第八章 §8.3 圆的方程（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（苏教版 提高版）

§8.3　圆的方程 课标要求　1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程. 2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 知识梳理 1．圆的定义和圆的方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心C 半径r＝ 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)MC>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外； (2)MC＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)MC<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内． 常用结论 1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上． 3．圆心在任一弦的垂直平分线上． 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　√　) (2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2,1)为圆心，a为半径的圆．(　×　) (3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　√　) (4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　√　) 2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是(　　) A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4 C．(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝ 答案　B 3．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为(　　) A．(－2,0) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C．[－2,0] D．(－∞，－2]∪[0，＋∞) 答案　B 解析　由x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0， 得(x＋a)2＋(y－2a)2＝5a2＋10a， 由该曲线表示圆，可知5a2＋10a>0， 解得a>0或a<－2. 4．下列各点中，在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的外部的是(　　) A．(0,2) B．(3,3) C．(－2,2) D．(4,1) 答案　B 解析　由(0－1)2＋(2＋2)2＝17<25知(0,2)在圆内； 由(3－1)2＋(3＋2)2＝29>25知(3,3)在圆外； 由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25知(－2,2)在圆上； 由(4－1)2＋(1＋2)2＝18<25知(4,1)在圆内. 题型一　圆的方程 例1 (2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________________． 答案　(x－1)2＋(y＋1)2＝5 解析　方法一　设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， 则解得 ∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 方法二　设⊙M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 则M， ∴解得 ∴⊙M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 方法三　设A(3,0)，B(0,1)，⊙M的半径为r， 则kAB＝＝－，AB的中点坐标为， ∴AB的垂直平分线方程为y－＝3， 即3x－y－4＝0. 联立解得 ∴M(1，－1)， ∴r2＝MA2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5， ∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 思维升华 求圆的方程的常用方法 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 跟踪训练1 (1)(2024·郑州模拟)已知点A(－2,1)，B(－1,0)，C(2,3)，M(a，2)四点共圆，则a＝________. 答案　± 解析　设过A，B，C的圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F>0， 则解得 所以过A，B，C的圆的方程为x2＋y2－4y－1＝0. 又因为点M在此圆上， 所以a2＋4－8－1＝0，解得a2＝5， 所以a＝±. (2)若圆C经过坐标原点，且圆心在直线y＝－2x＋3上运动，当半径最小时，圆的方程为__________________________． 答案　2＋2＝ 解析　设圆心坐标为(a，－2a＋3)，则圆的半径r＝＝ ＝. 当a＝时，rmin＝. 故所求圆的方程为2＋2＝. 题型二　与圆有关的轨迹问题 命题点1　直接法 例2 已知A(－2,0)，B(2,0)，动点M满足MA＝2MB，则点M的轨迹方程是________． 答案　x2＋y2－x＋4＝0 解析　设M(x，y)，则MA＝， MB＝. 因为MA＝2MB， 所以＝2， 整理可得，3x2＋3y2－20x＋12＝0， 即x2＋y2－x＋4＝0. 所以点M的轨迹是圆，方程为x2＋y2－x＋4＝0. 命题点2　定义法 例3 (2023·茂名模拟)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且AM＝2，则点A的轨迹方程是(　　) A．y2＝4x B．x2＋y2－2x－2y－3＝0 C．