第二章 §2.7 指数与指数函数（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（人教B版）

§2.7　指数与指数函数 课标要求　1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 知识梳理 1．根式 (1)一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根． (2)当有意义的时候，称为根式，其中n称为根指数，a称为被开方数． (3)()n＝a. 当n为奇数时，＝a， 当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂：＝(a>0，m，n∈N＋，且为既约分数)． 正数的负分数指数幂：＝＝(a>0，m，n∈N＋，n>1)． 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)． 4．指数函数及其性质 (1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)称为指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 常用结论 1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，. 2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)＝－4.(　×　) (2)2a·2b＝2ab.(　×　) (3)指数函数y＝ax与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．(　√　) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　×　) 2．已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于(　　) A．不确定 B．0 C．1 D．2 答案　C 解析　由函数y＝a·2x是指数函数，得a＝1， 由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1. 3．已知关于x的不等式x－4≥3－2x，则该不等式的解集为(　　) A．[－4，＋∞) B．(－4，＋∞) C．(－∞，－4) D．(－4,1] 答案　A 解析　不等式x－4≥3－2x，即34－x≥3－2x， 由于y＝3x是增函数， 所以4－x≥－2x，解得x≥－4， 所以原不等式的解集为[－4，＋∞)． 4．(2023·福州质检)＋0＋×－4＝________. 答案　5 解析　＋0＋×－4 ＝－4＋1＋0.5×16＝5. 题型一　指数幂的运算 例1 计算： (1)0.5－2×－2×0＋－2； (2)2×3×. 解　(1)原式＝－2×－2＋2 ＝－2×－2＋ ＝－2×－2＋ ＝－－2＋＝－. (2)原式＝ ＝6×3＝18. 思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序． (2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 跟踪训练1 (多选)下列计算正确的是(　　) A.＝ B． C.＝ D．已知x2＋x－2＝2，则x＋x－1＝2 答案　BC 解析　对于A，＝＝＝≠，所以A错误； 对于B，＝－9a(a>0，b>0)，所以B正确； 对于C，＝＝，所以C正确； 对于D，因为(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝4，所以x＋x－1＝±2，所以D错误． 题型二　指数函数的图象及应用 例2 (1)(多选)已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为(　　) A．a＝b B．0<b<a C．a<b<0 D．0<a<b 答案　ABC 解析　由题意，在同一平面直角坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的图象，如图所示， 由图象知，当a＝b＝0时，3a＝6b＝1，故选项A正确； 作出直线y＝k，当k>1时，若3a＝6b＝k，则0<b<a，故选项B正确； 作出直线y＝m，当0<m<1时，若3a＝6b＝m，则a<b<0，故选项C正确； 当0<a<b时，易得2b>1，则3a<3b<2b·3b＝6b，故选项D错误． (2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________． 答案　(0,2) 解析　在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示． ∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点． ∴实数b的取值范围是(0,2)． 