7.3.2 离散型随机变量的方差 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习word（人教A版）

7.3.2 离散型随机变量的方差 [课时跟踪检测] 1.已知随机变量X，Y满足Y=aX+b，且a，b为正数.若D（X）=2，D（Y）=8，则 （　　） A.b=2 B.a=4 C.a=2 D.b=4 解析：选C　因为D（X）=2，D（Y）=8，所以8=2a2.又a为正数，所以a=2. 2.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值相等，方差分别为D（X甲）=11，D（X乙）=3.4.由此可以估计 （　　） A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 解析：选B　∵E（X甲）=E（X乙），且D（X甲）>D（X乙），∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐. 3.若某随机事件的概率分布列满足P（X=i）=a×（i=1，2，3，4），则D（X）= （　　） A.3 B.10 C.9 D.1 解析：选D　法一　由题意得+++=1，解得a=1， 所以E（X）=1×+2×+3×+4×=3，所以D（X）=（1-3）2×+（2-3）2×+（3-3）2×+（4-3）2×=1.故选D. 法二　由题意得+++=1，解得a=1， 所以E（X）=1×+2×+3×+4×=3， 所以E（X2）=1×+4×+9×+16×=10，所以D（X）=E（X2）-（E（X））2=10-9=1.故选D. 4.[多选]若随机变量X服从两点分布，其中P（X=0）=，E（X），D（X）分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是 （　　） A.P（X=1）=E（X） B.E（3X+2）=4 C.D（3X+2）=2 D.D（X）= 解析：选ABC　∵随机变量X服从两点分布，P（X=0）=，∴P（X=1）=1-P（X=0）=1-=，E（X）=0×+1×=，故A中结论正确；E（3X+2）=3E（X）+2=3×+2=4，故B中结论正确；D（X）=×+×=，则D（3X+2）=32D（X）=2，故C中结论正确，D中结论不正确. 5.已知下表为离散型随机变量X的分布列，则P（X≥D（X））等于 （　　） X 0 1 2 3 P A. B. C. D. 解析：选A　由题意得E（X）=0×+1×+2×+3×=2，D（X）=（0-2）2×+（1-2）2×+（2-2）2×+（3-2）2×=1，故P（X≥D（X））=P（X≥1）=1-P（X=0）=. 6.设10≤x1<x2<x3<x4≤104，x5=105.随机变量ξ1取值x1，x2，x3，x4，x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值的概率也为0.2.若记D（ξ1），D（ξ2）分别为ξ1，ξ2的方差，则 （　　） A.D（ξ1）>D（ξ2） B.D（ξ1）=D（ξ2） C.D（ξ1）<D（ξ2） D.D（ξ1）与D（ξ2）的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关 解析：选A　由题意可知E（ξ1）=（x1+x2+x3+x4+x5），E（ξ2）==（x1+x2+x3+x4+x5），期望相等，都设为m，所以D（ξ1）=[（x1-m）2+…+（x5-m）2]，D（ξ2）=，因为10≤x1<x2<x3<x4≤104，x5=105，所以D（ξ1）>D（ξ2）. 7.（5分）若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为　　　　.  解析：在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则D（ξ）=p（1-p），所以p（1-p）=0.25，解得p=0.5. 答案：0.5 8.（5分）已知随机变量ξ的分布列如表，且满足E（ξ）=1，则a=　 　　；又η=3ξ-1，则D（η）=　 　　.  ξ 0 1 2 P a b 解析：根据ξ的分布列得+a+b=1，① 因为E（ξ）=1，所以0×+1×a+2×b=1，② 由①②联立得a=，b=， 所以D（ξ）=×（0-1）2+×（1-1）2+×（2-1）2=. 因为η=3ξ-1，所以D（η）=32D（ξ）=. 答案：　 9.（5分）若随机事件A在1次试验中发生的概率为p（0<p<1），用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数，则方差D（X）的最大值为　　　　，此时p=　　　　.  解析：随机变量X的所有可能的取值是0，1，并且 P（X=1）=p，P（X=0）=1-p. 从而E（X）=0×（1-p）+1×p=p， D（X）=（0-p）2·（1-p）+（1-p）2·p=p-p2=-+.因为0<p<1，所以当p=时，D（X）取得最大值，最大值是. 答案：　 10.（10分）数字1，2，3，4，5任意排成一列，如果数字k恰好在第k个位置上，则称有一个巧合.把存在此种情况的数字的个数称为巧合数ξ. （1）求巧合数ξ的分布列；（7分） （2）求巧合数ξ的期望与方差.（3分） 解：（1）ξ可能取值为0，1，2，3，5， P（ξ=0）===， P（ξ=1）===， P（ξ=2）===， P（ξ=3）===， P（ξ=5）=. 则巧合数ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 5 P （2）E（ξ）=0×+1×+2×+3×+5×=1，D（ξ）=1×+0+1×+4×+16×=1. 11.（10分）有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下： XA 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 XB 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中XA，XB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度（哪一个的稳定性较好）. 解：E（XA）=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125， E（XB）=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125， D（XA）=0.1×（110-125）2+0.2×（120-125）2+0.4×（125-125）2+0.1×（130-125）2+0.2×（135-125）2=50， D（XB）=0.1×（100-125）2+0.2×（115-125）2+0.4×（125-125）2+0.1×（130-125）2+0.2×（145-125）2=165.由此可见E（XA）=E（XB），D（XA）<D（XB）， 故两种材料的抗拉强度的平均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性好. 12.（15分）为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，增强文化自觉和文化自信，某区组织开展了中华优秀传统文化知识竞答活动，该活动有单人赛和PK赛，每人只能参加其中的一项.据统计，中小学生参与该项知识竞答活动的人数共计4.8万，其中获奖学生情况统计如下： 奖项 组别 单人赛 PK 赛获奖 一等奖 二等奖 三等奖 中学组 40 40 120 100 小学组 32 58 210 100 （1）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自中学组的概率；（5分） （2）从中学组和小学组获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中PK赛获奖的人数，求X的分布列和数学期望；（6分） （3）从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自中学组的人数为ξ，来自小学组的人数为η，试判断D（ξ）与D（η）的大小关系.（结论不要求证明）（4分） 解：（1）设事件A表示“抽到的学生获得一等奖”，事件B表示“抽到的学生来自中学组”， 则抽到的1个学生获得一等奖，学生来自中学组的概率为P（B|A）=，由题表知，P（AB）=，P（A）=，则P（B|A）=. （2）由题意知，X可能取值为0，1，2， 则P（X=0）==， P（X=1）==， P（X=2）==， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E（X）=0×+1×+2×=. （3）由题设知ξ+η=3，所以D（ξ）=D（3-η）=（-1）2·D（η）=D（η）. 学科网（北京）股份有限公司 $