40名同学的关系呢？想一想我们以前学过哪些方法，试着画图表示。 学生独立思考，画图解答，教师巡视，注意了解学生不同的表示方法。 3.交流学生的表示方法，要给学生充分展示自己想法的机会。教师参与交流，重点介绍用集合图表示的方法。 　 　师：谁来展示一下你画的图？学生可能出现三种方式。 ●求出女生占全班人数的45%，用扇形统计图表示。 ●直接用扇形统计图表示。 ●根据以前表示长方形和正方形关系时的经验画集体图表示。如果三种方法都出现，教师给予肯定，重点示范第⑶种画图。如果用集合图表示的方法没有，教师参与交流，并示范画图。 师：这种包含关系问题也可以用这样的图表示。先用一个大椭圆形表示全班同学。教师边说边画出椭圆，并在下面写出“全班40名同学”。 师：女生是其中的一部分，所以在大椭圆形中画一个小椭圆形表示女生，意思就是说全班同学中包含女生。教师边说边画小椭圆并写出“女生18名”。师：这样的图也有一个名子，叫做集合图。 板书：集合图。 　设计意图：利用画图法，结合具体情境，认识集合图。感受日常生活中的集合图。 探索活动2 1．教师谈话并口述问题，板书出有关数据和信息，让学生讨论每人最多只参加了一个小组是什么意思？ 　 　师：我们知道统计图有条形统计图、折线统计图还有扇形统计图。在集合图中，除了这种表示包含关系的集合图外，还有什么样的图呢？下面咱们就继续研究用图表示六（1）班同学参加兴趣小组的事情。在全班40名同学中，有18名同学参加数学兴趣小组，12名同学参加合唱小组，这些同学每人最多只参加了一个小组。 教师边说边板书： （备注：想画图不会） 师：谁能说一说“每人最多只参加了一个小组”是什么意思？ 生：一个同学不能同时参加两个小组。 2．师生讨论“这个问题中三个数据之间的关系”，使学生认识到：数学小组、合唱小组的人数是并列关系，总人数和全班人数是包含关系。 　　 师：这个问题中的有3个数据：全班人数、参加数学小组的人数、参加合唱小组的人数。谁能说一说这件事情中的几个数之间有什么关系？ 学生可能会说： ●数学小组和合唱小组的人数和全班人数都是包含关系。 ●参加数学小组的人数和参加合唱小组的人数都是全班40人中的一部分。 ●数学小组和合唱小组的人数是并列关系。第⑶种说法学生说不出，教师介绍。如：师：参加数学小组的人数是全班人数的一部分，参加合唱小组的人数也是全班中的一部分，这两部分又没有重复。所以，数学小组的人数和合唱小组的人数可以说是并列关系。 教师完成板书：数学组和合唱组都包括在全班同学内 3．提出：并列关系的事物用怎样的集合图表示呢？师生讨论，然后教师示范介绍并画出集合图。 　 　师：这样的并列关系的事物用怎样的图表示呢？ 学生可能会说： ●先画一个大椭圆，表示全班人数。在大椭圆中画两个小椭圆，分别表示数学小组和合唱小组的人数。学生说出或说不出教师介绍并画图。 师：这样并列关系的问题可以用另一种集体图表示。我们先画一个大椭圆表示全班40名同学，参加数学兴趣小组的18人是其中的一部分，所以在大椭圆中画一个小椭圆形表示参加数学小组的同学。教师边说边画图。 师：接着我们该怎样在图中表示参加合唱小组的同学呢？ 生：在大椭圆剩余的空间里再画一个椭圆形表示合唱小组的同学就可以了。学生回答，教师在黑板上完成图。 设计意图：学生在独立思考，交流的过程中体会集合图的含义。根据每个人观察分析，很容易得出结论，让学生自己独立完成，自己解答，对于个别学生来说还是有些难度.需要老师一步步引导。 4．先讨论：大椭圆中其它部分表示哪些同学？进而提出：既不参加数学兴趣小组，又不参加合唱小组的同学有多少名？鼓励学生自主计算。 　　 师：在这个集合图中，大椭圆表示全班的40人，这两个小椭圆分别表示班里参加数学小组和合唱小组的人数。那谁知道大椭圆中其它部分表示哪些同学？生：表示没有参加数学兴趣小组，也没有参加合唱小组的同学。师：利用六⑴班同学参加兴趣小组学习的事情，我们认识了一种表示并列关系的集合图。那你能求出既不参加数学兴趣小组，又不参加合唱小组的同学有多少名吗？自己试一试。学生解答，教师巡视，重点指导有困难的学生。 5．全班交流。重点让学生说一说怎样想的。给学生表达思考和解决问题过程的机会。 　　 师：谁来说一说你的想法和计算的结果？