第八章 §8.7 离心率的范围问题（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（苏教版 提高版）

§8.7　离心率的范围问题 重点解读　圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁． 题型一　利用圆锥曲线的定义求离心率的范围 例1 (1)(2023·德阳模拟)已知F1，F2为椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，∠F1PF2＝60°，则椭圆与双曲线离心率之积的最小值为(　　) A．2 B．1 C. D．2 答案　C 解析　不妨设PF1＝m，PF2＝n(m>n)． 椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，两曲线的半焦距均为c， 由椭圆及双曲线的定义得m＋n＝2a1，m－n＝2a2，于是m＝a1＋a2，n＝a1－a2， 又在△PF1F2中，由余弦定理得 m2＋n2－2mncos 60°＝4c2⇒(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－(a1＋a2)(a1－a2)＝4c2， 则a＋3a＝4c2，得＋＝4， 由基本不等式得4＝＋≥2⇒e1e2≥，当且仅当e1＝，e2＝时，等号成立， 所以椭圆与双曲线离心率之积的最小值为. (2)(2023·襄阳模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，点A的坐标为(0,1)，点P为双曲线左支上的动点，且△APF的周长不小于18，则双曲线C的离心率的取值范围为__________． 答案　 解析　由右焦点为F(2，0)，点A的坐标为(0,1)，可得AF＝＝5. 因为△APF的周长不小于18，所以PA＋PF的最小值不小于13. 设F2为双曲线的左焦点，可得PF＝PF2＋2a， 故PA＋PF＝PA＋PF2＋2a， 当A，P，F2三点共线时，PA＋PF2＋2a取最小值，最小值为AF2＋2a，即5＋2a， 所以5＋2a≥13，即a≥4. 因为c＝2，所以e＝＝≤. 又e>1，所以e∈. 思维升华　此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围． 跟踪训练1 (2023·宁波模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆C上存在一点M，使得△MF1F2的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　△MF1F2的面积为F1F2·|yM|， 因为△MF1F2的内切圆半径为， 所以△MF1F2的面积可表示为(2a＋2c)·， 所以·2c·|yM|＝(2a＋2c)·， 解得|yM|＝， 因为|yM|≤b，所以≤b， 两边平方得2≤b2， 又因为b2＝a2－c2，整理得5c2＋2ac－3a2≤0， 因为e＝，不等式两边同时除以a2，得5e2＋2e－3≤0，解得－1<e≤， 又椭圆C的离心率e∈(0,1)， 所以椭圆C的离心率的取值范围为. 题型二　利用圆锥曲线的性质求离心率的范围 例2 (1)(2023·张掖模拟)若椭圆E：x2＋＝1(0<m<1)上存在点P，满足OP＝m(O为坐标原点)，则椭圆E的离心率的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设椭圆E的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a，b，c，由题意知a＝1，b＝，c＝m， 椭圆E上存在点P满足OP＝m，等价于以O为原点，以c为半径的圆与椭圆有交点，得c≥b， 所以c2≥b2＝a2－c2，解得≥， 所以e＝≥.又0<e<1， 所以椭圆E的离心率的取值范围为. (2)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，若离心率e＝，则椭圆C的离心率的取值范围为(　　) A．(0，－1) B. C. D. 答案　D 解析　因为e＝，所以PF1＝ePF2， 由椭圆的定义得PF1＋PF2＝2a， 解得PF2＝， 因为a－c≤PF2≤a＋c，所以a－c≤≤a＋c， 两边同除以a得1－e≤≤1＋e， 解得e≥－1， 因为0<e<1，所以－1≤e<1， 所以离心率e的取值范围是[－1,1)． 思维升华　利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解． 跟踪训练2 (1)已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．(1,2) C．(2,1＋) D．(1,1＋) 答案　B 解析　由题意可知AE＝BE，即△ABE为等腰三角形， ∵△ABE是锐角三角形， ∴∠AEB<90°， ∴∠AEF<45°， 将x＝－c代入－＝1， 可得y＝±， 故在Rt△AFE中，AF＝，FE＝a＋c， ∵∠AEF<45°，∴AF<FE，∴<a＋c， 化简整理，得2a2－c2＋ac>0， ∴e2－e－2<0，∴－1<e<2， 又e>1，∴1<e<2. (2)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点．