第一章 §1.3 等式性质与不等式性质（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（人教B版）

第一章 §1.3　等式性质与不等式性质 1.掌握等式性质. 2.会比较两个数的大小. 3.理解不等式的性质，并能简单应用. 课标要求 内容索引 第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型 课时精练 第一部分 落实主干知识 1.两个实数比较大小的方法 作差法 (a，b∈R). a－b>0⇔a b， a－b＝0⇔a b， a－b<0⇔a b > < ＝ 知识梳理 5 2.等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么 ； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么 ； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么 . b＝a a＝c 知识梳理 3.不等式的性质 性质1　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质2　可乘性：a>b，c>0⇒ ； 性质3　可乘性：a>b，c<0⇒ ； 性质4　传递性：a>b，b>c⇒ ； 性质5　对称性：a>b⇔ ； ac>bc ac<bc a>c b<a 知识梳理 推论1　a＋b>c⇒a>c－b； 推论2　同向可加性：a>b，c>d⇒ ； 推论3　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ ； 推论4　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)； 推论5　a>b>0⇒ . a＋c>b＋d ac>bd 知识梳理 不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 常用结论 (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ②假分数的性质 常用结论 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种. (　　) (2)若 >1，则b>a.(　　) (3)同向不等式具有可加性和可乘性.(　　) (4)若 ，则b<a.(　　) × √ × × 自主诊断 2.已知非零实数a，b满足a<b，则下列不等式中一定成立的是 √ 自主诊断 对于A，当a<b<0时，不等式无意义，故A错误； 对于B，当a<0<b时， ，故B错误； 对于C，当a<b<0时，a2>b2，故C错误； 对于D，当a<b时，a3<b3成立，故D正确. 自主诊断 3.已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)， 糖水变甜了.请将这一事实表示成一个不等式为_________. 自主诊断 ∵b>a>0，m>0，∴a－b<0， 自主诊断 4.已知2<a<3，－2<b<－1，则a＋2b的取值范围为________. (－2,1) 因为－2<b<－1，所以－4<2b<－2，又2<a<3，所以－2<a＋2b<1. 返回 自主诊断 第二部分 探究核心题型 题型一　数(式)的大小比较 例1　(1)(多选)下列不等式中正确的是 A.x2－2x>－3(x∈R) B.a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R) C.a2＋b2>2(a－b－1) √ √ ∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0， ∴x2－2x>－3，故A正确； a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a) ＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b). ∵(a－b)2≥0，a＋b的符号不确定， ∴a3＋b3与a2b＋ab2的大小不确定，故B错误； ∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0， ∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误； (2)若正实数a，b，c满足c<cb<ca<1，则 A.aa<ab<ba B.aa<ba<ab C.ab<aa<ba D.ab<ba<aa √ ∵c是正实数，且c<1，∴0<c<1， 由c<cb<ca<1，得0<a<b<1， ∴ab<aa， 比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论. (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论. (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小. 思维升华 跟踪训练1　(1)若ln a>ln b，则 √ 因为ln a>ln b，所以a>b>0， 因为a－b>0，函数y＝xa－b在(0，＋∞)上单调递增， 所以πa－b>3a－b，故C错误； 其中a－b>0，ab＋1>0，ab>0， M>N ∴M>N. 显然f(x)是R上的减函数， ∴f(2 023)>f(2 024)，即M>N. 