第二章 §2.7 指数与指数函数（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

null 第二章 §2.7　指数与指数函数 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象. 3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用. 课标要求 内容索引 第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型 课时精练 第一部分 落实主干知识 1.根式 (1)若一个(实)数x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即 ，则称x是a的n次方根. xn＝a 根式 a a 知识梳理 5 2.分数指数幂 正数的正分数指数幂： ＝______ (a>0，m，n∈N，n≥2). 正数的负分数指数幂： ＝_____＝ (a>0，m，n∈N，n≥2). 0 0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂没有意义. 知识梳理 6 3.指数幂的运算性质 aras＝ ；(ar)s＝ ；(ab)r＝ (a>0，b>0，r，s∈R). 4.指数函数及其性质 (1)概念：在幂的表达式au中，如果让底数为常数而使指数为自变量x，则得到一类新的函数 (x∈R)，这叫作指数函数，其中a>0，且a≠1. ar＋s ars arbr y＝ax 知识梳理 (2)指数函数的图象与性质   a>1  0<a<1 图象     定义域 ____ 值域 __________ R (0，＋∞) 知识梳理   a>1 0<a<1 性质 过定点 ，即a0＝1 在R上递增 在R上递减 (0,1) 知识梳理 1.指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)， 2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大. 常用结论 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1) ＝－4.(　　) (2)2a·2b＝2ab.(　　) (3)指数函数y＝ax与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称.(　　) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　) × × × √ 自主诊断 2.已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于 A.不确定 B.0 C.1 D.2 √ 由函数y＝a·2x是指数函数，得a＝1， 由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1. 自主诊断 3.已知关于x的不等式 ≥3－2x，则该不等式的解集为 A.[－4，＋∞) B.(－4，＋∞) C.(－∞，－4) D.(－4,1] √ 不等式 ≥3－2x，即34－x≥3－2x， 由于y＝3x是增函数， 所以4－x≥－2x，解得x≥－4， 所以原不等式的解集为[－4，＋∞). 自主诊断 返回 ＝－4＋1＋0.5×16＝5. 5 自主诊断 第二部分 探究核心题型 例1　计算： 题型一　指数幂的运算 原式＝ 原式＝ ＝6×3＝18. (1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加. ②运算的先后顺序. (2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 思维升华 跟踪训练1　(多选)下列计算正确的是 B. D.已知x2＋x－2＝2，则x＋x－1＝2 √ √ 对于B， 所以B正确； 对于D，因为(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝4，所以x＋x－1＝±2，所以D错误. 例2　(1)(多选)已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为 A.a＝b B.0<b<a C.a<b<0 D.0<a<b 题型二　指数函数的图象及应用 √ √ √ 由题意，在同一平面直角坐标系内分别画出函 数y＝3x和y＝6x的图象，如图所示， 由图象知，当a＝b＝0时，3a＝6b＝1，故选项 A正确； 作出直线y＝k，当k>1时，若3a＝6b＝k，则0<b <a，故选项B正确； 作出直线y＝m，当0<m<1时，若3a＝6b＝m，则a<b<0，故选项C正确； 当0<a<b时，易得2b>1，则3a<3b<2b·3b＝6b，故选项D错误. (2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是_______. (0,2) 在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示. ∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点. ∴实数b的取值范围是(0,2). 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 思维升华 跟踪训练2　(多选)已知函数f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1， b≠0)的图象如图所示，则 A.a>1 B.0<a<1 C.b>1 D.0<b<1 √ √ 观察图象得，函数f(x)＝ax－b是减函数， 因此0<a<1， 设图象与y轴交点的纵坐标为y0，则0<y0<1， 当x＝0时，y＝1－b，于是得0<1－b<1，解得0<b<1， 所以0<a<1,0<b<1. 题型三　指数函数的性质及应用 例3　(2024·海口模拟)已知a＝1.30.6， ，则 A.c<b<a B.a<b<c C.c<a<b D.b<c<a √ 命题点1　比较指数式的大小 所以b<c<1，所以b<c<a. 例4　(2023·青岛模拟)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围可以是 A.[2,4] B.(－∞，0) C.(0,1)∪[2,4] D.(－∞，0]∪[1,2] 命题点2　解简单的指数方程或不等式 √ ∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]， ∴1≤4x－3·2x＋3≤7. 又2x>0，∴0<2x≤1或2≤2x≤4. ∴x≤0或1≤x≤2. 