第二章 §2.1 函数的概念及其表示（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（人教B版）

§2.1　函数的概念及其表示 课标要求　1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用． 知识梳理 1．函数的概念 给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的三要素 (1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域． (2)如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 4．分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数． 常用结论 1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． 2．在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集． 3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(　×　) (2)任何一个函数都可以用图象法表示．(　×　) (3)直线y＝a与函数y＝f(x)的图象可以有多个交点．(　√　) (4)函数f(x)＝的定义域为R.(　√　) 2．(多选)(2023·南宁质检)下列图象中，是函数图象的是(　　) 答案　ACD 解析　在函数的对应关系中，一个自变量只对应一个因变量，在图象中，图象与平行于y轴的直线最多有一个交点，故选项B中的图象不是函数图象． 3．(多选)下列选项中，表示的不是同一个函数的是(　　) A．y＝与y＝ B．y＝x2与y＝(x－1)2 C．y＝与y＝x D．y＝1与y＝x0 答案　BCD 解析　对于A选项，y＝的定义域是[－3,3)， y＝的定义域是[－3,3)， 并且＝，所以两个函数的定义域相同，对应关系相同，所以是同一个函数； 对于B选项，两个函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数； 对于C选项，y＝＝|x|，所以两函数的对应关系不同，所以不是同一个函数； 对于D选项，y＝1的定义域是R，y＝x0的定义域是{x|x≠0}，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数． 4．已知函数f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是________________． 答案　f(x)＝x2＋6x 解析　f(x－1)＝x2＋4x－5， 设x－1＝t，则x＝t＋1， 所以f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t， 故f(x)＝x2＋6x. 题型一　函数的概念 例1 (1)(多选)下列说法中正确的有(　　) A．f(x)＝与g(x)＝表示同一个函数 B．函数f(x)＝－的定义域是[－1,0)∪(0，＋∞) C．f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一个函数 D．若f(x)＝|x－1|－x，则f ＝0 答案　BC 解析　对于A，函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数g(x)＝的定义域为R，两函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故A错误；对于B，由题意，在f(x)＝－中，解得x≥－1且x≠0，故B正确；对于C，函数f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1的定义域与对应关系都相同，所以两函数是同一个函数，故C正确；对于D，由f(x)＝|x－1|－x，可得f ＝0，所以f ＝f(0)＝1，故D错误． (2)(2024·济南检测)已知函数f(x)的定义域为[－2,3]，则函数f(2x－1)的定义域为________． 答案　 解析　由－2≤2x－1≤3，解得－≤x≤2， 所以函数f(2x－1)的定义域为. 思维升华 函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法 (1)函数概念中有两个要求：①A，B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应． (2)两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数． 跟踪训练1 (1)下列各组函数表示同一个函数的是(　　) A．f(x)＝，g(x)＝()2 B．f(x)＝－1，g(x)＝ C．f(x)＝g(t)＝|t| D．f(x)＝x＋1，g(x)＝ 答案　C 解析　对于A，f(x)＝的定义域为R，g(x)＝()2的定义域为[0，＋∞)，不是同一个函数；对于B，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数；对于C，两个函数的定义域、对应关系均相同，是同一个函数；对于D，f(x)＝x＋1的定义域为R，g(x)＝的定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数． (2)(2023·衡阳模拟)已知函数f(x)的定义域为[2,8]，则函数h(x)＝f(2x)＋的定义域为(　　) A．