x2＋y2－2y－3＝0 D．y2＝－4x 答案　B 解析　因为圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1， 所以圆心C(1,1)，半径r＝1， 因为点M是圆上的动点，所以MC＝1， 又AM与圆相切，且AM＝2， 则AC＝＝， 设A(x，y)，则(x－1)2＋(y－1)2＝5， 即x2＋y2－2x－2y－3＝0， 所以点A的轨迹方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0. 命题点3　相关点法 例4 已知O为坐标原点，点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹． 解　设P(x，y)，N(x0，y0)， ∵四边形MONP为平行四边形， 则＝＋， 即(x，y)＝(－3,4)＋(x0，y0)， 即则 又N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上， ∴x＋y＝4，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4， 易知直线OM的方程为y＝－x， 联立 得或 ∴点P的轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4除去点和. 思维升华 求与圆有关的轨迹问题的常用方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式． 跟踪训练2 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求： (1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程． 解　(1)方法一　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0. 因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在， 所以kAC·kBC＝－1， 又kAC＝，kBC＝， 所以·＝－1， 化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)． 方法二　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知CD＝AB＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)． 所以直角顶点C的轨迹方程为 (x－1)2＋y2＝4(y≠0)． (2)设M(x，y)，C(x0，y0)， 因为B(3,0)，且M是线段BC的中点， 所以由中点坐标公式得x＝，y＝， 所以x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知，点C的轨迹方程为 (x－1)2＋y2＝4(y≠0)， 将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)． 因此动点M的轨迹方程为 (x－2)2＋y2＝1(y≠0)． 题型三　与圆有关的最值问题 命题点1　利用几何性质求最值 例5 (2024·泉州模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求： (1)的最大值和最小值； (2)y－x的最小值； (3)x2＋y2的最大值和最小值． 解　(1)如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，为半径的圆． 设＝k，即y＝kx， 则圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值． 由＝，解得k2＝3，∴kmax＝，kmin＝－. ∴max＝，min＝－. (2)设y－x＝b，则y＝x＋b，当且仅当直线y＝x＋b与圆相切于第四象限时，截距b取最小值， 由点到直线的距离公式，得＝， 即b＝－2±，故(y－x)min＝－2－. (3)x2＋y2是圆上点与原点的距离的平方， 设圆与x轴相交于点B和C′(点B在点C′左侧)， 则(x2＋y2)max＝OC′2＝(2＋)2＝7＋4， (x2＋y2)min＝OB2＝(2－)2＝7－4. 圆的参数方程 圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的参数方程为其中θ为参数． 典例　利用圆的参数方程解决例5(2)(3)． 解　x2＋y2－4x＋1＝0可化为(x－2)2＋y2＝3， 令 (2)y－x＝sin θ－(2＋cos θ)＝sin－2， ∴(y－x)min＝－－2. (3)x2＋y2＝(2＋cos θ)2＋(sin θ)2＝7＋4cos θ， ∵cos θ∈[－1,1]， ∴(x2＋y2)max＝7＋4，(x2＋y2)min＝7－4. 命题点2　利用函数求最值 例6 (2023·湘潭质检)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则·的最大值为________． 答案　12 解析　由题意，得＝(2－x，－y)， ＝(－2－x，－y)， 所以·＝x2＋y2－4， 由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程 x2＋(y－3)2＝1， 故x2＝－(y－3)2＋1， 所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4 ＝6y－12. 易知2≤y≤4，所以当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12. 思维升华 与圆有关的最值问题的求解方法 (1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题． (2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值． (3)求解形如PM＋PN(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决． 跟踪训练3 (1)设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是(　　) A．6 B．25 C．26 D．