第四章 必刷小题8 解三角形（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（人教B版）

必刷小题8　解三角形 一、单项选择题 1．(2024·楚雄模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝b，sin A＝，则sin B等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为a＝b，所以＝. 由正弦定理得＝， 则sin B＝＝×＝. 2．(2023·沈阳模拟)在△ABC中，若a＝bcos C，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 答案　C 解析　由余弦定理得cos C＝， 将其代入a＝bcos C， 得a＝b·＝， ∴2a2＝a2＋b2－c2， ∴a2＋c2＝b2，即△ABC为直角三角形． 3．(2024·南京模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知9sin2B＝4sin2A，cos C＝，则等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵9sin2B＝4sin2A，∴9b2＝4a2，即b＝， ∵cos C＝＝＝， ∴2＝，则＝. 4．(2023·咸阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A＝60°，b＝1，＝，则△ABC的面积为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　在△ABC中，由正弦定理得 ＝＝， 所以＝＝， 则a＝sin A＝sin 60°＝×＝1， 又b＝1，A＝60°， 所以△ABC是正三角形， 所以△ABC的面积S△ABC＝absin 60°＝. 5．(2023·太原模拟)在△ABC中，A＝，BD⊥AC，D为垂足，若AC＝4BD，则cos∠ABC等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　A 解析　在△ABC中，A＝，BD⊥AC，D为垂足， 又AC＝4BD，不妨设BD＝t， 则AD＝t，AB＝t，AC＝4t，CD＝3t，BC＝＝t， 则cos∠ABC＝＝＝－. 6．(2023·达州模拟)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10 m，并在C处测得塔顶A的仰角为45°，则塔高AB等于(　　) A．30 m B．20 m C．30 m D．20 m 答案　D 解析　在△BCD中，∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10 m， 由正弦定理＝， 可得＝， 可得CB＝20×＝20(m)， 在Rt△ABC中，∠ACB＝45°， 所以塔高AB＝BC＝20 m. 7．(2023·东莞模拟)我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图(1)，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动．如图(2)，伞完全收拢时，伞圈D已滑到D′的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40 cm，B为AD′的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24 cm，则当伞完全张开时，∠BAC的余弦值是(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 答案　A 解析　依题意分析可知，当伞完全张开时，AD＝40－24＝16(cm)， 因为B为AD′的中点， 所以AB＝AC＝AD′＝20(cm)， 当伞完全收拢时，AB＋BD＝AD′＝40(cm)， 所以BD＝20(cm)， 在△ABD中，cos∠BAD＝＝＝， 所以cos∠BAC＝cos 2∠BAD＝2cos2∠BAD－1＝2×－1＝－. 8．(2023·郑州模拟)在锐角△ABC中，B＝60°，AB＝1，则AB边上的高的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 则AB边上的高h＝asin B＝a， 由正弦定理得a＝＝＝＝＋. 由△ABC为锐角三角形，可知30°<C<90°， 则tan C>， 所以a＝＋∈， 从而h∈， 因此AB边上的高的取值范围是. 二、多项选择题 9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对△ABC解的个数的判断中正确的是(　　) A．a＝7，b＝14，A＝30°，有一解 B．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 C．a＝，b＝，A＝60°，有一解 D．a＝6，b＝9，A＝45°，有两解 答案　AB 解析　选项A，bsin A＝14sin 30°＝7＝a，则三角形有一解，判断正确； 选项B，bsin A＝25sin 150°＝，则a>b>bsin A，则三角形有一解，判断正确； 选项C，bsin A＝sin 60°＝，则a<bsin A，则三角形无解，判断错误； 选项D，bsin A＝9sin 45°＝，则a<bsin A，则三角形无解，判断错误． 