第八章 §8.9 直线与圆锥曲线的位置关系（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（苏教版 提高版）

§8.9　直线与圆锥曲线的位置关系 课标要求　1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题． 知识梳理 1．直线与圆锥曲线的位置判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交⇔Δ>0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ＝0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ<0. 特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点． ②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点． 2．弦长公式 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)， 则AB＝ ＝|x1－x2| ＝， 或AB＝|y1－y2| ＝. 常用结论 1．已知M，N是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上的两点，点O为坐标原点，且P是M，N的中点，则kMN·kOP＝－. 2．若曲线为双曲线，其余条件不变，则kMN·kOP＝. 3．若曲线为抛物线，P(x0，y0)为弦MN的中点：kMN＝(开口向右)，kMN＝－(开口向左)，kMN＝(开口向上)，kMN＝－(开口向下)． 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)过点的直线一定与椭圆＋y2＝1相交．(　√　) (2)直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切．(　×　) (3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点．(　√　) (4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦．(　√　) 2．直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1有且只有一个交点，则k的值是(　　) A. B．－ C．± D．± 答案　C 解析　由得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0， 由题意知Δ＝(12k)2－4×6×(2＋3k2)＝0， 解得k＝±. 3．已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 答案　C 解析　联立消去y并整理得x2－6x＋1＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝1， 所以AB＝＝×＝8. 4．已知点A，B是双曲线C：－＝1上的两点，线段AB的中点是M(3,2)，则直线AB的斜率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵点A，B是双曲线C上的两点， ∴－＝1，－＝1， 两式相减得 ＝， ∵M(3,2)是线段AB的中点， ∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝4， ∴＝，∴kAB＝＝. 方法二　由kAB·kOM＝＝， 得kAB＝·＝×＝. 题型一　直线与圆锥曲线的位置关系 例1 (1)(多选)直线y＝kx－k＋与椭圆＋＝1的位置关系可能为(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．有3个公共点 答案　AB 解析　直线y＝kx－k＋＝k(x－)＋恒过定点，又点在椭圆上，故直线与椭圆可能相交也可能相切． (2)已知直线y＝2x＋2与双曲线C：－＝1(0<a<2，b>0)有且仅有1个交点，则双曲线C的离心率为(　　) A．5 B. C. D. 答案　D 解析　因为直线y＝2x＋2与双曲线C：－＝1(0<a<2，b>0)有且仅有1个交点， 联立 可得(4b2－a2)x2＋8b2x＋4b2－a2b2＝0. 所以①直线y＝2x＋2与双曲线C：－＝1(0<a<2，b>0)的渐近线平行， 则可知4b2－a2＝0⇒＝， 则双曲线C的离心率e＝＝. ②直线y＝2x＋2与双曲线C：－＝1(0<a<2，b>0)相切， 所以 化简得a2＝4b2＋4≥4，则a≥2，不符合题意． 所以双曲线C的离心率为. 思维升华 (1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行． (2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合)． 跟踪训练1 (1)(2023·北京海淀模拟)已知抛物线C：y2＝4x，经过点P的任意一条直线与C均有公共点，则点P的坐标可以为(　　) A．(0,1) B．(1，－3) C．(3,4) D．(2，－2) 答案　D 解析　点(0,1)在y轴上， 所以点(0,1)在抛物线外部， 将x＝1代入抛物线C：y2＝4x中， 则|y|＝2<3，所以点(1，－3)在抛物线外部， 将x＝3代入抛物线C：y2＝4x中， 则|y|＝2<4，所以点(3,4)在抛物线外部， 将x＝2代入抛物线C：y2＝4x中， 则|y|＝2>2， 所以点(2，－2)在抛物线内部， 将选项中的点分别在平面直角坐标系中画出来，只有点(2，－2)在抛物线内部， 故当点P的坐标为(2，－2)时， 经过点P的任意一条直线与C均相交，均有公共点． (2)已知双曲线C：－y2＝1，过点P(2,1)与双曲线C有且只有一个公共点的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 答案　B 解析　由双曲线方程知，右顶点坐标为(2,0)， 渐近线方程为y＝±x， 显然P(2,1)在y＝x上，如图所示， 所以过点P的直线x＝2以及与y＝－x平行且过点P的直线与双曲线都只有一个交点． 