第四章 必刷小题7 三角函数（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（人教B版）

必刷小题7　三角函数 一、单项选择题 1．已知扇形的周长为15 cm，圆心角为3 rad，则此扇形的弧长为(　　) A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm 答案　C 解析　设扇形弧长为l cm，半径为r cm，则＝3，即l＝3r且l＋2r＝15，解得l＝9，故此扇形的弧长为9 cm. 2．(2023·银川模拟)已知sin θ＋2cos2＝，则sin 2θ等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　A 解析　因为sin θ＋2cos2＝， 所以sin θ＋cos θ＝， 两边平方得1＋2sin θcos θ＝，则sin 2θ＝－. 3．(2023·日照模拟)在平面直角坐标系中，角θ的大小如图所示，则tan θ等于(　　) A. B. C．1 D. 答案　D 解析　由图可知，tan＝＝5， 即＝5，解得tan θ＝. 4．(2024·益阳模拟)将函数f(x)＝cos(2x＋θ)的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象，若g(x)的图象关于直线x＝对称，则θ等于(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　A 解析　由题意知，g(x)＝cos＝cos，令2x－＋θ＝kπ(k∈Z)，得函数g(x)的对称轴为x＝－＋，又|θ|<，当k＝0时，有－＝，解得θ＝. 5．(2023·兰州模拟)已知函数f(x)＝2sin(πx＋1)，若对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为(　　) A．2 B．1 C．4 D. 答案　B 解析　由于函数f(x)＝2sin(πx＋1)的周期T＝＝2，对于任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，可知f(x1)是函数的最小值，f(x2)是函数的最大值，所以|x1－x2|的最小值为＝＝1. 6．(2023·重庆模拟)若方程sin＝－在(0，π)上的解为x1，x2，则sin(x1＋x2)的值为(　　) A. B．－ C．－ D. 答案　A 解析　令2x－＝kπ＋，k∈Z， 得x＝＋，k∈Z， 因为sin＝－在(0，π)上的解为x1，x2， 则函数y＝sin的图象与直线y＝－的交点关于直线x＝对称，所以x1＋x2＝， 则sin(x1＋x2)＝sin ＝. 7．(2023·西安模拟)我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤180°)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝htan θ.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，且tan(α－β)＝，若第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是“表高”的(　　) A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 答案　B 解析　依题意，tan β＝1， 则tan α＝tan[α－β＋β] ＝＝＝2， 所以第一次的“晷影长”是“表高”的2倍． 8．(2023·长春模拟)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图，BC∥x轴，当x∈时，不等式f(x)≥m－sin 2x恒成立，则m的取值范围是(　　) A. B. C．(－∞，] D．(－∞，1] 答案　A 解析　因为BC∥x轴，所以f(x)图象的一条对称轴为x＝×＝， 所以＝－＝， 则T＝π，所以ω＝＝2， 又2×＋φ＝π＋kπ，k∈Z，且0<φ<π， 所以φ＝，故f(x)＝sin， 因为当x∈时，不等式f(x)≥m－sin 2x恒成立， 所以m≤f(x)＋sin 2x＝sin＋sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin，x∈恒成立， 令g(x)＝sin，x∈， 则2x＋∈， 所以g(x)＝sin的最小值为， 所以m≤，即m的取值范围是. 二、多项选择题 9．(2023·山东联考)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第三象限，且与单位圆O交于点P，则(　　) A．sin α＝－ B．tan α＝5 C．cos 2α＝－ D．sin＝－ 答案　ACD 解析　由三角函数定义，得2＋y2＝1， 得y2＝. 又α是第三象限角，y<0，所以y＝－， 所以sin α＝－，cos α＝－， tan α＝＝＝7，故A正确，B错误； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2－2＝－，故C正确； sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，则sin＝(sin 2α＋cos 2α)＝×＝－，故D正确． 