第四章 §4.8 正弦定理、余弦定理（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（人教A提高版）

§4.8　正弦定理、余弦定理 课标要求　1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题． 知识梳理 1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2.三角形解的判断 A为锐角 A为钝角 或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形中常用的面积公式 (1)S＝aha(ha表示边a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． 常用结论 在△ABC中，常有以下结论： (1)∠A＋∠B＋∠C＝π. (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B. (4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin . (5)三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. (6)三角形中的面积S＝. 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的余弦值之比．(　×　) (2)在△ABC中，若sin A>sin B，则a>b.(　√　) (3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　×　) (4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．(　×　) 2．(必修第二册P44T2改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　在△ABC中， 设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7， 由余弦定理得 cos∠BAC＝＝＝－， 因为∠BAC为△ABC的内角， 所以∠BAC＝. 3．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　) A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 答案　C 解析　由正弦定理得＝， ∴sin B＝＝＝>1. ∴角B不存在，即此三角形无解． 4．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝ . 答案　2 解析　由题意得S△ABC＝acsin B＝ac＝， 则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12， 所以b2＝a2＋c2－2accos B＝12－2×4×＝8， 则b＝2. 题型一　利用正弦、余弦定理解三角形 例1 (1)(2023·榆林模拟)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin A＋(b＋λa)sin B＝csin C，则λ的取值范围为(　　) A．(－2,2) B．(0,2) C．[－2,2] D．[0,2] 答案　A 解析　因为asin A＋(b＋λa)sin B＝csin C， 由正弦定理得c2＝a2＋b2＋λab， 由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcos C， 所以λ＝－2cos C， 因为C∈(0，π)，所以cos C∈(－1,1)， 故λ∈(－2,2)． (2)(2024·兰州模拟)用长度为1,4,8,9的4根细木棒围成一个三角形(允许连接，不允许折断)，则其中某个三角形外接圆的直径可以是 (写出一个答案即可)． 答案　(答案不唯一) 解析　4根细木棒围成的三角形的三边长可以为5,8,9，设边长为9的边所对的角为θ，该三角形外接圆的半径为R， 由余弦定理知，cos θ＝＝， 因为θ∈(0，π)，所以sin θ＝＝， 由正弦定理知，2R＝＝＝， 所以其中某个三角形外接圆的直径可以是. 思维升华 解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 跟踪训练1 (1)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a＝1，c＝，A＝45°，则C等于(　　) A．30° B．60° C．120° D．60°或120° 答案　D 解析　因为a＝1，c＝，A＝45°， 所以由正弦定理可得sin C＝＝ ＝， 又因为0°<C<180°，c>a，A＝45°，所以C＝60°或120°. (2)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则等于(　　) A．2 B．3 C. D. 答案　D 解析　由正弦定理及bsin 2A＝asin B， 得2sin Bsin Acos A＝sin Asin B， 又sin A≠0，sin B≠0，则cos A＝. 