第二章 §2.8 对数与对数函数（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（人教A提高版）

null 第二章 §2.8　对数与对数函数 1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点. 3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数. 课标要求 内容索引 第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型 课时精练 第一部分 落实主干知识 1.对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数. 以10为底的对数叫做常用对数，记作 . 以e为底的对数叫做自然对数，记作 . x＝logaN a N lg N ln N 知识梳理 5 2.对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝ ，logaa＝ ， ＝ (a>0，且a≠1，N>0). (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝ ； ② ＝ ； ③logaMn＝ (n∈R). (3)对数换底公式：logab＝ (a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). 0 1 N logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM 知识梳理 3.对数函数的图象与性质   a>1 0<a<1 图象     定义域 __________ 值域 ____ (0，＋∞) R 知识梳理   a>1 0<a<1 性质 过定点 ，即x＝1时，y＝0 当x>1时， ；当0<x<1时， _____ 当x>1时， ；当0<x<1时， _____ 函数 函数 (1,0) y>0 y<0 y<0 y>0 增 减 知识梳理 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝ (a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 对称. logax y＝x 知识梳理 1.logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)， ＝ logab(a>0，且a≠1，b>0) 2.如图，给出4个对数函数的图象. 则b>a>1>d>c>0，即在第一象限内，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大. 常用结论 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若M＝N，则logaM＝logaN.(　　) (2)函数y＝loga2x(a>0，且a≠1)是对数函数.(　　) (3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)是增函数.(　　) × × × (4)函数y＝log2x与y＝ 的图象关于x轴对称.(　　) √ 自主诊断 2.(2023·雅安模拟)已知xlog32＝1，则4x等于 √ 所以4x＝ ＝9. 自主诊断 3.函数f(x)＝loga|x|＋1(a>1)的图象大致为 √ 自主诊断 f(x)＝loga|x|＋1的定义域为{x|x≠0}， 因为f(－x)＝loga|－x|＋1＝loga|x|＋1＝f(x)， 所以f(x)是偶函数， 当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝logax＋1(a>1)单调递增. 结合选项可知选A. 自主诊断 4.已知函数y＝loga(x－1)＋4的图象恒过定点P，则点P的坐标是 . 对于函数y＝loga(x－1)＋4， 令x－1＝1，解得x＝2，则y＝4， 所以函数y＝loga(x－1)＋4的图象恒过定点(2,4)，即点P的坐标是(2,4). (2,4) 返回 自主诊断 第二部分 探究核心题型 题型一　对数式的运算 45 由3a＝5b＝m，可知m>0，显然m≠1. 所以m＝45. (2)计算：log535＋ － －log514＝ . ＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2. 2 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简. (2)将同底对数的和、差、倍合并. (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用. 思维升华 跟踪训练1　(1)若a>0， ＝ ，则 等于 A.2 B.3 C.4 D.5 √ 所以 ＝3. (2)计算：lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2＝ . 原式＝2lg 5＋lg 2(1＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 5＋lg 2＋lg 2×lg 5＋(lg 2)2 ＝1＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2) ＝1＋lg 5＋lg 2＝1＋lg 10＝2. 2 题型二　对数函数的图象及应用 例2　(1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是 A.0<a－1<b<1 B.0<b<a－1<1 C.0<b－1<a<1 D.0<a－1<b－1<1 √ 由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1. 函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)， 由函数图象可知－1<logab<0， 综上，0<a－1<b<1. (2)(2023·开封模拟)已知函数f(x)＝|log3x|，若a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋4b的取值范围是 √ 画出f(x)＝|log3x|的图象如图所示， 因为a<b，且f(a)＝f(b)， 所以－log3a＝log3b， 故a＋4b的取值范围是(5，＋∞). 