第一章 §1.1 集 合（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（苏教版 提高版）

§1.1　集　合 课标要求　1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算． 知识梳理 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 非负整数 集(或自 然数集) 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2.集合的基本关系 (1)子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集，记为A⊆B或B⊇A. (2)真子集：如果集合A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA. (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集：不含任何元素的集合称为空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算 表示 运算 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 常用结论 1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集． 2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A. 4．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．(　×　) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　×　) (3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(　×　) (4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．(　√　) 2．设集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则(∁RA)∩B等于(　　) A．{x|2<x≤3} B．{x|7<x<10} C．{x|2<x<3或7≤x<10} D．{x|2<x≤3或7<x<10} 答案　C 解析　因为∁RA＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|2<x<10}，所以(∁RA)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}． 3．已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝________. 答案　2 解析　因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以a＋2∈A.当a＋2＝3，即a＝1时，A＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；当a＋2＝a2时，a＝－1(舍去)或a＝2，此时A＝{1,3,4}，B＝{1,4}，符合题意．综上，实数a＝2. 4．已知集合A＝{x|0<x<a}，B＝{x|0<x<2}，若B⊆A，则实数a的取值范围为________． 答案　[2，＋∞) 解析　因为B⊆A，所以利用数轴分析法(如图)，可知a≥2. 题型一　集合的含义与表示 例1　(1)(2023·长春模拟)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|x＋y＝0}，则A∩B的子集个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　D 解析　集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆上的所有点， 集合B＝{(x，y)|x＋y＝0}表示直线x＋y＝0上的所有点， 因为直线x＋y＝0经过圆心(0,0)， 所以直线与圆相交， 所以A∩B的元素个数为2， 则A∩B的子集个数为4. (2)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m的值为(　　) A．2 B．3 C．0 D．－2 答案　B 解析　因为集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A， 则m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m∈{0,2,3}． 当m＝0时，集合A中的元素不满足互异性； 当m＝2时，m2－3m＋2＝0，集合A中的元素不满足互异性； 当m＝3时，A＝{0,3,2}，符合题意． 综上所述，m＝3. 思维升华　解决集合含义问题的关键点 (1)一是确定构成集合的元素． (2)确定元素的限制条件． (3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． 跟踪训练1　(1)(2023·苏州模拟)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　B 解析　因为集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，所以C＝{5,6,7,8}．即C中元素的个数为4. (2)若含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成{a2，a＋b,0}，则a2 024＋b2 024＝________. 答案　1 解析　因为＝{a2，a＋b,0}， 显然a≠0，所以＝0，即b＝0； 此时两集合分别是{a,1,0}，{a，a2,0}， 则a2＝1，解得a＝1或a＝－1. 当a＝1时，不满足互异性，故舍去； 当a＝－1时，满足题意． 所以a2 024＋b2 024＝(－1)2 024＋02 024＝1. 题型二　集合间的基本关系 例2　(1)(2023·海口质检)已知集合A＝{x|x>5}，B＝{x|1－log2x<0}，则(　　) A．