第二章 §2.2 函数的单调性与最值（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（人教A提高版）

第二章 §2.2　函数的单调性与最值 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义. 2.掌握函数单调性的简单应用. 课标要求 内容索引 第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型 课时精练 第一部分 落实主干知识 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义   增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有 ，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有 ，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 知识梳理 5   增函数 减函数 图象描述   自左向右看图象是上升的   自左向右看图象是下降的 知识梳理 6 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上　　　　　或　　　　　，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间. 单调递增 单调递减 知识梳理 7 2.函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有 ； (2)∃x0∈D，使得_________ (1)∀x∈D，都有 ； (2)∃x0∈D，使得_________ 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 f(x)≤M f(x0)＝M f(x)≥M f(x0)＝M 知识梳理 8 1.∀x1，x2∈I且x1≠x2，有 >0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔ f(x)在区间I上单调递增(减). 2.在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数. 3.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝ 的单调性相反. 4.复合函数的单调性：同增异减. 常用结论 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数f(x)满足f(－3)<f(2)，则f(x)在[－3,2]上单调递增.(　　) (2)若函数f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间为(－2,3). (　　) (3)若函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值. (　　) (4)函数y＝ 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　　) × × × √ 自主诊断 2.下列函数中，在其定义域上是减函数的是 A.y＝－2x＋1 B.y＝x2＋1 C.y＝ D.y＝2x y＝－2x＋1在R上是减函数，故A正确； y＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错误； y＝ 在[0，＋∞)上是增函数，故C错误； y＝2x在R上是增函数，故D错误. √ 自主诊断 √ 自主诊断 4.函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则满足f(2x－1)>  的x的取值 范围是________. ∵f(x)的定义域是[0，＋∞)， 又∵f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数， 返回 自主诊断 第二部分 探究核心题型 题型一　确定函数的单调性 命题点1　函数单调性的判断 例1　(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是 √ √ √ 由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确； ∵y′＝2－2sin x≥0， ∴y＝2x＋2cos x是R上的增函数，故C正确； 函数y＝lg(x＋1)是定义域(－1，＋∞)上的增函数，故D正确. 命题点2　利用定义证明函数的单调性 方法一　定义法 设－1<x1<x2<1， 由于－1<x1<x2<1， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增. 方法二　导数法 故当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增. 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法.(2)导数法.(3)图象法.(4)性质法. 思维升华 跟踪训练1　(1)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为 √ g(x)＝x·|x－1|＋1 画出函数图象，如图所示， (2)(2024·唐山模拟)函数f(x)＝ 的单调递增区间为 ____________. 令t＝2x2－3x－2>0， 由f(t)＝ 在(0，＋∞)上单调递减， 根据复合函数的单调性：同增异减，函数t＝2x2－3x－2的单调递减区间，即为f(x)的单调递增区间， 题型二　函数单调性的应用 命题点1　比较函数值的大小 √ 所以f(x)在(－∞，0]上单调递减， 又f(x)为偶函数， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 则f(2)<f(3)<f(4)， 又f(－2)＝f(2)，所以f(－2)<f(3)<f(4). 命题点2　求函数的最值 √ 求函数的值域(最值)的常用方法 (1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题. (2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域. (3)数形结合法. (4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”. (5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式. 微拓展 典例　(多选)下列函数中，值域正确的是 A.当x∈[0,3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2,6) √ √ √ 对于A，(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2， 由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6). 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞). 对于D，函数的定义域为[1，＋∞)， 命题点3　解函数不等式 例5　函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)<f(2a)，则实数a的取值范围是________. 所以实数a的取值范围是[－1,1). [－1,1) 命题点4　求参数的取值范围 √ (1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. (2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值. 思维升华 A.(－2,1) B.(0,1) C.(－∞，－2)∪(1，＋∞) D.(1，＋∞) √ 则不等式f(x＋2)<f(x2＋2x)等价于x＋2<x2＋2x，即x2＋x－2>0， 解得x>1或x<－2， 则原不等式的解集为(－∞，－2)∪(1，＋∞). ∵f(x)在(a，＋∞)上单调递增， [1,2) 返回 课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 一、单项选择题 1.(2023·菏泽检测)下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是 √ 知识过关 y＝－x2＋1在区间(0,1)上单调递减，故A不符合题意； y＝3－x在区间(0,1)上单调递减，故D不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为 A.(－∞，2] B.[2，＋∞) C.[0,2] D.[0，＋∞) √ ∴函数y＝|x－2|的单调递减区间是(－∞，2]，单调递增区间为[2，＋∞)， ∴f(x)＝－|x－2|的单调递减区间是[2，＋∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(2024·邵阳统考)已知f(x)是偶函数，f(x)在[1,3]上单调递增，则f(1)，f(－2)，f(－3)的大小关系为 A.f(1)>f(－2)>f(－3) B.f(－2)>f(－3)>f(1) C.f(－3)>f(1)>f(－2) D.f(－3)>f(－2)>f(1) √ 因为f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3). 