第九章 必刷大题18 统计与统计分析（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（人教A提高版）

必刷大题18　统计与统计分析 1．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩(满分100分)，得到了样本的频率分布直方图(如图)． 一般学校认为成绩大于等于80分的学生为优秀． (1)根据频率分布直方图，估计3 000名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生数； (2)依据样本的频率分布直方图，估计总体成绩的众数和平均数(每组数据以所在区间的中点值为代表)． 解　(1)由样本的频率分布直方图可知， 在该次数学考试中成绩优秀的频率是 (0.020＋0.008)×10＝0.28， 则估计3 000名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生有3 000×0.28＝840(名)． (2)由样本的频率分布直方图可知，估计总体成绩的众数为＝75， 平均数为0.002×10×35＋0.006×10×45＋0.012×10×55＋0.024×10×65＋0.028×10×75＋0.020×10×85＋0.008×10×95＝71.2. 所以估计总体成绩的众数为75，平均数为71.2. 2．(2024·海南模拟)实验发现，猴痘病毒与天花病毒有共同抗原，两者之间有很强的血清交叉反应和交叉免疫，故猴痘流行的时候可接种牛痘疫苗预防．某医学研究机构对120个接种与未接种牛痘疫苗的密切接触者进行医学观察后，统计了感染病毒情况，得到下面的2×2列联表： 感染猴痘病毒 未感染猴痘病毒 未接种牛痘疫苗 20 30 已接种牛痘疫苗 10 60 (1)根据上表，分别估计在未接种牛痘疫苗和已接种牛痘疫苗的情况下，感染猴痘病毒的概率； (2)是否能依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为密切接触者未感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗有关？ 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 解　(1)由题意可知，估计未接种牛痘疫苗者感染猴痘病毒的概率为P1＝＝， 已接种牛痘疫苗者感染猴痘病毒的概率为 P2＝＝. (2)列联表如表所示： 感染猴痘病毒 未感染猴痘病毒 合计 未接种牛痘疫苗 20 30 50 已接种牛痘疫苗 10 60 70 合计 30 90 120 零假设为H0：密切接触者未感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗无关． 则χ2＝≈10.286>6.635＝x0.01， 所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为密切接触者未感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗有关，此推断犯错误的概率不超过0.01. 3．(2024·沧州模拟)“绿水青山就是金山银山”的口号已经深入民心，人们对环境的保护意识日益增强，质检部门也会不时地对一些企业的生产污染情况进行排查，并作出相应的处理，本次排查了30个企业，共查出510个污染点，其中造成污染点前10名的企业分别造成的污染点数为58,36,36,35,33,32,28,26,24,22. (1)求这30个企业造成污染点的第80百分位数； (2)已知造成污染点前10名的企业的方差为92.4，其他20个企业造成污染点的方差为44.7，求这30个企业造成污染点的总体方差． 解　(1)根据定义可得，此30个数据从小到大排列，且30×80%＝24， 所以这30个企业造成污染的第80百分位数是第24个数据与第25个数据的平均数，即前10名中第六名与第七名数据的平均数，即＝30. (2)按照企业造成的污染点数从小到大排列，记为x1，x2，…，x20，其平均数记为，方差记为s； 把剩下10个数据记为y1，y2，…，y10，其平均数记为，方差记为s； 把总样本数据的平均数记为，方差记为s2. 由题意可知，＝＝17， ＝×(58＋36＋36＋35＋33＋32＋28＋26＋24＋22)＝×330＝33， 则＝×(510－330)＝9， 由题知s＝44.7，s＝92.4， s2＝×{20[s＋(－)2]＋10[s＋(－)2]} 代入数据可得s2＝×{20×[44.7＋(9－17)2]＋10×[92.4＋(33－17)2]}＝188.6， 所以这30个企业造成污染点的总体方差为188.6. 4．(2023·淄博模拟)某电商平台统计了近七年小家电的年度广告费支出xi(万元)与年度销售量yi(万台)的数据，如表所示： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 广告费支出x 1 2 4 6 11 13 19 销售量y 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4 其中iyi＝279.4，＝708. (1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的经验回归方程； (2)若用y＝c＋d模型拟合得到的回归方程为＝1.63＋0.99，经计算(1)中的回归模型及该模型的R2分别为0.75和0.88，请根据R2的数值选择更好的回归模型拟合y与x的关系，进而计算出年度广告费x为何值时，利润＝200y－x的预报值最大？ 