A⊆B B．B⊆A C．A∩B＝∅ D．A∪B＝R 答案　A 解析　因为集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|1－log2x<0}＝{x|x>2}， 所以A⊆B. (2)已知集合A＝{x|x<－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C．(－∞，－1)∪[0，＋∞) D.∪(0,1) 答案　A 解析　∵B⊆A， ∴①若B＝∅，即ax＋1≤0无解，此时a＝0，满足题意． ②若B≠∅，即ax＋1≤0有解， 当a>0时，可得x≤－，要使B⊆A， 则需要解得0<a<1； 当a<0时，可得x≥－，要使B⊆A， 则需要解得－≤a<0， 综上，实数a的取值范围是. 思维升华　(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 跟踪训练2　(1)已知集合M＝{x|y＝，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是(　　) A．MN B．NM C．M⊆∁RN D．N⊆∁RM 答案　B 解析　因为M＝{x|y＝，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以NM. (2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}，当x∈Z时，集合A的非空真子集的个数为________；当B⊆A时，实数m的取值范围是________． 答案　254　{m|m≤－2或－1≤m≤2} 解析　易得A＝{x|－2≤x≤5}． 若x∈Z，则A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A中含有8个元素， ∴A的非空真子集的个数为28－2＝254. ①当m－1≥2m＋1，即m≤－2时，B＝∅，B⊆A； ②当m>－2时，B＝{x|m－1<x<2m＋1}≠∅， 因此，要使B⊆A，则需解得－1≤m≤2. 综上所述，m的取值范围是{m|m≤－2或－1≤m≤2}． 题型三　集合的基本运算 命题点1　集合的运算 例3　(1)(2022·新高考全国Ⅰ)若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N等于(　　) A．{x|0≤x<2} B. C．{x|3≤x<16} D. 答案　D 解析　因为M＝{x|<4}， 所以M＝{x|0≤x<16}； 因为N＝{x|3x≥1}， 所以N＝. 所以M∩N＝. (2)(多选)已知M，N均为实数集R的子集，且N∩(∁RM)＝∅，则下列结论中正确的是(　　) A．M∩(∁RN)＝∅ B．M∪(∁RN)＝R C．(∁RM)∪(∁RN)＝∁RM D．(∁RM)∩(∁RN)＝∁RM 答案　BD 解析　∵N∩(∁RM)＝∅，∴N⊆M， 如图，若N是M的真子集，则M∩(∁RN)≠∅，故A错误； 由N⊆M可得M∪(∁RN)＝R，故B正确； 由N⊆M可得∁RN⊇∁RM，故C错误，D正确． 命题点2　利用集合的运算求参数的值(范围) 例4　(1)(多选)已知A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可能为(　　) A．－ B. C．0 D．－ 答案　BCD 解析　由题意知A＝{x|x2＋x－6＝0}， 由x2＋x－6＝0，解得x＝2或x＝－3， 所以A＝{2，－3}， 因为A∪B＝A，所以B⊆A， 当B＝∅时，m＝0，满足题意； 当B≠∅时，B＝， －＝2或－＝－3， 解得m＝－或m＝， 综上，m＝0或－或. (2)(2024·本溪模拟)设集合A＝{x|x<a2}，B＝{x|x>a}，若A∩(∁RB)＝A，则实数a的取值范围为(　　) A．[0,1] B．[0,1) C．(0,1) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 答案　A 解析　因为B＝{x|x>a}， 所以∁RB＝{x|x≤a}， 又A∩(∁RB)＝A，所以A⊆∁RB， 又A＝{x|x<a2}，所以a2≤a， 解得0≤a≤1，即实数a的取值范围为[0,1]． 思维升华　对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况． 跟踪训练3　(1)(多选)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|1<x<3}，则(　　) A．(∁RA)∪B＝{x|0≤x<3} B．(∁RA)∩B＝{x|1<x<2} C．A∩B＝{x|2<x<3} D．A∩B是{x|2<x<5}的真子集 答案　ACD 解析　由x2－2x>0，得x<0或x>2， 所以A＝{x|x<0或x>2}， 所以∁RA＝{x|0≤x≤2}， 对于A，因为B＝{x|1<x<3}， 所以(∁RA)∪B＝{x|0≤x<3}，所以A正确； 对于B，因为B＝{x|1<x<3}， 所以(∁RA)∩B＝{x|1<x≤2}，所以B错误； 对于C，因为A＝{x|x<0或x>2}，B＝{x|1<x<3}， 所以A∩B＝{x|2<x<3}，所以C正确； 对于D，因为A∩B＝{x|2<x<3}， 所以A∩B是{x|2<x<5}的真子集，所以D正确． (2)已知集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞) 答案　B 解析　因为集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，且A∩B＝∅， 则a－1≤1，解得a≤2. 题型四　集合的新定义问题 例5　(多选)群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“·”是G上的一个代数运算，即对所有的a，b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：①∀a，b，c∈G，有(a·b)·c＝a·(b·c)；②∃e∈G，使得∀a∈G，有e·a＝a·e＝a；③∀a∈G，∃b∈G，使a·b＝b·a＝e，则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有(　　) A．G＝{－1,0,1}关于数的乘法构成群 B．G＝∪{x|x＝m，m∈Z，m≠0}关于数的乘法构成群 C．实数集关于数的加法构成群 D．G＝{m＋n|m，n∈Z}关于数的加法构成群 答案　CD 解析　对于A，若G＝{－1,0,1}，则对所有的a，b∈G，有a·b∈{1,0，－1}＝G， 满足乘法结合律，即①成立，满足②的e为1， 但当a＝0时，不存在b∈G，使得a·b＝b·a＝e＝1，即③不成立，故A错误； 对于B，因为a＝∈G，且b＝3∈G，但a·b＝×3＝∉G，故B错误； 对于C，若G＝R，则对所有的a，b∈R，有a＋b∈R， 满足加法结合律，即①成立，满足②的e为0， ∀a∈R，∃b＝－a∈R，使a＋b＝b＋a＝0，即③成立，故C正确； 对于D，若G＝{m＋n|m，n∈Z}， 则对所有的a＝m1＋n1，b＝m2＋n2∈G， 有a＋b＝(m1＋m2)＋(n1＋n2)∈G，∀a，b，c∈G，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)成立，即①成立， 当a＝b＝0时，a＋b＝0，满足②的e＝0，即②成立， ∀a＝m＋n∈G，∃b＝－m－n∈G，使a＋b＝b＋a＝0，即③成立，故D正确． 思维升华　集合新定义问题的“三定” (1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素． (2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集或补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题． (3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素． 跟踪训练4　(多选)设A为非空实数集，若对任意x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且xy∈A，则称A为封闭集．下列叙述中，正确的为(　　) A．集合A＝{－2，－1,0,1,2}为封闭集 B．集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集 C．封闭集一定是无限集 D．若A为封闭集，则一定有0∈A 答案　BD 解析　对于A，在集合A＝{－2，－1,0,1,2}中， －2－2＝－4不在集合A中，∴集合A不是封闭集，故A错误； 对于B，集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}， 设x，y∈A，则x＝2k1，y＝2k2，k1，k2∈Z， ∴x＋y＝2(k1＋k2)∈A，x－y＝2(k1－k2)∈A，xy＝4k1k2∈A， ∴集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集，故B正确； 对于C，封闭集不一定是无限集，如：{0}为封闭集，故C错误； 对于D，若A为封闭集，则取x＝y，得x－y＝0∈A，故D正确． 课时精练 一、单项选择题 1．(2022·全国乙卷)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M满足∁UM＝{1,3}，则(　　) A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M 答案　A 解析　由题意知M＝{2,4,5}． 2．(2023·新高考全国Ⅰ)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N等于(　　) A．{－2，－1,0,1} B．{0,1,2} C．{－2} D．{2} 答案　C 解析　方法一　因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)， 而M＝{－2，－1,0,1,2}， 所以M∩N＝{－2}． 方法二　因为M＝{－2，－1,0,1,2}，将－2，－1，0,1,2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立， 所以M∩N＝{－2}． 3．(2024·南京模拟)集合A＝{x∈N|1<x<4}的子集个数为(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 答案　B 解析　A＝{x∈N|1<x<4}＝{2,3}，故子集个数为22＝4. 4．已知全集U，若集合A和集合B都是U的非空子集，且满足A∪B＝B，则下列集合中表示空集的是(　　) A．(∁UA)∩B B．A∩B C．(∁UA)∩(∁UB) D．A∩(∁UB) 答案　D 解析　由Venn图表示集合U，A，B如图， 由图可得(∁UA)∩B＝∁BA，A∩B＝A，(∁UA)∩(∁UB)＝∁UB，A∩(∁UB)＝∅. 5．(2024·绵阳模拟)已知A＝{1,4，m2}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m等于(　　) A．0或4 B．1或4 C．0 D．4 答案　A 解析　∵ B⊆A且A＝{1,4，m2}，B＝{1，m}， ∴m＝4或m＝m2， 当m＝4时，A＝{1,4,16}，B＝{1,4}，满足题意； 当m＝m2时，得m＝0或m＝1， 当m＝0时，A＝{1,4,0}，B＝{1,0}，满足题意； 当m＝1时，代入集合中，不满足集合的互异性． 综上，m可取0,4. 6．已知M，N均为R的子集，若存在x使得x∈M，且x∉∁RN，则(　　) A．M∩N≠∅ B．M⊆N C．N⊆M D．M＝N 答案　A 解析　因为x∉∁RN，所以x∈N，又因为x∈M，所以x∈M∩N，故M∩N≠∅，故A正确；由于题目条件是存在x，所以不能确定集合M，N之间的包含关系，故B，C，D错误． 7.已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2－x>0}，则图中的阴影部分表示的集合为(　　) A．(－∞，1]∪(2，＋∞) B．(－∞，0)∪(1,2) C．[1,2) D．(1,2] 答案　A 解析　B＝{x|x2－x>0}＝{x|x<0或x>1}，由题意可知阴影部分对应的集合为∁U(A∩B)∩(A∪B)，所以A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝R，即∁U(A∩B)＝{x|x≤1或x>2}，所以∁U(A∩B)∩(A∪B)＝(－∞，1]∪(2，＋∞)． 