第四章 §4.7 三角函数中有关ω的范围问题（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（苏教版 提高版）

色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 S4.7 三角函数中有关ω的范围问题 【重点解读！在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求 法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点， 题型一三角函数的单调性与ω的关系 例1已知w>0,函数fx)=12 cos wx-3)2sin(元一x)在\avs4al小colAf(π2)上单调递增，则wf的 取值范围是( ) A.[2,6] B.(2,6 C.2,f(103) D.avs4\a1\co1(2,\f(103)) 答案C 解析由已知得fx)=12 cOS @x-3)2sin(π-ox) =12cos @x-3)2sin @x =sin axcos 5 6+cos oxsin 56 =sin\a\vs4\al\col(x+\f(5 6)), 又fx)在alvs4 alcol(fππ2)上单调递增， 所以2k元-f元元5π6元5元元2)，k∈Z: 解得6k-4≤ω≤4k-23,k∈Z, 由6k-4≤4k-23,得k≤53，k∈Z, 又o>0,k∈Z, 因此k=1,所以2≤o≤103. 思维升华确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系建立不等式，即可求ω的取值范围. 跟踪训练1(2023宜昌模拟)已知函数w)=3si(ox+9),o>0,若f \avs4al\col(f(r6)=3,f)=0,fx)在alvs4 alcolf(ππ3)上单调递减，那么o的取值 共有() A.2个B.3个C.4个D.5个 答案D 解析f八a\vs4al\co1(f(r6)=3,π)=0， .元-r6=2n+14Tn∈0，T=10r32n+1, fx)在avs4 alcol(fππ3)上单调递减， .T2≥元3-r6=r6,.T≥r3, 即10r32n+1≥r3,.2n+1≤10，n∈N, ∴.n=0,1,2,3,4, 即周期T有5个不同取值， 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 ∴.ω的取值共有5个. 题型二三角函数的对称性与ω的关系 例2(2023杭州模拟)已知函数fx)=cos ox-3 sin x((w>0),若fx)在区间(0,2π)上有且仅有2 个极值点，则ω的取值范围是 答案avs4 alcol0f(543) 解析函数x)=cos cx一3 sin @x =2\alvs4\allcol(f(1 r(32)sin ox=2cos\a\vs4\al\col(x++\f 3)), 因为x∈(0,2元)，0>0， 所以ox+r3∈avs4 al\colf(π3)， 由于函数x)在区间(0,2元)上有且仅有2个极值点，所以x)在(0,2)上有且仅有2条对称轴， 则2元<2π0十I3≤3π， 解得o∈avs4 alcolf543) 思维升华三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为T2,相邻的 对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为T4,这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研 究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于®的不等式组，进而可以 研究“ω”的取值范围. 跟踪训练2(2024大庆模拟)若函数x)=3 sin @x+cos wx(o>0)在区间\a\vs4\al\co1(0,\ f(π6)上仅有一条对称轴及一个对称中心，则ω的取值范围为() A.(5,8)B.(5,8]C.(5,11]D.[5,11) 答案B 解析由题意，函数fx)=3 sin wx+cos wx=2sina\vs4\al\co1(ox+\f(π6)，ao>0, 因为x∈\a\vs4\al\col(0,\f(π6)，所以r6<ox+r6<r6(1+w), 要使得函数fx)在区间\avs4\al\col(0,f(r6)上仅有一条对称轴及一个对称中心， 则需满足π<61+ω)≤3r2,解得5<ω≤8， 所以ω的取值范围为(5,8]。 题型三三角函数的最值与ω的关系 例3已知函数fx)=2 sin wx在区间-\f(ππ4)上的最小值为一2，则ω的取值范围是 答案(-∞，-2]U八f(32),+∞) 解析由题意，显然ω≠0 若o>0,当x∈-fππ4)时，x∈一f(ππ4)o, 因为函数fx)=2 sin wx在区间-f(ππ4)上的最小值为一2， 所以-元3ω≤-r2,解得ω≥32； 若o0,当x∈-fππ4)时，ox∈f(ππ3)0， 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 6.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 因为函数fx)=2 sin wx在区间-fπ4)上的最小值为-2，所以元4o≤-r2,解得ω≤-2， 综上所述，o的取值范围是(-∞，一2]U八f(32),+∞) 思维升华利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式（组），进而 求出ω的值或取值范围. 