第八章 必刷小题15 直线与圆（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（人教B版）

第八章 必刷小题15　直线与圆 一、单项选择题 1.(2023·蚌埠模拟)已知直线l1：ax＋2y＋1＝0，l2：(3－a)x－y＋a＝0，则条件“a＝1”是“l1⊥l2”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 √ 解得a＝1或a＝2. 故a＝1是l1⊥l2的充分不必要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.直线ax－y－2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2＝9的位置关系是 A.相离　　　B.相交　　　C.相切　　　D.不确定 √ 直线ax－y－2a＝0(a∈R)，即a(x－2)－y＝0， 因为22＋02<9，所以定点(2,0)在圆内，所以直线与圆相交. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.直线x＋ay＋b＝0经过第一、二、四象限，则 A.a<0，b<0 B.a<0，b>0 C.a>0，b<0 D.a>0，b>0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为直线x＋ay＋b＝0经过第一、二、四象限， 4.(2023·黄冈模拟)已知点M(1， )在圆C：x2＋y2＝m上，过M作圆C的切线l，则l的倾斜角为 A.30° B.60° C.120° D.150° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 当l的斜率不存在时，直线方程为x＝1，与圆C：x2＋y2＝4相交，不合题意； 故l的倾斜角为150°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(2024·呼和浩特模拟)已知圆x2＋2x＋y2＝0关于直线ax＋y＋1－b＝0(a，b为大于0的常数)对称，则ab的最大值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 因为圆x2＋2x＋y2＝0的圆心为(－1,0)，且圆x2＋2x＋y2＝0关于直线ax＋y＋1－b＝0(a，b为大于0的常数)对称， 所以直线ax＋y＋1－b＝0过圆心(－1,0)， 所以a＋b＝1，又a>0，b>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(2023·长沙模拟)点P在单位圆上运动，则P点到直线l：(1＋3λ)x＋(1－2λ)y－(7＋λ)＝0(λ为任意实数)的距离的最大值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 将直线方程变形为l：(x＋y－7)＋(3x－2y－1)λ＝0， 所以直线过定点Q(3,4)， 因为P在单位圆上运动，圆心O(0,0)，圆的半径r＝1， 则P点到直线l的距离的最大值为r＋|OQ|＝1＋|OQ|＝1＋5＝6. 7.(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　令x－y＝k，则x＝k＋y， 代入原式化简得2y2＋(2k－6)y＋k2－4k－4＝0， 因为存在实数y，则Δ≥0， 即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0， 化简得k2－2k－17≤0， 方法二　x2＋y2－4x－2y－4＝0， 整理得(x－2)2＋(y－1)2＝9， 令x＝3cos θ＋2，y＝3sin θ＋1， 其中θ∈[0,2π]， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法三　由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.(2023·新高考全国Ⅰ)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α等于 √ 如图，设A(0，－2)，两切点分别为B，C， 由x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5， 由于圆心与A(0，－2)的连线平分∠BAC， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以∠BAC为钝角，且∠BAC＋α＝π， 二、多项选择题 9.已知点A(2,3)，B(4，－5)到直线l：(m＋3)x－(m＋1)y＋m－1＝0的距离相等，则实数m的值可以是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为点A(2,3)，B(4，－5)到直线l：(m＋3)x－(m＋1)y＋m－1＝0的距离相等， 10.(2024·深圳模拟)动点P在圆C1：x2＋y2＝1上，动点Q在圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝16上，则下列说法正确的是 A.两个圆心所在的直线斜率为 B.两个圆公共弦所在直线的方程为3x－4y－5＝0 C.两圆公切线有两条 D.|PQ|的最小值为0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0,0)，半径为r＝1， 圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝16的圆心为C2(3，－4)，半径为R＝4. 所以两圆相外切，故没有公共弦，两圆的公切线有三条，当点P，点Q运动到切点时，|PQ|的最小值为0，因此选项B，C不正确，选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(2023·武汉统考)已知直线l：x－y＋1＝0与圆Ck：(x＋k－1)2＋(y＋2k)2＝1，下列说法正确的是 A.所有圆Ck均不经过点(0,3) B.若圆Ck关于直线l对称，则k＝－2 C.若直线l与圆Ck相交于A，B两点，且|AB|＝ ，则k＝－1 D.