学生可能会出现以下方法： ●因为每个同学只能参加一个小组没有参加两个小组的，所以从全班人数中减去参加数学兴趣小组和参加合唱小组的人剩下的就是既不参加数学兴趣小组，又不参加合唱小组的人数。列式：40-18-12=10（名）。 ●我的想法是先求出参加数学兴趣小组和参加合唱小组的同学一共有多少人，再从总人数中减去他们就是既不参加数学兴趣小组，又不参加合唱小组的人数。列式：40-（18+12）=10（名）。只要学生的想法正确，就要给予肯定。如果有人借助图分析，解答问题，给予表扬。 设计意图：学生在独立思考，交流的过程中体会分数的含义。让学生通过观察、讨论、分析得出各组之间的数量关系，为以后解决实际问题打下基础。通过举例子，让学生感受分数与日常生活的密切联系，提高学习新知识的兴趣。 探索活动3． 教师口述比赛事情，并板书出相关数据及信息。 讨论“同时参加两项比赛的有8人”是什么意思。 　　 师：我们刚才研究了有并列关系的问题。下面再来看一个问题。春季运动会上，六（1）班同学参加了两项比赛。其中有18人田径比赛，10人参加篮球比赛，同时参加这两项比赛的有8人。 教师边说边板书： 师：谁能先来说一说“同时参加两项比赛的有8人”是什么意思？ 生：有8个同学既参加了田径比赛又参加了篮球比赛。 2．让学生讨论：题中的三个数据和上题有什么不同？了解题中参加田径比赛的人数和参加篮球比赛的人数有交叉。 　　 师：这个问题中也有三个数据，谁来说一说这三个数据与上面的问题有什么不同？ 学生可能会说： ⑴上面数学小组人数和合唱小组人数没有重复，是并列的。这个问题中，参加田径比赛的人数和参加篮球比赛的人数有重复。 ⑵上题中参加数学小组的人却没有参加合唱小组。而这个题中，参加田径比赛的人中，也有人参加了篮球比赛。 师：说的很清楚。参加篮球比赛的人数和参加田径比赛的人数有重复，人们也说参加这两项比赛的人有交叉。 完成板书： 3．师生共同完成集合图。教师边提问题，学生回答，教师边图。 　　师：这种有相交关系的数量关系是怎样用集合图表示呢？下面，我们一起来画图。我们这次先画一个长方形表示全班的人数，行吗？边说边画出一个长方形。师：然后，在长方形中画一个小椭圆表示参加田径比赛的人数。边说边画图，并写出田径比赛。 师：下面怎样画图表示篮球比赛的人数呢？师生讨论，边讨论边画图。 如：生：在大椭圆中再画一个小椭圆。师：在大椭圆中剩下的地方画行吗？ 生：不行，那样表示并列的关系。 师：那紧挨着田径比赛的小椭圆画行吗？生：也不行。要表示出有交叉。师：要表示出有交叉，可以让两个小椭圆有一部分重叠在一起。这样画。教师边说边完成统计图。 师：观察这个图中的两个椭圆，谁来说一说重叠的部分表示什么？ 生：表示既参加田径比赛的人又参加得比赛的人。 师：那也就是同时参加两项比赛的人。边说边在图上画上箭头、写上文字。 4．教师谈话同城次说明图的特点，提出“六⑴班共有多少人参加两项比赛？”的问题，鼓励学生借助图解答。 　　 师：在这个集合图中，两个椭圆分别表示六⑴班参加田径比赛和篮球比赛的人数。中间重叠的部分表示同时参加两项比赛的人数。你能根据图求出六（1）班共有多少人参加学校春季运动会吗？试试看。 学生独立列式解答，教师巡视了解学生的解答方法，为交流做准备。 5．交流学生计算的方法和结果，给学生充分交流不同计算方法的机会。 　　师：××同学，说一说你是怎么想的？计算的结果是多少？ 生：我是这样想的：参加田径比赛的人数加上参加篮球比赛的人数，就多算了8个人，所以再减去两项比赛都参加的人数就是参加比赛的人数。列式是：18+10-8=20（人） 师：谁再来说一说为什么要减去8呢？生：因为这8个同学两项比赛都参加了，参加田径比赛的18人中包括了他们，参加篮球比赛的10人中也包括了他们，用18+10实际上是把他们8个人算了两次，所以还得减去一个8。师：这个算法不错，谁还有不同的方法？大胆地说一说。 学生可能还会出现： ●我是这样想的：因为8个同学两项比赛都参加了，所以我从参加田径比赛的18人中减去这8人，就是只参加田径比赛的人数，再加上参加篮球比赛的人数，就是参赛总人数。列式是：18-8+10=20（人）。 ●我从参加篮球比赛的10人中减去两项都参加的8人，就是只参加篮球比赛的人数，再加上参加田径比赛的人数，就是参赛总人数。列式是：10-8+18=20（人）。 ● 我先从参加篮球比赛的10人中减去两项都参加的8人，就是只参加篮球比赛的人数。