故共有两条直线满足要求． 题型二　弦长问题 例2 (2021·新高考全国Ⅱ)已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(，0)，且离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是MN＝. (1)解　由题意得， 椭圆半焦距c＝且e＝＝， 所以a＝，又b2＝a2－c2＝1， 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)证明　由(1)得，曲线为x2＋y2＝1(x>0)， 当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x＝1，不符合题意； 当直线MN的斜率存在时， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 必要性： 若M，N，F三点共线， 可设直线MN：y＝k(x－)，即kx－y－k＝0， 由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，解得k＝±1， 联立可得4x2－6x＋3＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝， 所以MN＝·＝， 所以必要性成立； 充分性：设直线MN：y＝kx＋m(km<0)， 即kx－y＋m＝0， 由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，所以m2＝k2＋1， 联立 可得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝， 所以MN＝· ＝ ＝·＝， 化简得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1， 所以或 所以直线MN：y＝x－或y＝－x＋， 所以直线MN过点F(，0)，M，N，F三点共线，充分性成立，所以M，N，F三点共线的充要条件是MN＝. 思维升华 (1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用弦长公式求． (2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式AB＝x1＋x2＋p. (3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率． 跟踪训练2 已知焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1(a>b>0)，短轴长为2，椭圆左顶点A到左焦点F1的距离为1. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆的右顶点为B，过F1的直线l与椭圆C交于点M，N，且S△BMN＝，求直线l的方程． 解　(1)由得 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)由题意知，直线的斜率存在且不为0，F1(－1,0)，B(2,0)， 设直线l的方程为x＝my－1， M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由得(3m2＋4)y2－6my－9＝0， 即y1＋y2＝，y1y2＝. 又S△BMN＝BF1·|y1|＋BF1·|y2| ＝BF1·|y1－y2| ＝BF1· ＝＝， 解得m＝±1， 所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0. 题型三　中点弦问题 例3 (2024·衡水模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，短轴顶点分别为M，N，四边形MF1NF2的面积为32. (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为(－2,1)，求直线l的方程． 解　(1)因为离心率e＝＝，所以a＝c， 因为a2＝b2＋c2，所以b＝c. 因为四边形MF1NF2的面积为32，所以2bc＝32，所以b＝c＝4，a＝4， 故椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)由题意得，直线l的斜率存在． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 两式相减得＋＝0， 所以＝－·. 因为AB的中点坐标为(－2,1)， 所以＝1，所以直线l的斜率为1， 故直线l的方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0. 思维升华 解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路 (1)根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解． (2)点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子，可以大大减少计算量． 跟踪训练3 (1)已知双曲线方程为x2－＝1，则以A(2,1)为中点的弦所在直线l的方程是(　　) A．6x＋y－11＝0 B．6x－y－11＝0 C．x－6y－11＝0 D．x＋6y＋11＝0 答案　B 解析　设直线l交双曲线x2－＝1于点M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则由已知得 两式作差得x－x＝， 所以＝＝6， 即直线l的斜率为6，故直线l的方程为y－1＝6(x－2)，即6x－y－11＝0.经检验满足题意． (2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为(　　) A．