10．(2024·梅河口模拟)已知tan(α＋β)＝tan α＋tan β，其中α≠(k∈Z)且β≠(m∈Z)，则下列结论一定正确的是(　　) A．sin(α＋β)＝0 B．cos(α＋β)＝1 C．sin2＋sin2＝1 D．sin2α＋cos2β＝1 答案　AD 解析　因为tan(α＋β)＝ ＝tan α＋tan β， 又当tan α＋tan β≠0时， 1－tan αtan β＝1，所以tan αtan β＝0， 所以tan α＝0或tan β＝0，这与α≠(k∈Z)且β≠(m∈Z)矛盾； 所以tan α＋tan β＝0，则α＋β＝kπ(k∈Z)， 对于A，sin(α＋β)＝sin kπ＝0，故A正确； 对于B，cos(α＋β)＝cos kπ＝±1，故B错误； 对于C，sin2＋sin2＝＋＝1－(cos α＋cos β)，不一定有cos α＋cos β＝0，故C错误； 对于D，sin2α＋cos2β＝sin2α＋cos2(kπ－α)＝sin2α＋cos2α＝1，故D正确． 11．(2023·兰州模拟)若将函数f(x)＝cos 2x＋cos的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，则下列关于函数y＝g(x)的结论正确的是(　　) A．g(x)的最小正周期为π B．g(x)在区间上的最小值为－ C．g(x)在区间上单调递减 D．g(x)图象的对称中心为 答案　ACD 解析　f(x)＝cos 2x＋cos＝cos 2x＋cos 2x－sin 2x＝cos 2x－sin 2x＝cos， 所以g(x)＝cos＋1＝cos＋1＝－sin 2x＋1， 选项A，g(x)的最小正周期T＝＝π，故A正确； 选项B，由x∈，知2x∈， 所以sin 2x∈[0,1]，所以g(x)的最小值为1－，故B错误； 选项C，令2x∈，则x∈， 因为⊆， 所以g(x)在上单调递减，故C正确； 选项D，令2x＝kπ，k∈Z，则x＝，k∈Z， 所以g(x)图象的对称中心为，k∈Z，故D正确． 12．(2023·泉州模拟)已知函数f(x)＝sin xcos x，g(x)＝sin x＋cos x，则(　　) A．f(x)与g(x)均在上单调递增 B．f(x)的图象可由g(x)的图象平移得到 C．f(x)图象的对称轴均为g(x)图象的对称轴 D．函数y＝f(x)＋g(x)的最大值为＋ 答案　AD 解析　f(x)＝sin xcos x＝sin 2x，g(x)＝sin x＋cos x＝sin， 选项A，由x∈知，2x∈，x＋∈， 又函数y＝sin x在上单调递增， 所以f(x)与g(x)均在上单调递增，故A正确； 选项B，f(x)的图象需由g(x)的图象经过平移和伸缩变换得到，故B错误； 选项C，令2x＝＋k1π，k1∈Z，则x＝＋，k1∈Z， 所以f(x)图象的对称轴为直线x＝＋，k1∈Z， 令x＋＝＋k2π，k2∈Z，则x＝＋k2π，k2∈Z， 所以g(x)图象的对称轴为直线x＝＋k2π，k2∈Z， 所以g(x)图象的对称轴均为f(x)图象的对称轴，故C错误； 选项D，因为f(x)max＝，g(x)max＝， 而当x＝时，f(x)max＝与g(x)max＝可同时成立，所以y＝f(x)＋g(x)的最大值为＋，故D正确． 三、填空题 13．如果sin α＝－，α为第三象限角，则sin＝ . 答案　 解析　由诱导公式可知sin＝－cos α， 又sin α＝－且α为第三象限角， 所以cos α＝－＝－， 所以sin＝. 14．(2023·焦作模拟)计算：2cos 50°－＝ . 答案　 解析　2cos 50°－＝2sin 40°－ ＝＝ ＝＝ ＝＝. 15．(2024·宝鸡模拟)若a，b，c，d为实数，且＝ad－bc，定义函数f(x)＝，现将f(x)的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位后得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为 ． 答案　g(x)＝2cos 2x 解析　由题意可知，f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＝sin 2x－(1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－＝2sin－， 将f(x)的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位后得到函数g(x)的图象，则g(x)＝2sin－＋＝2cos 2x. 16．(2023·焦作模拟)已知f(x)＝sin(3x＋φ)为奇函数，若对任意α∈，存在β∈，满足f(α)＋f(β)＝0，则实数α的取值范围是 ． 答案　∪ 解析　因为f(x)＝sin(3x＋φ)为奇函数，所以φ＝0，f(x)＝sin 3x. 由f(α)＋f(β)＝0，可得sin 3α＋sin 3β＝0， 所以3β＝3α＋π＋2kπ，或3β＝－3α＋2kπ，k∈Z， 所以β＝α＋＋，或β＝－α＋，k∈Z， 若对任意α∈，存在β∈，满足f(α)＋f(β)＝0， 则－≤α＋＋≤α，k∈Z， 即＋≤0，α≥－－，k∈Z， 则k只能取－1，α＝， 或－≤－α＋≤α，k∈Z， 则≤α≤＋，k∈Z， 则k只能取0,0≤α≤， 综上可得，实数α的取值范围是∪. 谢谢! 学科网（北京）股份有限公司 $