跟踪训练3为了使函数y=sin x(o>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为 () A.98πB.197r2C.199元2D.100元 答案B 解析由题意，在[0,1]上至少出现50次最大值即在[0,1]上至少需要4914个周期，即1974个 周期， 所以1974T=19742ro≤1， 所以o≥197元2，o的最小值为197r2. 题型四三角函数的零点与ω的关系 例4(2023·开封统考)若函数gx)=cos\alvs4\a1\co1(2ox-1f(r3)在区间[0，π)内有5个 零点，则o的取值范围是() A.2312≤w<2912 B.2312<w≤2912 C.2912≤w<3512 D.2912<w≤3512 答案D 解析gx)=cos\a\vs4\alco1(2ox-\f(r3), 当x∈[0，元)时，2ox-r3∈-fππ3)， y=cosx在y轴右方的零点为x=r2,32,5π2,72,9r2,11π2，…， 因为函数gx)的图象在区间[0，)内有5个零点， 所以9π2<2om-π3≤11r2,解得2912<ω≤3512 思维升华三角函数两个零点之间的“水平间隔”为T2,根据三角函数的零点个数，可以研 究“ω”的取值， 跟踪训练4(2024株洲模拟)己知x)=sin ox(o∈N),若在区间0,1f(r2)上存在两个不相 等的实数a,b,满足a)十b)=2,则o可以为 (填一个值即可) 答案5（答案不唯一） 解析x)=sin ox≤l,o∈N*, 若在区间0，f(π2))上存在两个不相等的实数a,b,满足a)十fb)=2, 则在区间0，f(r2))上x)至少存在两个最大值， ∴.T02≥5T2 .0≥5， 又ω∈N*,∴.o可以为5. 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课时精练 一、单项选择题 1.(2024达州模拟)已知函数x)=Asin(ox+o)(cw>0),若fx)在区间fπ2π3)上单调，且f0) =f八avs4\al\col(f(r3)=-f八avs4\al\co1(f(r2)),则of的值为() A.1B.2C.3D.4 答案B 解析 由于x)在区间f(π23)上单调，且f八a\vs4\al\co1(个f(π3))=-f \a\vs4\al\co1(f(r2),所以π2≤T2,且f\avs4\al\co1(0f(5π12)=0， 又因为fo)=f八avs4\al\co1(f(r3),且r3<T2, 所以直线x=π6为fx)图象的对称轴， 又5元12-π6=r4<T2,所以π4=T4,故0=2. 2.(2024南昌模拟)已知函数fx)=sin\a\vs4\al\co1(ox+\f(r3)+sin ox(o>0),)=0, )=3,且一2=元，则ω的最小值为() A12B.23C.1D.2 答案A 解析因为fx)=sin\avs4\al\col(ox+\f(r3))+sin @x=12 sin x+3)2 cos @x+sin cx =32sin ox+3)2cos ox=3sin\a\vs4\al\col x+\f(6)), f)=0,)=3,且1一2=元， 所以函数fx)的最小正周期T满足2k+14T=π(k∈N),则T=4r2k+1(k∈N), 所以o=2πT=2k+12(k∈N), 又w>0,故当k=0时，o取最小值12 3.若直线x=r4是曲线y=sin\a\vs4\alco1(ox-\f(r4)(o>0)的一条对称轴，且函数y =sin\a\vs4\al\co1(ox-1f(4)在区间0,1f(r12)上不单调，则w的最小值为() A.9B.7C.11D.3 答案C 解析因为直线x=r4是曲线y=sin\avs4\al\co1(ox-\f(r4)(o>0)的一条对称轴， 则4w-4=m十r2,k∈Z, 即w=4k+3,k∈Z, 当x∈0，\f(π12)时，ox-r4∈-fπwπ4)， 因为f)在0，f(r12))上不单调， 所以o12π-4>元2，解得o>9, 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以o的最小值为11 4.(2023·开封模拟)己知将函数x)=2 sin x2·avs4 alcol(cos1f(ox32)(aw>0)的图象向右平移 r2o个单位长度，得到函数gx)的图象，若gx)在(O0,π)上有3个极值点，则ω的取值范围 为() A.\a\vs4\al\co1(f(53),+∞) B.\f(83),4) C.\alvs4\alcol(f(8113) D.\avs4\alcolAf(7103) 答案C fx)=2sin x2\alvs4\allcol(cos \f(ox32)=2sin x2cos x2-23sin2 x2=sin cx- 3(1-cos ox)=sin @x+3cos ox-3=2sin\a\vs4\al\col(@x+\f(x 3))-3, g(x)=fla\vs4\al\col(x-If(xt 20 ))2sinolblclnclz3)-3=-2cos la\vs4\al\col(@x+\f(x3))-3, 因为0>0， 所以当x∈(0，元)时，aox+r3∈avs4 al\col(f(ππ3)， 又因为gx)在(0，元)上有3个极值点，则由余弦函数的性质可得3π<0元十兀3≤4π，解得83 <0≤113. 5.已知函数fx)=2 sin\a\vs4\al\co1(ox+f(π6))(o>0),若方程x)=1在区间(0,2)上 恰有5个实根，则ω的取值范围是() A.\alvs4allcol(f(753) B.\avs4\al col(f(5136) C.\a\vs4\al\col(1,\f(43)) D.\alvs4alcol(f(432) 答案D 解析由方程fx)=2sinb1lc\(rc)(avs4\al\co1(ox+\f(π6))=l, 可得sin\avs4\al\co1(ox+\f(r6))=±12， 所以ox十元6=m±r6(k∈Z, 因为w>0, 所以当x∈(0,2元)时，ox十r6∈lalvs44 allcol0f(6), 所以0x十元6的可能取值为5元6,7π6,11元6,13r6,17元6,19r6,, 因为原方程在区间(0,2)上恰有5个实根， 所以17I6<2w元十π6≤196， 解得43<o≤32，即o的取值范围是alvs4alco1f(432) 6.(2023·青岛质检)已知函数fx)=sin(x十p),其中w>0,lo≤r2,x=-r4为fx)的零点， 且fx)≤fb\lc(rc)(avs4al\col(0f(r4))恒成立，fx)在区间alvs4 alcol(- fπ元24)上有最小值无最大值，则o的最大值是() A.11B.13C.15D.17 答案C 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 解析由题意，直线x=π4是x)图象的一条对称轴， 所以f八avs4al\co1(个f(r4)=±1，即π4w+o=k元+r2,%∈Z,① 又f八a\vs4\al\co1(-\f(π4)=0，所以-π4w+o=元，%∈Z,② 由①②，得ω=2k一2)+1，k1,点∈Z, 又fx)在区间alvs4acol(-f元24)上有最小值无最大值， 所以T≥r24-\a\vs4\al\co1(-\f(r12)=π8， 即2rw≥π8，解得ω≤16 综上，先检验0=15， 当0=15时，由①得π4×15十0=%元十r2,k∈Z,即0=%元-13元4，%∈Z,又0≤r2, 所以o=-r4,此时x)=sin\a\vs4\al\co1(15x-\f(r4),当x∈alvs4 alcol(-f(π24) 时，15x-r4∈alvs4 alcol(-f3π3π8)， 当15x一元4=一r2,即x=-r60时，x)取得最小值，无最大值，满足题意. 故ω的最大值是15. 二、多项选择题 7.(2024海淀区模拟)已知函数x)=sin wx(aw>0)在-f(π2π3)上单调递增，那么常数ω的一个 取值可以为() A.14B.12C.34D.1 答案ABC 解析fx)=sin ox(o>0)在-f(π2π3)上单调递增， 则o2r3≤r2,o\avs4\alco1(-\f(r4)≥-r2, .0<wω≤34， ∴.选项ABC符合题意 8.(2023·郑州模拟)已知fx)=1-2cos2avs4\a1\co1(wx+\f(π3)(w>0).则下列判断正 确的是(） A.若f)=1,f2)=一1，且x1一2lmim=元，则o=2 B.存在o∈(0,2)，使得)的图象向右平移r6个单位长度后得到的图象关于y轴对称 C.若x)在[0,2元上恰有7个零点，则ω的取值范围为f(414724) D.若fx)在-fππ4)上单调递增，则w的取值范围为a\vs4\al\co1(0,f(23)》 答案CD 解析因为fx)=1-2cos2\avs4\al\col(ox+\f(π3) =-cos\a\vs4\al\col(2@x+\f (2 3))=sin\a\vs4\al\col(2@x+\f(6)), 所以周期T=2r2o=r⊙ 对于A,由条件知，周期为2π，所以r⊙=2元， 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 解得o=12,故A错误； 对于B,函数fx)的图象向右平移r6个单位长度后得到函数y=sinlalsa4 alcol(2ox一V f(oππ6的图象， 若其关于y轴对称，则一oπ3十r6=r2十(k∈Z),解得o=一1一3(k∈Z), 故对任意整数k,⊙：(0,2)，故B错误； 对于C,由条件得7π≤202π十π6<8π， 解得4124≤ω<4724，故C正确： 对于D,由条件得一f(元o2@π2)，解得ω≤23，又o>0,所以0<ω≤23，故D正确. 三、填空题 9.(2023·新高考全国I)已知函数fx)=cos @x一1(o>0)在区间[0,2π上有且仅有3个零点，则 o的取值范围是 答案[2,3) 解析因为0≤x≤2π，所以0≤ox≤2om, 令x)=coS @x-1=0, 则cos @x-=1有3个根， 令t=ax,则cost=1有3个根，其中t∈[0,2wm, 结合余弦函数y=cost的图象性质可得4π≤2ω元<6π， 72T ,合 故2≤03 10.(2024杭州模拟)设函数fx)=sin(ox+o)八avs4\al\co1(w>0,|Φ≤\f(r2).若x= 3为函数x)的零点，x=π3为函数x)的图象的对称轴，且x)在区间V avs4 alcol(f(π3元l0)上单调，则ao的最大值为 答案154 解析由题意得-fπ3ππ2)，，2∈Z, 则ω=3▣k2-k1口34k1+k2π4， 又fx)在alvs4acol(f(元3πl0)上单调， 则3r10-π10=π5≤T2=元0，解得0<w≤5， 即0<3k2-k12+34≤5，%，∈Z, 则-12<k-右≤176， 当-k1=2时，0=154，此时0=元4， fx)=sin alvs4 alicol0f(15π4)， 当xElalvs44 alcol0f(π3πl0)时，154r+r4∈alvs4 alcol0f5πl1π8)， x)单调递减，符合题意，故omr=154 ·独家授权侵权必究