第二章 §2.9 指、对、幂的大小比较（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（苏教版 提高版）

§2.9　指、对、幂的大小比较 重点解读　　指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置． 题型一　直接法比较大小 命题点1　利用函数的性质 例1 设，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．c>b>a D．b>c>a 答案　C 解析　因为函数y＝x为增函数， 所以，即a<b， 又因为函数y＝为增函数， 所以，即b<c，故c>b>a. 命题点2　找中间值 例2 (2023·昆明模拟)设a＝，b＝ln－ln 3，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．c>a>b C．c>b>a D．a>b>c 答案　B 解析　因为b＝ln－ln 3＝－＝＝<＝0， 而a＝>0，c＝>0，所以b最小． 又ln a＝＝<，ln c＝＝ln π>， 所以ln c>ln a，即c>a， 因此c>a>b. 命题点3　特殊值法 例3 已知a>b>1,0<c<，则下列结论正确的是(　　) A．ac<bc B．abc<bac C．alogbc<blogac D．logac<logbc 答案　C 解析　取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝， 则，∴ac>bc，故A错误； abc＝4×，bac＝2×， ∴abc>bac，故B错误； logac＝log4＝－1，logbc＝log2＝－2， alogbc＝－8，blogac＝－2， ∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正确，D错误． 思维升华 利用特殊值作“中间量” 在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的小数，从而便于比较． 跟踪训练1 (1)(2023·龙岩模拟)已知a＝0.30.2，b＝0.30.1，c＝log0.33，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<c<a 答案　C 解析　由y＝0.3x为减函数， 得0<a＝0.30.2<0.30.1＝b<0.30＝1， 由y＝log0.3x为减函数，得c＝log0.33<log0.31＝0， ∴c<a<b. (2)(2023·哈尔滨模拟)已知a＝sin ，b＝ln，c＝20.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．a<c<b 答案　A 解析　因为a＝sin ＝，且b＝ln>ln＝＝a，b＝ln<ln e＝1，且c＝20.2>1，所以a<b<c. 题型二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小 命题点1　作差法 例4 (1)设a＝log62，b＝log123，c＝log405，则(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．a<c<b 答案　D 解析　∵＝log312＝1＋log34＝1＋＝1＋，＝log540＝1＋log58＝1＋＝1＋， ∴－＝－＝＝＝<0， ∴<， 又b>0，c>0，∴b>c； ∵＝1＋log58<1＋log5＝1＋＝，∴c>， ∵＝log26＝1＋log23>1＋log2＝1＋＝，∴a<， ∴a<c.∴a<c<b. (2)(2024·宿州模拟)已知3m＝4，a＝2m－3，b＝4m－5，则(　　) A．a>0>b B．b>0>a C．a>b>0 D．b>a>0 答案　B 解析　由3m＝4，得m＝log34， ∵log23－log34＝－＝>＝＝>0， ∴log23>log34， log34－log45＝－＝>＝＝>0， ∴log34>log45， ∴b＝4m－5＝－5＝0， a＝2m－3＝－3＝0， ∴b>0>a. 命题点2　作商法 例5 已知a＝0.8－0.4，b＝log53，c＝log85，则(　　) A．a<b<c B．b<c<a C．c<b<a D．a<c<b 答案　B 解析　由＝＝<＝<1，得b<c，又∵c<1<a＝0.8－0.4，∴b<c<a. 命题点3　乘方法 例6 已知a＝log35，b＝log57，c＝，则(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．a>c>b 答案　D 解析　因为53＝125>＝81，所以5>， 所以log35>＝，即a>c. 因为73＝343<＝625，所以7<， 所以log57<＝，即b<c.所以a>c>b. 命题点4　对数法 例7　已知a＝2 023，b＝2 024，则a，b的大小关系为________________． 答案　a<b 解析　构建函数f(x)＝xln(x>0)， 则f′(x)＝ln－， 令g(x)＝ln－(x>0)， 则g′(x)＝－<0， 可知f′(x)在(0，＋∞)上单调递减， 又当x→＋∞时，f′(x)→0， 所以f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以f(2 024)>f(2 023)，即a<b. 思维升华 求同存异法比较大小 如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式． 跟踪训练2 (1)已知a＝2100，b＝365，c＝930，则a，b，c的大小关系是(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>b>a 答案　B 解析　因为a＝2100， 所以lg a＝lg 2100＝100lg 2≈30.1， 因为b＝365， 所以lg b＝lg 365＝65lg 3≈31.011 5， 因为c＝930＝360， 所以lg c＝lg 360＝60lg 3≈28.626， 所以lg b>lg a>lg c，所以b>a>c. (2)已知x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　) A．3y<2x<5z B．2x<3y<5z C．3y<5z<2x D．