第五章 必刷小题10 平面向量与复数（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（人教B版）

必刷小题10　平面向量与复数 一、单项选择题 1．(2023·马鞍山模拟)已知向量a＝(3,1)，b＝(2m－1,3)，若a与b共线，则实数m等于(　　) A. B．5 C. D．1 答案　B 解析　由题意，得3×3－1×(2m－1)＝0，解得m＝5. 2．设复数z是纯虚数，若是实数，则等于(　　) A．－2i B．－i C．i D．2i 答案　D 解析　设z＝bi(b∈R，b≠0)， 所以＝＝＝是实数， 所以2＋b＝0，即b＝－2. 所以z＝－2i，所以＝2i. 3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为(　　) A．(2,6) B．(－2,6) C．(2，－6) D．(－2，－6) 答案　D 解析　由题意知4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0， ∴d＝－6a－4b＋4c＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)＝(－6＋8－4,18－16－8)＝(－2，－6)． 4．(2024·哈尔滨模拟)已知|b|＝，且a·b＝－2，则向量a在向量b上的投影的数量为(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　C 解析　向量a在向量b上的投影的数量为|a|cos〈a，b〉＝|a|·＝＝－. 5．(2023·洛阳模拟)已知平面向量a，b满足|a|＝1，a与b的夹角为120°，若|a－b|＝，则|b|等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　因为|a－b|＝ ＝ ＝＝， 所以1＋|b|2＋|b|＝7，即|b|2＋|b|－6＝0， 解得|b|＝2. 6．(2023·临沂模拟)已知复数z0＝，其中i为虚数单位，且|z－z0|＝1，则复数z的模的最大值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　z0＝＝＝2i， 则|z－z0|＝1表示复数z对应点Z的轨迹是以(0,2)为圆心，1为半径的圆，如图所示， 则|z|表示圆上的点到原点的距离， 由图可知，|z|的最大值为3. 7．(2023·淄博模拟)如图，已知在△ABO中，OA＝1，OB＝2，·＝－1，过点O作OD⊥AB于点D，则(　　) A.＝＋ B.＝＋ C.＝＋ D.＝＋ 答案　A 解析　∵·＝||||cos∠AOB ＝2cos∠AOB＝－1， ∴cos∠AOB＝－， 又∵0°<∠AOB<180°， ∴∠AOB＝120°. 在△AOB中，根据余弦定理可得 AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos 120°＝7， 解得AB＝， 根据三角形面积公式 S△AOB＝AB·OD＝OA·OB·sin 120°， 解得OD＝， ∴AD＝＝， ∴＝， ∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋. 8．(2023·北京模拟)已知正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内部(不含边界)的动点，且满足·＝0，则·的取值范围是(　　) A．(0,8] B．[0,8) C．(0,4] D．[0,4) 答案　D 解析　以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(－1,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(－1,2)， 设P(x，y)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)， 由·＝－(1－x2)＋y2＝0， 得x2＋y2＝1，即x2－1＝－y2， 其中－1<x<1,0<y≤1， 则＝(x－1，y－2)，＝(x＋1，y－2)， 则·＝x2－1＋(y－2)2＝－y2＋(y－2)2＝－4y＋4∈[0,4)． 二、多项选择题 9．已知向量a，b满足a·b＝1，|b|＝1，且|a＋b|＝，则(　　) A．|a|＝2 B．a⊥(a－b) C．a与b的夹角为 D．a与b的夹角为 答案　AC 解析　由已知可得，(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝7. 又a·b＝1，|b|＝1， 所以a2＝4，所以|a|＝2，故A正确； 因为a·(a－b)＝a2－a·b＝3≠0，故B错误； 因为cos〈a，b〉＝＝，所以a与b的夹角为，故C正确，D错误． 10．