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 思维升华 跟踪训练2　(1)(2024·乌鲁木齐检测)我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数f(x)＝ax与g(x)＝ (a>0且 a≠1)在同一坐标系中的大致图象是 √ (2)(2023·德州模拟)若函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1，b∈R)的大致图象如图，则函数g(x)＝a－x－b的大致图象是 √ 根据函数f(x)＝loga(x＋b)的图象，可得0<a<1,0<b<1， 根据指数函数y＝a－x(0<a<1)的图象与性质， 结合图象变换向下移动b个单位长度，可得函数g(x)＝a－x－b的图象大致为C选项. 题型三　对数函数的性质及应用 命题点1　比较对数式的大小 例3　(2023·西安模拟)若a＝lg 0.2，b＝log32，c＝log64，则关于a，b，c的大小关系，下列说法正确的是 A.c>b>a B.b>c>a C.c>a>b D.a>b>c √ ∵a＝lg 0.2<lg 1＝0， b＝log32>0，c＝log64>0， ∴b<c，即c>b>a. 命题点2　解对数方程、不等式 例4　(2023·中山模拟)设实数a>0，则“2a>2”是“ >0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 由2a>2，可得a>1. 命题点3　对数函数的性质及应用 例5　(2023·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x) √ 由f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|， 又f(－x)＝ln|1－2x|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)， ∴f(x)为定义域上的奇函数，故排除A，C； 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成. 思维升华 跟踪训练3　(1)(2023·宜宾模拟)已知函数f(x)＝log2(x2－2x)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是 A.[2，＋∞) B.[1，＋∞) C.(－∞，1] D.(－∞，0] √ 由题意得，x2－2x>0⇒x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)， 而函数y＝x2－2x的对称轴为x＝1， 所以函数y＝x2－2x在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 根据复合函数单调性“同增异减”的原则，函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)， 又因为函数f(x)在(a，＋∞)上单调递增， 所以a∈[2，＋∞). √ 可知0<a<1. 返回 课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 一、单项选择题 √ 知识过关 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f(log28)等于 A.－1 B.1 C.2 D.3 √ 依题意，函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函数，即函数y＝ax的图象过点(1,3)， 则a＝3，所以f(x)＝log3x， 于是得f(log28)＝log3(log28)＝log33＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.若 <0，则x1与x2的关系正确的是 A.0<x2<x1<1 B.0<x1<x2<1 C.1<x1<x2 D.1<x2<x1 √ 因为 <0， 所以log0.8x2<log0.8x1<0＝log0.81， 又因为y＝log0.8x在(0，＋∞)上单调递减， 所以1<x1<x2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知函数f(x)＝loga(x－b)(a>0，且a≠1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是 A.a>0，b<－1 B.a>0，－1<b<0 C.0<a<1，b<－1 D.0<a<1，－1<b<0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为函数f(x)＝loga(x－b)为减函数， 所以0<a<1， 又因为函数图象与x轴的交点在正半轴， 所以令x－b＝1，则x＝1＋b>0，即b>－1， 又因为函数图象与y轴有交点， 所以b<0，所以－1<b<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(2024·通化模拟)设a＝log0.14，b＝log504，则 A.2ab<2(a＋b)<ab B.2ab<a＋b<4ab C.ab<a＋b<2ab D.2ab<a＋b<ab √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a＝log0.14，b＝log504， 所以a<0，b>0，所以ab<0， 所以2ab<a＋b<ab. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(2023·本溪模拟)若不等式(x－1)2<logax(a>0且a≠1)在x∈(1,2]内恒成立，则实数a的取值范围为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若0<a<1，此时x∈(1,2]，logax<0，而(x－1)2>0， 故(x－1)2<logax无解； 若a>1，此时x∈(1,2]，logax>0，而(x－1)2>0， 令f(x)＝logax，g(x)＝(x－1)2， 画出函数f(x)与g(x)的图象，如图， 若不等式(x－1)2<logax在x∈(1,2]内恒成立， 则loga2>1，解得a∈(1,2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二、多项选择题 7.