第二章 §2.5 函数性质的综合应用（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（人教B版）

§2.5　函数性质的综合应用 重点解读　函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查． 题型一　函数的奇偶性与单调性 例1 (2023·长春模拟)已知函数f(x)＝lg(|x|－1)＋2x＋2－x，则不等式f(x＋1)<f(2x)的解集为(　　) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－2，－1) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D.∪(1，＋∞) 答案　C 解析　对于函数f(x)＝lg(|x|－1)＋2x＋2－x， 令|x|－1>0，解得x>1或x<－1， 所以函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 又f(－x)＝lg(|－x|－1)＋2－x＋2x＝lg(|x|－1)＋2x＋2－x＝f(x)， 所以f(x)为偶函数， 当x>1时，f(x)＝lg(x－1)＋2x＋2－x， 则y＝lg(x－1)在(1，＋∞)上单调递增， 令g(x)＝2x＋2－x，x∈(1，＋∞)， 所以g′(x)＝2xln 2－2－xln 2＝(2x－2－x)ln 2>0， 所以g(x)＝2x＋2－x在(1，＋∞)上单调递增， 则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，从而得到f(x)在(－∞，－1)上单调递减， 则不等式f(x＋1)<f(2x)等价于解得x>1或x<－2， 所以不等式的解集为(－∞，－2)∪(1，＋∞)． 思维升华 (1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)． (2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小． 跟踪训练1 (2024·扬州模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，f(2)＝0，则不等式f(x－1)f(x)<0的解集是(　　) A．(－2,2) B．(－∞，－2)∪(1,2) C．(－∞，－1)∪(0,3) D．(－2，－1)∪(2,3) 答案　D 解析　因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(－2)＝f(2)＝0， 当－2<x<2时，f(x)<0， 当x<－2或x>2时，f(x)>0， 若f(x－1)f(x)<0， 则或 当时，解得2<x<3； 当时，解得－2<x<－1. 综上，不等式的解集为(－2，－1)∪(2,3)． 题型二　函数的奇偶性与周期性 例2 (多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝－f ，f(0)＝－2，且f 为奇函数，则(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)是一个周期为3的周期函数 D．f(2 025)＝－2 答案　BCD 解析　函数f(x)的定义域为R，且f(0)＝－2，则f(x)不可能是奇函数，故A错误； 定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝－f ，变形可得f(x)＝－f ， 而f 为奇函数， 则f ＝－f ， 则f(－x)＝－f ，则有f(－x)＝f(x)， 即函数f(x)为偶函数，故B正确； 已知函数f(x)满足f(x－1)＝－f ， 即f(x)＝－f ， 则有f(x＋3)＝－f ＝f(x)， 即函数f(x)是一个周期为3的周期函数，故C正确； f(x)是偶函数且周期为3， 则f(2 025)＝f(0)＝－2，故D正确． 思维升华 周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解． 跟踪训练2 已知定义在R上的函数f(x)满足条件：①f(x)的周期为2，②f(x－2)为奇函数，③当x∈[0,1)时，>0(x1≠x2)恒成立．则f ，f(4)，f 的大小关系为(　　) A．f >f(4)>f  B．f(4)>f >f  C．f >f(4)>f  D．f >f >f(4) 答案　C 解析　因为f(x－2)为奇函数，f(x)的周期为2，所以f(x)为奇函数， 因为当x∈[0,1)时，>0， 所以f(x)在[0,1)上单调递增， 因为f(x)为奇函数，所以f(x)在(－1,0)上单调递增， 所以f(x)在(－1,1)上单调递增， 因为f ＝f ＝f ， f(4)＝f(4－2×2)＝f(0)， f ＝f ＝f ， 所以f >f(0)>f ， 即f >f(4)>f . 题型三　函数的奇偶性与对称性 例3 (2023·长沙模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，则下列函数的图象一定关于点(－1,0)成中心对称的是(　　) A．y＝(x－1)f(x－1) B．y＝(x＋1)f(x＋1) C．y＝xf(x)＋1 D．y＝xf(x)－1 答案　B 解析　构造函数g(x)＝xf(x)，该函数的定义域为R， 所以g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)， 函数g(x)为奇函数，故函数g(x)图象的对称中心为坐标原点． 