36 答案　D 解析　(x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到(5，－4)的距离的平方， ∵P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点， ∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为圆心(2,0)到(5，－4)的距离与半径之和的平方， 即[(x－5)2＋(y＋4)2]max＝[＋1]2＝36. (2)已知x2＋y2＋x＋y＝0，求x＋y的取值范围为________． 答案　[－2,0] 解析　将x2＋y2＋x＋y＝0化为2＋2＝， 表示以为圆心，为半径的圆， 令x＋y＝t，即x＋y－t＝0， 由题可知，直线和圆有公共点， 所以≤， 即|t＋1|≤1，解得－2≤t≤0， 即x＋y的取值范围为[－2,0]． 课时精练 一、单项选择题 1．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋＝0的圆心坐标是，则半径为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　A 解析　圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋＝0， 即2＋2＝， 所以其圆心为，半径为. 又已知圆心坐标是， 所以D＝1，E＝－4，半径为＝2. 2．(2023·宁德模拟)已知点M(3,1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则k的取值范围为(　　) A．－6<k< B．k<－6或k> C．k>－6 D．k< 答案　A 解析　∵圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0， ∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k， ∴圆心坐标为(1，－2)，半径r＝. 若点M(3,1)在圆C： x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外， 则满足>， 且1－2k>0， 即13>1－2k且k<，即－6<k<. 3．点M，N是圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同两点，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，则该圆的半径等于(　　) A．2 B. C．3 D．9 答案　C 解析　圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的标准方程为2＋(y＋1)2＝5＋， 则圆心坐标为，半径为r＝， 因为点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称， 所以直线l：x－y＋1＝0经过圆心， 所以－＋1＋1＝0，解得k＝4. 所以圆的半径r＝＝3. 4．已知圆C过点A(－2,0)，B(2,4)，当圆心C到原点O的距离最小时，圆C的标准方程为(　　) A．(x－1)2＋y2＝10 B．x2＋(y＋1)2＝10 C．(x－1)2＋(y－1)2＝10 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝10 答案　C 解析　由A(－2,0)，B(2,4)可得线段AB中点坐标为(0,2)， 又kAB＝＝1， 所以AB垂直平分线的方程为y＝－x＋2， 所以圆心C在线段AB垂直平分线上， 当圆心C到原点O的距离最小时，则OC∥AB， 所以直线OC的方程为y＝x， 联立解得 所以圆心C(1,1)， 又半径r2＝AC2＝(－2－1)2＋(0－1)2＝10， 故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝10. 5．若点M(x，y)是圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9上的一点，则x2＋2x＋y2＋4y的最小值为(　　) A．8 B．3 C．－1 D．－3 答案　C 解析　x2＋2x＋y2＋4y＝(x＋1)2＋(y＋2)2－5， 只需求圆C上的点到定点(－1，－2)的最小距离即可， 又圆心(3,1)到(－1，－2)的距离d＝＝5，而圆C的半径r＝3， ∴d－r＝2≤≤d＋r＝8， 故原式的最小值为(d－r)2－5＝22－5＝－1. 6．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为(　　) A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0 C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0 答案　D 解析　由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图所示． 设P(x，y)，由题意可知PQ＝PO，且PQ⊥CQ，所以PO2＋r2＝PC2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0. 二、多项选择题 7．圆M与y轴相切，且经过A(1,0)，B(2,1)两点，则圆M可能是(　　) A．(x－1)2＋(y－2)2＝4 B．(x－5)2＋(y＋3)2＝25 C．(x－1)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y＋1)2＝9 答案　BC 解析　设圆M的圆心为M(a，b)，则半径r＝|a|. 又点A(1,0)，B(2,1)在圆上， 所以有MA＝MB， 即＝， 整理可得a＋b＝2. 又MA＝r＝|a|，即＝|a|， 整理可得b2－2a＋1＝0. 联立解得或 所以圆心坐标为(1,1)或(5，－3)． 当圆心坐标为(1,1)时，r＝1，圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1； 当圆心坐标为(5，－3)时，r＝5，圆M的方程为(x－5)2＋(y＋3)2＝25. 综上所述，圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y＋3)2＝25. 8．(2024·宿迁模拟)已知圆C：(x－3k)2＋(y－4k＋1)2＝1＋25k2，则下列结论中正确的有(　　) A．圆C过定点 B．点(0,0)在圆C外 C．