又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋4b2－4b2×＝3b2， 得＝. 题型二　正弦定理、余弦定理的简单应用 命题点1　三角形的形状判断 例2 (2023·临沂模拟)在△ABC中，已知＝且满足条件①a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)；②bcos A＋acos B＝csin C 中的一个，试判断△ABC的形状，并写出推理过程． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 解　由＝及正弦定理得 ＝，即a2＋ac＝b2＋bc， ∴a2－b2＋ac－bc＝0， ∴(a－b)(a＋b＋c)＝0，∴a＝b. 若选①，则△ABC为等边三角形．推理如下： 由a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)及正弦定理，得a(a－b)＝(c－b)(c＋b)， 即a2＋b2－c2＝ab. ∴由余弦定理得cos C＝＝， 又C∈(0，π)，∴C＝. ∴△ABC为等边三角形． 若选②，则△ABC为等腰直角三角形．推理如下： ∵bcos A＋acos B＝b·＋a·＝＝c＝csin C， ∴sin C＝1，∴C＝， ∴△ABC为等腰直角三角形． 思维升华 判断三角形形状的两种思路 (1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论． 命题点2　三角形的面积 例3　(10分)(2023·新高考全国Ⅰ)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sin B. (1)求sin A；[切入点：由A，B，C关系求角C及代换sin B] (2)设AB＝5，求AB边上的高．[关键点：由A，B，C关系求sin B] [思路分析] (1)由A，B，C关系求角C→B＝π－(A＋C)代入化简→tan A→sin A (2)由角C，sin A→sin B→AC→等面积法求高 解　(1)(1分) ①处由A，B，C关系求角C 又2sin(A－C)＝(2分) ②处由B与A，C关系代换sin B ∴2sin Acos C－2cos Asin C ＝sin Acos C＋cos Asin C， ∴sin Acos C＝3cos Asin C， ∴sin A＝3cos A， ③处两角和差公式化简 即tan A＝3，(4分) ∴0<A<， ∴sin A＝＝.(5分) ④处由正切求正弦 (2)由(1)知，cos A＝＝， (7分) ⑤处由B与A，C关系求sin B 由正弦定理＝， AC＝＝2， 可得(8分) ⑥处正弦定理求AC ∴AB·h＝AB·AC·sin A， ⑦处等面积法求高 ∴h＝AC·sin A＝2×＝6.(10分) 思维升华 三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 命题点3　与平面几何有关的问题 例4 (2023·梅州模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a＋b＝2ccos B. (1)求角C； (2)若CD是角C的平分线，AD＝2，DB＝，求CD的长． 解　(1)由2a＋b＝2ccos B， 根据正弦定理可得2sin A＋sin B＝2sin Ccos B， 则2sin(B＋C)＋sin B＝2sin Ccos B， 所以2sin Bcos C＋2cos Bsin C＋sin B＝2sin Ccos B， 整理得(2cos C＋1)sin B＝0， 因为B，C均为三角形内角， 所以B，C∈(0，π)，sin B≠0， 因此cos C＝－，所以C＝. (2)因为CD是角C的平分线，AD＝2，DB＝， 所以在△ACD和△BCD中，由正弦定理可得，＝，＝， 因此＝＝2，即sin B＝2sin A， 所以b＝2a， 又由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C， 即(3)2＝a2＋4a2＋2a2， 解得a＝3，所以b＝6， 又S△ABC＝S△ACD＋S△BCD， 即absin∠ACB＝b·CD·sin∠ACD＋a·CD·sin∠BCD，即18＝9CD，所以CD＝2. 思维升华 在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想． 跟踪训练2 (1)(2024·西安模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，b＝5，cos A＝，则△ABC的面积为(　　) A．36 B．18 C．27 D．