第二章 §2.10 函数的图象（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（人教A提高版）

§2.10　函数的图象 课标要求　1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题． 知识梳理 1．利用描点法作函数图象的步骤：列表、描点、连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y＝f(x)y＝－f(x)． ②y＝f(x)y＝f(－x)． ③y＝f(x)y＝－f(－x)． ④y＝ax (a>0，且a≠1)y＝logax(a>0，且a≠1)． (3)翻折变换 ①y＝f(x)y＝|f(x)|. ②y＝f(x)y＝f(|x|)． 常用结论 1．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换． 2. 函数图象自身的对称关系 (1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． (2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)． 3．两个函数图象之间的对称关系 (1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称． (2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称． 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝|f(x)|为偶函数．(　×　) (2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到．(　×　) (3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　×　) (4)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．(　×　) 2．函数f(x)＝的部分图象大致为(　　) 答案　C 解析　由于f ＝<0，故D错误， 当x→＋∞时，f(x)→0，A，B错误． 3．函数f(x)＝ln(x＋1)的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　由于函数f(x)＝ln(x＋1)的图象是由函数y＝ln x的图象向左平移1个单位长度得到的， 函数g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2， 故函数g(x)图象的对称轴为x＝2，顶点坐标为(2,0)，开口向上，所以作出f(x)，g(x)的图象如图所示，故函数f(x)与g(x)的图象有两个交点． 4．函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________. 答案　e－x＋1 解析　由题意可知f(x)＝e－x，把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1的图象. 题型一　作函数图象 例1 作出下列各函数的图象： (1)y＝； (2)y＝|x2－4x－5|； (3)y＝|x－1|－1. 解　(1)原函数解析式可化为y＝2＋，故函数图象可由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示． (2)y＝|x2－4x－5|的图象可由函数y＝x2－4x－5的图象保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，如图所示． (3)y＝|x－1|－1，其图象可看作由函数y＝|x|的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到， 而y＝|x|＝其图象可由y＝x的图象保留x≥0时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到， 则y＝|x－1|－1的图象如图所示． 思维升华 函数图象的常见画法及注意事项 (1)直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图． (2)转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来画． (3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图． (4)画函数的图象一定要注意定义域． 跟踪训练1 作出下列各函数的图象： (1)y＝x2－2|x|－3； (2)y＝|log2(x＋1)|. 解　(1)y＝x2－2|x|－3＝其图象如图所示． (2)y＝|log2(x＋1)|，其图象可由y＝log2x的图象向左平移1个单位长度， 再保留x轴上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，如图所示． 题型二　函数图象的识别 例2 (1)(2024·濮阳模拟)函数f(x)＝的大致图象为(　　) 答案　C 解析　由题意知函数f(x)的定义域为， 因为f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故排除A； 因为f(1)＝>0，故排除B； 因为f(2)＝>＝f(1)，故排除D. (2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]上的大致图象，则该函数是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 答案　A 解析　对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B；对于选项D，当x＝3时，y＝sin 3>0，与图象不符，故排除D；对于选项C，当0<x<时，0<cos x<1，故y＝<≤1，与图象不符，故排除C. 