直线4x－3y－3＝0平分圆周 D．存在实数k，使圆与x轴相切 答案　ACD 解析　对于选项A，由(x－3k)2＋(y－4k＋1)2＝1＋25k2，得到x2－6kx＋9k2＋y2－2(4k－1)y＋16k2－8k＋1＝1＋25k2， 整理得x2＋y2＋2y－k(6x＋8y＋8)＝0， 由得或 故圆C过定点和，所以选项A正确； 对于选项B，因为圆心为(3k，4k－1)，r＝， 点(0,0)到圆心的距离d＝＝， 又因为k∈R，当k>0时，d<r，此时点(0,0)在圆C内，所以选项B错误； 对于选项C，因为圆心为(3k，4k－1)，又4×3k－3(4k－1)－3＝0，即圆心在直线4x－3y－3＝0上，所以选项C正确； 对于选项D，若圆与x轴相切，则|4k－1|＝，即9k2＋8k＝0，解得k＝0或k＝－，所以选项D正确． 三、填空题 9．写出一个过原点，且半径为2的圆的方程________________． 答案　(x－2)2＋(y－2)2＝8(答案不唯一) 解析　过原点，且半径为2，即圆心在圆x2＋y2＝8上，取圆心为(2,2)，即可得圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8. 10．已知圆M过曲线y＝－x2＋4与坐标轴的三个交点，则圆M的标准方程为________________________________________________________________________． 答案　x2＋2＝ 解析　曲线y＝－x2＋4与坐标轴的三个交点分别为A(－2,0)，B(2,0)，C(0,4)，设过A，B，C的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则解得 ∴过A，B，C的圆的方程为x2＋y2－3y－4＝0， 即x2＋2＝. 11．已知等腰△ABC，其中顶点A的坐标为(0,0)，底边的一个端点B的坐标为(1,1)，则另一个端点C的轨迹方程为______________________． 答案　x2＋y2＝2(除去点(1,1)和点(－1，－1)) 解析　设C(x，y)，根据在等腰△ABC中AB＝AC，可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，即x2＋y2＝2. 考虑到A，B，C三点要构成三角形，因此点C不能为(1,1)和(－1，－1)． 所以点C的轨迹方程为x2＋y2＝2(除去点(1,1)和点(－1，－1))． 12．(2023·酒泉统考)若直线x－y－3＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，动点P在圆x2＋(y－1)2＝1上，则△ABP面积的取值范围是__________． 答案　[，3] 解析　如图所示，因为直线x－y－3＝0与坐标轴的交点 A(，0)，B(0，－3)， 则AB＝＝2， 圆x2＋(y－1)2＝1的圆心C(0,1)，半径为r＝1， 则圆心C(0,1)到直线x－y－3＝0的距离为d＝＝2， 所以圆x2＋(y－1)2＝1上的点P到直线x－y－3＝0的距离的最小值为d－r＝2－1＝1，距离的最大值为d＋r＝2＋1＝3， 所以△ABP面积的最小值为×2×1＝，最大值为×2×3＝3， 即△ABP面积的取值范围为[，3]． 四、解答题 13．(2024·盐城模拟)已知圆C的圆心在x轴上，并且过A(1,3)，B(3,3)两点． (1)求圆C的方程； (2)若P为圆C上任意一点，定点M(8,0)，点Q满足＝3，求点Q的轨迹方程． 解　(1)由题意可知，AB的中点为(2,3)，kAB＝0， 所以AB的中垂线方程为x＝2， 它与x轴的交点为圆心C(2,0)， 又半径r＝AC＝， 所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10. (2)设P(x0，y0)，Q(x，y)， 由＝3，得(8－x0，－y0)＝3(8－x，－y)， 所以 又点P在圆C上，故(x0－2)2＋y＝10， 所以(3x－18)2＋(3y)2＝10， 化简得点Q的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝. 14．已知圆C1经过点A(1,3)和B(2,4)，圆心在直线2x－y－1＝0上． (1)求圆C1的方程； (2)若M，N分别是圆C1和圆C2：(x＋3)2＋(y＋4)2＝9上的点，点P是直线x＋y＝0上的点，求PM＋PN的最小值，以及此时点P的坐标． 解　(1)由题意知AB的中点坐标为， kAB＝＝1， ∴AB的垂直平分线为y－＝－， 即y＝5－x， 联立解得 即圆C1的圆心坐标为(2,3)，半径r＝1， 其方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1. (2)注意到点C1(2,3)和点C2(－3，－4)在直线x＋y＝0的两侧， 直线x＋y＝0与两圆分别相离，如图所示． ∴PM＋PN≥PC1－1＋PC2－3≥C1C2－4＝－4， 当且仅当M，N，P，C1，C2五点共线时等号成立， 则PM＋PN的最小值为－4， 此时点P为直线C1C2与x＋y＝0的交点， 过C1，C2的直线方程为7x－5y＋1＝0， 联立解得 ∴点P的坐标为. 15．(2024·滁州模拟)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上存在两动点A，B满足△ABC为正三角形，O为坐标原点，则|＋|的最大值为(　　) A．2 B．2 C．2－ D．2＋ 答案　D 解析　由题意可知△ABC是边长为1的正三角形， 设AB的中点为M，则CM＝， 又C(1,1)，所以点M的轨迹方程为 (x－1)2＋(y－1)2＝，且OC＝. 因为＋＝2，所以|＋|＝2||， 因为OM≤OC＋CM＝＋， 当且仅当点C在线段OM上时等号成立， 所以||的最大值为＋， 所以|＋|的最大值为2＋. 16．(2023·清华附中模拟)在平面直角坐标系内，A(1,0)，B(2,0)，动点C在直线y＝x上，若圆M过A，B，C三点，则圆M面积的最小值为(　　) A. B. C．π D. 答案　A 解析　由圆的几何性质知，圆心在A，B中垂线上，故可设圆心M的坐标为，如图， 当圆M与直线y＝x相切即圆心到y＝x的距离等于圆心到A点距离时，圆M的面积最小， 可得＝， 解得a＝或－， 当a＝时，M，圆M的半径为MA＝＝，圆M的面积为； 当a＝－时，M，圆M的半径为MA＝＝， 圆M的面积为， 所以圆M面积的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $