第二章 §2.4 函数的对称性（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

第二章 §2.4　函数的对称性 1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论. 2.会利用对称公式解决问题. 课标要求 内容索引 第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型 课时精练 第一部分 落实主干知识 1.奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数关于 对称，偶函数关于 对称. (2)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为 ；若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为 . 2.若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称； 若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点 对称. 原点 y轴 x＝a (a，0) (a，0) 知识梳理 5 3.两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于 对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于 对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于 对称. y轴 x轴 原点 知识梳理 6 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数y＝f(x)是奇函数，则函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称.(　　) (2)若函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称. (　　) (3)函数y＝5x与y＝5－x的图象关于x轴对称.(　　) (4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称.(　　) √ √ √ × 自主诊断 2.函数f(x)＝ 的图象的对称中心为 A.(0,0) B.(0,1) C.(1,0) D.(1,1) √ 自主诊断 3.已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，且f(x＋2)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，则 A.f(－1)<f(3) B.f(0)>f(3) C.f(－1)＝f(3) D.f(0)＝f(3) √ 自主诊断 因为f(x＋2)＝f(2－x)， 所以f(x)的图象关于直线x＝2对称， 所以f(3)＝f(1)， 由于f(x)在(－∞，2)上单调递增， 所以f(－1)<f(1)＝f(3)，f(0)<f(1)＝f(3). 自主诊断 4.(2023·南昌检测)已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点________. (－1,2) y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称， y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)， 则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1,2). 返回 自主诊断 第二部分 探究核心题型 例1　(1)(2024·株洲模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且函数f(x＋1)为 偶函数，当－1≤x≤0时，f(x)＝x3，则 等于 √ 题型一　轴对称问题 由函数f(x＋1)为偶函数， 可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以f(2＋x)＝f(－x)， 因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(4＋x)＝f(－2－x)＝－f(2＋x)＝－f(－x)＝f(x)， 可得函数f(x)的周期为4， (2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(－x2)>f(－1)的解集为________. (－1,1) ∵f(x＋2)是偶函数，∴f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称， ∴f(x)的图象关于直线x＝2对称， 又f(x)在[2，＋∞)上单调递减， ∴f(x)在(－∞，2]上单调递增. 又－x2，－1∈(－∞，2]，f(－x2)>f(－1)， ∴－x2>－1，即x2<1，∴－1<x<1， ∴原不等式的解集为(－1,1). 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝ 对称. 思维升华 跟踪训练1　(1)(2023·郴州检测)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是 A.f(－1)<f(1)<f(2) B.f(1)<f(2)<f(－1) C.f(2)<f(－1)<f(1) D.f(－1)<f(2)<f(1) √ 因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为直线x＝0， 所以f(x)的对称轴为直线x＝1， 又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下， 根据自变量与对称轴的距离可得 f(－1)<f(2)<f(1). (2)(2023·承德统考)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(4－x)，若y＝|x－2|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，则x1＋x2＋x3＋x4等于 A.