例2　(1)若实数a，b满足a<b<0，则 题型二　不等式的基本性质 √ 由a<b<0，可得a＋b<0，故A错误； 由a<b<0，可得a－b<0，故B正确； 由a<b<0，可得－a>－b>0，所以|a|>|b|，故C错误； 由a<b<0，可得|a|>|b|>0， (2)(多选)已知a，b，c为实数，则下列说法正确的是 A.若a>b，则ac2>bc2 B.若a>b，则a＋c>b＋c √ √ √ 当c＝0时，ac2＝bc2，故A错误； 由不等式的可加性可知，B正确； 若a>b>c>0，则a－b>0，b＋c>0， 若a>b>c>0，则a－b>0，a－c>0，b－c>0，且a－c>a－b， 又b>c>0， 判断不等式的常用方法 (1)利用不等式的性质逐个验证. (2)利用特殊值法排除错误选项. (3)作差法. (4)构造函数，利用函数的单调性. 思维升华 跟踪训练2　(1)设a，b，c，d为实数，且c<d，则“a<b”是“a－c<b－d”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 由a<b不能推出a－c<b－d，如a＝2，b＝3，c＝0，d＝1， 满足a<b，但是a－c＝b－d，故充分性不成立； 当a－c<b－d时，又c<d，可得a－c＋c<b－d＋d，即a<b，故必要性成立， 所以“a<b”是“a－c<b－d”的必要不充分条件. (2)(多选)若a>b>0，则下列不等式中正确的是 A. B.－a2<－ab C.ln|a－1|>ln|b－1| D.2a－b>1 √ √ √ 因为a>b>0，－a<0，所以－a2<－ab，故B正确； 因为a－b>0，所以2a－b>20＝1，故D正确. 例3　(1)已知0<x<5，－1<y<1，则x－2y的取值范围是 A.2<x－2y<3 B.－2<x－2y<3 C.2<x－2y<7 D.－2<x－2y<7 √ 题型三　不等式性质的综合应用 因为－1<y<1，所以－2<－2y<2， 又0<x<5，所以－2<x－2y<7. 若将条件改为“－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1”，求x－2y的范围. 延伸探究 设x－2y＝m(x＋y)＋n(x－y)， ∴x－2y＝(m＋n)x＋(m－n)y， ∵－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1， 即－4≤x－2y≤2. (2)为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群.已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该微信群人数的最小值为 A.20 B.22 C.26 D.28 √ 设教师人数为x，家长人数为y，女学生人数为z，男学生人数为t，x，y，z，t∈N＋， 则y≥x＋1，z≥y＋1≥x＋2，t≥z＋1≥y＋2≥x＋3，则x＋y＋z＋t≥4x＋6， 又教师人数的两倍多于男学生人数， ∴2x>x＋3，解得x>3， 当x＝4时，x＋y＋z＋t≥22，此时微信群人数的最小值为22. 利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点 (1)必须严格运用不等式的性质. (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 思维升华 跟踪训练3　(1)(多选)已知1≤a≤2,3≤b≤5，则 A.a＋b的取值范围为[4,7] B.b－a的取值范围为[2,3] C.ab的取值范围为[3,10] √ √ 因为1≤a≤2,3≤b≤5， 所以4≤a＋b≤7，－2≤－a≤－1,1≤b－a≤4， 所以a＋b的取值范围为[4,7]，b－a的取值范围为[1,4]， 故A正确，B错误； 因为1≤a≤2,3≤b≤5， √ 原式分子和分母同时除以x， 返回 课时精练 一、单项选择题 1.已知a，b∈R，则“ ”是“ln a>ln b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 知识过关 若“ln a>ln b”，则a>b>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.m≥n B.m>n C.m≤n D.m<n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 当且仅当a＝b＝1时，等号成立， 即m≥n. 3.已知a>b，则下列不等式一定成立的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 取a＝1，b＝－2，满足a>b，显然有 ，a2<b2，|a|<|b|成立，即选 项A，C，D都不正确； 指数函数y＝2x为增函数，若a>b，则必有2a>2b，B正确. 4.已知a<b<c，a＋b＋c＝0，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 因为a<b<c，a＋b＋c＝0，所以a<0<c，b的符号不能确定，当b＝0时，ab＝b2，故A项错误； 因为a<b，c>0，所以ac<bc，故B项错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.若c>b>a>0，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2ln b＝ln b2，ln a＋ln c＝ln ac，b2与ac大小不能确定，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令c＝1，则logac＝logbc＝0，故D错误. 6.