(2023·沈阳模拟)已知复数z1＝m2－1＋(m＋1)i，z2＝cos 2θ＋isin θ，下列说法正确的是(　　) A．若z1为纯虚数，则m＝1 B．若z2为实数，则θ＝kπ，k∈Z C．若z1＝z2，则m＝0或m＝－ D．若z1≥0，则m的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞) 答案　ABC 解析　对于A，若复数z1＝m2－1＋(m＋1)i是纯虚数，则解得m＝1，故A正确； 对于B，若z2＝cos 2θ＋isin θ为实数，则sin θ＝0，则θ＝kπ，k∈Z，故B正确； 对于C，若z1＝z2，则则m2－1＝1－2(m＋1)2，解得m＝0或m＝－，故C正确； 对于D，若z1≥0，则解得m＝－1，故D错误． 11．(2024·黄山模拟)如图，EF为圆O的一条直径，点P是圆周上的动点，M，N是直径EF上关于圆心O对称的两点，且EF＝8，MN＝6，则(　　) A.＝＋ B.＋＝＋ C.·>· D.－>－ 答案　BC 解析　由题意可得||＝||＝1. 对于A，可得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，故A错误； 对于B，由＝，可得－＝－，整理得＋＝＋，故B正确； 对于C，由题意可得0°<∠MPN<∠EPF＝90°，EP⊥PF，则·＝||||cos∠MPN>0，·＝0，∴·>·，故C正确； 对于D，－＝，－＝，但向量不能比较大小，故D错误． 12．(2023·忻州模拟)若△ABC的三个内角均小于120°，点M满足∠AMB＝∠AMC＝∠BMC＝120°，则点M到三角形三个顶点的距离之和最小，点M被人们称为费马点．根据以上性质，已知a是平面内任意一个向量，向量b，c满足b⊥c，且|b|＝2|c|＝2，则|a－b|＋|a－c|＋|a＋c|的取值可以是(　　) A．9 B．4 C．3 D．6 答案　AB 解析　设a＝(x，y)，b＝(0,2)，c＝(，0)，|a－b|＋|a－c|＋|a＋c|＝＋＋， 即点M(x，y)到A(－，0)，B(，0)，C(0,2)三个点的距离之和． △ABC是等腰锐角三角形， 由费马点的性质可知当点M满足∠AMB＝∠AMC＝∠BMC＝120°时，点M到△ABC三个顶点的距离之和最小， 因为A(－，0)，B(，0)，C(0,2)， 所以M(0,1)，|a－b|＋|a－c|＋|a＋c|的最小值是2－1＋2＋2＝2＋3. 三、填空题 13．(2023·西安检测)已知i是虚数单位，z＝1＋i－3i2 025，且z的共轭复数为，则z·＝________. 答案　5 解析　因为z＝1＋i－3i2 025＝1＋i－3i＝1－2i， 所以＝1＋2i， 所以z·＝(1－2i)(1＋2i)＝5. 14.如图，在平行四边形ABCD中，点E和点F分别是CD和BC边上的动点，连接EF，交AC于点G，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R且λ＋μ＝，则＝________. 答案　2 解析　依题意，令＝m＝mλ＋mμ，m>0， 因为点E，G，F三点共线， 则mλ＋mμ＝1，而λ＋μ＝， 因此m＝，即＝， ＝2，所以＝2. 15．(2023·开封模拟)已知复数z满足|z＋2i|＝|z|，写出一个满足条件的复数z＝________. 答案　1－i(答案不唯一，虚部为－1即可) 解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)， 则|z＋2i|＝|a＋(b＋2)i|＝， |z|＝|a＋bi|＝， ∵|z＋2i|＝|z|， ∴＝， ∴a2＋(b＋2)2＝a2＋b2， 化简得4b＋4＝0，解得b＝－1. ∴满足条件的一个复数z＝1－i(答案不唯一，虚部为－1即可)． 16．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．在边长为2的正八边形ABCDEFGH中，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________；若P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则·的最小值为________． 答案　　－2 解析　因为AF⊥AB，以点A为坐标原点，分别以AB，AF所在直线为x，y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则A(0,0)，B(2,0)，C(2＋，)，E(2,2＋2)，F(0,2＋2)，＝(2,2＋2)，＝(0,2＋2)，＝(2＋，)， 因为＝λ＋μ， 则(2,2＋2)＝λ(2＋，)＋μ(0,2＋2)， 所以 解得λ＝2－，μ＝2－2， 所以λ＋μ＝. 设P(x，y)，则－≤x≤2＋， ＝(x，y)，＝(2,0)， 则·＝2x∈[－2，4＋2]， 所以当点P在线段GH上时，·取得最小值－2. 谢谢! 学科网（北京）股份有限公司 $