－4 B.0 C.4 D.8 √ 由f(x)＝f(4－x)可知y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，y＝|x－2|的图象关于直线x＝2对称， 所以x1＋x2＋x3＋x4＝4×2＝8. 例2　(1)(多选)下列说法中，正确的是 A.函数f(x)＝ 的图象关于点(－2,2)中心对称 B.函数f(x)满足f(2x－1)为奇函数，则函数f(x)关于点(－1,0)中心对称 C.若函数y＝f(x)过定点(0,1)，则函数y＝f(x－1)＋1过定点(1,2) D.函数y＝ 的图象关于点(3，c)中心对称，则b＋c＝2 题型二　中心对称问题 √ √ √ 对于B，因为f(2x－1)为奇函数，所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)，所以f(x－1)＝－f(－x－1)， 所以f(x)＝－f(－x－2)，所以函数f(x)关于点(－1,0)中心对称，B正确； 对于C，函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)＋1的图象，由于y＝f(x)过定点(0,1)，故函数y＝f(x－1)＋1过定点(1,2)，C正确； 所以b＋c＝4，D不正确. (2)(2024·南京模拟)已知函数y＝f(x)满足f(－x)＝f(2＋x)，其图象关于点(2,0)对称，f(2)＝0，则f(18)＝_____. 0 因为函数y＝f(x)的图象关于点(2,0)对称， 所以f(－x)＝－f(4＋x)， 又f(－x)＝f(2＋x)，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝0， 所以f(x)－f(x＋4)＝0，即f(x)＝f(x＋4)， 所以函数f(x)的一个周期为4，所以f(18)＝f(2)＝0. 函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关 于点 成中心对称. 思维升华 跟踪训练2　(1)(2023·扬州模拟)已知定义域为R的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f(x＋1)为奇函数，则使得不等式f(x2－x)<f(2－2x)成立的实数x的取值范围是 A.(－1,2) B.(－∞，－1)∪(2，＋∞) C.(－2,1) D.(－∞，－2)∪(1，＋∞) √ 因为f(x＋1)为奇函数， 所以f(x)的图象关于点(1,0)对称， 因为f(x)在[1，＋∞)上单调递减， 所以f(x)在R上单调递减， 所以x2－x>2－2x，即x2＋x－2>0，解得x<－2或x>1， 所以x的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞). (2)已知定义域为R的函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，且当x≥1时，f(x)＝x2＋mx＋n，若f(－1)＝－7，则3m＋n等于 A.7 B.2 C.－2 D.－ √ 因为定义域为R的函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，且当x≥1时，f(x)＝x2＋mx＋n， 若f(－1)＝－7，则f(3)＝－f(－1)＝7. 故f(3)＝32＋3m＋n＝7，即3m＋n＝－2. 例3　已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象 A.关于直线x＝1对称 B.关于直线x＝3对称 C.关于直线y＝3对称 D.关于点(3,0)对称 题型三　两个函数图象的对称 √ 设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点， 则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))， 所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上， 而点P(x0，y0)与点Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称， 所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称. 函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝ 对称. 思维升华 跟踪训练3　下列函数与y＝ex的图象关于直线x＝1对称的是 A.y＝ex－1 B.y＝e1－x C.y＝e2－x D.y＝ln x √ 与f(x)＝ex的图象关于直线x＝1对称的是f(2－x)＝e2－x，即y＝e2－x. 返回 课时精练 一、单项选择题 1.下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A.y＝ B.y＝lg|x| C.y＝tan x D.y＝x3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 知识过关 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 y＝ 的图象关于y＝x、坐标原点(0,0)分别成轴对称和中心对称，故A正确； y＝lg|x|为偶函数，其图象关于y轴对称，但无对称中心，故B错误； y＝tan x关于点 (k∈Z)成中心对称，但无对称轴，故C错误； y＝x3为奇函数，其图象关于坐标原点(0,0)成中心对称，但无对称轴，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.(2024·聊城检测)函数y＝2－x与y＝－2x的图象 A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y＝x轴对称 √ 令f(x)＝2x，则－f(－x)＝－2－x， ∵y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称， ∴y＝2－x与y＝－2x的图象关于原点对称. 