(2024·永州模拟)若10a＝5，10b＝20，则 A.a＋b＝4 B.b－a＝lg 4 C.ab<2(lg 5)2 D.b－a>lg 5 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由10a＝5，10b＝20， 得a＝lg 5，b＝lg 20， 则a＋b＝lg 5＋lg 20＝lg(5×20)＝lg 100＝2，故A错误； ab＝lg 5×lg 20＝lg 5×(lg 4＋lg 5)＝lg 5×lg 4＋(lg 5)2， ∵lg 4<lg 5， ∴lg 5×lg 4＋(lg 5)2<lg 5×lg 5＋(lg 5)2＝2(lg 5)2， ∴ab<2(lg 5)2，故C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.(2023·吕梁模拟)已知函数f(x)＝ 若x1<x2<x3<x4，且f(x1) ＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是 A.x1＋x2＝－4 B.x3x4＝1 C.1<x4<4 D.0<x1x2x3x4≤2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t，则0<t<4， 则直线y＝t与函数y＝f(x)图象的4个交点横坐标分别为x1，x2，x3，x4. 对于A，函数y＝－x2－4x的图象关于直线x＝－2对称，则x1＋x2＝－4，故A正确； 对于B，由图象可知|log2x3|＝|log2x4|，且0<x3<1<x4， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以－log2x3＝log2x4，即log2(x3x4)＝0，所 以x3x4＝1，故B正确； 对于C，由图象可知log2x4∈(0,4)，则1<x4< 16，故C错误； 对于D，由图象可知－4<x1<－2， 当x≤0时，f(x)＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4， 所以x1x2x3x4＝x1(－4－x1)＝－ －4x1＝－(x1＋2)2＋4＝f(x1)∈(0,4)，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 三、填空题 9.计算：lg 25＋ lg 8－log227×log32＋ ＝ . 原式＝2lg 5＋2lg 2－3log23×log32＋3＝2(lg 5＋lg 2)－3＋3＝2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(2023·绍兴模拟)已知函数f(x)满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，且当x>y时，f(x)< f(y)，请你写出一个符合上述条件的函数f(x)＝ . 对于函数f(x)＝ ， (答案不唯一) f(x)＋f(y)＝ ＝f(xy)， 且当x>y时，f(x)<f(y)， 所以函数f(x)＝ 满足条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.设p>0，q>0，若log4p＝log6q＝log9(2p＋q)，则 ＝ . 令log4p＝log6q＝log9(2p＋q)＝k， 则p＝4k，q＝6k,2p＋q＝9k， 所以2p＋q＝2·4k＋6k＝9k， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(2023·龙岩模拟)已知函数y＝f(x)，若在定义域内存在实数x，使得f(－x)＝－f(x)，则称函数y＝f(x)为定义域上的局部奇函数.若函数f(x)＝log3(x＋m)是[－2,2]上的局部奇函数，则实数m的取值范围是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f(x)＝log3(x＋m)是[－2,2]上的局部奇函数， 所以x＋m>0在[－2,2]上恒成立， 所以m－2>0，即m>2， 由局部奇函数的定义，存在x∈[－2,2]， 使得log3(－x＋m)＝－log3(x＋m)， 即log3(－x＋m)＋log3(x＋m)＝log3(m2－x2)＝0，所以存在x∈[－2,2]， 使得m2－x2＝1，即m2＝x2＋1， 又因为x∈[－2,2]，所以x2＋1∈[1,5]， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以m2∈[1,5]， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 四、解答题 13.已知f(x)＝ . (1)若a＝2，求f(x)的值域； 当a＝2时，f(x)＝ ， 令t＝x2－2x＋10＝(x－1)2＋9， ∴t≥9，f(x)≤ ＝－2， ∴f(x)的值域为(－∞，－2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围. 令u＝x2－ax＋5a， ∵y＝ 为减函数，f(x)在(1，＋∞)上单调递减， ∴u＝x2－ax＋5a在(1，＋∞)上单调递增， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(2024·株洲模拟)已知函数f(x)＝log9(9x＋1)－kx(k∈R)是偶函数. (1)求k的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为9x＋1>0，所以f(x)的定义域为R， 又因为f(x)是偶函数， 所以∀x∈R，有f(－x)＝f(x)， 即log9(9－x＋1)＋kx＝log9(9x＋1)－kx对∀x∈R恒成立， 即x(2k－1)＝0对∀x∈R恒成立， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令t＝3x，且t>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即方程m＝t2－t＋1在(0，＋∞)上有两个不相等的 实数解， 令g(t)＝t2－t＋1， 则y＝m与y＝g(t)在(0，＋∞)上有两个交点，如图所示， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知正实数x，y，z满足log2x＝log3y＝log5z≠0，则 A.x>y>z B.x<y<z C.x，y，z可能构成等比数列 D.