36 答案　C 解析　∵a＝2，b＝5，cos A＝， ∴由a2＝b2＋c2－2bccos A， 可得c2－8c－18＝(c－9)(c＋)＝0， 解得c＝9(负值舍去)． ∵cos A＝，∴sin A＝＝， ∴△ABC的面积为bcsin A＝×5×9×＝27. (2)(2023·聊城模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a－b＝ccos B－ccos A，则△ABC的形状一定是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 答案　D 解析　因为a－b＝ccos B－ccos A， 所以由正弦定理得 sin A－sin B＝sin Ccos B－sin Ccos A， 因为sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C， sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C， 所以sin Bcos C＋cos Bsin C－sin Acos C－cos Asin C＝sin Ccos B－sin Ccos A， 整理得sin Bcos C－sin Acos C＝0， 所以(sin B－sin A)cos C＝0， 所以sin B＝sin A或cos C＝0， 因为A，B，C∈(0，π)，所以A＝B或C＝， 即△ABC的形状一定是等腰或直角三角形． (3)(2023·宝鸡统考)在△ABC中，AB＝5，AC＝7，D为BC的中点，AD＝5，则BC等于(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 答案　B 解析　方法一　设BC＝2x，则BD＝CD＝x. 在△ACD中，由余弦定理的推论可得，cos∠ADC＝＝. 在△ABD中，由余弦定理的推论可得， cos∠ADB＝＝. 又∠ADC＋∠ADB＝π， 所以cos∠ADC＝－cos∠ADB， 所以有＝－， 整理可得x2＝12，解得x＝2， 所以BC＝4. 方法二　＝(＋)， 则2＝(2＋2＋2·)， 即25＝(25＋49＋2×5×7×cos∠BAC)， 解得cos∠BAC＝， 所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ＝25＋49－2×5×7×＝48， 所以BC＝4. 课时精练 一、单项选择题 1．在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，则c等于(　　) A. B. C．6 D．5 答案　B 解析　因为sin A＝6sin B， 则由正弦定理得a＝6b， 又a＋2b＝8，所以a＝6，b＝1， 因为C＝60°， 所以由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C， 得c2＝62＋12－2×6×1×，解得c＝. 2．在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c依次成等差数列，且B＝，则△ABC的形状为(　　) A．等边三角形 B．直角边不相等的直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 答案　A 解析　因为a，b，c依次成等差数列， 所以b＝. 由余弦定理可得cos B＝＝， 将b＝代入上式整理得(a－c)2＝0， 所以a＝c. 又B＝，所以△ABC为等边三角形． 3．(2023·红河模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为b(bsin B－asin A－csin C)，则B等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题知，△ABC的面积为b(bsin B－asin A－csin C)， 所以absin C＝b(bsin B－asin A－csin C)，即asin C＝bsin B－asin A－csin C， 所以由正弦定理得ac＝b2－a2－c2， 即a2＋c2－b2＝－ac， 所以cos B＝＝－， 因为B∈(0，π)，所以B＝. 4．(2023·宜宾模拟)如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.点D为BC的中点，AD＝1，B＝，且△ABC的面积为，则c等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　∵B＝， ∴在△ABD中，由余弦定理得 c2＋2－2c×cos ＝1， 即a2＋4c2－2ac＝4， 又S△ABC＝acsin B＝ac＝， 解得ac＝2，① ∴a2＋4c2－2ac＝4＝2ac， 即4c2－4ac＋a2＝0， ∴(2c－a)2＝0，即a＝2c，② 将②代入①得2c2＝2， 解得c＝1或c＝－1(舍去)． 5.(2023·潍坊模拟)如图，平面四边形ABCD的内角B＋D＝π，AB＝6，DA＝2，BC＝CD，且AC＝2.则角B等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设BC＝CD＝x>0， 在△ABC中，由余弦定理，得 AC2＝36＋x2－2×6xcos B＝28， 即x2＋8＝12xcos B，① 又在△ACD中，由余弦定理，得 AC2＝4＋x2－2×2xcos D＝28， 即x2－24＝4xcos D，② 因为B＋D＝π， 则cos D＝cos(π－B)＝－cos B， 联立①②可得x＝4，cos B＝， 因为B∈(0，π)，所以B＝. 