例5　已知函数f(x)＝ (a为常数，且a≠0，a∈R)是奇函数. (1)求a的值； 命题点3　指数函数性质的综合应用 因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， (2)若∀x∈[1,2]，都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围. 由(1)知a＝－1， 令t＝2x，t∈[2,4]， (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量. (2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断. 思维升华 跟踪训练3　(1)(多选)(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝ ，则下列结论正确的是 A.函数f(x)的定义域为R B.函数f(x)的值域为(－1,1) C.函数f(x)是奇函数 D.函数f(x)为减函数 √ √ √ 因为ex>0，所以ex＋1>0， 所以函数f(x)的定义域为R，故A正确； 所以函数f(x)的值域为(－1,1)，故B正确； 所以函数f(x)是奇函数，故C正确； 因为函数y＝ex＋1是增函数，所以y＝ex＋1>1， (2)(2023·银川模拟)函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比 最小值大 ，则a的值为________. 当a>1时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递增， 返回 当 0<a<1时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递减， 课时精练 一、单项选择题 1.下列结论中，正确的是 A.若a>0，则 ＝a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 知识过关 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于A，根据分数指数幂的运算法则，可得 当a＝1时， ＝a；当a≠1时， ≠a，故A错误； 对于C，a＋a－1＝3，则 ＝a＋a－1＋2＝3＋2＝5，因为a>0， 所以 ＝ ，故C错误； 2.已知函数f(x)＝ax－a(a>1)，则函数f(x)的图象不经过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 y＝ax(a>1)是增函数，经过点(0,1)， 因为a>1， 所以函数f(x)的图象需由函数y＝ax(a>1)的图象向下平移超过1个单位长度得到， 所以函数f(x)＝ax－a的图象如图所示. 故函数f(x)的图象不经过第二象限. 3.(2023·宜昌模拟)设a＝30.8，b＝90.5，c＝ ，则 A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.b>c>a √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为a＝30.8，b＝90.5＝(32)0.5＝31，c＝ 又函数y＝3x是增函数，且1>0.8>0.5， 所以31>30.8>30.5， 所以b>a>c. 4.(2023·新高考全国Ⅰ)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是 A.(－∞，－2] B.[－2,0) C.(0,2] D.[2，＋∞) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 函数y＝2x在R上是增函数，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以a的取值范围是[2，＋∞). 5.(2023·广州模拟)已知正数a，b满足 ＝3，则3a＋2b的最小值为 A.10 B.12 C.18 D.24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为a，b为正数， 所以3a＋2b的最小值为24. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(2023·潍坊模拟)“关于x的方程a(2|x|＋1)＝2|x|没有实数解”的一个必要不充分条件是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 a(2|x|＋1)＝2|x|，因为2|x|＋1>0， 因为2|x|≥20＝1， 要使a(2|x|＋1)＝2|x|没有实数解， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D为充要条件，不符合要求. 二、多项选择题 7.(2023·重庆模拟)已知函数y＝ ，则下列说法正确的是 A.定义域为R B.值域为(0,2] C.在[－2，＋∞)上单调递增 D.在[－2，＋∞)上单调递减 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ √ 由函数y＝ ，可得函数的定义域为R，故A正确； 设t＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1∈[－1，＋∞)， 由指数函数的单调性，可得函数的值域为(0,2]，故B正确； t＝x2＋4x＋3在[－2，＋∞)上单调递增， 根据复合函数单调性法则，可得函数在[－2，＋∞)上单调递减，故C错误，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(a<b)，则 A.2a＋2b>2 B.∃a，b∈R，使得0<a＋b<1 C.2a＋2b＝2 D.a＋b<0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示. 由图知1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2，故A错误， C正确； 所以2a＋b<1，则a＋b<0，故B错误，D正确. 三、填空题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 原式＝ ＝2－1＋8＋(23×32) ＝81. 81 10.已知函数f(x)＝2x－2－x＋1，若f(a2)＋f(a－2)>2，则实数a的取值范围是________________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (－∞，－2)∪(1，＋∞) 令g(x)＝2x－2－x，定义域为R，且g(－x)＝－g(x)， 所以函数g(x)是奇函数，且是增函数， 因为f(x)＝g(x)＋1，f(a2)＋f(a－2)>2， 则g(a2)＋g(a－2)>0，即g(a2)>－g(a－2)， 又因为g(x)是奇函数， 所以g(a2)>g(2－a)， 又因为g(x)是增函数，所以a2>2－a， 解得a<－2或a>1， 故实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 四、解答题 11.如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2. 当a>1时，因为x∈[－1,1]， 所以ymax＝(a＋1)2－2＝14， 解得a＝3或a＝－5(舍去)； 当0<a<1时，因为x∈[－1,1]， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.已知函数f(x)＝2x＋ . (1)若f(0)＝7，解关于x的方程f(x)＝5； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意得f(0)＝1＋a＝7， 整理得(2x)2－5×2x＋6＝0， 可得2x＝2或2x＝3， ∴x＝1或x＝log23. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)讨论f(x)的奇偶性，并说明理由； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意可知，函数f(x)的定义域为R， ①当f(x)为奇函数时，f(－x)＝－f(x)， 经检验，当a＝－1时，f(x)为奇函数； ②当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∴a＝1， 经检验，当a＝1时，f(x)为偶函数； ③当a≠±1时，f(x)为非奇非偶函数， 综上，当a＝－1时，f(x)为奇函数； 当a＝1时，f(x)为偶函数； 当a≠±1时，f(x)为非奇非偶函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (3)若f(x)<3在[1,3]上恒成立，求实数a的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 若f(x)<3在[1,3]上恒成立， 即a<－(2x)2＋3·2x在[1,3]上恒成立. 令t＝2x，由x∈[1,3]，得t∈[2,8]， ∴h(t)在[2,8]上单调递减， ∴h(t)min＝h(8)＝－82＋3×8＝－40，∴a<－40， 故实数a的取值范围为(－∞，－40). 13.(2023·深圳模拟)已知α∈ ，a＝(cos α)sin α，b＝(sin α)cos α，c＝ (cos α)cos α，则 A.b>c>a B.c>b>a C.c>a>b D.a>b>c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 能力拓展 因为y＝(cos α)x在(0,1)上单调递减，故c＝(cos α)cos α>(cos α)sin α＝a； 因为幂函数y＝xcos α在(0,1)上单调递增，故c＝(cos α)cos α<(sin α)cos α＝b， 故b>c>a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.(2024·徐州模拟)正实数m，n满足e1－2m＋2－2m＝en－1＋n，则 的最小值为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由e1－2m＋2－2m＝en－1＋n，得e1－2m＋(1－2m)＝en－1＋(n－1)， 令f(x)＝ex＋x，则原等式为f(1－2m)＝f(n－1)，显然函数f(x)为增函数， 于是1－2m＝n－1，即2m＋n＝2， 而m>0，n>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回 当n为偶数时，＝|a|＝ (2)式子(n∈N，n≥2)叫作 ，这里n叫作根指数，a叫作被开方数. (3)()n＝ . 当n为奇数时，＝ ， . x－4 x－4 ＋0＋   ×－4 4.(2023·福州质检)＋0＋ ×－4＝______. (1)0.5－2× －2×0＋－2； ＝－2×－2＋ ＝－－2＋＝－. (2)2×3×. A.＝ C.＝ 对于C，＝ ＝，所以C正确； 对于A，＝＝ ＝≠，所以A错误； b＝－0.4，c＝0.3 a＝1.30.6>1.30＝1，b＝－0.4＝0.4，c＝0.3， 因为指数函数y＝x是减函数， 所以0.4<0.3<0＝1，  f(x)＝·2x＋， 所以＝0， 即·＋2x＝－， 即＋1＝0，解得a＝－1. 所以f(x)＝－2x，x∈[1,2]， 所以－22x≥m， 所以m≥＋2x，x∈[1,2]， 设y＝＋2x，则y＝t＋，t∈[2,4]， 由于y＝t＋在[2,4]上单调递增， 所以m≥4＋＝. 所以实数m的取值范围是.  f(x)＝＝1－， 由ex>0⇒ex＋1>1⇒0<<1 ⇒－2<－<0⇒－1<1－<1， 因为f(－x)＝＝＝＝－f(x)， 所以函数y＝是减函数，所以函数y＝－是增函数， 故f(x)＝＝1－是增函数，故D不正确. 或 由题意可得，f(2)－f(1)＝a2－a＝， 解得a＝或a＝0(舍去)； 由题意可得，f(1)－f(2)＝a－a2＝， 解得a＝或a＝0(舍去)，综上所述，a＝或 a＝. B.若m8＝2，则m＝± C.若a＋a－1＝3，则 ＝± D.＝2－π 对于B，m8＝2，故m＝±，故B正确； 对于D，＝|2－π|＝π－2，故D错误. 则函数y＝x(x－a)＝2－在区间(0,1)上单调递减， 因此≥1，解得a≥2， · ·＝ 所以＋＝1， 所以3a＋2b＝(3a＋2b)＝12＋＋≥12＋2＝24， 当且仅当＝，即a＝4，b＝6时，等号成立， A.a≤ B.a>1 C.a≤或a≥1 D.a<或a≥1 所以a＝＝1－， 所以2|x|＋1≥2,0<≤，≤1－<1， 则a<或a≥1， 由于a<或a≥1不能推出a≤，故A不成立； 由于a<或a≥1不能推出a>1，故B不成立； 由于a<或a≥1⇒a≤或a≥1，且a≤或a≥1不能推出a<或a≥1， 故C正确； 则y＝t，t∈[－1，＋∞)， 而y＝t在[－1，＋∞)上单调递减， 由基本不等式可得2＝2a＋2b>2＝2， 9. ＋6＝______. 所以t∈， 又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增， 所以t∈， 又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增， 则ymax＝2－2＝14， 解得a＝或a＝－(舍去). 综上，a＝3或a＝. ∴a＝6，f(x)＝2x＋， ∴由f(x)＝5可得2x＋＝5， ∴2－x＋＝－，∴(1＋a)＝0， ∵2x＋≠0，∴a＝－1， ∴2－x＋＝2x＋，∴(a－1)＝0， 即2x＋<3在[1,3]上恒成立， 令h(t)＝－t2＋3t＝－2＋，t∈[2,8]， 已知α∈，则0<cos α<sin α<1， ＋ 当且仅当＝，即m＝n＝时取等号， 因此＋＝＋＝＋＋≥2＋＝， 所以当m＝n＝时，＋取得最小值. $