关于x，y，z的方程x＋y＝z有且只有一组解 √ 能力拓展 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令log2x＝log3y＝log5z＝t≠0， 则x＝2t，y＝3t，z＝5t， 令g(k)＝kt， 由幂函数图象的性质可知， 当t>0时，g(k)＝kt在(0，＋∞)上单调递增，故2t<3t<5t，即x<y<z， 当t<0时，g(k)＝kt在(0，＋∞)上单调递减，故2t>3t>5t，即x>y>z， 故A，B不一定正确； 假设x，y，z成等比数列， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则y2＝xz⇒(3t)2＝2t·5t⇒9t＝10t， 则t＝0，与已知矛盾，故C错误； 注意到f(1)＝0，故f(t)只有一个零点， 所以x＋y＝z只有一组解x＝2，y＝3，z＝5，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(2023·潍坊模拟)已知函数f(x)＝logax－( )x－loga2(a>1)有两个零点， 则实数a的取值范围是 . 由题知，x>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则y＝logat与y＝at的图象在(0，＋∞)上有两个交点， 又y＝logat与y＝at互为反函数，所以交点在直线y＝t上， 设y＝logat，y＝at的图象与直线y＝t相切时，切点坐标为(m，n)，m>0， 所以当a＝ 时，y＝logat和y＝at只有一个交点，如图1； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当a> 时，y＝logat和y＝at无交点，如图2； 当1<a< 时，y＝logat和y＝at有两个交点，如图3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综上，a的取值范围为 . 返回 loga A.9 B.3 C. D.  xlog32＝1，即x＝＝log23， 例1　(1)(2024·洛阳模拟)已知3a＝5b＝m，且＋＝1，则实数m的值为 . 则a＝log3m＝，b＝log5m＝， 所以＝，＝， 由＋＝1，可得＝＝logm45＝1， ＝log5＋ log5 原式＝log535－log5－log514＋ 而a>0，解得a＝3， 由 ＝，得a2＝6， 解得<b<1. A.[2，＋∞) B.(2，＋∞) C.[5，＋∞) D.(5，＋∞) 故＝b，且0<a<1， 令y＝a＋4b，所以y＝a＋， 由对勾函数的性质可知y＝a＋在(0,1)上单调递减， 故y＝a＋>1＋＝5， 对于A，由指数函数的图象，可得a>1，则0<<1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故A错误； 对于B，由指数函数的图象，可得0<a<1，则>1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故B错误； 对于C，由指数函数的图象，可得a>1，则0<<1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故C正确； 对于D，由指数函数的图象，可得a>1，则0<<1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故D错误. ＝＝＝×＝<1， loga 由loga>0， 可得loga>loga1， ∴或 解得a>1或0<a<. 因此“2a>2”是“loga>0”的充分不必要条件. A.是偶函数，且在上单调递增 B.是奇函数，且在上单调递减 C.是偶函数，且在上单调递增 D.是奇函数，且在上单调递减 得f(x)的定义域为，关于坐标原点对称， 当x∈时，f(x)＝ln(2x＋1)－ln(1－2x)， ∵y＝ln(2x＋1)在上单调递增，y＝ln(1－2x)在上单调递减， ∴f(x)在上单调递增，故排除B； 当x∈时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln ＝ln， ∵u＝1＋在上单调递减，f(u)＝ln u在(0，＋∞)上单调递增， 根据复合函数单调性可知f(x)在上单调递减，故D正确. (2)若函数f(x)＝loga有最大值，则a的取值范围为 A. B. C. D.(1,2) 要使函数t＝x2－2ax＋a－1有最小正值， 令t＝x2－2ax＋a－1， 根据复合函数的单调性，要使函数f(x)＝loga有最大值， 则函数t＝x2－2ax＋a－1有最小正值，且函数f(t)＝logat为减函数， 则Δ＝4a2－4<0， 解得<a<2. 综上，a的取值范围为. 1.(2023·哈尔滨模拟)函数y＝的定义域为 A.[1，＋∞) B. C. D. 函数y＝的定义域满足 即解得<x≤1， 故函数的定义域为. ＋＝log40.1＋log450＝log45∈(1,2)， 即1<＋<2， A.(1,2] B.(1,2) C.(1，] D.(，2) b－a＝lg 20－lg 5＝lg ＝lg 4<lg 5，故B正确，D错误； 函数f(x)＝的图象如图所示，  x   整理得2·2＋k＝1， 解得＝(负值舍去)，所以＝＝＝. (2，] 即m∈[－，－1]∪[1，]， 综上，m∈(2，]. ∴解得－≤a≤2， ∴a的取值范围是. 则2kx＝log9(9x＋1)－log9(9－x＋1)＝log9＝log99x＝x对∀x∈R恒成立， 因为x不恒为0，所以k＝. (2)若方程f(x)＝log9有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围. 由(1)得f(x)＝log9(9x＋1)－x＝log9(9x＋1)－ ＝log9 ＝log9， 则方程f(x)＝log9有两个不相等的实数解等价于方程log9＝log9有两个不相等的实数解， 所以方程3x＋＝＋1有两个不相等的实数解， 方程化为t＋＝＋1， 又g(t)在上单调递减，在上单调递增， 所以g(t)≥g＝，且g(0)＝1，所以m∈. 因为x＋y＝z，则2t＋3t＝5t，即t＋t＝1， 令f(t)＝t＋t－1，由指数函数的性质可知f(t)为减函数， 即t＋t＝1只有一个解t＝1，  f(x)＝logax－()x－loga2＝loga－ ， 令t＝，t>0， 则解得m＝e， 又＝1，所以a＝ >1， $