第七章 §7.4 空间直线、平面的平行（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（苏教版 提高版）

§7.4　空间直线、平面的平行 课标要求　1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明. 2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用． 知识梳理 1．线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 ⇒a∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 ⇒a∥b 2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 ⇒β∥α 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 ⇒a∥b 常用结论 1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. 2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b. 4．若α∥β，a⊂α，则a∥β. 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一条直线平行于一个平面内的两条直线，则这条直线平行于这个平面．(　×　) (2)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　×　) (3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.(　×　) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也相互平行．(　×　) 2．(多选)下列命题中，正确的是(　　) A．平行于同一条直线的两个平面平行 B．平行于同一平面的两个平面平行 C．平行于同一平面的两直线关系不确定 D．两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面 答案　BCD 解析　对于A，平行于同一条直线的两个平面也可能相交， 故A错误； 对于B，平行于同一平面的两个平面平行，故B正确； 对于C，平行于同一平面的两直线关系不确定，可以平行、相交，也可以异面，故C正确； 对于D，根据两个平面平行的性质定理，两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面，故D正确． 3．α，β是两个平面，m，n是两条直线，下列四个命题中正确的是(　　) A．若m∥n，n∥α，则m∥α B．若m∥α，n⊂α，则m∥n C．若α∥β，m⊂α，则m∥β D．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β 答案　C 解析　若m∥n，n∥α，则m∥α或m⊂α，故A不正确； 若m∥α，n⊂α，则m∥n或m与n异面，故B不正确； 若α∥β，则α与β没有公共点， 又因为m⊂α，所以m与β没有公共点，所以m∥β，故C正确； 若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交，故D不正确． 4.如图是长方体被一平面截后得到的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为______． 答案　平行四边形 解析　∵平面ABFE∥平面DCGH， 又平面EFGH∩平面ABFE＝EF， 平面EFGH∩平面DCGH＝HG， ∴EF∥HG.同理EH∥FG， ∴四边形EFGH是平行四边形． 题型一　直线与平面平行的判定与性质 命题点1　直线与平面平行的判定 例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD, PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点． 求证：BE∥平面PAD. 证明　方法一　如图，取PD的中点F，连接EF，FA. 由题意知EF为△PDC的中位线， ∴EF∥CD，且EF＝CD＝2. 又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB綉EF， ∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF. 又AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD， ∴BE∥平面PAD. 方法二　如图，延长DA，CB相交于H，连接PH， ∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4， ∴＝＝， 即B为HC的中点， 又E为PC的中点，∴BE∥PH， 又BE⊄平面PAD，PH⊂平面PAD， ∴BE∥平面PAD. 方法三　如图，取CD的中点H，连接BH，HE， ∵E为PC的中点， ∴EH∥PD， 又EH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD， ∴EH∥平面PAD， 又由题意知AB綉DH，∴四边形ABHD为平行四边形，∴BH∥AD， 又AD⊂平面PAD，BH⊄平面PAD， ∴BH∥平面PAD， 又BH∩EH＝H，BH，EH⊂平面BHE， ∴平面BHE∥平面PAD， 又BE⊂平面BHE，∴BE∥平面PAD. 命题点2　直线与平面平行的性质 例2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H. 求证：PA∥GH. 证明　如图所示，连接AC交BD于点O， 连接OM， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是AC的中点， 又M是PC的中点， ∴PA∥OM， 又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD， ∴PA∥平面BMD， 又PA⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH， ∴PA∥GH. 思维升华 (1)判断或证明线面平行的常用方法 ①利用线面平行的定义(无公共点)． ②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)． ③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)． ④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)． (2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线． 跟踪训练1 如图，四边形ABCD为长方形，PD＝AB＝2，AD＝4，点E，F分别为AD，PC的中点．设平面PDC∩平面PBE＝l.证明： (1)DF∥平面PBE； (2)DF∥l. 证明　(1)取PB的中点G，连接FG，EG， 因为点F为PC的中点， 所以FG∥BC，FG＝BC， 因为四边形ABCD为长方形，所以BC∥AD，且BC＝AD， 所以DE∥FG，DE＝FG，所以四边形DEGF为平行四边形， 所以DF∥GE，因为DF⊄平面PBE，GE⊂平面PBE，所以DF∥平面PBE. (2)由(1)知DF∥平面PBE， 又DF⊂平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l， 所以DF∥l. 题型二　平面与平面平行的判定与性质 例3 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形． (1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1. (2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝l，证明：B1D1∥l. 证明　(1)由题设知BB1∥DD1且BB1＝DD1， 所以四边形BB1D1D是平行四边形， 所以BD∥B1D1. 又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1， 所以BD∥平面CD1B1. 因为A1D1∥B1C1∥BC且A1D1＝B1C1＝BC， 所以四边形A1BCD1是平行四边形， 所以A1B∥D1C. 又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1, 所以A1B∥平面CD1B1. 又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD， 所以平面A1BD∥平面CD1B1. (2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1， 又平面ABCD∩平面CD1B1＝l， 平面ABCD∩平面A1BD＝BD， 所以l∥BD， 又B1D1∥BD，所以B1D1∥l. 思维升华 (1)证明面面平行的常用方法 ①利用面面平行的判定定理． ②利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)． ③利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)． (2)当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，必须是与第三个平面的交线． 跟踪训练2 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合)． (1)求证：BC∥GH； (2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG. 证明　(1)∵在三棱柱ABC－A1B1C1中， ∴平面ABC∥平面A1B1C1， 又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC， 且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG， ∴由面面平行的性质定理得BC∥GH. (2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC， ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. 