3.(2023·襄阳模拟)已知函数f(x)＝2x＋ (x∈R)，则f(x)的图象 A.关于直线x＝1对称 B.关于点(1,0)对称 C.关于直线x＝0对称 D.关于原点对称 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.已知函数f(1－x)的图象与函数f(2＋x)的图象关于直线x＝m对称，则m 等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设点P(x，y)在函数y＝f(1－x)的图象上，点P关于直线x＝m的对称点Q(x′，y′)， 则y′＝f(1－2m＋x′)， 即y＝f(1－2m＋x)与y＝f(1－x)关于直线x＝m对称， 6.(2023·重庆模拟)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且函数y＝f(x＋1)为偶函数，函数y＝f(x＋2)－1为奇函数，则 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为函数y＝f(x＋1)为偶函数， 所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称， 因为函数y＝f(x)的定义域为R，函数y＝f(x＋2)－1为奇函数， 所以函数y＝f(x)的图象关于点(2,1)对称， 且f(2)＝1， 所以f(0)＝f(2)＝1. 二、多项选择题 7.设函数f(x)＝2x－1＋21－x，则下列说法错误的是 A.f(x)在(0，＋∞)上单调递增 B.f(x)为奇函数 C.f(x)的图象关于直线x＝1对称 D.f(x)的图象关于点(1,0)对称 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵f(x)＝2x－1＋21－x， ∴f(2－x)＝2(2－x)－1＋21－(2－x) ＝21－x＋2x－1＝f(x)， 即f(x)＝f(2－x)， 即f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确，A，D错误； ∵f(－1)≠－f(1)，∴f(x)不是奇函数，故B错误. 8.已知函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，且f(1－x)＝f(1＋x)，则 A.f(0)＝f(2) B.f(－1)<f(4) C.f(2x＋1)<f(1) D.f(x＋1)为偶函数 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由f(1－x)＝f(1＋x)知，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以f(0)＝f(2)，故A正确； 又f(x)在[1，＋∞)上单调递增， 所以f(x)在(－∞，1]上单调递减， 因为f(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以f(－1)＝f(3)<f(4)，故B正确； 因为1<2x＋1，f(x)在[1，＋∞)上单调递增， 所以f(1)<f(2x＋1)，故C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为函数f(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以函数f(x＋1)的图象关于直线x＝0对称， 即函数f(x＋1)的图象关于y轴对称， 所以f(x＋1)为偶函数，故D正确. 三、填空题 9.(2023·苏州模拟)写出一个同时满足条件：①f(x＋2)＝f(x)，②f(1－x)＝ f(1＋x)的非常数函数.则f(x)＝______________________________________ _____________________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为f(x＋2)＝f(x)，f(1－x)＝f(1＋x)， 所以函数的周期T＝2，函数的对称轴为直线x＝1， 故可取函数f(x)＝cos πx. 10.(2023·荆州统考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(－x)，设函 数f(x)与函数y＝ 的图象交于点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则 的值为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 n ∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 则f(2－x)＋f(x)＝0， ∴函数f(x)的图象关于点(1,0)对称， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 四、解答题 11.(2024·邢台检测)已知函数f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x. (1)判断并证明函数f(x)的对称性； f(x)的图象关于直线x＝2对称. 证明：由|x－2|>0，得x≠2，所以f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞). 因为f(2－x)＝log2|x|＋(2－x)2－4(2－x)＝log2|x|＋x2－4， f(2＋x)＝log2|x|＋(2＋x)2－4(2＋x)＝log2|x|＋x2－4， 所以f(2＋x)＝f(2－x)， 所以f(x)的图象关于直线x＝2对称. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)求f(x)的单调区间. 