不存在圆Ck与x轴、y轴均相切 √ √ √ 对于A，将(0,3)代入(x＋k－1)2＋(y＋2k)2＝1，则(k－1)2＋(2k＋3)2＝1， 所以5k2＋10k＋9＝0，此时Δ＝100－4×5×9＝－80<0， 所以不存在k值，使圆Ck经过点(0,3)，A对； 对于B，若圆Ck关于直线l对称，则(1－k，－2k)在直线l：x－y＋1＝0上， 所以1－k＋2k＋1＝0，则k＝－2，B对； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D，若圆Ck与x轴、y轴均相切，则|1－k|＝2|k|＝1，显然无解，即不存在这样的圆Ck，D对. 12.已知点P(x，y)是圆C：(x－1)2＋y2＝4上的任意一点，直线l：(1＋m)x＋( －1)y＋ －3m＝0，则下列结论正确的是 A.直线l与圆C的位置关系只有相交和相切两种 B.圆C的圆心到直线l距离的最大值为 C.点P到直线4x＋3y＋16＝0距离的最小值为2 D.点P可能在圆x2＋y2＝1上 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以直线l与圆C的位置关系只有相交和相切两种，A正确； 对于B选项，当直线l为圆C的切线时，点C到直线l的距离最大，且最大值为|QC|＝2，B错误； 所以圆C上的点P到直线4x＋3y＋16＝0距离的最小值为4－2＝2，C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D选项，圆x2＋y2＝1的圆心为原点O，半径为1， 因为|OC|＝1＝2－1，所以圆C与圆O内切，故点P可能在圆x2＋y2＝1上，D正确. 三、填空题 13.若直线l1：3x＋y＋m＝0与直线l2：mx－y－7＝0平行，则直线l1与l2之间的距离为_______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题设得m＋3＝0，即m＝－3， 所以l1：3x＋y－3＝0，l2：3x＋y＋7＝0， 14.过直线3x－2y＋3＝0与x＋y－4＝0的交点，与直线2x＋y－1＝0平行的直线方程为______________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2x＋y－5＝0 由已知，可设所求直线的方程为(3x－2y＋3)＋λ(x＋y－4)＝0， 即(λ＋3)x＋(λ－2)y＋3－4λ＝0， 又因为此直线与直线2x＋y－1＝0平行， 解得λ＝7， 所以所求直线的方程为10x＋5y－25＝0， 即2x＋y－5＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.在平面直角坐标系中，圆C的方程为(x－2)2＋y2＝1，若直线y＝kx＋1上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点， 则实数k的取值范围为___________. 圆(x－2)2＋y2＝1的圆心C的坐标为(2,0)，半径为1， 设直线y＝kx＋1上的点P(m，n)满足条件， 则以点P(m，n)为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，即两圆相交或相切， 所以点P(m，n)到点(2,0)的距离小于等于2，所以点(2,0)到直线y＝kx＋1的距离小于等于2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(2023·大理模拟)设m∈R，直线l1：mx－y－3m＋1＝0与直线l2：x＋my－3m－1＝0相交于点P，点Q是圆C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝2上的一个动点，则|PQ|的最小值为______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得l1：(x－3)m＋(1－y)＝0，l2：(x－1)＋(y－3)m＝0， ∴l1恒过定点M(3,1)，l2恒过定点N(1,3)， 又l1⊥l2， ∴P点轨迹是以MN为直径的圆，即以点(2,2)为圆心， ∴P点轨迹方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴两圆外离，∴|PQ|的最小值是两圆圆心距d减去两圆半径之和， 若l1⊥l2，则(3－a)×＝－1， 由得所以直线恒过定点(2,0)， 所以该直线的斜率－<0，直线在y轴上的截距－>0，可得a>0，b<0.   设l的倾斜角为θ，则tan θ＝－且0°≤θ<180°， 点M(1，)代入圆C：x2＋y2＝m得，m＝1＋3＝4， 当l的斜率存在时，设切线l的方程为y－＝k(x－1)，即kx－y＋－k＝0， 则＝2，解得k＝－， A.　　　B.　　　C.1　　　D.2 所以ab≤2＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，即当a＝b＝时，ab取最大值. A.2＋1 B.6 C.3＋1 D.5 由解得 故原点到直线l距离的最大值为|OQ|＝＝5， A.1＋ B.4 C.1＋3 D.7 解得1－3≤k≤1＋3， 故x－y的最大值是3＋1. 则x－y＝3cos θ－3sin θ＋1＝3cos＋1， 因为θ∈[0,2π]，所以θ＋∈， 则当θ＋＝2π，即θ＝时，x－y取得最大值3＋1， 设x－y＝k，则圆心到直线x－y＝k的距离d＝≤3， 解得1－3≤k≤1＋3. 故x－y的最大值为3＋1. A.1　　　B.　　　C.　　　D. 所以圆心坐标为(2,0)，半径r＝， 所以圆心到A(0，－2)的距离为＝2， 所以sin＝＝＝， 所以cos∠BAC＝1－2sin2＝－<0， 所以sin α＝sin∠BAC＝＝. A.－　　　B.　　　C.－　　　D. 所以＝， 化简得|5m＋8|＝1，解得m＝－或m＝－. － 两个圆心所在的直线斜率为＝－，所以选项A正确； 因为|C1C2|＝＝5，R＋r＝5，   对于C，由题意，Ck到直线l的距离d＝＝， 所以＝＝，则|k＋2|＝1，可得k＝－3或－1，C错；  m     直线l是过点Q的所有直线中除去直线x＋y－3＝0外的所有直线， 圆心C(1,0)到直线x＋y－3＝0的距离为＝1<2，即直线x＋y－3＝0与圆C相交， 对于A选项，因为直线l的方程可化为x－y＋＋m(x＋y－3)＝0. 令解得 所以直线l过定点Q(0，)， 又点Q(0，)在圆C：(x－1)2＋y2＝4上，所以直线l与C至少有一个公共点， 对于C选项，因为圆心C到直线4x＋3y＋16＝0的距离d＝＝4，   所以直线l1与l2之间的距离为＝. 所以＝≠， 所以0≤≤2， 所以≤2，解得k≤.所以k的取值范围为.   以×＝为半径的圆， ∵圆(x－2)2＋(y－2)2＝2与圆C的圆心距d＝＝3>2， 即|PQ|min＝3－2＝. $