再从参加田径比赛的18人中减去这8人，就是只参加田径比赛的人数。把它们加在一起，再加上两项都参加的8人，就是参赛总人数。列式是：10-8=2（人），18-8=10（人），10+2+8=20（人）。只要学生说的有道理就要给予肯定。 设计意图：此环节让学生多动脑，体验学习的快乐，在交流个性化做法中培养学生们的创新意识，使学生逐步清晰建立集合图的认识，初步理解集合图的意义。 三、巩固新知 教师出示教材91页大扫除问题，让学生读题，先口答第（1）小题，再自己完成（2）、（3）小题。 师：通过刚才六（1）班的几个问题，我们看到了这种画图的方法能够很好的帮助我们解决实际问题，下面我们就应用这一方法再来分析几个数学问题。请同学们打开书第91页，自己读一读助残问题。学生读题。 师：谁来说一说图中的A表示哪部分同学？B和C又表示哪些同学？ 生：A表示只参加周六活动的人；B表示只参加周日活动的人；C表示同时参加周六和周日活动的人。师：回答的很好，那接着请同学们试着计算下面两道小题。让学生独立解答，集体订正。答案：（2）45+67-22=90（人）（3）67-22=45（人） 放手让学生自己去做，自己画图，并写出结果，独立思考后交流自己的看法，提示学生结合图形的操作活动加以说明，然后在教师引导下画出集合图，使学生逐步清晰建立集合图的画法的认识，初步理解集合图。 四、达标反馈。 1.火眼金睛。 （1）五（2）班有80名学生，其中男生有43名。可以用下图表示这两部分的关系。 女生43名 全班80名学生 （ ） （2） 合唱小组 学生 绘画小组学生 重叠的本分表示既参加合唱小组又参加绘画小组的学生。（ ） 答案：1.× 2.√ 五、课堂小结 这节课你学到了哪些知识？能不能在生活中得到应用? 进一步激发学生的数学思考，进一步让学生把学到的集合图知识运用得到生活中去。 六、布置作业。 1.五（1）班有60名学生，其中有19名学生参加舞蹈小组，有20名学生参加音乐小组，这些学生每人只参加了一个小组。五（1）班既没有参加舞蹈小组，也没有参加音乐小组学生有多少名？ (1)画图表示上面的问题。 （2）列式计算： 2.黄冈小学六（1）班有45人，每人至少买数学资料或语文资料一本。其中买数学资料的有23人，买语文资料的有28人，两种资料都买的有多少人？ 答案：1.（1） 舞蹈小组学生 音乐小组学生 全班60名学生 （2）60-19-20=21（名） 2.23+28-45=6（人） 板书设计： 用图表示事物 全班40人，女一18人 （一）教学精彩片段 师：如何你能用图表示出女生和全班40名同学的关系呢？想一想我们以前学过哪些方法，试着画图表示。 学生独立思考，画图解答，教师巡视，注意了解学生不同的表示方法。 3.交流学生的表示方法，要给学生充分展示自己想法的机会。教师参与交流，重点介绍用集合图表示的方法。 　 　师：谁来展示一下你画的图？学生可能出现三种方式。 ●求出女生占全班人数的45%，用扇形统计图表示。 ●直接用扇形统计图表示。 ●根据以前表示长方形和正方形关系时的经验画集体图表示。如果三种方法都出现，教师给予肯定，重点示范第⑶种画图。如果用集合图表示的方法没有，教师参与交流，并示范画图。 师：这种包含关系问题也可以用这样的图表示。先用一个大椭圆形表示全班同学。教师边说边画出椭圆，并在下面写出“全班40名同学”。 师：女生是其中的一部分，所以在大椭圆形中画一个小椭圆形表示女生，意思就是说全班同学中包含女生。教师边说边画小椭圆并写出“女生18名”。师：这样的图也有一个名子，叫做集合图。 板书：集合图。 设计意图：放手让学生自己去做，自己画图，并写出结果，独立思考后交流自己的看法，提示学生结合图形的操作活动加以说明，然后在教师引导下画出集合图，使学生逐步清晰建立集合图的画法的认识，初步理解集合图。 （二）教学资料包 1.第十五届世界杯赛共有32支球队，分成8各小组比赛。 （1）每个小组有（ ）支球队。 （2）小组内没两支球队进行一场比赛，每组要进行（ ）场比赛。 2.昨天，玲玲到快餐店吃东西，发现快餐店提供的食品及饮料如下表。如果玲玲想选食品和饮料各一种，一共有（ ）种不同的选法。 (四)资料链接 集合概念在小学数学教学中的应用 　　集合思想的概念在教学中是不必向学生作解释的，教师主要指导学生看懂集合图的意思，会根据集合图来解题或者帮助解题。