6．(2022·乐山统考)已知△ABC中，·＝－3，AB＝2，cos2A＋sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝1，D是边BC上一点，∠CAD＝3∠BAD.则AD等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c， ∵cos2A＋sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝1， 即sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝sin2A， ∴b2＋c2＋bc＝a2， ∴cos A＝＝－， 又A∈(0，π)，∴A＝， 又·＝－3，AB＝2， ∴·＝2bcos A＝2b×＝－3， 即b＝3， ∴a2＝b2＋c2＋bc＝32＋22＋3×2＝19， 故a＝， ∴cos C＝＝＝， sin C＝，tan C＝， 又∠CAD＝3∠BAD，A＝， ∴∠CAD＝，AD＝ACtan C＝3×＝. 二、多项选择题 7．(2024·南京模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则B的值为(　　) A. B. C. D. 答案　BD 解析　根据余弦定理可知a2＋c2－b2＝2accos B， 代入(a2＋c2－b2)tan B＝ac， 可得2accos B·＝ac， 即sin B＝， 因为0<B<π，所以B＝或B＝. 8．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是(　　) A．若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形 B．若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形 C．若＝＝，则△ABC是等边三角形 D．若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形 答案　BC 解析　对于A，若acos A＝bcos B，则由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B， ∴sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B，若bcos C＋ccos B＝b，则由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A＝sin B，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故B正确； 对于C，若＝＝，则由正弦定理得＝＝，则tan A＝tan B＝tan C，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，故C正确； 对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得a＝c，故△ABC是等边三角形，故D错误． 三、填空题 9．(2023·上饶模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，＝＋，则A＝ . 答案　 解析　因为＝＋， 所以2a·cos A＝c·cos B＋b·cos C， 由正弦定理得2sin Acos A＝sin Ccos B＋sin Bcos C， 即2sin Acos A＝sin(B＋C)＝sin A， 因为sin A>0， 所以cos A＝， 因为A为三角形内角，则A＝. 10．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五的“田域类”中写道：问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13里、14里、15里，求三角形沙田的面积．则该沙田的面积为 平方里． 答案　84 解析　由题意画出△ABC(图略)，且AB＝13里，BC＝14里，AC＝15里， 在△ABC中，由余弦定理得，cos B＝＝＝， 所以sin B＝＝， 则该沙田的面积S＝AB·BC·sin B＝×13×14×＝84(平方里)． 11．已知△ABC的面积为S＝(b2＋c2)(其中b，c为△ABC的边长)，则△ABC的形状为 ． 答案　等腰直角三角形 解析　依题意，△ABC的面积为S＝(b2＋c2)， 则bcsin A＝(b2＋c2)，即2bcsin A＝b2＋c2， 由于0<A<π，所以0<sin A≤1， 所以0<2bcsin A≤2bc， 由基本不等式可知b2＋c2≥2bc， 当且仅当b＝c时等号成立， 所以sin A＝1，A＝，△ABC是等腰直角三角形． 12．(2023·沈阳模拟)在△ABC中，∠BAC＝120°，D在BC上，AD⊥AC，AD＝1，则＋＝ . 答案　 解析　在△ADC中，AD⊥AC，AD＝1， 所以＝＝tan C， 因为B＝180°－∠BAC－C＝60°－C，在△ABC中， 由正弦定理得，＝， 则AB＝＝＝， 所以＝－·＝－tan C， 所以＋＝tan C＋(－tan C)＝. 