第七章 必刷小题13 立体几何（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（人教B版）

第七章 必刷小题13　立体几何 一、单项选择题 1.(2024·洛阳模拟)如图，△O′A′B′是△OAB的直观图，则△OAB是 A.正三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为∠x′O′y′＝45°，则线段A′B′与y′轴必相交，令交点为C′，如图(1)所示， 在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上，可得OA＝O′A′，点C在y轴上，可得OC＝2O′C′， 如图(2)所示，因此点B必在线段AC的延长线上， 所以∠BOA>∠COA＝90°， 所以△OAB是钝角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.下列四个命题中，正确的是 A.各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱 B.对角面是全等矩形的六面体一定是长方体 C.有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱 D.长方体一定是直四棱柱 √ 对于A，底面是菱形的直平行六面体，满足条件但不是正棱柱； 对于B，底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体； C显然错误； 长方体一定是直四棱柱，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.从平面外一点P引与平面相交的直线，使P点与交点的距离等于1，则满足条件的直线可能有 A.0条或1条 B.0条或无数条 C.1条或2条 D.0条或1条或无数条 √ 当点P到平面的距离大于1时，没有满足条件的直线； 当点P到平面的距离等于1时，满足条件的直线只有1条； 当点P到平面的距离小于1时，满足条件的直线有无数条. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(2023·徐州模拟)圆柱形玻璃杯中盛有高度为10 cm的水，若放入一个玻璃球(球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同)后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意，玻璃球的体积等于放入玻璃球后水的体积减去原来水的体积. 设玻璃球的半径为r，即圆柱形玻璃杯内壁的底面半径为r， 若放入一个玻璃球后，水恰好淹没玻璃球， 5.(2024·泉州模拟)设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则α⊥β的充分条件是 A.m∥α，n∥β，m⊥n B.m⊥α，n∥β，m⊥n C.m⊥α，n⊥β，m⊥n D.m⊂α，n⊂β，m⊥n √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，如图(1)，α∩β＝l，m⊥l，n∥l，则满足m∥α，n∥β，m⊥n，平面α与β不一定垂直，故A错误； 对于B，如图(2)，α∩β＝l，n∥l，m⊥α，则满足n∥β，m⊥n，平面α与β不一定垂直，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D，如图(4)，α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m⊥l，n∥l，则m⊥n，平面α与β不一定垂直，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.某同学画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体)，发现切面与圆柱侧面的交线是一个椭圆(如图所示).若该同学所画的椭圆的离心率为 ，则“切面”所在平面与底面所成的角为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设椭圆与圆柱的轴截面如图所示，作DE⊥BC交BC于点E， 则∠CDE为“切面”所在平面与底面所成的角，设为θ. 设底面圆的直径为2r，则CD为椭圆的长轴2a，短轴为2b＝DE＝2r， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.(2023·朝阳模拟)如图，圆台内有一个球，该球与圆台的侧面和底面均相切.已知圆台的下底面圆心为O1，半径为r1，圆台的上底面圆心为O2，半径为r2(r1>r2)，球的球心为O，半径为R，记圆台的表面积为S1，球的表面积为S2，则 的可能取值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，作出圆台的轴截面，作DF⊥BC，垂足为F， 由题意知圆O与梯形ABCD相切， 则DC＝DE＋CE＝O2D＋O1C＝r2＋r1， 化简可得R2＝r1r2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.