若椭圆C上存在两点A，B满足FA⊥FB，且A，B，O三点共线，则椭圆C的离心率的取值范围为(　　) A．(0,1) B. C. D. 答案　C 解析　设椭圆C的右焦点为F′，连接AF′，如图所示． 由椭圆的性质得，AF′∥BF，∠FAF′＝， 即椭圆上存在点A，满足∠FAF′＝，即以FF′为直径的圆与椭圆有公共点． 设椭圆C的半焦距为c(c>0)， 所以只需c≥b，即c2≥a2－c2，即e2≥， 又0<e<1，所以≤e<1， 所以椭圆C的离心率的取值范围为. 题型三　利用几何图形的性质求离心率的范围 例3 (1)设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　如图所示，因为线段PF1的中垂线过F2， ∴F1F2＝PF2＝2c， 又QF2＝－c，且PF2≥QF2， 故2c≥－c，即3c2≥a2，故e2≥， 又0<e<1，所以≤e<1. (2)(2023·温州模拟)设过原点且倾斜角为60°的直线与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右支分别交于A，B两点，F是C的焦点，若△ABF的面积大于，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　) A．(1，) B．(，7) C．(2,7) D．(2，) 答案　D 解析　不妨设F是双曲线C的左焦点，如图，由题可知，直线AB的方程为y＝x， 由得 x＝±，且b2>3a2， 所以yA＝－，yB＝， 因为S△ABF＝·OF·|yB－yA| ＝·c·＝， 且S△ABF>＝ac， 所以>ac，所以>， 解得0<e<， 又因为b2>3a2，解得e>2，所以2<e<. 思维升华　利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系． 跟踪训练3 (2023·长春模拟)椭圆的中心在坐标原点，A1，A2，B1，B2分别为椭圆的左、右、 上、下顶点，F2为其右焦点，直线B1F2与直线A2B2交于点P，若∠B1PA2为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　如图，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由题意得A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，－b)，F2(c，0)， 则＝(a，b)，＝(－c，b)． 因为∠B1PA2为向量与的夹角， 且∠B1PA2为钝角， 所以·<0，所以b2－ac<0. 又b2＝a2－c2，所以a2－ac－c2<0， 两边同时除以a2得1－e－e2<0， 解得e<或e>， 因为e∈(0,1)，所以<e<1. 课时精练 一、单项选择题 1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上存在点A，使得∠F1AF2＝，则椭圆离心率的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意，设椭圆上顶点为B，若椭圆上存在点A，使得∠F1AF2＝，则只需∠F1BF2≥即可． 当∠F1BF2＝时，△F1BF2为正三角形，此时a＝2c，故当∠F1BF2≥时，a≤2c，即≤. 又0<e<1，故离心率e∈. 2．(2023·潍坊模拟)已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，直线l：x＝，且PQ⊥l，垂足为Q点．若四边形QPF1F2为平行四边形，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设P(x0，y0)，则Q， ∵四边形QPF1F2为平行四边形， ∴PQ＝F1F2，∴－x0＝2c， 即x0＝－2c＝∈(－a，a)， ∴－1<<1， ∴－1<2－e2－2e<1，解得－1<e<1. 3．(2023·武汉模拟)已知圆C1：x2＋y2＝b2(b>0)与双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)，若在双曲线C2上存在一点P，使得过点P所作的圆C1的两条切线(切点为A，B)满足∠APB＝，则双曲线C2的离心率的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图所示，△POA≌△POB，OB＝OA＝b，∠APB＝，∴∠OPB＝， 又OB⊥BP，∴OP＝2b， 又OP≥a，故2b≥a， 即4(c2－a2)≥a2，即4c2≥5a2，∴e≥. 4．(2023·承德模拟)已知过点P(1,2)可作双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条切线，若两个切点分别在双曲线C的左、右两支上，则该双曲线的离心率的取值范围为(　　) A．(，＋∞) B．(1，) C．(1，) D．(，＋∞) 答案　B 解析　要满足题意，点P(1,2)必须在渐近线y＝x与y轴围成的区域内，且不能在渐近线及y轴上．