思维升华 识别函数的图象的主要方法 (1)利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断． (2)利用函数的零点、极值点等判断． (3)利用特殊函数值判断． 跟踪训练2 (1)函数f(x)＝sin x的部分图象为(　　) 答案　D 解析　因为f(x)＝sin x，所以f(0)＝0，故排除A和B； 又f ＝＋1<2，故排除C，而D满足． (2)已知函数f(x)＝则下列图象错误的是(　　) 答案　D 解析　当－1≤x≤0时，f(x)＝－2x，表示一条线段，且线段经过(－1,2)和(0,0)两点． 当0<x≤1时，f(x)＝，表示一段曲线．函数f(x)的图象如图所示． f(x－1)的图象可由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到，故A正确；f(－x)的图象可由f(x)的图象关于y轴对称后得到，故B正确；由于f(x)的值域为[0,2]，故f(x)＝|f(x)|，故|f(x)|的图象与f(x)的图象完全相同，故C正确；很明显D中f(|x|)的图象不正确． 题型三　函数图象的应用 命题点1　利用图象研究函数的性质 例3 (多选)(2023·聊城模拟)关于函数f(x)＝|ln|2－x||，下列描述正确的有(　　) A．函数f(x)在区间(1,2)上单调递增 B．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称 C．若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝2 D．函数f(x)有且仅有两个零点 答案　ABD 解析　由函数y＝ln x，x轴下方图象翻折到上方可得函数y＝|ln x|的图象， 将y轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数y＝|ln|x||＝|ln|－x||的图象， 将函数图象向右平移2个单位长度，可得函数y＝|ln|－(x－2)||＝|ln|2－x||的图象， 则函数f(x)＝|ln|2－x||的图象如图所示． 由图可得函数f(x)在区间(1,2)上单调递增，故A正确； 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，故B正确； 若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1，x2关于直线x＝2对称，则x1＋x2＝4，故C错误； 函数f(x)有且仅有两个零点，故D正确． 命题点2　利用图象解不等式 例4 (2023·商丘联考)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为(　　) A．(－，0)∪(，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2) D．(－2，－)∪(0，)∪(2，＋∞) 答案　C 解析　根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象，如图所示， 由x2f(x)>2f(x)，得(x2－2)f(x)>0， 则或 解得x<－2或<x<2或－<x<0， 故不等式的解集为(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2)． 命题点3　利用图象求参数的取值范围 例5 (2023·保定联考)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－a有三个零点，则a的取值范围是(　　) A．(0,1) B．(0,2] C．(2，＋∞) D．(1，＋∞) 答案　A 解析　要使函数g(x)＝f(x)－a有三个零点， 则f(x)＝a有三个不相等的实根， 即y＝f(x)与y＝a的图象有三个交点， 当x≤－1时，f(x)＝1－3x＋1在(－∞，－1]上单调递减，f(x)∈[0,1)； 当－1<x≤0时，f(x)＝3x＋1－1在(－1,0]上单调递增，f(x)∈(0,2]； 当x>0时，f(x)＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，f(x)∈R.作出函数f(x)的图象，如图所示． 由y＝f(x)与y＝a的图象有三个交点，结合函数图象可得a∈(0,1)． 思维升华 当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解． 跟踪训练3 (1)把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位长度，所得函数在(0，＋∞)上单调递增，则a的最大值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位长度，得到函数g(x)＝ln|x＋2－a|的图象， 则函数g(x)在(a－2，＋∞)上单调递增， 又因为所得函数在(0，＋∞)上单调递增， 所以a－2≤0，即a≤2.所以a的最大值为2. (2)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________． 答案　 解析　先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时，斜率为1，当直线g(x)＝kx过点A时，斜率为，故当f(x)＝g(x)有两个不相等的实数根时，实数k的取值范围为. (3)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x)＝2f(x－2)，且当x∈(0,2]时，f(x)＝x(2－x)，若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≤3，则实数m的取值范围是________． 答案　 解析　因为函数f(x)的定义域为R，满足f(x)＝2f(x－2)，且当x∈(0,2]时，f(x)＝x(2－x)， 所以当x∈(2,4]时，f(x)＝2(x－2)[2－(x－2)]＝2(x－2)(4－x)， 当x∈(4,6]时，f(x)＝4[(x－2)－2][4－(x－2)]＝4(x－4)(6－x)， 函数部分图象如图所示， 由4(x－4)(6－x)＝3，得4x2－40x＋99＝0， 解得x＝或x＝， 因为对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≤3， 所以由图可知m≤. 课时精练 一、单项选择题 1．(2023·万州模拟)将函数y＝2(x－1)2＋3的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的函数图象对应的解析式为(　　) A．y＝2(x－2)2＋6 B．y＝2x2＋6 C．y＝2x2 D．y＝2(x－2)2 答案　C 解析　函数y＝2(x－1)2＋3的图象向左平移1个单位长度得到y＝2x2＋3的图象， 再向下平移3个单位长度得到y＝2x2的图象． 2．(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)cos x在区间上的图象大致为(　　) 答案　A 解析　方法一　(特值法) 取x＝1，则y＝cos 1＝cos 1>0； 取x＝－1，则y＝cos(－1) ＝－cos 1<0.结合选项知A正确． 方法二　令y＝f(x)， 则f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x) ＝－(3x－3－x)cos x＝－f(x)， 所以函数y＝(3x－3－x)cos x是奇函数， 排除B，D； 取x＝1，则y＝cos 1＝cos 1>0，排除C，故A正确． 3．(2023·烟台模拟)若某函数在区间[－π，π]上的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能是(　　) A．y＝(x＋2)sin 2x B．y＝ C．y＝ D．y＝ 答案　B 解析　A选项，设f(x)＝(x＋2)sin 2x， 则当x∈时，2x∈(π，2π)， 则f(x)<0，不符合图象，排除A； C选项，设f(x)＝， 当x∈(0，π)时，f(x)＝， 且2<x＋2<π＋2,0<sin x≤1,1<x＋1<π＋1， 所以0<(x＋2)sin x<π＋2. 所以f(x)＝<(x＋2)sin x<π＋2<6，不符合图象，排除C； D选项，设f(x)＝， 令f(x)＝0，解得x＝0或x＝－2，不符合图象，排除D. 4．(2023·重庆模拟)已知函数f(x)的图象如图1所示，则图2所表示的函数是(　　) A．1－f(x) B．－f(2－x) C．f(－x)－1 D．1－f(－x) 答案　C 解析　由题图知，将f(x)的图象关于y轴对称后再向下平移1个单位长度即得题图2， 将f(x)的图象关于y轴对称后可得函数y＝f(－x)的图象， 再向下平移1个单位长度，可得y＝f(－x)－1的图象， 所以题图2所表示的函数是y＝f(－x)－1. 5．已知函数f(x)＝log2(x＋1)－|x|，则不等式f(x)>0的解集是(　　) A．(－1,1) B．(0,1) C．(－1,0) D．∅ 答案　B 解析　不等式f(x)>0⇔log2(x＋1)>|x|， 分别画出函数y＝log2(x＋1)和y＝|x|的图象，如图所示，由图象可知y＝log2(x＋1)和y＝|x|有两个交点，分别是(0,0)和(1,1)， 由图象可知log2(x＋1)>|x|的解集是(0,1)， 即不等式f(x)>0的解集是(0,1)． 6．(2024·天津模拟)定义：设不等式F(x)<0的解集为M，若M中只有唯一整数，则称M是最优解．若关于x的不等式|x2－2x－3|－mx＋2<0有最优解，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D.∪ 答案　D 解析　|x2－2x－3|－mx＋2<0可转化为|x2－2x－3|<mx－2， 在同一平面直角坐标系中分别作出函数f(x)＝|x2－2x－3|，g(x)＝mx－2的图象，如图所示． 易知当m＝0时不满足题意． 当m>0时，要存在唯一的整数x0，满足f(x0)<g(x0)， 则即 解得<m≤. 当m<0时，要存在唯一的整数x0，满足f(x0)<g(x0)， 则即 解得－≤m<－2. 综上，实数m的取值范围是∪. 二、多项选择题 7．(2023·宜春模拟)函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论一定成立的是(　　) A．a<0 B．b<0 C．c>0 D．abc<0 答案　BCD 解析　由图知f(0)＝>0，所以b<0，B正确； 当x＝－c时，函数f(x)无意义， 由图知－c<0，所以c>0，C正确； 令f(x)＝0，解得x＝， 由图知<0， 又因为b<0，所以a>0，A错误； 综上，a>0，b<0，c>0，所以abc<0，D正确． 8．(2023·南京模拟)若∀x∈R，f(x＋1)＝f(1－x)，当x≥1时，f(x)＝x2－4x，则下列说法错误的是(　　) A．函数f(x)为奇函数 B．函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增 C．f(x)min＝－4 D．函数f(x)在(－∞，1)上单调递减 答案　ABD 解析　由∀x∈R，f(x＋1)＝f(1－x)， 可知f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x≥1时，f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4， 当x<1时，2－x>1，f(2－x)＝(2－x－2)2－4＝x2－4， 则f(x)＝f(2－x)＝x2－4， 所以f(x)＝ 作出f(x)＝的图象，如图所示， 所以f(x)在(0,1)，(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)，(1,2)上单调递减， f(x)min＝－4，f(x)不是奇函数，故A，B，D错误，C正确． 三、填空题 9．把抛物线y＝2(x－1)2＋1向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为____________． 答案　y＝2(x＋1)2＋3 解析　把抛物线y＝2(x－1)2＋1向左平移2个单位长度，得到y＝2(x－1＋2)2＋1＝2(x＋1)2＋1的图象，再向上平移2个单位长度得到y＝2(x＋1)2＋1＋2＝2(x＋1)2＋3的图象． 10．若函数f(x)＝的图象关于点(1,1)对称，则实数a＝________. 答案　1 解析　f(x)＝＝a＋，关于点(1，a)对称，故a＝1. 11．已知偶函数y＝f(x＋1)在区间[0，＋∞)上单调递减，则函数y＝f(x－1)的单调递增区间是_________． 答案　(－∞，2] 解析　因为偶函数y＝f(x＋1)在区间[0，＋∞)上单调递减，所以y＝f(x＋1)在区间(－∞，0]上单调递增，又因为f(x－1)＝f((x－2)＋1)，则函数f(x－1)的图象是由函数f(x＋1)的图象向右平移2个单位长度得到的，所以函数f(x－1)的单调递增区间是(－∞，2]． 12．(2023·赤峰模拟)若函数f(x)＝x(|x|－2)在[m，n]上的最小值是－1，最大值是3，则n－m的最大值为________． 答案　4＋ 解析　作出函数 f(x)＝x(|x|－2)＝的图象，如图所示， 当x≥0时，令x(x－2)＝3， 得x1＝－1(舍)，x2＝3， 当x<0时，令x(－x－2)＝－1， 得x3＝－1－，x4＝－1＋(舍)， 结合图象可得(n－m)max＝x2－x3＝3－(－1－)＝4＋. 四、解答题 13．已知函数f(x)＝ (1)作出函数f(x)的图象； (2)讨论方程f(x)－m＝0根的情况． 解　(1)当x≤0时，0<2x≤1，则f(x)＝|2x－2|＝2－2x∈[1,2)， 作出函数f(x)的图象，如图所示． (2)由f(x)－m＝0可得m＝f(x)， 则方程f(x)－m＝0的根的个数即为直线y＝m与函数y＝f(x)图象的交点个数， 如图所示． 当m≤0时，方程f(x)－m＝0无实根； 当0<m<1或m≥2时，方程f(x)－m＝0只有一个实根； 当1≤m<2时，方程f(x)－m＝0有两个不相等的实根． 14．(2024·北京模拟)已知函数f(x)＝2x－ax＋1(a∈R)． (1)若a∈Z，且f(4)>0，求a的最大值； (2)当a＝3时，求函数f(x)的零点； (3)若对任意x∈(－∞，1)都有f(x)>0，求a的取值范围． 解　(1)因为函数f(x)＝2x－ax＋1(a∈R)， 所以f(4)＝24－4a＋1>0，即a<， 又a∈Z，所以a的最大值为4. (2)当a＝3时，f(x)＝2x－3x＋1， 由f(x)＝2x－3x＋1＝0，可得2x＝3x－1， 作出函数y＝2x与y＝3x－1的图象，如图所示． 由图可知y＝2x与y＝3x－1的图象有两个交点， 即函数f(x)有两个零点， 又因为f(1)＝2－3＋1＝0，f(3)＝23－3×3＋1＝0， 故函数f(x)的零点为1,3. (3)因为对任意x∈(－∞，1)都有f(x)>0， 所以2x>ax－1在(－∞，1)上恒成立， 即当x∈(－∞，1)时，函数y＝2x的图象恒在直线y＝ax－1的上方， 作出函数y＝2x，x∈(－∞，1)与y＝ax－1的大致图象，如图所示． 则a≥0，且a－1≤2，所以0≤a≤3， 即a的取值范围为[0,3]． 15.(多选)(2023·滨州模拟)在平面直角坐标系中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚动)，点D恰好经过坐标原点，设顶点B(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)的判断正确的是(　　) A．函数y＝f(x)是奇函数 B．对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x－4) C．函数y＝f(x)的值域为[0,2] D．函数y＝f(x)在区间[6,8]上单调递增 答案　BCD 解析　由题意得，当－4≤x<－2时，点B的轨迹是以(－2,0)为圆心，2为半径的圆； 当－2≤x<2时，点B的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆； 当2≤x<4时，点B的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆，如图所示． 此后依次重复，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，由图象可知，函数f(x)为偶函数，故A错误； 因为f(x)以8为周期，所以f(x＋8)＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x－4)，故B正确； 由图象可知，f(x)的值域为[0,2]，故C正确； 由图象可知，f(x)在[－2,0]上单调递增，因为f(x)以8为周期，所以f(x)在[6,8]上的图象和在[－2,0]上的图象相同，即f(x)在[6,8]上单调递增，故D正确． 16．(2024·抚顺联考)若函数f(x)＝恰有3个零点，则实数a的取值范围是________． 答案　(－5，－4) 解析　由f(x)＝0， 得a＝ 作出函数g(x)＝的图象，如图所示． 由图可知，当a∈(－5，－4]时，直线y＝a与函数g(x)的图象有3个交点， 从而f(x)有3个零点， 但x2－4x－a>0对x>0恒成立，则a<－4， 故a∈(－5，－4)． 谢谢 学科网（北京）股份有限公司 $