(2023·北京模拟)在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，VA，VB，VC两两垂直，VA＝VB＝VC＝1(单位：dm)，小明同学计划通过侧面VAC内任意一点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，则该截面面积(单位：dm2)的最大值是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意，在平面VAC内，过点P作EF∥AC分别交VA，VC于点F，E， 在平面VBC内，过点E作EQ∥VB交BC于点Q， 在平面VAB内，过点F作FD∥VB交AB于点D，连接DQ，如图所示， 因为EF∥AC， 所以△VEF∽△VCA，设其相似比为k， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为FD∥ VB， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即EQ＝1－k， 所以FD∥EQ，且FD＝EQ， 所以四边形FEQD为平行四边形， 因为VB⊥VC，VB⊥VA，VA∩VC＝V， VA⊂平面VAC，VC⊂平面VAC， 所以VB⊥平面VAC， 因为FD∥VB， 所以FD⊥平面VAC， 因为EF⊂平面VAC， 所以FD⊥EF， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二、多项选择题 9.(2023·潍坊模拟)某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与圆柱形包装盒侧面及上下底面都相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为R，球形巧克力的半径为r，每个球形巧克力的体积为V1，包装盒的体积为V2，则 A.R＝3r B.R＝6r C.V2＝9V1 D.2V2＝27V1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由截面图可以看出，圆柱的底面直径是球形巧克力直径的3倍，即可得R＝3r， 圆柱的高等于球形巧克力的直径，即h＝2r， 则有2V2＝27V1. 10.(2023·昌吉模拟)正六棱台的上、下底面边长分别是2 cm和6 cm，侧棱长是5 cm，则下列说法正确的是 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，在正六棱台ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中， 因为A1B1＝2 cm，AB＝6 cm，AA1＝5 cm， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由图可知该正六棱台的上底面积为6个边长为2的等边三角形组成， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M，N，F分别是B1C1，CC1，AB的中点，则下列说法正确的是 C.MN与EF异面 D.MN与EF平行 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2a， 作点E在平面ABCD内的射影点G， 连接EG，GF， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接DE，因为E为平面ADD1A1的中心， 又因为M，N分别为B1C1，CC1的中点， 所以MN∥B1C， 又因为B1C∥A1D，所以MN∥ED， 且DE∩EF＝E， 所以MN与EF异面，故选项C正确，D错误. 12.(2024·舟山模拟)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面ABC为正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，D为AC的中点，则下列判断正确的是 A.C1D与BB1是异面直线 B.BD⊥A1C1 C.平面BDC1⊥平面ACC1A1 D.A1B1∥平面BDC1 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，在三棱柱ABC－A1B1C1中， BB1∥CC1，CC1⊂平面ACC1A1，BB1⊄平面ACC1A1，所以BB1∥平面ACC1A1， 又CC1∩C1D＝C1，所以C1D与BB1是异面直线，故A正确； 对于B，因为AA1垂直于底面ABC，BD⊂平面ABC，所以AA1⊥BD， 又因为△ABC为正三角形，且D为AC的中点，所以BD⊥AC， 又AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面ACC1A1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以BD⊥平面ACC1A1， 又A1C1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥A1C1，故B正确； 对于C，因为BD⊥平面ACC1A1，BD⊂平面BDC1，所以平面BDC1⊥平面ACC1A1，故C正确； 对于D，因为AB∩平面BDC1＝B，所以AB与平面BDC1不平行， 又AB∥A1B1，所以A1B1与平面BDC1不平行，故D错误. 三、填空题 13.(2023·榆林模拟)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，且PA＝AB，AD＝ ，则tan∠APC＝______. 2 ∵PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD， ∴PA⊥AC， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.