[4,16] B．(－∞，1]∪[3，＋∞) C．[1,3] D．[3,4] 答案　C 解析　要使函数h(x)＝f(2x)＋有意义， 则解得1≤x≤3， 所以函数h(x)的定义域为[1,3]． 题型二　函数的解析式 例2 (1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式； (2)已知f ＝x4＋，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； (4)若对任意实数x，均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式． 解　(1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0,2]， 则sin x＝1－t， ∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， ∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]． 即f(x)＝2x－x2(0≤x≤2)． (2)(配凑法)f ＝x4＋＝2－2， 又x2＋≥2＝2， 当且仅当x2＝，即x＝±1时等号成立． 设t＝x2＋， 则t≥2，∴f(t)＝t2－2(t≥2)， ∴f(x)＝x2－2(x≥2)． (3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)， ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17， 即ax＋(5a＋b)＝2x＋17， ∴解得 ∴f(x)＝2x＋7(x∈R)． (4)(解方程组法)∵f(x)－2f(－x)＝9x＋2，① ∴f(－x)－2f(x)＝9(－x)＋2，② 由①＋2×②得－3f(x)＝－9x＋6， ∴f(x)＝3x－2(x∈R)． 思维升华 函数解析式的求法 (1)配凑法．(2)待定系数法．(3)换元法．(4)解方程组法． 跟踪训练2 (1)若f ＝，则f(x)＝________. 答案　(x≠0且x≠1) 解析　f(x)＝＝(x≠0且x≠1)． (2)已知f(f(x))＝4x＋9，且f(x)为一次函数，则f(x)＝________________. 答案　2x＋3或－2x－9 解析　因为f(x)为一次函数，所以设f(x)＝kx＋b(k≠0)， 所以f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋b(k＋1)， 因为f(f(x))＝4x＋9，所以k2x＋b(k＋1)＝4x＋9恒成立， 所以 解得或 所以f(x)＝2x＋3或f(x)＝－2x－9. 题型三　分段函数 例3 (1)(多选)(2023·佛山模拟)已知函数f(x)＝则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(－∞，4] C．若f(x)＝2，则x的值是－ D．f(x)<1的解集为(－1,1) 答案　BC 解析　函数f(x)＝的定义域是[－2，＋∞)，故A错误； 当－2≤x<1时，f(x)＝x2，值域为[0,4]，当x≥1时，f(x)＝－x＋2，值域为(－∞，1]，故f(x)的值域为(－∞，4]，故B正确； 当x≥1时，令f(x)＝－x＋2＝2，无解，当－2≤x<1时，令f(x)＝x2＝2，解得x＝－，故C正确； 当－2≤x<1时，令f(x)＝x2<1，解得x∈(－1,1)，当x≥1时，令f(x)＝－x＋2<1，解得x∈(1，＋∞)，故f(x)<1的解集为(－1,1)∪(1，＋∞)，故D错误． (2)已知函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a的值是________；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是________________． 答案　－2或5　[－3，－1)∪[4，＋∞) 解析　若f(a)＝4，则或 解得a＝－2或a＝5. 若f(a)≥2，则或 解得－3≤a<－1或a≥4， ∴a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞)． 思维升华 分段函数求值问题的解题思路 (1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验． 跟踪训练3 (1)(2023·济宁模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(2 023)等于(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　由题设，当x>0时，f(x)＝f(x－3)， 即当x>0时，函数f(x)是周期为3的周期函数， 则f(2 023)＝f(3×674＋1)＝f(1) ＝f(－2)＝log2[2－(－2)]＝log24＝2. (2)(多选)已知函数f(x)＝则(　　) A．f(f())＝3 B．若f(x)＝－1，则x＝2或x＝－3 C．f(x)<2的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞) D．