图形本身直观地应用了集合的表示方法——图示法，因此在小学低年级中运用这个方法对于教学是很有帮助的。 　　在认数教学中，教师要结合各种集合图，可以是选用书本上的，也可以是选用一些生活中常见的事物自己画。同时还可以反过来给学生一个数字，让学生画集合图，这样既可以让学生开动脑筋发挥自己的想象，也可以让学生更了解集合中的元素与基数概念的联系。 　　在日常教学中，教师还要让学生理解一些用来描述集合的常用术语，如“一些”、“一堆”、“一组”、“一群”等。比如说，在小学数学教材北师大版一年级（上册）的第四单元分类中，就出现了这么一张图，让学生观察，要求把玩具放一堆，文具放一堆,服装鞋帽放一堆,这种把具有同一种属性的东西放在一起，这就是集合的整体概念。 　　在认识0-10的十一个数字中，每个数字都有一张相应的集合图，也就是告诉学生，一个集合中有几个元素就用“几”来表示。如北师大版一年级（上册）第4页找一找的活动中“1”可以表示图里的一座房子；“2”可以表示图里的两个人。这就很形象的把集合中的元素与基数的概念有机的联系起来。 　　二、子集、交集、并集、差集、空集思想在小学数学教学中的应用 　　1、子集思想在小学数学教学中的应用 　　教学数的大小这一问题时，就可以应用子集思想。如北师大版二年级(下册)第36页试一试中,给出一些数，组成一个数的集合，元素有387、99、809、 345、1725、4300等。同时给出要求，先把给出的数分类，再比较大小。这把数分类就相当于是把整个数的集合中的元素，按要求分别把他们放入三个子集合中。 　　对于这类问题，应用集合思想就能让学生非常直观、容易地理解。 教学反思： 　　在本节课的教学中，我努力拓展学生的思维，真正实现着让学生在数学的乐园里遨游，体验用图描述事物的直观性，认识到许多实际问题可以借助画图来分析和解决。　　 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八单元探索乐园 教材分析： 本单元教材“探索乐园”安排连个主题内容：一是用集合图表示、分析问题；二是比赛场次问题。“用集合图表示问题”是在学生有一定的文字理解能力、用集合图表示长方形和正方形的关系，以及两个数的因数和公因数、两个数的倍数和最小倍数等知识基础上学习的。这两个主题内容其中一个共同点是借助图形分析和表示事物。本单元 　　教学目标： 　　1.能借助集合图分析问题，能解答稍复杂的数学问题；能用连线、列表等方法解答简单的排列、组合问题。 　　2在讨论，并用不同的方式表示比赛的场次的过程中，能进行有条理的思考，反战合情推理能力，清晰地表达自己的想法。. 3. 获得画图表示和分析问题的一些基本方法，体会用图表示问题的直观性，尝试解释解决问题的过程和结果。 4. 体验用图描述事物的直观性，认识到许多实际问题可以借助画图来分析和解决，感受数学与生活的密切联系，树立学习数学的自信心。 教学重点、难点： 重点 1、能结合具体事例，经过探索解决简单实际问题。 2、能用不同的方式表示比赛场次。 3、能够认识统计图的意义。 难点 1、理解统计图实际意义，运用统计图解决实际问题。 2、能找出事物中的数量关系解决一些特殊的数学问题，能进行判断和预测。 3、借助图形分析和表示事物。 教学建议： 本单元内容是小学阶段“集合图分析问题”的重要内容，也是以后学习数学的重要基础。学生从认识集合图到掌握集合图，是知识理解的扩充。在分析，理解，解决等方面都和生活有密切的联系，所以在教学中要掌握一下几点： 1、从熟悉的生活经验中能借助集合图分析问题，能解答稍复杂的数学问题。 2.让学生经历集合图表示的问题，通过观察，理解，交流讨论使学生体会用途表示问题的直观性。尝试解决问题的过程和结果。 3、利用生活中的具体事例，体会集合统计图的意义。 由观察图到理解图，到最后的掌握集合图。教学中，要通过画图、列表、规律等多种操作活动，循序渐进地让学生体会图形整体与部分的关系；由部分到整体，整体到部分体会画图表示和分析问题的基本方法。教学中要充分鼓励学生借助画图来分析和解决实际问题，感受数学与生活的密切联系，树立学生学习数学的自信心。 　◆ 课时安排： 本单元用2课时完成教学。 课题 课时 用集合图解决实际问题 1 比赛场次 1 总计 2 学科网（北京）股份有限公司 $