如图，已知PA⊥PB，PA⊥PC，∠ABP＝∠ACP＝60°，PB＝PC＝ ，D是BC的中点，则AD与平面PBC所成角的余弦值为______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，PB，PC⊂平面PBC， ∴PA⊥平面PBC，连接PD，如图所示， 则PD是AD在平面PBC内的射影， ∴∠PDA就是AD与平面PBC所成的角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝5，点E是棱CC1上的一个动点，若平面BED1交棱AA1于点F，则四棱锥B1－BED1F的体积为______，截面四边形BED1F的周长的最小值为________. 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可得D1F∥BE， 则 ＝ ＋ ＝ ＋ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.青铜豆最早见于商代晚期，盛行于春秋战国时期，它不仅可以作为盛放食物的铜器，还是一件十分重要的礼器，图①为河南出土的战国青铜器——方豆，豆盘以上是长方体容器和正四棱台的斗 形盖.图②是与主体结构相似的几何体，其中AB＝4，MN＝NF＝2，K为BC 上一点，且 ，Z为PQ上一点.若DK⊥MZ，则 ＝_____；若几何体EFGH－MNPQ的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为_____. 40π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知，平面ABCD∥平面EFGH∥平面MNPQ， 设平面EMZ交平面ABCD于AJ， 因为平面EMZ交平面MNPQ＝MZ，所以MZ∥AJ， 设DK∩AJ＝L， 因为DK⊥MZ，所以DK⊥AJ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以∠DKC＝∠DJL， 所以△DCK∽△ADJ， 因为四边形ABCD为正方形， 所以CJ∶JD＝BK∶KC＝2∶1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 几何体EFGH－MNPQ为正四棱台， 由正四棱台的对称性可知， 几何体EFGH－MNPQ的外接球的球心必在平面NFHQ上， 设NQ的中点为O1，FH的中点为O2， 则球心O在O1O2上，连接OO1，OF，ON， 过N作NS⊥FH于S， 设外接球的半径为R，OO2＝d， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以几何体EFGH－MNPQ外接球的表面积为S＝4πR2＝40π. A. cm B.15 cm C.10 cm D.20 cm 则玻璃球的体积为πr3，圆柱的底面面积为πr2， 则此时水面的高度为2r，所以πr3＝πr2(2r－10)，解得r＝15(cm). 对于C，如图(3)，m⊥α，n⊥β，m⊥n，在直线m，n上取两个向量，，则，分别为平面α，β的法向量，且⊥，则α⊥β，故C正确； A.　　　B.　　　C.　　　D. 则椭圆的长轴长2a＝CD＝， 即a＝，所以椭圆的离心率为e＝＝＝＝＝sin θ， 所以θ＝. A.　　　B.　　　C.　　　D. 又DC＝＝， 故＝r1＋r2， 故的可能取值为. 则＝ ＝＝＋>＋ ＝(r1>r2，故取不到等号)， 由于，，都不大于， A. dm2 B. dm2 C. dm2 D. dm2 则＝＝＝k，0<k<1， 因为VA＝VB＝VC＝1，且两两垂直，所以AC＝， 同理△CEQ∽△CVB，即＝＝＝1－k， 即EF＝k， 所以△AFD∽△AVB，即＝＝， 因为＝＝1－k， 所以＝＝1－k，即FD＝1－k， 所以四边形FEQD是矩形，即S矩形FEQD＝  FD·EF＝(1－k)·k＝－2＋， 所以当k＝时，S矩形FEQD有最大值. 故该截面面积的最大值是 dm2.  V1＝，V2＝πR2h＝18πr3， A.该正六棱台的上底面积是6 cm2 B.该正六棱台的侧面积是15 cm2 C.该正六棱台的表面积是(60＋24)cm2 D.该正六棱台的高是3 cm 所以侧面的梯形ABB1A1的高即正六棱台斜高为＝(cm)， 所以梯形ABB1A1的面积为S＝×(2＋6)×＝4 (cm2)， 故正六棱台的侧面积为6S＝6×4＝24(cm2)，故B错误； 所以该正六棱台的上底面积为S1＝6××2×2× sin 60°＝6(cm2)，故A正确； 同理下底面积为S2＝6××6×6×sin 60°＝54(cm2)， 所以该正六棱台的表面积是6S＋S1＋S2＝(60＋24)cm2，故C正确； 正六棱台的高为OO1＝＝3(cm)，故D正确. A.MN＝EF B.MN≠EF 则MN＝＝＝a， 所以EF＝＝＝a， 所以MN≠EF，故选项B正确，A错误； 所以DE＝A1D，  AB 设AB＝1，则PA＝1，AD＝，AC＝＝2， ∴tan∠APC＝＝2.    BC 又∵∠ABP＝∠ACP＝60°，PB＝PC＝BC，D是BC的中点， ∴PD＝BC，PA＝BC， ∴AD＝BC，∴cos∠PDA＝＝， ∴AD与平面PBC所成角的余弦值为. 2 ＝× ＝×＝20. 将长方体展开，如图所示，当点E为BD1与CC1的交点，F为BD1与AA1的交点时，截面四边形BED1F的周长最小，最小值为2BD1＝2＝2. ＝ 因为∠DKC＋∠KDC＝， ∠DJL＋∠KDC＝， 而∠DCK＝∠ADJ＝， 所以＝，所以＝， 所以＝＝， 所以O1O2＝NS＝， 由题意可知，FH＝AB＝4，  NQ＝MN＝2，FO2＝2，NO1＝， 则FS＝(FH－NQ)＝(4－2)＝， 由勾股定理得NS＝＝＝， 由R＝OF＝ON可得＝， 即＝， 解得d＝， 所以R＝OF＝＝， $