7.3.2 离散型随机变量的方差 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习word（人教A版）

7.3.2  离散型随机变量的方差

[课时跟踪检测]

1.已知随机变量X，Y满足Y=aX+b，且a，b为正数.若D（X）=2，D（Y）=8，则 （　　）

A.b=2 B.a=4

C.a=2 D.b=4

解析：选C　因为D（X）=2，D（Y）=8，所以8=2a2.又a为正数，所以a=2.

2.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值相等，方差分别为D（X甲）=11，D（X乙）=3.4.由此可以估计              （　　）

A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐

B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐

C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同

D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较

解析：选B　∵E（X甲）=E（X乙），且D（X甲）>D（X乙），∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐.

3.若某随机事件的概率分布列满足P（X=i）=a×（i=1，2，3，4），则D（X）= （　　）

A.3 B.10

C.9 D.1

解析：选D　法一　由题意得+++=1，解得a=1，

所以E（X）=1×+2×+3×+4×=3，所以D（X）=（1-3）2×+（2-3）2×+（3-3）2×+（4-3）2×=1.故选D.

法二　由题意得+++=1，解得a=1，

所以E（X）=1×+2×+3×+4×=3，

所以E（X2）=1×+4×+9×+16×=10，所以D（X）=E（X2）-（E（X））2=10-9=1.故选D.

4.[多选]若随机变量X服从两点分布，其中P（X=0）=，E（X），D（X）分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是              （　　）

A.P（X=1）=E（X） B.E（3X+2）=4

C.D（3X+2）=2 D.D（X）=

解析：选ABC　∵随机变量X服从两点分布，P（X=0）=，∴P（X=1）=1-P（X=0）=1-=，E（X）=0×+1×=，故A中结论正确；E（3X+2）=3E（X）+2=3×+2=4，故B中结论正确；D（X）=×+×=，则D（3X+2）=32D（X）=2，故C中结论正确，D中结论不正确.

5.已知下表为离散型随机变量X的分布列，则P（X≥D（X））等于 （　　）

A. B.

C. D.

解析：选A　由题意得E（X）=0×+1×+2×+3×=2，D（X）=（0-2）2×+（1-2）2×+（2-2）2×+（3-2）2×=1，故P（X≥D（X））=P（X≥1）=1-P（X=0）=.

6.设10≤x1<x2<x3<x4≤104，x5=105.随机变量ξ1取值x1，x2，x3，x4，x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值的概率也为0.2.若记D（ξ1），D（ξ2）分别为ξ1，ξ2的方差，则              （　　）

A.D（ξ1）>D（ξ2）

B.D（ξ1）=D（ξ2）

C.D（ξ1）<D（ξ2）

D.D（ξ1）与D（ξ2）的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关

解析：选A　由题意可知E（ξ1）=（x1+x2+x3+x4+x5），E（ξ2）==（x1+x2+x3+x4+x5），期望相等，都设为m，

所以D（ξ1）=[（x1-m）2+…+（x5-m）2]，D（ξ2）=，因为10≤x1<x2<x3<x4≤104，x5=105，所以D（ξ1）>D（ξ2）.

7.（5分）若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为　　　　. 

解析：在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则D（ξ）=p（1-p），所以p（1-p）=0.25，解得p=0.5.

答案：0.5

8.（5分）已知随机变量ξ的分布列如表，且满足E（ξ）=1，则a=　 　　；又η=3ξ-1，则D（η）=　 　　. 

解析：根据ξ的分布列得+a+b=1，①

因为E（ξ）=1，所以0×+1×a+2×b=1，②

由①②联立得a=，b=，

所以D（ξ）=×（0-1）2+×（1-1）2+×（2-1）2=.

因为η=3ξ-1，所以D（η）=32D（ξ）=.

答案：　

9.（5分）若随机事件A在1次试验中发生的概率为p（0<p<1），用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数，则方差D（X）的最大值为　　　　，此时p=　　　　. 

解析：随机变量X的所有可能的取值是0，1，并且

P（X=1）=p，P（X=0）=1-p.

从而E（X）=0×（1-p）+1×p=p，

D（X）=（0-p）2·（1-p）+（1-p）2·p=p-p2=-+.因为0<p<1，所以当p=时，D（X）取得最大值，最大值是.