8．设集合I＝{1,3,5,7}，若非空集合A同时满足：①A⊆I；②|A|≤min(A)(其中|A|表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案　B 解析　当|A|＝1时，即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为{1}，{3}，{5}，{7}； 当|A|＝2时，即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为{3,5}，{3,7}，{5,7}； 当|A|＝3时，即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为{3,5,7}， 综上所述，I的所有“好子集”的个数为8. 二、多项选择题 9．已知I为全集，集合M，N⊆I，若M⊆N，则(　　) A．M∪N＝N B．M∩N＝N C．∁IM⊆∁IN D．(∁IN)∩M＝∅ 答案　AD 解析　因为M⊆N，则M∪N＝N，M∩N＝M，则A正确，B错误； 又I为全集，集合M，N⊆I，则∁IM⊇∁IN，(∁IN)∩M＝∅，C错误，D正确． 10．已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，且A∪B＝A，则实数a的取值可以是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案　ABC 解析　A＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，集合B表示关于x的方程ax＝1的解集， 因为A∪B＝A，所以B⊆A， 当a＝0时方程ax＝1无解，此时B＝∅，符合题意； 当B＝{1}时，a＝1；当B＝{－1}时，－a＝1，解得a＝－1， 综上可得a＝0或±1. 三、填空题 11．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为________． 答案　4 解析　根据题意，A∩B的元素是x＋y＝8上满足x，y∈N*且y≥x的点，即点(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)． 12．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{m,4,5}，且A∪B中的所有元素的和为12，则m＝________. 答案　－3 解析　当m＝1或m＝2或m＝3时，A∪B＝{1,2,3,4,5}， 所有元素的和为15，不符合题意； 当m≠1且m≠2且m≠3时，A∪B＝{1,2,3，m,4,5}， 由题意得1＋2＋3＋m＋4＋5＝12，所以m＝－3. 13．高三某班共有55人，其中有14人参加了球类比赛，16人参加了田径比赛，4人既参加了球类比赛，又参加了田径比赛，则该班这两项比赛都没有参加的人数是________． 答案　29 解析　由题意画出Venn图，如图所示， 由Venn图知，参加比赛的人数为26， 所以该班这两项比赛都没有参加的人数是29. 14．对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{x|x≥0}，B＝{x|y＝lg(9－x2)}，则B－A＝________，A*B＝________. 答案　{x|－3<x<0}　{x|－3<x<0或x≥3} 解析　由题意得A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3<x<3}，所以A－B＝{x|x≥3}，B－A＝{x|－3<x<0}．因此A*B＝{x|x≥3}∪{x|－3<x<0}＝{x|－3<x<0或x≥3}． 15．(多选)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2 000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，M中的每一个元素小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割．下列选项中可能成立的是(　　) A．M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}，(M，N)是一个戴德金分割 B．M没有最大元素，N有一个最小元素 C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 D．M没有最大元素，N也没有最小元素 答案　BD 解析　对于A，因为M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}，M∪N＝{x|x≠0}≠Q，故A错误；对于B，设M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；对于C，若M有一个最大元素，N有一个最小元素，则不能同时满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，故C错误；对于D，设M＝{x∈Q|x<}，N＝{x∈Q|x≥}，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确． 16．设集合M＝{1,2,3，…，12}，现对M的任一非空子集A，令xA为A中最大数与最小数之和，则所有这样的xA的算术平均值为________． 答案　13 解析　集合M的非空子集共有(212－1)个， 其中，最小值为1的子集可视为{2,3，…，12}的子集与集合{1}的并集，共有211个， 同上可知，最小值为2的子集共有210个，最小值为3的子集共有29个，…，最小值为12的子集共有20个． 最大值为12的子集可视为{1,2,3，…，11}的子集与集合{12}的并集，共有211个， 同上可知，最大值为11的子集共有210个，最大值为10的子集共有29个，…，最大值为1的子集共有20个． 所以M的所有非空子集中的最小值之和为211＋2×210＋3×29＋…＋12×20， 最大值之和为12×211＋11×210＋10×29＋…＋20， 所以xA的算术平均值为 ＝＝＝13. 学科网（北京）股份有限公司 $