10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A＝(3b－c)sin B，且cos A＝，则下列结论正确的是(　　) A．a＋c＝3b B．tan A＝2 C．△ABC的周长为4c D．a＝c 答案　ABD 解析　由已知及正弦定理得ba＝(3b－c)b， 整理得a＝3b－c，即a＋c＝3b，故A正确； 由cos A＝可得sin A＝＝， 则tan A＝＝2，故B正确； 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， 又a＝3b－c，可得(3b－c)2＝b2＋c2－2bc·， 整理得3b＝2c，则△ABC的周长为a＋b＋c＝4b＝c，故C错误； 由以上可知，a＝3b－c,3b＝2c，可得a＝c，故D正确． 11．(2024·广州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.则下列命题正确的是(　　) A．若a＝3，b＝3，B＝30°，则A＝60° B．若A>B，则sin A>sin B C．若<cos A，则△ABC为钝角三角形 D．若a＝，b＝3，c2＋ab＝a2＋b2，则△ABC的面积为3 答案　BC 解析　对于A，由于a＝3，b＝3，B＝30°， 利用正弦定理＝， 解得sin A＝， 由于0°<A<150°，所以A＝60°或120°，故A错误； 对于B，当A>B时，a>b， 根据正弦定理＝， 可得sin A>sin B，故B正确； 对于C，若<cos A， 则c<bcos A，故2c2<2bccos A， 结合余弦定理cos A＝，得a2＋c2<b2， 故△ABC为钝角三角形，故C正确； 对于D，若a＝，b＝3，且c2＋ab＝a2＋b2， 利用余弦定理可得ab＝2abcos C， 解得cos C＝， 因为0°<C<180°，所以C＝60°， 所以S△ABC＝absin C＝××3×＝，故D错误． 12．(2023·沈阳模拟)在△ABC中，已知a＝2b，且＋＝，则(　　) A．a，c，b成等比数列 B．sin A∶sin B∶sin C＝2∶1∶ C．若a＝4，则S△ABC＝ D．A，B，C成等差数列 答案　ABC 解析　因为＋＝， 所以＋＝＝＝＝， 即sin2C＝sin Asin B， 即c2＝ab. 对选项A，因为c2＝ab， 所以a，c，b成等比数列，故A正确； 对选项B，因为a＝2b，c2＝ab＝2b2， 即c＝b， 所以a∶b∶c＝2∶1∶， 即sin A∶sin B∶sin C＝2∶1∶，故B正确； 对选项C，若a＝4，则b＝2，c＝2， 则cos B＝＝， 因为0<B<π，所以sin B＝. 故S△ABC＝×4×2×＝，故C正确； 对选项D，若A，B，C成等差数列， 则2B＝A＋C. 又因为A＋B＋C＝π，则B＝. 因为a∶b∶c＝2∶1∶， 设a＝2k，b＝k，c＝k，k>0， 则cos B＝＝≠，故D错误． 三、填空题 13．(2023·新乡模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝6，B＝30°，a2＋c2＝3ac，则△ABC的面积为________． 答案　 解析　因为b＝6，B＝30°， 所以62＝a2＋c2－2accos 30°＝a2＋c2－ac， 因为a2＋c2＝3ac， 所以3ac－ac＝36，得ac＝6， 故S△ABC＝acsin B＝. 14．已知圆内接四边形ABCD中，AB＝2，BC＝6，AD＝CD＝4，则四边形ABCD的面积为________． 答案　8 解析　连接BD，如图，圆内接四边形对角互补，A＋C＝π， 由余弦定理，得62＋42－2×6×4cos C＝22＋42－2×2×4cos(π－C)， ∴cos C＝， 又0<C<π，∴C＝，A＝， ∴S四边形ABCD＝S＝×6×4×sin ＋×4×2×sin ＝8. 15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos2C＝sin2A＋cos2B－sin Asin C，且b＝6，则B＝________，△ABC外接圆的面积为________． 答案　　12π 解析　由cos2C＝sin2A＋cos2B－sin Asin C， 可得1－sin2C＝sin2A＋1－sin2B－sin Asin C， 即sin2A＋sin2C－sin2B＝sin Asin C， 则由正弦定理得ac＝a2＋c2－b2， 由余弦定理得cos B＝＝， 又因为B∈(0，π)，可得B＝， 设△ABC外接圆的半径为R，则R＝＝2， 所以△ABC外接圆的面积为πR2＝12π. 16．(2023·安康模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(＋)·＝||2，则＝________. 答案　4 解析　因为在△ABC中，(＋)·＝||2， 所以·＋·＝||2， 所以bccos(π－A)＋accos B＝c2， 即acos B－bcos A＝c， 由正弦定理得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C＝sin(A＋B)， 化简得sin Acos B＝4sin Bcos A， 所以＝＝4. 谢谢! 学科网（北京）股份有限公司 $