参考公式：＝＝，＝－. 解　(1)由题意可得 ＝＝8， ＝＝4.2， 所以＝＝＝0.17， ＝－＝4.2－0.17×8＝2.84， y关于x的经验回归方程为＝0.17x＋2.84. (2)因为0.75<0.88，R2越大拟合效果越好， 所以选用回归方程＝1.63＋0.99更好， ＝200(1.63＋0.99)－x＝－x＋198＋326 ＝－(－99)2＋10 127， 即当＝99，即x＝9 801时，利润的预报值最大． 5．(2023·福州模拟)国内某大学想了解本校学生的运动状况，采用简单随机抽样的方法从全校学生中抽取2 000人，调查他们平均每天运动的时间(单位：小时)，统计表明该校学生平均每天运动的时间范围是[0,3]，记平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，少于2小时的学生为“非运动达人”．整理分析数据得到的列联表如表所示(单位：人)： 性别 运动时间 合计 “运动达人” “非运动达人” 男生 1 100 300 1 400 女生 400 200 600 合计 1 500 500 2 000 零假设为H0：运动时间与性别之间无关联．根据列联表中的数据，算得χ2≈31.746，根据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验，则认为运动时间与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001. (1)如果将表中所有数据都缩小为原来的，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断运动时间与性别之间的关联性，结论还一样吗？请用统计语言解释其中的原因； (2)采用按样本性别比例分配的分层随机抽样的方法抽取20名同学，并统计每位同学的运动时间，统计数据为男生运动时间的平均数为2.5，方差为1；女生运动时间的平均数为1.5，方差为0.5，求这20名同学运动时间的均值与方差． 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解　(1)方法一　改变数据之后的列联表为 性别 运动时间 合计 “运动达人” “非运动达人” 男生 110 30 140 女生 40 20 60 合计 150 50 200 则调整后的χ2＝＝≈3.175<10.828＝x0.001. 则根据小概率值α＝0.001的独立性检验，没有充分证据推断运动时间与性别有关． 与之前结论不一样， 原因是每个数据都缩小为原来的，相当于样本容量缩小为原来的，导致推断结论发生了变化， 当样本容量越大，用样本估计总体的准确性会越高． 方法二　调整后的χ2＝ ＝＝≈3.175<10.828＝x0.001， 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，没有充分证据推断运动时间与性别有关． 与之前结论不一样，原因是每个数据都缩小为原来的，相当于样本容量缩小为原来的，导致推断结论发生了变化， 当样本容量越大，用样本估计总体的准确性会越高． (2)男生抽取×20＝14(人)，女生抽取×20＝6(人)， 由已知男生运动时间的平均数为＝2.5，样本方差为s＝1；女生运动时间的平均数为＝1.5，样本方差为s＝0.5. 记样本均值为，则＝＝2.2， 记样本方差为s2，则s2＝＝1.06， 所以这20名同学运动时间的均值为2.2，方差为1.06. 6．(2023·泰安模拟)近年来，我国新能源汽车发展进入新阶段．某品牌2018年到2022年新能源汽车年销量w(万辆)如表所示，其中2018年～2022年对应的年份代码t为1～5. 年份代码t 1 2 3 4 5 销量w(万辆) 4 9 14 18 25 (1)判断两个变量是否线性相关，并计算样本相关系数(精确到0.001)； (2)①假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，两个变量满足一元线性回归模型(随机误差ei＝yi－bxi)，请写出参数b的最小二乘估计； ②令变量x＝t－，y＝w－，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型利用①中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2025年该品牌新能源汽车的销售量． 附：样本相关系数r＝，(ti－)(wi－)＝51，(wi－)2＝262，(ti－)2＝10，≈25.6. 解　(1)通过作散点图如图所示，发现样本点大致分布在一条直线附近， 因此是线性相关． r＝ ＝≈≈0.996， ∴两变量有较强的正相关． (2)①Q＝＝(yi－bxi)2＝(y－2bxiyi＋b2x)＝b2－2biyi＋， 要使残差平方和最小，当且仅当＝. ②∵x＝t－，y＝w－， 由①知＝＝＝＝5.1， ∴y关于x的经验回归方程为y＝5.1x， ∴w－＝5.1(t－)， ∵＝3，＝14，∴w＝5.1(t－)＋＝5.1t－1.3， 当t＝8时，w＝5.1×8－1.3＝39.5(万辆)， 因此，预计2025年该品牌新能源汽车的销售量将达到39.5万辆． 谢谢 学科网（北京）股份有限公司 $