(1，－1) B．(2,0) C. D．(1,1) 答案　A 解析　∵焦点到准线的距离为p，则p＝1， ∴y2＝2x.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 则则(y1－y2)(y1＋y2)＝2(x1－x2)， ∴kPQ＝，又∵P，Q关于直线l对称， ∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2， ∴PQ中点的纵坐标为＝－1， 又∵PQ的中点在直线l上， ∴PQ中点的横坐标为＝(－1)＋2＝1. ∴线段PQ的中点坐标为(1，－1)． 课时精练 一、单项选择题 1．已知直线kx－y＋2＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围为(　　) A．(4,9] B．[4，＋∞) C．[4,9)∪(9，＋∞) D．(9，＋∞) 答案　C 解析　直线kx－y＋2＝0过定点(0,2)， 所以＋≤1，解得m≥4.① 由于方程＋＝1表示椭圆， 所以m>0且m≠9.② 由①②得m的取值范围是[4,9)∪(9，＋∞)． 2．(2023·长春模拟)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点，若使AB＝2的直线l有且仅有1条，则p等于(　　) A. B. C．1 D．2 答案　C 解析　由抛物线的对称性知，要使AB＝2的直线l有且仅有1条， 则AB必须垂直于x轴，故A，B两点坐标为，代入抛物线方程解得p＝1. 3．直线x＋4y＋m＝0交椭圆＋y2＝1于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为1，则m等于(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案　A 解析　∵x＋4y＋m＝0， ∴y＝－x－， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 两式相减得＝－＝－， ∵AB中点的横坐标为1，则纵坐标为， 将代入直线y＝－x－，解得m＝－2. 4．已知点F1(－1,0)，F2(1,0)，直线l：y＝x＋2.若以F1，F2为焦点的椭圆C与直线l有公共点，则椭圆C的离心率的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设椭圆C：＋＝1(a>b>0)， 由题意知其左、右焦点分别是F1(－1,0)，F2(1,0)， 可得c＝1，联立 得(a2＋b2)x2＋4a2x＋4a2－a2b2＝0， Δ＝16a4－4(a2＋b2)(4a2－a2b2)≥0， 可得4a2－(2a2－1)(5－a2)≥0， 解得a≥，e＝≤＝. 5．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，左、右焦点分别为F1，F2，过点F2且斜率为的直线l交双曲线的右支于M，N两点，若△MNF1的周长为36，则双曲线C的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D．x2－＝1 答案　D 解析　因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x， 所以b＝a，则双曲线方程为－＝1(a>0)，F1(－a，0)，F2(a，0)， 所以直线l为y＝(x－a)， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由得x2－6ax＋11a2＝0， 则x1＋x2＝6a，x1x2＝11a2， 所以MN＝· ＝2＝16a， 因为MF1＝MF2＋2a，NF1＝NF2＋2a， 所以MF1＋NF1＝MF2＋NF2＋4a＝MN＋4a＝20a， 因为△MNF1的周长为36， 所以MF1＋NF1＋MN＝36， 所以20a＋16a＝36，解得a＝1， 所以双曲线C的方程为x2－＝1. 6．(2023·沈阳模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>)的离心率为，过点P的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足PA＝PB，若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则OM的最小值为(　　) A．1 B. C．2 D．2 答案　B 解析　由题设，＝， 即＝1－＝1－＝， 可得a2＝6>2， 过点P的直线与椭圆C交于A，B两点， 且满足PA＝PB， 则P为线段AB的中点， 所以xA＋xB＝3，yA＋yB＝1， 又＋＝1， ＋＝1， 则＋＝0， 即＝－， 所以＝－＝－1， 故直线AB的方程为y－＝－，即x＋y－2＝0， 所以OM的最小值为＝. 二、多项选择题 7．关于双曲线C：－＝1，下列说法正确的是(　　) A．该双曲线与双曲线－＝1有相同的渐近线 B．过点F(3,0)作直线l与双曲线C交于A，B，若AB＝5，则满足条件的直线只有一条 C．若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈ D．过点P(1,2)能作4条直线与双曲线C仅有一个交点 答案　ACD 解析　双曲线C：－＝1的渐近线方程可表示为－＝0，双曲线－＝1的渐近线方程可表示为－＝0，整理后都是y＝±x，故A正确； 由于双曲线的实轴长为2a＝4，所以过焦点F与左右两支都相交的直线被双曲线截得的弦长的取值范围是[4，＋∞)，存在关于x轴对称的两种情况，使其弦长为5，另外当直线垂直于x轴时，经计算可得弦长正好是5，故满足条件的直线有三条，故B错误； 由于双曲线的渐近线的斜率为±，焦点在x轴上， 所以若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈，故C正确； 由于点P(1,2)在双曲线的两条渐近线的上方，如图所示，故过点P能作4条直线与双曲线C仅有一个交点，其中两条与渐近线平行，另外两条与双曲线相切，故D正确． 