对于A选项，函数y＝(x－1)f(x－1)的图象由函数g(x)的图象向右平移1个单位得到， 故函数y＝(x－1)f(x－1)图象的对称中心为(1,0)； 对于B选项，函数y＝(x＋1)f(x＋1)的图象由函数g(x)的图象向左平移1个单位得到， 故函数y＝(x＋1)f(x＋1)图象的对称中心为(－1,0)； 对于C选项，函数y＝xf(x)＋1的图象由函数g(x)的图象向上平移1个单位得到， 故函数y＝xf(x)＋1图象的对称中心为(0,1)； 对于D选项，函数y＝xf(x)－1的图象由函数g(x)的图象向下平移1个单位得到， 故函数y＝xf(x)－1图象的对称中心为(0，－1)． 思维升华 由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等． 跟踪训练3 若定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，在区间(0,1)上，有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称 B．函数f(x)的图象关于直线x＝2轴对称 C．在区间(2,3)上，f(x)单调递减 D．f >f  答案　C 解析　f(4－x)＝f(2－(x－2))＝f(x－2)＝－f(2－x)＝－f(x)， 即f(4－x)＋f(x)＝0，故f(x)的图象关于点(2,0)中心对称， ∵f(2－x)＝f(x)，则f(x)的图象关于直线x＝1轴对称，故A，B错误； 根据题意可得，f(x)在(0,1)上单调递增， ∵f(x)的图象关于直线x＝1轴对称，关于点(2,0)中心对称， 则f(x)在(2,3)上单调递减，故C正确； 又∵f(x)＝f(2－x)＝－f(x－2)，则f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，可知f(x)的周期为4， 则f ＝f <f ，故D错误． 题型四　函数的周期性与对称性 例4 (多选)(2024·昆明模拟)已知定义域为R的函数f(x)在(－1,0]上单调递增，f(1＋x)＝f(1－x)，且图象关于点(2,0)对称，则下列结论正确的是(　　) A．f(0)＝f(2) B．f(x)的最小正周期T＝2 C．f(x)在(1,2]上单调递减 D．f(2 021)>f(2 022)>f(2 023) 答案　AC 解析　由f(1＋x)＝f(1－x)知，f(x)图象的对称轴为直线x＝1， 所以f(0)＝f(2)，故A正确； 由f(1＋x)＝f(1－x)知，f(2＋x)＝f(－x)， 又图象关于点(2,0)对称， 即f(2＋x)＝－f(2－x)，故f(4＋x)＝－f(－x)， 所以－f(2＋x)＝f(4＋x)，即－f(x)＝f(2＋x)， 所以f(x)＝f(x＋4)，f(x)的最小正周期为4，故B错误； 因为f(x)在(－1,0]上单调递增，且T＝4， 所以f(x)在(3,4]上单调递增， 又图象关于点(2,0)对称， 所以f(x)在[0,1)上单调递增， 因为f(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以f(x)在(1,2]上单调递减，故C正确； 根据f(x)的周期为4，可得f(2 021)＝f(1)，f(2 022)＝f(2)，f(2 023)＝f(－1)， 因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2)＝f(0)， 由C选项的分析可知，函数f(x)在[0,1)上单调递增，在(－1,0]上单调递增，确定的单调区间内均不包含x＝±1，若f(－1)＝f(1)＝0，则f(2 021)>f(2 022)>f(2 023)不成立，故D错误． 思维升华 函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题． 跟踪训练4 (多选)(2023·盐城模拟)已知非常数函数f(x)为R上的奇函数，g(x)＝f(x＋1)为偶函数，下列说法正确的有(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝－1对称 B．g(2 023)＝0 C．g(x)的最小正周期为4 D．对任意x∈R都有f(2－x)＝f(x) 答案　ABD 解析　因为f(x)为R上的奇函数， 且g(x)＝f(x＋1)为偶函数， 所以f(x)关于(0,0)中心对称，且直线x＝1为对称轴， 所以直线x＝－1也是对称轴， 所以f(x)的图象关于直线x＝－1对称， 所以f(x)＝f(2－x)，A，D正确； 由A分析知f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)， 故f(2＋x)＝－f(x)， 所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)， 所以f(x)是一个周期为4的周期函数， 则g(2 023)＝f(2 024)＝f(0)＝0，B正确； 但不能说明g(x)的最小正周期为4，C错误． 课时精练 一、单项选择题 1．已知f(x)是R上的偶函数，且f(x)＋f(x＋2)＝0，当0≤x≤1时，f(x)＝1－x2，则f(2 023.5)等于(　　) A．－0.75 B．－0.25 C．0.25 D．