5z<2x<3y 答案　A 解析　令2x＝3y＝5z＝k(k>1)， 则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k， 所以＝＝·＝>1，则2x>3y， ＝＝·＝<1，则2x<5z. 所以3y<2x<5z. 课时精练 一、单项选择题 1．设，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．c>a>b C．b>c>a D．b>a>c 答案　D 解析　因为函数y＝x为减函数， 则0<a＝<0＝1， 因为函数y＝x为增函数， 则b＝>0＝1， 因为函数y＝为减函数， 则c＝＝0，因此b>a>c. 2．(2021·新高考全国Ⅱ)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　) A．c<b<a B．b<a<c C．a<c<b D．a<b<c 答案　C 解析　a＝log52<log5＝＝log82<log83＝b，即a<c<b. 3．设a＝log23，b＝2log32，c＝2－log32，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b<c<a B．c<b<a C．a<b<c D．b<a<c 答案　A 解析　c＝2－log32＝log39－log32＝log3>log34＝2log32＝b，即c>b， a－c＝log23＋log32－2>2－2＝2－2＝0，所以a>c，所以b<c<a. 4．(2023·宣城模拟)若3x＝4y＝10，z＝logxy，则(　　) A．x>y>z B．y>x>z C．z>x>y D．x>z>y 答案　A 解析　因为3x＝4y＝10， 则x＝log310>log39＝2,1＝log44<y＝log410<log416＝2，即1<y<2，所以x>y>1， 从而z＝logxy<logxx＝1，所以x>y>z. 5．已知a＝log32，b＝log43，c＝sin ，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c 答案　D 解析　c＝sin ＝，因为函数y＝log3x，y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增， 则a＝log32>log3＝，b＝log43>log42＝. a－b＝－＝， 因为ln 2>0，ln 4>0，则ln 2＋ln 4>2⇒ln 2×ln 4<×(ln 8)2<×(ln 9)2＝(ln 3)2. 故a<b，综上，b>a>c. 6．已知log4m＝，log12n＝，0.9p＝0.8，则正数m，n，p的大小关系为(　　) A．p>m>n B．m>n>p C．m>p>n D．p>n>m 答案　A 解析　由log4m＝，得m＝<2， 由log12n＝，得n＝， ，因此2>m>n； 由0.9p＝0.8，得p＝log0.90.8>log0.90.81＝2，于是p>m>n， 所以正数m，n，p的大小关系为p>m>n. 7．已知a＝810，b＝99，c＝108，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b>c>a B．b>a>c C．a>c>b D．a>b>c 答案　D 解析　令f(x)＝(18－x)ln x，x≥8， 则f′(x)＝－ln x＋－1， f′(x)＝－ln x＋－1在[8，＋∞)上单调递减，且f′(8)＝－ln 8＋－1＝－ln 8<－ln e2＝－2<0， 所以f′(x)＝－ln x＋－1<0在[8，＋∞)上恒成立， 故f(x)＝(18－x)ln x在[8，＋∞)上单调递减， 所以f(8)>f(9)>f(10)， 即10ln 8>9ln 9>8ln 10，即ln 810>ln 99>ln 108， 所以810>99>108，即a>b>c. 二、多项选择题 8．若a＝log45，b＝，c＝eln 2，则下列a，b，c的大小关系表达正确的为(　　) A．a<b B．b<a C．c<b D．b<c 答案　AD 解析　a＝＝log25＝log2，b＝＝log23，所以根据对数函数y＝log2x的图象与单调性知log22<a<b<log24， 即1<a<b<2，c＝eln 2＝2，所以a<b<c. 9．(2023·邯郸模拟)已知log2m＝，a＝log3m－，b＝log5m－，则下列判断正确的是(　　) A．a>0 B．a<0 C．b>0 D．b<0 答案　BC 解析　由log2m＝，可得m＝>1， 因为，所以， 则a＝log3m－<－＝0，A错误，B正确； 又因为，所以，b＝log5m－>－＝0，C正确，D错误． 10．已知大于1的三个实数a，b，c满足(lg a)2－2lg alg b＋lg blg c＝0，则a，b，c的大小关系可能是(　　) A．a＝b＝c B．a>b>c C．b>c>a D．b>a>c 答案　ABC 解析　方法一　∵三个实数a，b，c都大于1， ∴lg a>0，lg b>0，lg c>0， ∵(lg a)2－2lg alg b＋lg blg c＝0， 即lg a(lg a－lg b)＋lg b(lg c－lg a)＝0， ∴lg alg ＋lg blg ＝0， 对于A选项，若a＝b＝c，则lg ＝0，lg ＝0，能满足题意； 对于B选项，若a>b>c，则>1,0<<1，∴lg >0，lg <0，能满足题意； 对于C选项，若b>c>a，则0<<1，>1，∴lg <0，lg >0，能满足题意； 对于D选项，若b>a>c，则0<<1,0<<1，∴lg <0，lg <0，∴lg alg ＋lg blg <0，不满足题意． 方法二　令f(x)＝x2－2xlg b＋lg b·lg c，x>0， 则lg a为f(x)的零点，且该函数图象的对称轴为直线x＝lg b，故对于方程x2－2xlg b＋lg b·lg c＝0， Δ＝4(lg b)2－4lg b·lg c≥0， 因为b>1，c>1，所以lg b>0，lg c>0， 所以lg b≥lg c，即b≥c， f(lg b)＝lg b·lg c－(lg b)2＝lg b(lg c－lg b)， f(lg c)＝(lg c)2－lg b·lg c＝lg c(lg c－lg b)． 当b＝c时，f(lg b)＝f(lg c)＝0， 故lg a＝lg b＝lg c，即a＝b＝c； 当b>c时，f(lg b)<0，f(lg c)<0， 所以lg a<lg c或lg b<lg a， 即b>c>a或a>b>c. 学科网（北京）股份有限公司 $