第八章 必刷大题17 解析几何（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（人教B版）

第八章 必刷大题17　解析几何 1.(2024·南通模拟)已知P为抛物线C：y2＝4x上位于第一象限的点，F为C的焦点，PF与C交于点Q(异于点P).直线l与C相切于点P，与x轴交于点M.过点P作l的垂线交C于另一点N. (1)证明：线段MP的中点在定直线上； 1 2 3 4 因为点P在第一象限， 1 2 3 4 1 2 3 4 令y＝0，则x＝－x0， 所以M(－x0，0)， 所以线段MP的中点在定直线x＝0上. 1 2 3 4 因为PN⊥l， 1 2 3 4 所以x＝2或8， 1 2 3 4 (1)求曲线C的方程； 将等式两边平方后化简得x2＋y2＝1. 1 2 3 4 1 2 3 4 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 1 2 3 4 所以x1x2＋y1y2＝0⇒x1x2＋(kx1＋m)·(kx2＋m)＝0， 化简得(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0， 1 2 3 4 圆x2＋y2＝1的圆心为(0,0)，半径为1， 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 (1)求椭圆C的标准方程； 1 2 3 4 设椭圆C的半焦距为c>0， 1 2 3 4 (2)当直线l的斜率为k(k≠0)时，在x轴上是否存在一点P(异于点F)，使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由. 由(1)可得F(1,0)， 根据题意可设直线l：y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(m,0)(m≠1)， 消去y得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 则Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k2－12)＝144(k2＋1)>0， 1 2 3 4 1 2 3 4 ① 由题意可知x轴为直线PA与直线PB的对称轴， 因为k≠0，可得(x1－1)(x2－m)＋(x1－m)(x2－1)＝0， 整理得2x1x2－(m＋1)(x1＋x2)＋2m＝0， ② 1 2 3 4 解得m＝4， 所以存在点P，使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等，此时P(4,0). 1 2 3 4 (1)求双曲线C的渐近线方程； 设|F1F2|＝2c， 因为AF1⊥F1F2，∠AF2F1＝30°， 1 2 3 4 1 2 3 4 (2)设D为双曲线C的右顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以EF为直径的圆经过点D，且DG⊥EF于G，证明：存在定点H，使|GH|为定值. 设E(x1，y1)，F(x2，y2). ①当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋m， 化简得(2－k2)x2－2kmx－(m2＋8)＝0， 则Δ＝(－2km)2＋4(m2＋8)(2－k2)>0， 1 2 3 4 1 2 3 4 即m2－4k2＋8>0， ＝(x1－2)(x2－2)＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0， 所以(k2＋1)x1x2＋(km－2)(x1＋x2)＋m2＋4 化简得m2－4km－12k2＝(m＋2k)(m－6k)＝0， 所以m＝－2k或m＝6k，且均满足m2－4k2＋8>0. 当m＝－2k时，直线l的方程为y＝k(x－2)，直线 过定点(2,0)，与已知矛盾； 当m＝6k时，直线l的方程为y＝k(x＋6)，过定点M(－6,0). ②当直线l的斜率不存在时， 由对称性，不妨设直线DE：y＝x－2， 1 2 3 4 得x＝2(舍去)或x＝－6，此时直线l过定点M(－6,0). 综上，直线l过定点M(－6,0). 因为DG⊥EF， 所以点G在以DM为直径的圆上，H为该圆圆心， |GH|为该圆半径，且|GH|＝4， 所以存在定点H(－2,0)，使|GH|为定值4. 1 2 3 4 所以直线l的斜率为， 所以直线l的方程为y－2＝(x－x0)， 设P(x0，y0)，则y＝4x0， 所以y0＝2， 对y＝2两边求导得y′＝， 所以线段MP的中点为， (2)若点P的坐标为(2,2)，试判断M，Q，N三点是否共线. 所以直线PF：y＝2(x－1)， 直线PN：y＝－(x－4). 由得2x2－5x＋2＝0， 若P(2,2)，则M(－2,0). 所以kMP＝，kPF＝2， 所以kPN＝－， 因为M(－2,0)，Q，N(8，－4)， 所以kMQ＝－，kMN＝－，所以M，Q，N三点共线. 所以x＝或2，所以Q， 由得x2－10x＋16＝0， 所以N(8，－4). 2.(2023·石家庄模拟)已知E(，0)，F，点A满足|AE|＝|AF|，点A的轨迹为曲线C. 设A(x，y)，因为|AE|＝|AF|， 所以＝×， (2)若直线l：y＝kx＋m与双曲线：－＝1交于M，N两点，且∠MON＝(O为坐标原点)，求点A到直线l距离的取值范围. 即m2＋9>4k2且k≠±， 将直线l：y＝kx＋m与双曲线－＝1联立， 得⇒(4k2－9)x2＋8kmx＋4m2＋36＝0， 所以有 把x1＋x2＝－，x1x2＝代入， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝， 因为∠MON＝， 所以⊥，即·＝0， 圆心(0,0)到直线l：y＝kx＋m的距离d＝＝＝>1， 得(k2＋1)·＋km·＋m2＝0，化简得m2＝， 因为m2＋9>4k2且k≠±， 所以有＋9>4k2且k≠±，解得k≠±， 所以点A到直线l距离的最大值为＋1，最小值为－1， 所以点A到直线l距离的取值范围为. 3.(2023·首都师大附中模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时，|AB|＝3. 由题意可得解得 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. 联立方程 则kPA＋kPB＝＋＝0， 可得＋＝0， 可得x1＋x2＝，x1x2＝， 将①代入②得－＋2m＝0， 4.(2023·莆田模拟)已知双曲线C：－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A在双曲线C上，且AF1⊥x轴，∠AF2F1＝30°. 所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x. 所以|AF1|＝c，|AF2|＝c. 因为|AF2|－|AF1|＝c＝2a＝4，所以c＝2. 所以b＝＝2， 由(1)知双曲线C的方程为－＝1， 联立方程 因为·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2 且 ＝(k2＋1)·＋(km－2)·＋m2＋4＝0， 联立方程 $