0.75 答案　D 解析　由f(x)＋f(x＋2)＝0， 得f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)， 则f(x＋4)＝f(x)， 所以4是f(x)的一个周期， 故f(2 023.5)＝f(3.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)＝1－0.52＝0.75. 2．定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)，若f(x)在区间[1,2]上单调递减，则函数f(x)(　　) A．在区间[0,1]上单调递增，在区间[－2，－1]上单调递减 B．在区间[0,1]上单调递增，在区间[－2，－1]上单调递增 C．在区间[0,1]上单调递减，在区间[－2，－1]上单调递减 D．在区间[0,1]上单调递减，在区间[－2，－1]上单调递增 答案　B 解析　∵f(x)＝f(2－x)， ∴f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∵f(x)在区间[1,2]上单调递减， ∴f(x)在区间[0,1]上单调递增， 又∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(－x)， ∴f(2－x)＝f(－x)， ∴f(x)是周期为2的函数， ∴f(x)在区间[－2，－1]上也单调递增． 3．(2023·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，f(2－x)＝f(x)，且f(x)在(－1,1)上单调递增，则(　　) A．f(－5.3)<f(5.5)<f(2) B．f(－5.3)<f(2)<f(5.5) C．f(2)<f(－5.3)<f(5.5) D．f(5.5)<f(2)<f(－5.3) 答案　B 解析　根据题意，函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，f(2－x)＝f(x)， 则有f(2－x)＝－f(－x)，变形可得f(x＋2)＝－f(x)， 则有f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数， 易得f(x)的对称轴为直线x＝1， 因为f(x)在(－1,1)上单调递增， 所以f(x)在(1,3)上单调递减，f(5.5)＝f(1.5)，f(－5.3)＝f(2.7－8)＝f(2.7)， 因为1<1.5<2<2.7<3， 所以f(1.5)>f(2)>f(2.7)， 即f(－5.3)<f(2)<f(5.5)． 4．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且满足f(x＋1)＋f(3－x)＝0，且当x∈(2,4)时，f(x)＝＋m，若＝f(－1)，则m等于(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　C 解析　因为函数f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数， 因为f(x＋1)＝－f(3－x)＝f(x－3)， 故函数f(x)的周期为4，则f(2 025)＝f(1)， 而f(－1)＝－f(1)， 所以由＝f(－1)可得f(1)＝， 而f(1)＝－f(3)＝＝， 解得m＝－. 5．已知函数f(x)＝2x＋2－x，则下列函数的图象关于直线x＝1对称的是(　　) A．f(x－1)＋cos x B．f(x＋1)＋sin x C．f(x－1)＋sin x D．f(x＋1)＋cos x 答案　C 解析　因为函数f(x)＝2x＋2－x的定义域为R， 且f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)， 故函数f(x)＝2x＋2－x为偶函数，图象关于y轴对称， 函数f(x－1)的图象为函数f(x)的图象向右平移1个单位得到， 故函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称， 又函数y＝sin x的图象关于直线x＝1对称， 因此函数f(x－1)＋sin x的图象关于直线x＝1对称． 6．(2024·济宁检测)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若∀a，b∈[0，＋∞)，且a≠b，都有<0成立，则不等式f －(2t2－t)f(2t－1)>0的解集为(　　) A．(－1,0)∪ B.∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪ D.∪(1，＋∞) 答案　D 解析　令g(x)＝xf(x)， 由题意知g(x)在[0，＋∞)上单调递减， 又f(x)为R上的偶函数， 所以g(x)为R上的奇函数， 所以g(x)在R上单调递减， ①当t>0时，原不等式等价于  f >(2t－1)f(2t－1)， 即g>g(2t－1)，所以<2t－1， 所以1<2t2－t，解得t>1； ②当t<0时，原不等式等价于  f <(2t－1)f(2t－1)， 即g<g(2t－1)，所以>2t－1， 所以1<2t2－t，解得t<－. 所以t<－或t>1. 二、多项选择题 7．(2023·揭阳模拟)已知函数f(x)是R上的奇函数，对于任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)成立，当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－1，给出下列结论，其中正确的是(　　) A．