四、解答题 13．记△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bsin C＝csin . (1)求角B的大小； (2)若点D在边AC上，BD平分∠ABC，a＝2，b＝，求线段BD的长． 解　(1)已知bsin C＝csin ， 由正弦定理，得sin Bsin C＝sin Csin ， 因为C∈(0，π)，所以sin C≠0， 故sin B＝sin ， 即2sin cos ＝sin ， 因为∈，所以sin ≠0，则cos ＝， 所以＝，则B＝. (2)依题意，得a·BD·sin ＋c·BD·sin ＝acsin ，即a·BD＋c·BD＝ac， 即2BD＋c·BD＝2c，所以BD＝. 在△ABC中，由余弦定理， 得b2＝a2＋c2－2accos ＝a2＋c2＋ac， 即7＝4＋c2＋2c， 解得c＝1或c＝－3(舍去)， 所以BD＝＝. 14．(2023·新高考全国Ⅱ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c. 解　(1)方法一　在△ABC中，因为D为BC的中点，∠ADC＝，AD＝1， 则S△ADC＝AD·DCsin∠ADC＝×1×a×＝a＝S△ABC＝，解得a＝4. 在△ABD中，∠ADB＝， 由余弦定理得 c2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos∠ADB， 即c2＝4＋1－2×2×1×＝7， 解得c＝. 在△ABD中，则cos B＝＝＝， sin B＝＝＝， 所以tan B＝＝. 方法二　在△ABC中，因为D为BC的中点，∠ADC＝，AD＝1， 则S△ADC＝AD·DCsin∠ADC＝×1×a×＝a＝S△ABC＝，解得a＝4. 在△ACD中，由余弦定理得b2＝CD2＋AD2－2CD·ADcos∠ADC， 即b2＝4＋1－2×2×1×＝3，解得b＝， 又AC2＋AD2＝4＝CD2，则∠CAD＝， C＝，过A作AE⊥BC于点E，如图所示， 于是CE＝ACcos C＝，AE＝ACsin C＝，BE＝， 所以在Rt△AEB中，tan B＝＝. (2)方法一　在△ABD与△ACD中，由余弦定理得 整理得a2＋2＝b2＋c2， 而b2＋c2＝8，则a＝2， 又S△ADC＝××1×sin∠ADC＝， 解得sin∠ADC＝1，而0<∠ADC<π， 于是∠ADC＝， 所以b＝c＝＝2. 方法二　在△ABC中，因为D为BC的中点， 则2＝＋， 又＝－， 于是42＋2＝(＋)2＋(－)2＝2(b2＋c2)＝16， 即4＋a2＝16，解得a＝2， 又S△ADC＝××1×sin∠ADC＝， 解得sin∠ADC＝1，而0<∠ADC<π， 于是∠ADC＝， 所以b＝c＝＝2. 15.(2023·渝中模拟)如图，设在△ABC中，AB＝BC＝AC，从顶点A连接对边BC上两点D，E，使得∠DAE＝30°，若BD＝16，CE＝5，则边长AB等于(　　) A．38 B．40 C．42 D．44 答案　B 解析　方法一　设AB＝x，∠BAD＝α， 在△BAD中，由正弦定理得＝， 可以化简得＝＋， 在△EAC中，由正弦定理得 ＝， 可以化简得＝＋， 联立可得＝－， 可以化简得x2－42x＋80＝0， 解得x＝40，x＝2(舍去)． 方法二　设AB＝x，利用余弦定理得 AD2＝x2＋162－16x，AE2＝x2＋52－5x， 而△ADE的面积S＝DE·AB×sin 60°＝(x－21)x＝AD·AE×sin 30°， 则AD·AE＝x(x－21)， 则在△ADE中，由余弦定理得 (x－21)2＝AD2＋AE2－2AD·AEcos 30°， x2－42x＋212＝x2＋162－16x＋x2＋52－5x－3x(x－21)， 化简整理得x2－42x＋80＝0， 即x＝40，x＝2(舍去)． 16．(2024·大庆模拟)设△ABC的三边长为BC＝a，CA＝b，AB＝c，若tan ＝，tan ＝，则△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．以上说法都不对 答案　B 解析　利用tan ＝，tan ＝及正弦定理和题设条件，得＝，① ＝，② 所以1＋cos A＝sin B＋sin C，③ 1＋cos B＝sin A＋sin C，④ 由③和④得1＋cos A－sin B＝1＋cos B－sin A， 即sin A＋cos A＝sin B＋cos B， sin＝sin， 因为A，B为三角形内角， 所以A＋＝B＋或A＋＝π－B－， 即A＝B或A＋B＝. (1)若A＝B，由C＝π－A－B＝π－2A， 将其代入③，得1＋cos A＝sin A＋sin 2A. 变形得(sin A－cos A)2－(sin A－cos A)＝0， 即(sin A－cos A)(sin A－cos A－1)＝0，⑤ 由A＝B知A为锐角，从而知sin A－cos A－1≠0. 所以由⑤，得sin A－cos A＝0， 即A＝，从而B＝，C＝. 因此，△ABC为等腰直角三角形． (2)若A＋B＝，即C＝，此时③④恒成立， 综上，△ABC为直角三角形． 谢谢 学科网（北京）股份有限公司 $