若∀x∈R，a>f(x)，则a≥3 答案　BCD 解析　对于A，因为f()＝－()2＋3＝0，所以f(f())＝f(0)＝2，所以A错误；对于B，当x<1时，由f(x)＝－1，得x＋2＝－1，解得x＝－3，当x≥1时，由f(x)＝－1，得－x2＋3＝－1，x2＝4，解得x＝2或x＝－2(舍去)，综上，x＝2或x＝－3，所以B正确；对于C，当x<1时，由f(x)<2，得x＋2<2，解得x<0，当x≥1时，由f(x)<2，得－x2＋3<2，解得x>1，综上，f(x)<2的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，所以C正确；对于D，当x<1时，x＋2<3，当x≥1时，－x2＋3≤2，所以f(x)的值域为(－∞，3)，因为∀x∈R，a>f(x)，所以a≥3，所以D正确． 课时精练 一、单项选择题 1．(2023·西安模拟)函数f(x)＝＋ln(1－x)的定义域是(　　) A．(－2,1) B．(－3,1) C．(1,2) D．(1,3) 答案　A 解析　由题意可得解得－2<x<1. 故函数f(x)的定义域是(－2,1)． 2．函数f(x)＝的值域是(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－2)∪(－2，＋∞) D．(－∞，1)∪(1，＋∞) 答案　D 解析　f(x)＝＝＝1－， ∵≠0，∴1－≠1， 从而可知函数f(x)＝的值域为(－∞，1)∪(1，＋∞)． 3．(2023·驻马店统考)已知函数f(2x＋1)＝2x－x2－3，则f(3)等于(　　) A．－4 B．－2 C．2 D．4 答案　B 解析　令2x＋1＝3，得x＝1，则f(3)＝2－1－3＝－2. 4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是(　　) 答案　A 解析　水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水速度恒定的情况下，开始水的高度增加的由快变慢，中间增加的最慢，最后增加的由慢变快，由图可知选项A符合． 5．已知f(x)＝实数a满足f(a)<f(－a)，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2)∪(0,2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－2,0)∪(0,2) D．(－2,0)∪(2，＋∞) 答案　D 解析　由题意可知，a≠0. 当a<0时，f(a)＝a2＋2a，f(－a)＝－a2－2a， 所以由f(a)<f(－a)可得a2＋2a<－a2－2a， 即a2＋2a<0，解得－2<a<0， 当a>0时，f(a)＝－a2＋2a，f(－a)＝a2－2a， 所以由f(a)<f(－a)可得－a2＋2a<a2－2a， 即a2－2a>0，解得a>2， 所以a的取值范围是(－2,0)∪(2，＋∞)． 6．(2024·广州质检)已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B. C. D．(－∞，－1)∪ 答案　C 解析　∵当x≥1时，f(x)＝ln x≥ln 1＝0， 又f(x)的值域为R， 故当x<1时，f(x)的值域包含(－∞，0)． 故解得－1≤a<. 二、多项选择题 7．(2023·汕头模拟)如果某函数的定义域与其值域的交集是[a，b]，则称该函数为“[a，b]交汇函数”．下列函数是“[0,1]交汇函数”的是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝1－x2 D．y＝ 答案　BD 解析　由“[a，b]交汇函数”定义可知，“[0,1]交汇函数”表示函数的定义域与值域的交集为[0,1]． y＝的定义域A＝[0，＋∞)，值域B＝[0，＋∞)，则A∩B＝[0，＋∞)，A错误； y＝的定义域A＝(－∞，1]，值域B＝[0，＋∞)，则A∩B＝[0,1]，B正确； y＝1－x2的定义域A＝R，值域B＝(－∞，1]，则A∩B＝(－∞，1]，C错误； y＝的定义域A＝[－1,1]，值域B＝[0,1]，则A∩B＝[0,1]，D正确． 8．下列说法正确的是(　　) A．函数f(x＋1)的定义域为[－2,2)，则函数f(x)的定义域为[－1,3) B．f(x)＝和g(x)＝x表示同一个函数 C．函数y＝的值域为 D．定义在R上的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝x＋1，则f(x)＝＋1 答案　ACD 解析　对于A，对于f(x＋1)，令t＝x＋1⇒x＝t－1∈[－2,2)，则t∈[－1,3)， 所以f(t)，即f(x)的定义域为[－1,3)，故A正确； 对于B，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R，不是同一个函数，故B不正确； 对于C，因为x2＋3≥3，所以0<≤，故函数y＝的值域为，故C正确； 对于D，由2f(x)－f(－x)＝x＋1可得2f(－x)－f(x)＝－x＋1， 所以由 可得f(x)＝＋1，故D正确． 三、填空题 9．函数f(x)＝的定义域为________． 答案　(0,1)∪(1,2] 解析　要使函数f(x)有意义， 则解得0<x≤2且x≠1， 故函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,2]． 10．若f(＋1)＝x－1，则f(x)＝________. 答案　x2－2x(x≥1) 解析　令＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2(t≥1)， 于是有f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t(t≥1)⇒f(x)＝x2－2x(x≥1)． 11．已知函数f(x)＝则f ＝________；若f(a)>a，则a的取值范围是________． 答案　4　(－1,1)∪(1，＋∞) 解析　因为f ＝2×＋1＝2， 所以f ＝f(2)＝22＝4. 当a≥1时，f(a)>a⇔a2>a，解得a>1； 当a<1时，f(a)>a⇔2a＋1>a，解得－1<a<1， 所以不等式的解集为(－1,1)∪(1，＋∞)． 12．(2023·南昌模拟)已知函数f(x)＝若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)＝________. 答案　 解析　作出函数f(x)的图象，如图所示． 因为f(a－3)＝f(a＋2)，且a－3<a＋2， 所以即－2<a≤3， 此时f(a－3)＝a－3＋3＝a，f(a＋2)＝， 所以a＝，a>0， 解得a＝2，则f(a)＝. 四、解答题 13．已知函数f(x)的解析式为f(x)＝ (1)求f ，f ，f(－1)的值； (2)画出这个函数的图象； (3)求f(x)的最大值． 解　(1)∵＞1，∴f ＝－2×＋8＝5. ∵0＜＜1，∴f ＝＋5＝. ∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2. (2)此分段函数的图象如图所示． 在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分， 在函数y＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分， 在函数y＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分． 图中实线组成的图形就是函数y＝f(x)的图象． (3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6. 14．(2023·曲靖检测)已知函数f(x)＝. (1)求f ＋f(3)，f ＋f(2)的值； (2)探索f(x)＋f ； (3)利用(2)的结论求表达式：f ＋f ＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 022)＋f(2 023)的值． 解　(1)已知函数f(x)＝， ∴f ＋f(3)＝＋＝＋＝1，f ＋f(2)＝＋＝＋＝1. (2)由f(x)＝，得f ＝＝，∴f(x)＋f ＝1. (3)由(2)知f(x)＋f ＝1，f(1)＝＝， ∴f ＋f ＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 022)＋f(2 023)＝2 022＋f(1)＝2 022×1＋＝. 15．(多选)设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，y＝[x]称为高斯函数，也叫取整函数．如[1.2]＝1，[2]＝2，[－1.2]＝－2.设f(x)＝x－[x]，则下列结论正确的有(　　) A．f(－1.1)＝0.9 B．函数f(x)的图象关于原点对称 C．f(x＋1)＝f(x)＋1 D．函数f(x)的值域为[0,1) 答案　AD 解析　对于A，因为f(x)＝x－[x]， 所以f(－1.1)＝－1.1－[－1.1]＝－1.1－(－2)＝0.9，故A选项正确； 对于B，因为f(0.5)＝0.5－[0.5]＝0.5－0＝0.5，f(－0.5)＝－0.5－[－0.5]＝－0.5－(－1)＝0.5， 所以f(0.5)＋f(－0.5)＝1≠0，即函数f(x)的图象不关于原点对称，故B选项错误； 对于C，因为∀x∈R，∃k∈Z，使得k≤x<k＋1，此时有k＋1≤x＋1<k＋2， 所以f(x＋1)＝x＋1－[x＋1]＝x＋1－(k＋1)＝x－k，f(x)＝x－[x]＝x－k，故C选项错误； 对于D，由C选项分析可知∀x∈R，总有f(x＋1)＝f(x)，即f(x)是周期为1的周期函数， 不妨设0≤x<1，则此时有0≤f(x)＝x－[x]＝x－0＝x<1，因此函数f(x)的值域为[0,1)，故D选项正确． 16．已知函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是________，若函数f(x)的值域是[0，＋∞)，则实数m的取值范围是________． 答案　　 解析　若函数f(x)的定义域为R， 则有m>0且Δ＝(m－2)2－4m(m－1)≤0， 解得m≥， 所以m的取值范围是. 当m＝0时，f(x)＝＝，值域是[0，＋∞)，满足条件； 令g(x)＝mx2－(m－2)x＋m－1，g(x)≥0， 当m＜0时，g(x)的图象开口向下，故f(x)的值域不会是[0，＋∞)，不满足条件； 当m＞0时，g(x)的图象开口向上， 只需mx2－(m－2)x＋m－1＝0中的Δ≥0， 即(m－2)2－4m(m－1)≥0，解得－≤m≤， 又m>0，所以0<m≤， 综上，0≤m≤， 所以实数m的取值范围是. 谢谢! 学科网（北京）股份有限公司 $