f(2)＝0 B．点(4,0)是函数f(x)的图象的一个对称中心 C．函数f(x)在[－6，－2]上单调递增 D．函数f(x)在[－6,6]上有3个零点 答案　AB 解析　因为f(x＋4)＝f(x)， 所以f(x)的周期为4，f(2)＝f(－2)， 又函数f(x)是R上的奇函数， 故f(2)＝－f(－2)， 所以f(2)＝f(－2)＝0，故A正确； 因为点(0,0)是f(x)的对称中心，f(x)的周期为4， 所以点(4,0)也是函数f(x)的图象的一个对称中心，故B正确； 作出函数f(x)的部分图象如图所示， 易知函数f(x)在[－6，－2]上不具有单调性，故C不正确； 函数f(x)在[－6,6]上有7个零点，故D不正确． 8．(2023·邯郸模拟)已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)－f(－x)＝0，且满足f(x＋1)为奇函数，当x∈[0,1)时，f(x)＝－cos ，下列结论正确的是(　　) A．f(1)＝0 B．f(x)的周期为2 C．f(x)的图象关于点(1,0)中心对称 D．f ＝－ 答案　ACD 解析　因为f(x＋1)为奇函数， 所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)， 所以f(－0＋1)＝－f(0＋1)， 所以f(1)＝0，A正确； 因为当x∈[0,1)时，f(x)＝－cos ， 所以f(0)＝－cos 0＝－1， 因为f(－x＋1)＝－f(x＋1)， 所以f(2)＝－f(0)＝1，故f(2)≠f(0)， 所以2不是f(x)的周期， 故B错误； 因为f(x＋1)为奇函数， 所以函数f(x＋1)的图象关于原点对称， 所以f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，C正确； 由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(x)－f(－x)＝0， 可得f(x＋2)＝－f(－x－1＋1)＝－f(－x)＝－f(x)， 所以f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以函数f(x)为周期函数，周期为4， 所以f ＝f ＝f ＝f ， 又当x∈[0,1)时，f(x)＝－cos ， 所以f ＝－cos ＝－，D正确． 三、填空题 9．已知函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，若实数a满足f(a)＋f(1－2a)>0，则a的取值范围是________． 答案　(0,1) 解析　对于函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)， 有解得－1<x<1， 则函数y＝f(x)的定义域为(－1,1)，定义域关于原点对称， f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)， 所以函数y＝f(x)为奇函数， 由于函数y＝ln(1＋x)在区间(－1,1)上单调递增， 函数y＝ln(1－x)在区间(－1,1)上单调递减， 所以函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)在(－1,1)上单调递增， 由f(a)＋f(1－2a)>0， 得f(a)>－f(1－2a)＝f(2a－1)， 所以解得0<a<1. 因此，实数a的取值范围是(0,1)． 10．设函数f(x)是定义在整数集Z上的函数，且满足f(0)＝1，f(1)＝0，对任意的x，y∈Z都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，则f(3)＝________；＝________. 答案　0　 解析　令x＝y＝1，即f(2)＋f(0)＝2f2(1)， ∴f(2)＝－1， 令x＝2，y＝1，即f(3)＋f(1)＝2f(2)f(1)， ∴f(3)＝0， 令x＝y＝2，即f(4)＋f(0)＝2f2(2)，∴f(4)＝1， 令y＝1，则f(x＋1)＋f(x－1)＝0， 即f(x＋1)＝－f(x－1)， 可得f(x＋2)＝－f(x)， f(x)＝－f(x＋2)＝f(x＋4)， ∴4为函数f(x)的周期， f(1)＝0，f(2)＝－1，f(3)＝0，f(4)＝1， ∴当x为奇数时，f(x)＝0， 当n为奇数时，n2也为奇数，此时f(n2)＝0；当n为偶数时，n2为4的整数倍，此时f(n2)＝1. ∴f(12)＋f(22)＋…＋f(2 0232)＝0＋1＋0＋1＋…＋0＋1＋0＝1 011， n2＋(n＋1)2＝2n2＋2n＋1＝2n(n＋1)＋1， 由n∈Z，得n(n＋1)为偶数， 记n2＋(n＋1)2＝2n(n＋1)＋1＝4kn＋1，kn∈Z， 12＋22＋…＋2 0232＝(12＋22)＋(32＋42)＋…＋(2 0212＋2 0222)＋2 0232 ＝4(k1＋k3＋…＋k2 021)＋1 011＋4 092 529 ＝4(k1＋k3＋…＋k2 021)＋4 093 540 ＝4(k1＋k3＋…＋k2 021＋1 023 385)， f(12＋22＋…＋2 0232)＝f(4(k1＋k3＋…＋k2 021＋1 023 385))＝f(0)＝1， ∴＝. 谢谢! 学科网（北京）股份有限公司 $