8．(2022·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则(　　) A．C的准线为y＝－1 B．直线AB与C相切 C．OP·OQ>OA2 D．BP·BQ>BA2 答案　BCD 解析　如图，因为抛物线C过点A(1,1)，所以1＝2p，解得p＝，所以C：x2＝y的准线为y＝－，所以A错误； 因为x2＝y，所以y′＝2x，所以当x＝1时，y′＝2，所以C在点A处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，又点B(0，－1)在直线y＝2x－1上，所以直线AB与C相切，所以B正确； 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为y＝kx－1，由得x2－kx＋1＝0，所以x1＋x2＝k，x1x2＝1，且Δ＝k2－4>0，得k>2或k<－2， 所以OP·OQ＝·＝＝·x1x2＝＝>2＝OA2，所以C正确； BP·BQ＝· ＝· ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝k2＋1>5＝BA2，所以D正确． 三、填空题 9．已知m为实数，直线mx＋y－1＝0与椭圆＋y2＝1的交点个数为________． 答案　2 解析　因为直线方程为mx＋y－1＝0， 所以直线过定点(0,1)，定点在椭圆上， 又因为m≠0，所以直线与x轴不平行， 所以直线和椭圆相交，所以交点个数为2. 10．已知椭圆T：＋＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，过左焦点F作倾斜角为45°的直线交T于A，B两点，若AB＝，则椭圆T的方程为________． 答案　＋＝1 解析　∵a＝2b，则c＝b， ∴椭圆T：＋＝1，左焦点F(－b，0)， 直线AB：y＝x＋b，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程 消去y得5x2＋8bx＋8b2＝0， ∴x1＋x2＝－b，x1x2＝， AB＝＝， 可得b2＝2，∴椭圆T：＋＝1. 11．在平面直角坐标系中，动点P在椭圆C：＋＝1上运动，则点P到直线x－y－5＝0的距离的最大值为________． 答案　5 解析　设直线x－y＋m＝0与椭圆＋＝1相切， 联立消去y得25x2＋32mx＋16m2－144＝0， ∴Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144)＝0，解得m＝5或m＝－5， ∴与直线x－y－5＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋5＝0， 且两平行直线间的距离为 d＝＝＝5， ∴点P到直线x－y－5＝0的最大距离为5. 12．已知斜率为2的直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，若点P(2,1)是线段AB的中点，则C的离心率等于________． 答案　 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 得－＝0， 即－＝0， 因为点P(2,1)是线段AB的中点， 所以－＝0， 得－＝0， 又因为直线l的斜率为2， 所以－2×＝0， 得a2＝b2， 即a2＝c2－a2， 所以C的离心率e＝＝. 四、解答题 13．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，长轴长为4. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知直线l过定点E，若椭圆C上存在两点A，B关于直线l对称，求直线l的斜率k的取值范围． 解　(1)因为椭圆的离心率为e＝＝，长轴长为2a＝4， 解得a＝2，c＝1，则b2＝3， 所以椭圆C的标准方程是＋＝1. (2)易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为 y＝k，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 当直线l的斜率k＝0时，易得在椭圆C上有无数对A，B关于直线y＝0对称； 当k≠0时，有kAB＝＝－， 设AB中点的坐标为(x0，y0)， 又 两式相减得3(x1＋x2)(x1－x2)＝－4(y1＋y2)(y1－y2)，即3kx0＝4y0， 又y0＝k， 解得x0＝1，y0＝， 因为线段AB的中点在椭圆内部， 所以＋<1，即＋<1， 解得－2<k<0或0<k<2， 综上，直线l的斜率k的取值范围为(－2,2)． 14．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1(－2,0)，F2(2,0)，点P(5，)在双曲线C上． (1)求双曲线C的方程； (2)记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若△OAB的面积为2，求直线l的方程． 解　(1)依题意，c＝2，所以a2＋b2＝4， 则双曲线C的方程为－＝1(0<a2<4)， 将点P(5，)代入上式，得－＝1， 解得a2＝50(舍去)或a2＝2， 故所求双曲线的方程为－＝1. (2)依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2， 代入双曲线C的方程并整理，得(1－k2)x2－4kx－6＝0. 因为直线l与双曲线C交于不同的两点A，B， 所以 解得(*) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝－， 所以AB＝·＝·. 又原点O到直线l的距离d＝， 所以S△OAB＝d·AB＝××·＝. 又S△OAB＝2，即＝1， 所以k4－k2－2＝0，解得k＝±，满足(*)． 故满足条件的直线l有两条， 其方程分别为y＝x＋2和y＝－x＋2. 学科网（北京）股份有限公司 $