思维升华 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 跟踪训练2 (多选)已知函数f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象不经过第三象限，则a，b的取值范围可能为(　　) A．0<a<1，b<0 B．0<a<1,0<b≤1 C．a>1，b<0 D．a>1,0<b≤1 答案　ABC 解析　若0<a<1，则函数y＝ax的图象如图所示， 要想f(x)＝ax－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，或向下平移不超过1个单位，故－b>0或－1≤－b<0，解得b<0或0<b≤1，故A，B正确； 若a>1，则函数y＝ax的图象如图所示，要想f(x)＝ax－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，故－b>0，解得b<0，即C正确，D错误． 题型三　指数函数的性质及应用 命题点1　比较指数式的大小 例3 (2024·海口模拟)已知a＝1.30.6，b＝－0.4，c＝0.3，则(　　) A．c<b<a B．a<b<c C．c<a<b D．b<c<a 答案　D 解析　a＝1.30.6>1.30＝1，b＝－0.4＝0.4，c＝0.3， 因为指数函数y＝x是减函数， 所以0.4<0.3<0＝1， 所以b<c<1，所以b<c<a. 命题点2　解简单的指数方程或不等式 例4 已知p：ax<1(a>1)，q：2x＋1－x<2，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　∵ax<1，当a>1时，y＝ax是增函数， ∴p：{x|x<0}． 对于不等式2x＋1<x＋2， 作出函数y＝2x＋1与y＝x＋2的图象，如图所示． 由图象可知，不等式2x＋1<x＋2的解集为{x|－1<x<0}， ∴q：{x|－1<x<0}． 又∵{x|－1<x<0}⊆{x|x<0}， ∴p是q的必要不充分条件． 命题点3　指数函数性质的综合应用 例5 已知函数f(x)＝(a为常数，且a≠0，a∈R)是奇函数． (1)求a的值； (2)若∀x∈[1,2]，都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围． 解　(1)f(x)＝·2x＋， 因为f(x)是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)， 即·＋2x＝－， 所以＝0， 即＋1＝0，解得a＝－1. (2)由(1)知a＝－1， 所以f(x)＝－2x，x∈[1,2]， 所以－22x≥m， 所以m≥＋2x，x∈[1,2]， 令t＝2x，t∈[2,4]， 设y＝＋2x，则y＝t＋，t∈[2,4]， 由于y＝t＋在[2,4]上单调递增， 所以m≥4＋＝. 所以实数m的取值范围是. 思维升华 (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量． (2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断． 跟踪训练3 (1)(多选)(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的定义域为R B．函数f(x)的值域为(－1,1) C．函数f(x)是奇函数 D．函数f(x)为减函数 答案　ABC 解析　因为ex>0，所以ex＋1>0， 所以函数f(x)的定义域为R，故A正确； f(x)＝＝1－， 由ex>0⇒ex＋1>1⇒0<<1 ⇒－2<－<0⇒－1<1－<1， 所以函数f(x)的值域为(－1,1)，故B正确； 因为f(－x)＝＝＝＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数，故C正确； 因为函数y＝ex＋1是增函数，所以y＝ex＋1>1， 所以函数y＝是减函数， 所以函数y＝－是增函数， 故f(x)＝＝1－是增函数，故D不正确． (2)(2023·银川模拟)函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值为________． 答案　或 解析　当a>1时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递增， 由题意可得，f(2)－f(1)＝a2－a＝， 解得a＝或a＝0(舍去)； 当 0<a<1时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递减， 由题意可得，f(1)－f(2)＝a－a2＝， 解得a＝或a＝0(舍去)， 综上所述，a＝或 a＝. 课时精练 一、单项选择题 1．下列结论中，正确的是(　　) A．若a>0，则＝a B．若m8＝2，则m＝± C．若a＋a－1＝3，则＝± D.＝2－π 答案　B 解析　对于A，根据分数指数幂的运算法则，可得，当a＝1时，＝a；当a≠1时，≠a，故A错误； 对于B，m8＝2，故m＝±，故B正确； 对于C，a＋a－1＝3，则＝a＋a－1＋2＝3＋2＝5，因为a>0，所以＝，故C错误； 对于D，＝|2－π|＝π－2，故D错误． 2．已知函数f(x)＝ax－a(a>1)，则函数f(x)的图象不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　y＝ax(a>1)是增函数，经过点(0,1)， 因为a>1， 所以函数f(x)的图象需由函数y＝ax(a>1)的图象向下平移超过1个单位得到， 所以函数f(x)＝ax－a的图象如图所示． 故函数f(x)的图象不经过第二象限． 3．已知a＝31.2，b＝1.20，c＝－0.9，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<c<b B．c<b<a C．c<a<b D．b<c<a 答案　D 解析　因为b＝1.20＝1，c＝－0.9＝30.9， 且y＝3x为增函数，1.2>0.9>0， 所以31.2>30.9>30＝1，即a>c>b. 4．(2023·新高考全国Ⅰ)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2,0) C．(0,2] D．[2，＋∞) 答案　D 解析　函数y＝2x在R上是增函数，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减， 则函数y＝x(x－a)＝2－在区间(0,1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2， 所以a的取值范围是[2，＋∞)． 5．(2023·潍坊模拟)“关于x的方程a(2|x|＋1)＝2|x|没有实数解”的一个必要不充分条件是(　　) A．a≤ B．a>1 C．a≤或a≥1 D．a<或a≥1 答案　C 解析　a(2|x|＋1)＝2|x|， 因为2|x|＋1>0，所以a＝＝1－， 因为2|x|≥20＝1， 所以2|x|＋1≥2,0<≤，≤1－<1， 要使a(2|x|＋1)＝2|x|没有实数解， 则a<或a≥1， 由于a<或a≥1不能推出a≤，故A不成立； 由于a<或a≥1不能推出a>1，故B不成立； 由于a<或a≥1⇒a≤或a≥1，且a≤或a≥1不能推出a<或a≥1，故C正确； D为充要条件，不符合要求． 6．(2024·辽源模拟)已知函数f(x)＝2x－2－x＋1，若f(a2)＋f(a－2)>2，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－2,1) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2) 答案　C 解析　令g(x)＝2x－2－x，定义域为R，且g(－x)＝－g(x)， 所以函数g(x)是奇函数，且是增函数， 因为f(x)＝g(x)＋1，f(a2)＋f(a－2)>2， 则g(a2)＋g(a－2)>0，即g(a2)>－g(a－2)， 又因为g(x)是奇函数， 所以g(a2)>g(2－a)， 又因为g(x)是增函数，所以a2>2－a， 解得a<－2或a>1， 故实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞)． 二、多项选择题 7．已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(a<b)，则(　　) A．2a＋2b>2 B．∃a，b∈R，使得0<a＋b<1 C．2a＋2b＝2 D．a＋b<0 答案　CD 解析　画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示． 由图知1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2，故A错误，C正确； 由均值不等式可得2＝2a＋2b>2＝2， 所以2a＋b<1，则a＋b<0，故B错误，D正确． 8．已知函数f(x)＝m－是定义域为R的奇函数，则下列说法正确的是(　　) A．m＝ B．函数f(x)在R上的最大值为 C．函数f(x)是减函数 D．存在实数n，使得关于x的方程f(x)－n＝0有两个不相等的实数根 答案　AC 解析　因为函数f(x)＝m－是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝m－＝0， 解得m＝，此时f(x)＝－， 则f(－x)＝－＝－ ＝－＝－1＋ ＝－＝－f(x)，符合题意，故A正确； 又f(x)＝－＝－＝－， 因为ex>0，所以ex＋1>1，则0<<1， 所以－<f(x)<， 即f(x)∈，故B错误； 因为y＝ex是增函数，y＝ex>0， 且y＝在(0，＋∞)上单调递减， 所以f(x)＝－是减函数，故C正确； 因为f(x)是减函数， 所以y＝f(x)与y＝n最多有1个交点， 故f(x)－n＝0最多有一个实数根， 即不存在实数n，使得关于x的方程f(x)－n＝0有两个不相等的实数根，故D错误． 三、填空题 9．＝________. 答案　81 解析　原式＝ ＝2－1＋8＋(23×32)＝81. 10．(2023·福州模拟)写出一个同时具备下列性质的函数f(x)＝________. ①f(x＋1)＝f(x)f(1)；②f′(x)<0. 答案　e－x(答案不唯一) 解析　∵f(x＋1)＝f(x)f(1)是加变乘， ∴考虑指数函数类型， 又f′(x)<0，∴f(x)是减函数， ∴f(x)＝e－x满足要求． 11．已知函数f(x)＝有最大值3，则a的值为________． 答案　1 解析　令g(x)＝ax2－4x＋3， 则f(x)＝g(x)， ∵f(x)有最大值3，∴g(x)有最小值－1， 则解得a＝1. 12．(2024·宁波模拟)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)＝－f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”．设f(x)＝3x＋m－1(m∈R，m≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是________． 答案　 解析　∵f(x)＝3x＋m－1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”， ∴存在x0∈[－1,1]满足f(－x0)＝－f(x0)， ∴＋m－1＝－m＋1， ∴2m＝＋2， 构造函数y＝＋2，x0∈[－1,1]， 令t＝，t∈， 则y＝－－t＋2＝2－在上单调递增，在(1,3]上单调递减， ∴当t＝1时，函数取得最大值0， 当t＝或t＝3时，函数取得最小值－， ∴y∈， 又∵m≠0，∴－≤2m<0，∴－≤m<0. 四、解答题 13．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值． 解　令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2. 当a>1时，因为x∈[－1,1]， 所以t∈， 又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增， 所以ymax＝(a＋1)2－2＝14， 解得a＝3或a＝－5(舍去)； 当0<a<1时，因为x∈[－1,1]， 所以t∈， 又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增， 则ymax＝2－2＝14， 解得a＝或a＝－(舍去)． 综上，a＝3或a＝. 14．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数． (1)求a，b的值； (2)判断f(x)的单调性； (3)若存在t∈[0,4]，使f(k＋t2)＋f(4t－2t2)<0成立，求实数k的取值范围． 解　(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(0)＝0，即＝0，所以a＝1， 又因为f(－x)＝－f(x)， 所以＝－， 将a＝1代入，整理得＝， 当x≠0时，有b·2x＋1＝b＋2x， 即(b－1)(2x－1)＝0， 又因为当x≠0时，有2x－1≠0， 所以b－1＝0，所以b＝1. 经检验符合题意，所以a＝1，b＝1. (2)由(1)知，函数f(x)＝＝＝－1＋， 因为y＝1＋2x为增函数，且1＋2x>0，则函数f(x)是减函数． (3)因为存在t∈[0,4]，使f(k＋t2)＋f(4t－2t2)<0成立，且函数f(x)是定义在R上的奇函数， 所以不等式可转化为f(k＋t2)<f(2t2－4t)， 又因为函数f(x)是减函数， 所以k＋t2>2t2－4t，所以k>t2－4t， 令g(t)＝t2－4t＝(t－2)2－4， 由题意可知，问题等价转化为k>g(t)min， 又因为g(t)min＝g(2)＝－4，所以k>－4， 即实数k的取值范围为(－4，＋∞)． 15．(2023·深圳模拟)已知α∈，a＝(cos α)sin α，b＝(sin α)cos α，c＝(cos α)cos α，则(　　) A．b>c>a B．c>b>a C．c>a>b D．a>b>c 答案　A 解析　已知α∈，则0<cos α<sin α<1， 因为y＝(cos α)x在(0,1)上单调递减，故c＝(cos α)cos α>(cos α)sin α＝a； 因为幂函数y＝xcos α在(0,1)上单调递增，故c＝(cos α)cos α<(sin α)cos α＝b，故b>c>a. 16．(2023·徐州模拟)正实数m，n满足e1－2m＋2－2m＝en－1＋n，则＋的最小值为________． 答案　 解析　由e1－2m＋2－2m＝en－1＋n，得e1－2m＋(1－2m)＝en－1＋(n－1)， 令f(x)＝ex＋x，则原等式为f(1－2m)＝f(n－1)，显然函数f(x)为增函数， 于是1－2m＝n－1，即2m＋n＝2， 而m>0，n>0， 因此＋＝＋＝＋＋≥2＋＝， 当且仅当＝，即m＝n＝时取等号， 所以当m＝n＝时，＋取得最小值. 谢谢! 学科网（北京）股份有限公司 $