所以必须满足<2， 所以e＝＝＝<， 又e>1，所以1<e<. 5．(2023·合肥模拟)双曲线－＝1(a>2，b>0)的焦距为2c(c>0)，已知点A(a，0)，B(0，b)，点(2,0)到直线AB的距离为d1，点(－2,0)到直线AB的距离为d2，且d1＋d2≥c，则双曲线离心率的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　依题意得直线AB：＋＝1， 即bx＋ay－ab＝0，又a>2， 所以d1＝＝， d2＝＝， 所以d1＋d2＝＋＝≥c， 所以5·a≥2c2，即25(c2－a2)·a2≥4c4， 即4e4－25e2＋25≤0，解得≤e2≤5， 又e>1，所以e∈. 6．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线PF1与y轴交于Q点．若AQ∥PF2，则双曲线E的离心率的取值范围为(　　) A．(，＋∞) B．[＋1，＋∞) C．(＋1，＋∞) D．(，＋1] 答案　C 解析　如图所示，根据题意可得F1(－c，0)，F2(c，0)，A(a，0)， 设P(x1，y1)，则直线PF1的方程为y＝(x＋c)， 所以直线PF1与y轴的交点Q， 由AQ∥PF2可得kAQ＝，即＝， 整理得(a＋c)x1＝c2－ac，即x1＝， 又因为P为双曲线右支上一点，所以x1≥a， 当x1＝a时，AQ，PF2共线，与题意不符，即x1>a， 可得x1＝>a， 整理得c2－a2－2ac>0，即e2－2e－1>0， 解得e>＋1或e<1－(舍去)， 即双曲线E的离心率的取值范围为(＋1，＋∞)． 二、多项选择题 7．(2023·西安模拟)已知椭圆＋＝1(a>0，b>0)上一点A，它关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈，则该椭圆的离心率可能是(　　) A. B. C. D. 答案　AD 解析　由题意，A关于原点的对称点为B，点F为椭圆右焦点，设左焦点为F1，如图所示， ∵AF⊥BF，∴四边形AF1BF为矩形，∴AB＝F1F＝2c. ∵∠ABF＝α，∴AF＝2csin α，BF＝AF1＝2ccos α， 由椭圆的定义得2a＝2csin α＋2ccos α， ∴e＝＝＝. ∵α∈，∴α＋∈， ∴sin∈，∴e∈. 8．已知O为坐标原点，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，l是C的一条渐近线，以F为圆心，a为半径的圆与l交于A，B两点，则(　　) A．过点O且与圆F相切的直线与双曲线C没有公共点 B．双曲线C的离心率的最大值是 C．若·>0，则双曲线C的离心率的取值范围是 D．若＝，则双曲线C的离心率为 答案　ACD 解析　对于A，因为双曲线C的渐近线l与圆F交于A，B两点，所以过点O且与圆F相切的直线与双曲线C没有公共点(如图)，故选项A正确； 对于B，过点F作FD⊥l，垂足为D，易知FD＝b，因为圆F与直线l相交，所以b<a，又c2＝a2＋b2，所以c2<2a2，即e2<2，又e>1，所以双曲线C的离心率的取值范围是(1，)，故选项B错误； 对于C，若·>0，则0<∠AFB<， 故0<∠AFD<，故<cos∠AFD<1， 所以<<1， 即<<1，即b<a<b，得<e2<2， 所以e∈，故选项C正确； 对于D，因为＝，所以A为线段OB的中点，设AD＝m，则OA＝2m，OD＝3m， 在Rt△AFD和Rt△OFD中，由勾股定理得， 消去m2得c2＝9a2－8b2， 即17a2＝9c2，所以e＝，故选项D正确． 三、填空题 9．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，点B(3a，0)．若在双曲线E的渐近线上存在点P，使得·＝0，则双曲线E的离心率的取值范围是________． 答案　 解析　由题意得双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A(a，0)，渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，·＝0，即PA⊥PB， ∴点P为以AB为直径的圆与双曲线渐近线的交点，圆心为AB中点(2a，0)，半径为r＝a， 依题意，渐近线与该圆有公共点， 故≤a，即3b2≤a2， 即3(c2－a2)≤a2，即3c2≤4a2，∴1<e≤. 10．(2023·南充模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点为B，O为坐标原点，点P(a，b)，线段OP与椭圆C交于点M，点Q在线段OM上，且OM2＝OP·OQ，若直线BQ与圆x2＋y2＝a2－b2相交，则椭圆C的离心率的取值范围为________． 答案　 解析　设直线OP的方程为y＝x， 由解得 即点M， 设点Q(λa，λb)，其中λ∈， 由OM2＝OP·OQ得 ＝·λ， 解得λ＝，故Q， 则直线BQ的方程为bx＋ay－ab＝0， 由直线BQ与圆x2＋y2＝a2－b2相交， 得<， 故a4－b4－a2b2>0，即b4<a2(a2－b2)， 因为a2－b2＝c2， 所以(a2－c2)2<a2c2，即a2－c2<ac，即1－e2<e， 又因为0<e<1，所以<e<1. 学科网（北京）股份有限公司 $