已知m5＝4，n8＝9，0.9p＝0.8，则正数m，n，p的大小关系为 A.p>m>n B.m>n>p C.m>p>n D.p>n>m √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由m5＝4，得m＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由n8＝9，得n＝ ， 由0.9p＝0.8，得p＝log0.90.8>log0.90.81＝2， 于是得p>m>n， 所以正数m，n，p的大小关系为p>m>n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二、多项选择题 7.下列结论中不正确的是 A.若ac2>bc2，则a>b B.若 ，则a>b C.若a>b，c>d，则ac>bd D.若2a－b>1，则a<b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ ac2>bc2，不等式两边除以c2(c≠0)，则a>b，故A正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 取a＝1，b＝0，c＝0，d＝－1，满足a>b，c>d，又ac＝bd，故C错误； 取a＝2，b＝1，满足2a－b>1， 又a>b，故D错误. 8.已知实数x，y满足－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，则 A.－1<x<2 B.－2<y<1 C.－3<x＋y<3 D.－1<x－y<3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 因为－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，所以－2<4x－2y<8， 则－5<5x<10，即－1<x<2，故A正确； 又－4<－2x－4y<6，－1<2x－y<4， 所以－5<－5y<10，即－2<y<1，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 三、填空题 9.已知a>0，－1<b<0，则a，ab，ab2由小到大依次排列是___________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ab<ab2<a 因为a>0，－1<b<0， 所以ab<0,0<b2<1,0<ab2<a， 故ab<ab2<a. 10.若a，b同时满足下列两个条件： ①a＋b>ab；② . 请写出一组a，b的值__________________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a＝－1，b＝2(答案不唯一) 容易发现，若将①式转化为②式，需使(a＋b)ab<0， 即a＋b与ab异号，显然应使a＋b>0，ab<0， 当a<0，b>0时，要使a＋b>0，则|a|<|b|，可取a＝－1，b＝2； 当a>0，b<0时，要使a＋b>0，则|a|>|b|，可取a＝2，b＝－1. 综上，取任意两个异号的实数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.若－1<a＋b<3,2<a－b<4，t＝2a＋b，则a的取值范围为________；t的 取值范围为__________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵－1<a＋b<3,2<a－b<4， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知a>b>c,2a＋b＋c＝0，则 的取值范围是____________. (－3，－1) 因为a>b>c,2a＋b＋c＝0，故a>0，c<0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 四、解答题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵c<d<0，∴－c>－d>0， 又a>b>0， ∴a－c>b－d>0，b－a<0，c－d<0， 又e<0， 14.已知实数a，b满足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4. (1)求实数a的取值范围； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，得－4≤(a＋b)＋(a－b)≤6， 故实数a的取值范围为[－2,3]. (2)求3a－2b的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设3a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)＝(m＋n)a＋(m－n)b， ∵－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4. ∴－4≤3a－2b≤11，即3a－2b的取值范围为[－4,11]. 15.(多选)已知实数a，b，c满足a>b>c，且abc＝1，则下列说法正确的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 能力拓展 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(2023·湖北黄石二中模拟)购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，分两次购买这种物品，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则________种购物策略比较经济. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 乙 设第一次和第二次购物时价格分别为p1元/千克，p2元/千克， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 比较两次购物的平均价格 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 则甲策略的平均价格不小于乙策略的平均价格，所以用乙购物策略比较经济. ＝  > ①a>b，ab>0⇒<； ②a<b<0⇒>； ③a>b>0,0<c<d⇒>； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. <，>(b－m>0)； >，<(b－m>0). > A.ln a<ln b B.> C.a2<b2 D.a3<b3 < < <. 证明：－＝＝， ∴<0，∴<. D.若a>b>0，则a2－b2>－ a2－b2－＝(a－b)(a＋b)－ ＝(a－b)>0，故选项D正确. ∵＝aa－b>1， ∵＝a,0<<1，a>0， ∴a<1，即aa<ba，综上可知，ab<aa<ba. A.> B.< C.πa－b<3a－b D.a－b>－ －＝＝<0， 所以<，故A错误； －＝ ＝，无法确定符号，故B错误； a－b－＝a－b－＝a－b＋ ＝(a－b)＝， 所以a－b－>0，a－b>－，故D正确. (2)已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________. ＝>0. 方法一　∵M－N＝－ ＝ ＝ 方法二　令f(x)＝ ＝＝＋， A.a＋b>0 B.a－b<0 C.|a|<|b| D.> 所以<，故D错误. C.若a>b>c>0，则> D.若a>b>c>0，则> ∴－＝＝>0， ∴>，故C正确； ∴>>0， 由可乘性知，>，故D正确. < 因为a>b>0，>0，所以>，即<，故A正确； 若a＝，b＝，ln|a－1|＝ln|b－1|＝ln ，故C不正确； ∴解得 ∴x－2y＝－(x＋y)＋(x－y)， ∴－1≤－(x＋y)≤，－3≤(x－y)≤， ∴－4≤－(x＋y)＋(x－y)≤2， D.的取值范围为 所以3≤ab≤10，≤≤，≤≤， 所以ab的取值范围为[3,10]，的取值范围为，故C正确，D错误. (2)已知2<x<4，－3<y<－1，则的取值范围是 A. B. C. D. 所以<1－<4，所以<<. 得＝， 由条件得2<－2y<6，<<， 所以<－<，即<－<3，  > 若“>”，取a＝1，b＝0，但是ln b无意义， 所以由“>”推不出“ln a>ln b”， 所以>， 所以由“ln a>ln b”可推出“> ”， 所以“>”是“ln a>ln b”的必要不充分条件. 2.已知a>0，b>0，设m＝a－2＋2，n＝2－b，则 由题意可知，m－n＝a－2＋2－2＋b＝(－1)2＋(－1)2≥0， A.< B.2a>2b C.a2>b2 D.|a|>|b| > A.ab<b2 B.ac>bc C.< D.<1 因为a<0<c，所以<，故C项正确； 因为a<b，所以－a>－b，所以c－a>c－b>0，所以>1，故D项错误. A.abbc>acbb B.2ln b<ln a＋ln c C.a－>b－ D.logac>logbc 由于＝ab－cbc－b＝b－c>1，所以abbc>acbb成立，故A正确； 由于a－－＝(a－b)<0，故C错误； 因此，＝ >1， <， 即>m>n， < 取a＝－1，b＝1，满足<，又a<b，故B错误；  x＋y＝∈(－2,2)，故C错误；  x－y＝∈(－1,3)，故D正确. > ∴1<2a<7，即<a<， 又t＝2a＋b＝(a＋b)＋(a－b)， ∴－＋1<(a＋b)＋(a－b)<＋2， 即t∈. 所以<0,1>>，2＋＋＝0，所以＝－－2， 所以有1>－2－>， 解不等式得－3<<－1， 故的取值范围是(－3，－1). 13.(1)设a>b>0，比较与的大小； ∵a>b>0，∴>0，>0， ∴＝＝1＋>1， ∴>. (2)已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>. ∴－＝＝＝>0， ∴>. a＝[(a＋b)＋(a－b)]， ∴－2≤[(a＋b)＋(a－b)]≤3，即－2≤a≤3， 则解得 ∴3a－2b＝(a＋b)＋(a－b)， ∴－≤(a＋b)≤1，－≤(a－b)≤10， A.(a＋c)2> B.< C.a2>b2 D.(a2b－1)(ab2－1)>0 对A，根据abc＝1可得＝ac，故(a＋c)2>，即(a＋c)2>ac，即a2＋ac＋c2>0.因为a2＋ac＋c2＝2＋>0恒成立，故(a＋c)2>成立，故A正确； 对B，因为a>b>c，故a－c>b－c>0，故<成立，故B正确； 对C，当a＝，b＝－1，c＝－2时，满足a>b>c且abc＝1，但a2>b2不成立，故C错误； 对D，因为abc＝1，(a2b－1)(ab2－1)＝＝，因为a>b>c，故>0，故D正确. 按甲策略，每次购n千克，按这种策略购物时，两次的平均价格x＝  ＝(元/千克)， 按乙策略，第一次花m元钱，能购买千克物品，第二次仍花m元钱，能购买千克物品， 两次购物的平均价格y＝＝(元/千克)，  x－y＝－＝－＝＝≥0， $