设y1＝log2|x－2|，y2＝x2－4x， 当x>2时，y1＝log2|x－2|＝log2(x－2)单调递增，y2＝x2－4x也单调递增， 故f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x在(2，＋∞)上单调递增. 又f(x)的图象关于直线x＝2对称， 故f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝ f(x＋a)－b为奇函数. (1)若f(x)＝x3－3x2，求此函数图象的对称中心； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设函数f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心为点P(a，b)，g(x)＝f(x＋a)－b， 则g(x)为奇函数，故g(－x)＝－g(x)， 故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b， 即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b， 即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b. 整理得(3a－3)x2＋a3－3a2－b＝0， 所以函数f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心为(1，－2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论. 推论：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数. 13.设函数f(x)定义域为R，若f(x＋2)，f(x－2)都为奇函数，则下面结论成立的是 A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)＝f(x＋4) D.f(x＋6)为奇函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 能力拓展 因为f(x＋2)，f(x－2)都为奇函数，即f(x)关于(－2,0)和(2,0)对称， 所以f(－x)＋f(4＋x)＝0，f(－x)＋f(－4＋x)＝0， 所以f(－4＋x)＝f(4＋x)，所以f(x)＝f(8＋x)， 因为f(x－2)＝－f(－x－2)，所以f(x－2＋8)＝－f(－x－2＋8)， 即f(x＋6)＝－f(－x＋6)，所以f(x＋6)为奇函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.(多选)(2023·大连质检)若定义在R上的减函数y＝f(x－2)的图象关于点(2,0)对称，且g(x)＝f(x)＋1，则下列结论一定成立的是 A.g(2)＝1 B.g(0)＝1 C.不等式f(x＋1)>f(1－2x)的解集为(－∞，0) D.g(－1)＋g(2)<2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ √ ∵定义在R上的减函数y＝f(x－2)的图象关于点(2,0)对称， 将y＝f(x－2)的图象向左平移2个单位长度即可得到函数y＝f(x)的图象， ∴函数y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，即f(x)为奇函数，∴f(0)＝0， ∵g(x)＝f(x)＋1，∴g(0)＝f(0)＋1， ∴g(0)＝1，故B选项正确； ∵y＝f(x－2)为减函数，∴f(x)为减函数， ∴g(x)＝f(x)＋1为减函数， 又g(0)＝1，则g(2)≠1，故A选项错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵f(x＋1)>f(1－2x)，且f(x)为减函数， ∴x＋1<1－2x，解得x<0，故C选项正确； g(－1)＋g(2)＝f(－1)＋f(2)＋2 ＝－f(1)＋f(2)＋2， ∵f(1)>f(2)， ∴g(－1)＋g(2)<2，故D选项正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回 因为f(x)＝＝1＋，由y＝的图象向上平移一个单位长度得到y＝1＋的图象，又y＝的图象关于点(0,0)对称， 所以f(x)＝1＋的图象关于点(0,1)对称.  A. B.－ C. D.－ f  所以f ＝f ＝－f ＝－3＝. 对于A，f(x)＝＝＝2－，其图象可以由y＝－的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，且  y＝－的图象关于原点对称，故f(x)＝的图象关于点(－2,2)中心对称，A正确； 对于D，函数y＝＝＝1＋的图象关于点(3，c)中心对称，所以解得b＝3，c＝1， 由已知可得，f(2－x)＝22－x＋＝＋4·＝＋2x＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A项正确； 因为f(2－x)＝2x＋，则f(2－x)≠－f(x)，故B项错误；  f(－x)＝2－x＋＝4·2x＋，则f(－x)≠f(x)，故C项错误； 因为f(－x)＝4·2x＋，则f(－x)≠－f(x)，故D项错误. 4.(2023·赣州联考)已知函数f(x)在上单调递增，满足对任意x∈R，都有f ＝f ，若f(x)在区间(a，2a－1)上单调递减，则实数a的取值范围为 A. B. C.  D.(－∞，2] 由f ＝f ，得函数f(x)图象的对称轴是直线x＝， 因为函数f(x)在上单调递增， 所以函数f(x)在上单调递减， 因为f(x)在区间(a，2a－1)上单调递减， 则解得1<a≤. 所以实数a的取值范围为. A.3 B. C.－1 D.－ 则则 则1－2m＝2，得m＝－. A.f ＝0 B.f(0)＝1 C.f ＝0 D.f(1)＝1 cos πx(形如acos πx＋b或a＋b或 a＋b或a＋b等) (xi＋yi) ∵函数y＝的图象是由函数y＝的图象向右平移1个单位长度得到的，∴函数y＝的图象关于点(1,0)对称， ∴函数f(x)与函数y＝的图象的交点也关于点(1,0)对称， ∴(xi＋yi)＝＋＝2×＋0×＝n. 故解得 $