又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB， ∴A1G綉EB， ∴四边形A1EBG是平行四边形， ∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. 又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG. 题型三　平行关系的综合应用 例4 如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD. 解　如图，在平面PCD内，过点E作EG∥CD交PD于点G，连接AG， 在AB上取点F，使AF＝EG， 因为EG∥CD∥AF，EG＝AF， 所以四边形FEGA为平行四边形，所以EF∥AG. 又AG⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD. 所以点F即为所求的点． 又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC， 又BC⊥AB，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.所以PB⊥BC. 所以PC2＝BC2＋PB2＝BC2＋AB2＋PA2. 设PA＝x，则PC＝， 由PB·BC＝PC·BE， 得·a＝·a， 所以x＝a，即PA＝a，所以PC＝a. 又CE＝＝a， 所以＝，所以＝＝， 即GE＝CD＝a，所以AF＝a. 故点F是AB上靠近B点的一个三等分点． 思维升华 解决面面平行问题的关键点 (1)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”． (2)解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法． 跟踪训练3 (2023·马鞍山模拟)如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别是棱DD1，AB的中点． (1)若平面PQC与直线AA1交于点R，求的值； (2)若M为棱CC1上一点且CM＝λCC1，BM∥平面PQC，求λ的值． 解　(1)如图所示， 因为平面ABB1A1∥平面CDD1C1，且平面ABB1A1∩平面PQC＝RQ，平面CDD1C1∩平面PQC＝PC， 所以RQ∥PC，根据空间等角定理可知，△ARQ∽△DPC，则＝， 又DC＝a，DP＝a，AQ＝a，则＝， 即AR＝a，A1R＝a，所以＝. (2)取AA1的中点E，则R为AE的中点，连接BE，则BE∥RQ， 又RQ⊂平面PCQ, BE⊄平面PCQ， 则BE∥平面PCQ. 又BM∥平面PCQ，BM，BE⊂平面BME，且BM∩BE＝B，所以平面BME∥平面PCQ， 设DD1∩平面BME＝F，连接EF，FM， 由平面BME∥平面PCQ，平面BME∩平面CDD1C1＝FM，平面PCQ∩平面CDD1C1＝PC，所以FM∥PC， 又CM∥PF，则四边形CPFM为平行四边形， 同理四边形PREF也是平行四边形， 所以CM＝PF＝ER＝a，所以λ＝＝＝. 课时精练 一、单项选择题 1．下列关于线、面的四个命题中不正确的是(　　) A．平行于同一平面的两个平面一定平行 B．平行于同一直线的两条直线一定平行 C．垂直于同一直线的两条直线一定平行 D．垂直于同一平面的两条直线一定平行 答案　C 解析　垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，可能相交或异面．本题可以以正方体为例证明． 2.如图，已知P为四边形ABCD外一点，E，F分别为BD，PD上的点，若EF∥平面PBC，则(　　) A．EF∥PA B．EF∥PB C．EF∥PC D．以上均有可能 答案　B 解析　由线面平行的性质定理可知EF∥PB. 3．过四棱锥P－ABCD任意两条棱的中点作直线，其中与平面PBD平行的直线有(　　) A．4条 B．5条 C．6条 D．7条 答案　C 解析　如图，设E，F，G，H，I，J，M，N为相应棱的中点， 则NE∥PB，且NE⊄平面PBD，PB⊂平面PBD， 所以NE∥平面PBD， 同理可得HE，NH，GF，MF，MG与平面PBD平行， 由图可知，其他的任意两条棱的中点的连线与平面PBD相交或在平面PBD内， 所以与平面PBD平行的直线有6条． 4.(2023·衡水中学调研卷)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　连接AC交BE于点G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以＝.又AD∥BC，E为AD的中点，所以＝＝，所以＝. 5．(2024·广州模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面分别交底面△ABC的边BC，AC于点E，F，则(　　) A．MF∥EB B．A1B1∥NE C．四边形MNEF为平行四边形 D．四边形MNEF为梯形 答案　D 解析　由于B，E，F三点共面，F∈平面BEF， M∉平面BEF，EB不过点F，故MF，EB为异面直线，故A错误； 由于B1，N，E三点共面，B1∈平面B1NE，A1∉平面B1NE，NE不过点B1，故A1B1，NE为异面直线，故B错误； ∵在平行四边形AA1B1B中，AM＝2MA1， BN＝2NB1，∴AM∥BN，AM＝BN， 故四边形AMNB为平行四边形， ∴MN∥AB. 又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， ∴MN∥平面ABC. 又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB， 显然在△ABC中，EF≠AB，∴EF≠MN， ∴四边形MNEF为梯形，故C错误，D正确． 6.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是(　　) A. B. C. D．[，] 答案　B 解析　如图，取B1C1的中点M，BB1的中点N，连接A1M，A1N，MN，可以证明平面A1MN∥平面AEF，所以点P位于线段MN上．因为A1M＝A1N＝＝， MN＝＝， 所以当点P位于M，N点时，A1P最大，当点P位于MN的中点O时，A1P最小，此时A1O＝＝，所以≤|A1P|≤，所以线段A1P长度的取值范围是. 二、多项选择题 7．(2023·济宁模拟)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，D，E，F为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平行的是(　　) 答案　AC 解析　对于A，AB∥DE，AB⊄平面DEF， DE⊂平面DEF， ∴直线AB与平面DEF平行，故A正确； 对于B，如图1，作平面DEF交正方体的棱于点G，连接FG并延长，交AB的延长线于点H，则AB与平面DEF相交于点H，故B错误； 图1 对于C，AB∥DF，AB⊄平面DEF，DF⊂平面DEF， ∴直线AB与平面DEF平行，故C正确； 对于D，如图2，连接AC，取AC的中点O，连接OD， 图2 又D为BC的中点，∴AB∥OD， ∵OD与平面DEF相交， ∴直线AB与平面DEF相交，故D错误． 8.如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是(　　) A．没有水的部分始终呈棱柱形 B．水面EFGH所在四边形的面积为定值 C．棱A1D1始终与水面所在的平面平行 D．当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值 答案　ACD 解析　由题图，显然A正确，B错误； 对于C，因为A1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG且FG⊂平面EFGH，A1D1⊄平面EFGH， 所以A1D1∥平面EFGH(水面)，故C正确； 因为水是定量的(定体积V)， 所以S△BEF·BC＝V，即BE·BF·BC＝V， 所以BE·BF＝(定值)，故D正确． 三、填空题 9.如图，α∥β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________. 答案　 解析　∵α∥β，∴CD∥AB，则＝， ∴AB＝＝＝. 10.如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.则四边形EFGH的形状为________． 答案　矩形 解析　因为CD∥平面EFGH，CD⊂平面BCD，平面EFGH∩平面BCD＝EF， 所以CD∥EF. 同理HG∥CD，所以EF∥HG. 同理HE∥GF， 所以四边形EFGH为平行四边形． 又因为CD⊥AB，所以HE⊥EF， 所以平行四边形EFGH为矩形． 11.如图，空间图形A1B1C1－ABC是三棱台，在点A1，B1，C1，A，B，C中取3个点确定平面α，α∩平面A1B1C1＝m，且m∥AB，则所取的这3个点可以是________． 答案　A，B，C1(答案不唯一) 解析　由空间图形A1B1C1－ABC是三棱台， 可得平面ABC∥平面A1B1C1， 当平面ABC1为平面α，平面α∩平面A1B1C1＝m时， 又平面α∩平面ABC＝AB， 所以由面面平行的性质定理可知m∥AB， 所取的这3个点可以是A，B，C1. 12．如图甲，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，E，F分别为AD，CD的中点，以AF为折痕把△ADF折起，使点D不落在平面ABCF内(如图乙)，那么在以下3个结论中，正确结论是________． ①AF∥平面BCD；②BE∥平面CDF；③CD∥平面BEF. 答案　①③ 解析　对于①，由题意得AB∥CF，AB＝CF， ∴四边形ABCF是平行四边形， ∴AF∥BC， ∵AF⊄平面BCD，BC⊂平面BCD， ∴AF∥平面BCD，故①正确； 对于②，取DF的中点G，连接EG，CG， ∵E是AD的中点，AF∥BC，AF＝BC， ∴EG＝BC，EG∥BC， ∴四边形BCGE为梯形， ∴直线BE与直线CG相交， ∴BE与平面CDF相交，故②错误； 对于③，连接AC，交BF于点O，连接OE， ∵四边形ABCF是平行四边形， ∴O是AC的中点， ∴OE∥CD， ∵OE⊂平面BEF，CD⊄平面BEF， ∴CD∥平面BEF，故③正确． 四、解答题 13．(2023·全国乙卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC＝，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO. (1)求证：EF∥平面ADO； (2)若∠POF＝120°，求三棱锥P－ABC的体积． (1)证明　设AF＝tAC， 则＝＋＝(1－t)＋t，＝－＋， 因为BF⊥AO，所以·＝[(1－t)＋t]· ＝(t－1)2＋t2＝4(t－1)＋4t＝0， 解得t＝，则F为AC的中点， 又D，E，O分别为PB，PA，BC的中点， 于是EF∥PC，DO∥PC，所以EF∥DO， 又EF⊄平面ADO，DO⊂平面ADO， 所以EF∥平面ADO. (2)解　如图，连接DE，OF，过P作PM垂直于OF，交FO的延长线于点M， 因为PB＝PC，O是BC中点， 所以PO⊥BC， 在Rt△PBO中，PB＝，BO＝BC＝， 所以PO＝＝＝2， 因为AB⊥BC，OF∥AB， 所以OF⊥BC， 又PO∩OF＝O，PO，OF⊂平面POF， 所以BC⊥平面POF， 又PM⊂平面POF，所以BC⊥PM， 又BC∩FM＝O，BC，FM⊂平面ABC， 所以PM⊥平面ABC， 即三棱锥P－ABC的高为PM， 因为∠POF＝120°，所以∠POM＝60°， 所以PM＝POsin 60°＝2×＝， 又S△ABC＝AB·BC＝×2×2＝2， 所以V三棱锥P－ABC＝S△ABC·PM＝×2×＝. 14．(2023·宁波模拟)如图，在三棱柱BCF－ADE中，若G，H分别是线段AC，DF的中点． (1)求证：GH∥BF； (2)在线段CD上是否存在一点P，使得平面GHP∥平面BCF？若存在，指出点P的具体位置并证明；若不存在，说明理由． (1)证明　连接BD， ∵四边形ABCD为平行四边形，由题意可得，G是线段BD的中点， 则G，H分别是线段BD，DF的中点，故GH∥BF. (2)解　存在，P是线段CD的中点，理由如下： 由(1)可知，GH∥BF， GH⊂平面GHP，BF⊄平面GHP， ∴BF∥平面GHP，连接PG，PH， ∵P，H分别是线段CD，DF的中点，则HP∥CF， HP⊂平面GHP，CF⊄平面GHP， ∴CF∥平面GHP， BF∩CF＝F，BF，CF⊂平面BCF， 故平面GHP∥平面BCF. 15．(多选)如图1，在正方形ABCD中，点E为线段BC上的动点(不含端点)，将△ABE沿AE翻折，使得二面角B－AE－D为直二面角，得到图2所示的四棱锥B－AECD，点F为线段BD上的动点(不含端点)，则在四棱锥B－AECD中，下列说法正确的有(　　) A．B，E，C，F四点不共面 B．存在点F，使得CF∥平面BAE C．三棱锥B－ADC的体积为定值 D．存在点E使得直线BE与直线CD垂直 答案　AB 解析　对于A，因为点B在平面AECD外，点D在平面AECD内，直线EC在平面AECD内，直线EC不过点D，所以直线BD与EC是异面直线，即直线BF与EC是异面直线，所以B，E，C，F四点不共面，故A正确； 对于B，如图，当点F为线段BD的中点， EC＝AD时，直线CF∥平面BAE，证明如下： 取AB的中点G，连接GE，GF， 则EC∥FG且EC＝FG， 所以四边形ECFG为平行四边形， 所以FC∥EG，又因为EG⊂平面BAE， 则直线CF与平面BAE平行，故B正确； 对于C，在三棱锥B－ADC中，因为点E的移动会导致点B到平面ACD的距离发生变化，所以三棱锥B－ADC的体积不是定值，故C不正确； 对于D，过D作DH⊥AE于H，因为平面BAE⊥平面AECD，平面BAE∩平面AECD＝AE，所以DH⊥平面BAE，所以DH⊥BE， 若存在点E使得直线BE与直线CD垂直，DH⊂平面AECD， 且DC⊂平面AECD，DH∩DC＝D，所以BE⊥平面AECD，所以BE⊥AE， 与△ABE是以B为直角的三角形矛盾，所以不存在点E使得直线BE与直线CD垂直，故D不正确． 16．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E为CD的中点，且点P在四边形BCC1B1内部及其边界上运动， (1)若EP∥平面BDD1B1，则动点P的轨迹长度为______________； (2)若AP与AB的夹角为30°，则动点P的轨迹长度为______________． 答案　(1)2　(2) 解析　如图，分别取BC，B1C1的中点F，G，连接EF，FG，EG， 则四边形BFGB1为平行四边形，所以BB1∥FG， 因为E为CD的中点，所以EF∥BD， 因为EF，FG⊄平面BDD1B1，BD，BB1⊂平面BDD1B1，所以EF∥平面BDD1B1，FG∥平面BDD1B1， 因为EF∩FG＝F，所以平面EFG∥平面BDD1B1， (1)因为平面EFG∩平面BCC1B1＝FG，且点P在四边形BCC1B1内部及其边界上运动，EP∥平面BDD1B1，所以点P的轨迹是FG， 因为FG＝BB1＝2，所以动点P的轨迹长度为2. (2)因为AB⊥平面BCC1B1，BP⊂平面BCC1B1， 所以AB⊥BP， 在Rt△ABP中，AB＝2，∠BAP＝30°， 则tan∠BAP＝＝，所以BP＝AB＝， 所以点P的轨迹是以B为圆心，为半径的一段弧，且圆心角为， 所以动点P的轨迹长度为×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $