第四章 §4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（人教B版）

第四章 §4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式 2.掌握诱导公式，并会简单应用. 课标要求 内容索引 第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型 课时精练 第一部分 落实主干知识 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系： . (2)商数关系： . sin2α＋cos2α＝1 知识梳理 5 2.三角函数的诱导公式 公式 角 正弦 余弦 正切 口诀 ① 2kπ＋α (k∈Z) sin α cos α tan α 奇变偶不变，符号看象限 ② －α ______ ______ _______ ③ π－α _____ _______ －tan α ④ π＋α _______ _______ _____ －sin α cos α －tan α sin α －cos α －sin α －cos α tan α 知识梳理 公式 角 正弦 余弦 正切 口诀 ⑤ _____ _____   奇变偶不变，符号看象限 ⑥ _____ _______   ⑦ －cos α sin α   ⑧ －cos α －sin α   cos α sin α cos α －sin α 知识梳理 同角三角函数的基本关系式的常见变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. 常用结论 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)当α为钝角时，cos(π－α)＝cos α.(　　) (3)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　) × × × × 自主诊断 2.(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是 √ √ 自主诊断 sin(－x)＝－sin x，故A不成立； cos(x－π)＝－cos x，故D成立. 自主诊断 √ 自主诊断 自主诊断 返回 自主诊断 第二部分 探究核心题型 题型一　同角三角函数基本关系式 因为tan α＝－3， √ √ √ √ ∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，cos θ<0， 故D正确； (3)对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二. 思维升华 √ 即cos α－sin α<0， 且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1， 题型二　诱导公式 √ √ 延伸探究 诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 思维升华 跟踪训练2　(1)化简： A.－sin θ B.sin θ C.cos θ D.－cos θ √ √ 题型三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 √ 消去sin β，得tan α＝3， ∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1， 由－π<x<0知，sin x<0， (1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形. (2)注意角的范围对三角函数值符号的影响. 思维升华 √ (2)(多选)下列结论中，正确的是 A.sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是角α是锐角 D.若sin α＋cos α＝1，则sinnα＋cosnα＝1 √ √ 由诱导公式④知当α∈R时，sin(π＋α)＝－sin α，故A错误； 返回 将等式sin α＋cos α＝1两边平方，得sin αcos α＝0， 所以sin α＝0或cos α＝0. 若sin α＝0，则cos α＝1，此时sinnα＋cosnα＝1； 若cos α＝0，则sin α＝1，此时sinnα＋cosnα＝1， 故sinnα＋cosnα＝1，故D正确. 课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 一、单项选择题 √ 知识过关 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由角α的终边在第三象限， 得sin α<0，cos α<0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.以下四个数中，与sin 2 024°的值最接近的是 sin 2 024°＝sin(360°×5＋224°)＝sin 224°＝sin(180°＋44°)＝－sin 44°， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(2023·天津模拟)在计算机尚未普及的年代，人们在计算三角函数时常常需要查表得到正弦值和余弦值，三角函数表的制作最早可追溯到古希腊数学家托勒密.下面给出了正弦表的一部分，例如，通过查表可知2°12′的正弦值为0.038 4,30°54′的正弦值为0.513 5，等等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16   0′ 6′ 12′ 18′ 24′ 30′ 36′ 42′ 48′ 54′ 60′ 0° 0.000 0 0017 0035 0052 0070 0087 0105 0122 0140 0157 0175 1° 0175 0192 0209 0227 0244 0262 0279 0297 0314 0332 0349 2° 0349 0366 0384 0401 0419 0436 0454 0471 0488 0506 0523 30° 5000 5015 5030 5045 5060 5075 5090 5105 5120 5135 5150 31° 5150 5165 5180 5195 5210 5225 5240 5255 5270 5284 5299 32° 5299 5314 5329 5344 5358 5373 5388 5402 5417 5432 5446 33° 5446 5461 5476 5490 5505 5519 5534 5548 5563 5577 5592 34° 5592 5606 5621 5635 5650 5664 5678 5693 5707 5721 5736 …… 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则根据该表，416.5°的余弦值为 A.0.546 1 B.0.551 9 C.0.550 5 D.0.573 6 √ 由题意查表可得sin 33.5°＝sin 33°30′＝0.551 9， 可得cos 416.5°＝cos(360°＋56.5°)＝cos 56.5°＝sin(90°－56.5°)＝sin 33.5°＝0.551 9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵α是第一象限角，且角α，β的终边关于y轴对称， ∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z， ∴tan β＝tan(π－α＋2kπ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二、多项选择题 7.在△ABC中，下列结论正确的是 A.sin(A＋B)＝sin C D.cos(A＋B)＝cos C √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在△ABC中，有A＋B＋C＝π， 则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，A正确； cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 两边平方，可得1＋2sin θcos θ＝t2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以f(θ)＝sin θ＋cos θ－sin θcos θ∈(－1,1]，故C错误，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 三、填空题 9.(2023·重庆模拟)若sin α＝2cos α，则cos2α＋sin αcos α－sin2α＝ . 由sin α＝2cos α，得tan α＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故sin α＝cos2α， 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又因为θ为第一象限角， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 四、解答题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.在①4sin(2 022π＋α)＝－3cos(2 024π＋α)；②sin α＋cos α＝ ；③α，β的终边关于x轴对称，并且4sin β＝3cos β这三个条件中任选一个，补充在横线上，并回答问题. 已知第四象限角α满足 ，求下列各式的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若选择条件①： ∵4sin(2 022π＋α)＝－3cos(2 024π＋α)， ∴4sin α＝－3cos α， 若选择条件②： ∵α是第四象限角， ∴sin α<0，cos α>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若选择条件③： ∵α是第四象限角， ∴sin α<0，cos α>0， 又∵α，β的终边关于x轴对称， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴sin α＝－sin β，cos α＝cos β. 又∵4sin β＝3cos β， ∴－4sin α＝3cos α， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 能力拓展 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 cos2A＋cos2B＝cos2A＋sin2A＝1＝sin2C，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 记sin2x＝m，sin2y＝n， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 整理得mn(m＋n－2)＝0， 于是m＝0或n＝0或m＋n＝2. 若m＋n＝2，则sin2x＝sin2y＝1，不符合题意. 因此sin x＝0或sin y＝0， 于是sin x·sin y＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝ tan α. ＝tan α －α ＋α π＋α π－α (2)sin α＝tan αcos α. (2)若sin(2kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　) (4)若α∈R，则tan α＝恒成立.(　　) A.sin(－x)＝sin x B.sin＝cos x C.cos＝－sin x D.cos(x－π)＝－cos x sin＝－cos x，故B不成立； cos＝－sin x，故C成立； 3.若sin α＝，<α<π，则tan α等于 A.－2 B.2 C. D.－ ∵<α<π，∴cos α＝－＝－，∴tan α＝＝－. 4.已知cos α＝，－<α<0，则的值为 . 因为－<α<0， 所以sin α＝－＝－， 所以tan α＝－2. 则＝＝－＝＝. 例1　(1)(2023·深圳模拟)已知tan α＝－3，则等于 A.－ B. C. D.－ 所以＝＝－＝－＝ －＝－＝. (2)(多选)(2023·天津模拟)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则 A.θ∈ B.cos θ＝－ C.tan θ＝－ D.sin θ－cos θ＝ ∵sin θ＋cos θ＝， ① ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝， ∴2sin θcos θ＝－， ∴θ∈，故A正确； (sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝， ∴sin θ－cos θ＝， ② 由①②得sin θ＝，cos θ＝－，故B正确； tan θ＝＝－，故C错误. (1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化. (2)形如，asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α等类型可进行弦化切. 跟踪训练1　(1)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为 A. B.± C.－ D.－ ∵sin αcos α＝， ∴(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin αcos α＋sin2α＝1－2sin αcos α＝1－2×＝， ∵<α<，∴cos α<sin α， ∴cos α－sin α＝－. (2)(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝ . － 因为θ∈，则sin θ>0，cos θ>0， 又因为tan θ＝＝，则cos θ＝2sin θ， 解得sin θ＝或sin θ＝－(舍去)， 所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－. 例2　(1)(2024·安康模拟)若sin(π＋α)＝－，则cos(π－2α)等于 A. B.－ C. D.－ ∵sin(π＋α)＝－，∴sin α＝， ∴cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin2α)＝2×2－1＝. (2)已知sin＝，则cos等于 A. B. C.－ D.－ 因为sin＝， 所以cos＝sin＝sin＝. 若把本例(2)中条件换为“cos＝－”，那么sin的值为 . － 因为cos＝－， 所以sin＝sin＝cos＝－. 等于 原式＝＝＝－sin θ. (2)已知cos＝，则cos等于 A.－ B.－ C. D. cos＝cos＝－cos＝－. 例3　(1)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是 A. B. C. D. 由已知得 化简得sin2α＝， 又α为锐角，∴sin α>0，则sin α＝. (2)已知－π<x<0，sin(π＋x)－sin＝－，则的值为 . － 由已知得sin x＋cos x＝， 两边平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝， 整理得2sin xcos x＝－， ∴(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝. 又sin xcos x＝－<0，∴cos x>0， ∴sin x－cos x<0，∴sin x－cos x＝－. ∴＝＝＝＝－. 跟踪训练3　(1)(2024·榆林模拟)已知tan(α－π)＝，则 等于 A. B.3 C.－ D.－3 由tan(α－π)＝，解得tan α＝， 则＝＝－tan α＝－. B.若cos(nπ－α)＝(n∈Z)，则cos α＝ C.若α≠(k∈Z)，则tan＝－ 当n＝2k(k∈Z)时，cos(nπ－α)＝cos(－α)＝cos α，此时cos α＝； 当n＝2k＋1(k∈Z)时，cos(nπ－α)＝cos[(2k＋1)π－α]＝cos(π－α)＝ －cos α，此时cos α＝－，故B错误； 若α≠(k∈Z)，则tan＝＝＝－，故C正确； 1.若角α的终边在第三象限，则＋等于 A.3 B.－3 C.1 D.－1 故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3. A.－ B. C.－ D. ∵sin 45°＝，∴sin 2 024°的值最接近－. 3.(2023·安康模拟)已知sin＝，－<θ<，则sin等于 A.－ B.－ C. D. sin＝sin＝cos， ∵－<θ<， ∴－<＋θ<，又sin＝>0， ∴cos＝＝， 即sin＝. 5.(2024·北京模拟)已知cos α＝，α是第一象限角，且角α，β的终边关于  y轴对称，则tan β等于 A. B.－ C. D.－ ＝tan(π－α)＝－tan α＝－＝－＝－. 6.已知α，β∈，且满足sin αcos β－2cos αsin β＝0，则tan(2π＋α)＋tan的最小值为 A.2 B. C.1 D.2 因为sin αcos β－2cos αsin β＝0，α，β∈，所以tan α>0，tan β>0，tan α＝2tan β， 所以tan(2π＋α)＋tan＝tan α＋＝2tan β＋≥2，当且仅当tan β＝时，等号成立. B.sin ＝cos C.tan(A＋B)＝－tan C sin ＝sin＝cos ，B正确； tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，C正确； 8.已知sin θ＋cos θ＝t，θ∈，t∈(－1，]，函数f(θ)＝sin θ＋ cos θ－sin θcos θ，则下列选项正确的是 A.当t＝时，sin θcos θ的值为 B.当t＝时，sin3θ－cos3θ的值为－ C.函数f(θ)的值域为(－1，] D.函数f(θ)的值域为(－1,1] 当t＝时，sin θ＋cos θ＝， 两边平方，可得1＋2sin θcos θ＝， 可得sin θcos θ＝－<0，故A错误； 所以θ∈，所以sin θ－cos θ＝－＝ －＝－， 可得sin3θ－cos3θ＝(sin θ－cos θ)(sin2θ＋cos θsin θ＋cos2θ)＝×＝－，故B正确； 因为sin θ＋cos θ＝t，t∈(－1，]， 可得sin θcos θ＝，所以sin θ＋cos θ－sin θcos θ＝t－＝1－(t－1)2， 因为t∈(－1，]， － 则cos2α＋sin αcos α－sin2α＝＝＝＝－. 10.已知tan α＝cos α，则－＝ . 因为tan α＝＝cos α， 则－＝＝＝＝＝1. 11.已知cos＝，则cos＝ ，sin＝ . － cos＝cos＝－cos＝－. sin＝sin＝cos＝. 12.已知θ是第一象限角，若sin θ－2cos θ＝－，则sin θ＋cos θ＝ . 因为sin θ－2cos θ＝－， 则2＋cos2θ＝1， 所以5cos2θ－cos θ－＝0， 即＝0， 所以cos θ＝，所以sin θ＝，从而sin θ＋cos θ＝. 13.(1)若α是第二象限角，且cos＝－，求tan α的值； ∵cos＝－sin α＝－， ∴sin α＝，又α是第二象限角， ∴cos α＝－＝－， 则tan α＝＝－. (2)已知f(α)＝，化简f(α)，在(1)的条件下，求f(α)的值.  f(α)＝ ＝＝cos α， 由(1)知，cos α＝－， 则f(α)＝cos α＝－. (1)； (2)sin2α＋3sin αcos α. ∴tan α＝－. 又sin α＋cos α＝， ∴2＋cos2α＝1， ∴cos α＝，sin α＝－， ∴tan α＝－. 即tan α＝－. (1)＝ ＝＝1. (2)sin2α＋3sin αcos α＝ ＝＝＝－. 15.(多选)(2024·大连模拟)在△ABC中，若tan ＝sin C，则下列结论正确的是 A.＝1 B.1<sin A＋sin B≤ C.sin2A＋cos2B＝1 D.cos2A＋cos2B＝sin2C 由tan ＝sin C ⇒tan＝＝＝2sin cos ， 因为0<<，所以cos ≠0， 所以1＝2sin2⇒1－2sin2＝0 ⇒cos C＝0⇒C＝， 所以tan B＝tan＝，＝tan2A不一定为1，A错误； 因为sin A＋sin B＝sin A＋cos A＝sin，0<A<⇒<A＋<， 所以<sin≤1⇒1<sin≤， 从而有1<sin A＋sin B≤，B正确； 因为cos B＝cos＝sin A，所以sin2A＋cos2B＝2sin2A不一定等于1，C错误； 16.已知＝sin2x＋sin2y，则sin x·sin y的值为 . 则tan2x＝，tan2y＝， 于是题中等式即＝m＋n， 也即＝m＋n， $