因为f(x)在[1,3]上单调递增， 所以f(3)>f(2)>f(1)， 所以f(－3)>f(－2)>f(1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∴f(x)max＝f(2)＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(2023·杭州模拟)已知函数f(x)＝x＋ln x－1，则不等式f(x)<0的解集为 A.(e，＋∞) B.(1，＋∞) C.(0,1) D.(0，＋∞) √ 函数f(x)＝x＋ln x－1的定义域为(0，＋∞). 因为y＝x－1在(0，＋∞)上单调递增，y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增， 所以f(x)＝x＋ln x－1在(0，＋∞)上单调递增， 又f(1)＝1＋ln 1－1＝0， 所以不等式f(x)<0的解集为(0,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有 >－1，则下列说法正确的是 A.y＝f(x)＋x是增函数 B.y＝f(x)＋x是减函数 C.y＝f(x)是增函数 D.y＝f(x)是减函数 不妨令x1<x2，∴x1－x2<0， √ 令g(x)＝f(x)＋x，∴g(x1)<g(x2)， 又x1<x2，∴g(x)＝f(x)＋x是增函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二、多项选择题 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于B，由二次函数的性质可知，y＝x2在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.(2023·广州联考)已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝ 在区间[1，＋∞)上一定 A.单调递减 B.单调递增 C.有最小值 D.有最大值 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值， ∴函数图象的对称轴应当位于区间(－∞，1)内， 由a<1,1≤x1<x2，有x1－x2<0，x1x2>1>0，x1x2－a>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 三、填空题 要使函数f(x)有意义，则－x2＋2x＋3≥0，解得－1≤x≤3， 令y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，根据复合函数的单调性可知， 函数f(x)的单调递增区间为[－1,1]. [－1,1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(2023·松原联考)已知函数f(x)＝2x－2－x，则不等式f(3x－1)<f(1－x)的 解集为___________. 函数y＝2x与y＝－2－x均在R上是增函数， 故f(x)在R上是增函数， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知命题p：“若f(x)<f(4)对任意的x∈(0,4)都成立，则f(x)在(0,4)上单调递增”.能说明命题p为假命题的一个函数是_______________________ ____________________________________________. 由题意知，令f(x)＝(x－1)2， 满足f(x)<f(4)对任意的x∈(0,4)都成立， 但函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,4)上单调递增， 所以函数f(x)＝(x－1)2可以说明命题p为假命题. f(x)＝(x－1)2(答案不唯 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(2023·临川一中模拟)已知函数f(x)＝loga(x2－ax＋3)在[0,1]上单调递减，则实数a的取值范围是________. [2,4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 函数f(x)＝loga(x2－ax＋3)在[0,1]上单调递减， 而函数u＝x2－ax＋3在区间[0,1]上不单调，因此0<a<1不符合题意； 当a>1时，函数y＝logau在(0，＋∞)上单调递增， 由复合函数的单调性，得函数u＝x2－ax＋3在区间[0,1]上单调递减， 所以实数a的取值范围是[2,4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 四、解答题 (1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(x)，g(x)的图象如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，试判断M(x)在区间(－∞，a]上的单调性. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)及M(x)的定义得，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0,2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减， 所以当a≤0时，M(x)在(－∞，a]上单调递减； 当0<a≤2时，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，a]上单调递增； 当a>2时，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0,2]上单调递增，在[2，a]上单调递减. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明：在R上任取x1，x2且x1<x2， f(x1)－f(x2)＝ 由x1<x2可知 所以 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). 即f(x)在R上是增函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)解关于t的不等式f(t2－3)＋f(2t)<0. 所以函数f(x)为奇函数， 由(1)知，函数f(x)在R上是增函数， 由f(t2－3)＋f(2t)<0，可得f(t2－3)<－f(2t)＝f(－2t)， 所以t2－3<－2t，即t2＋2t－3<0， 解得－3<t<1， 即关于t的不等式f(t2－3)＋f(2t)<0的解集为{t|－3<t<1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 能力拓展 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得y＝f(x)为偶函数，且在(－∞，0)上单调递减， 故y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 因为f(2ax)<f(2x2＋1)， 故f(|2ax|)<f(2x2＋1)， 所以|2ax|<2x2＋1， 当x＝0时，|0|<1恒成立，满足要求， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (－∞，0] (2,4] 解得a＝4或a＝－4(舍去)， 又f(－1)＝2，f(0)＝f(4)＝0，所以2<t≤4； 当a≤0时，f(x)在[－1，t)上单调递减，则f(x)在[－1，t)上的最大值为f(－1)＝2，不符合题意， 所以实数t的取值范围为(2,4]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回       3.(2023·宜春统考)函数y＝－在区间[1,2]上的最大值为 A.－ B.－ C.－1 D.不存在  y＝－在(－1，＋∞)上单调递增，则y＝－在区间[1,2]上单调递增， 所以ymax＝－＝－. ∴2x－1<，即x<，则x的取值范围为.  f  ∴2x－1≥0，即x≥， A.y＝x－ B.y＝|x2－2x| C.y＝2x＋2cos x D.y＝lg(x＋1) ∵y＝x与y＝－在(0，＋∞)上单调递增，∴y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，故A正确； 例2　试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性. 因为f(x)＝a＝a， 所以f(x1)－f(x2)＝a－a＝，  f′(x)＝＝＝－. A. B. C.[1，＋∞) D.∪[1，＋∞) ＝ 根据图象知，函数的单调递减区间为. 解得x>2或x<－， 则f(x)的定义域为∪(2，＋∞)， 再结合f(x)的定义域可知，f(x)的单调递增区间为. 例3　(2023·湘潭统考)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈ (－∞，0](x1≠x2)，有<0，则 A.f(－2)<f(3)<f(4) B.f(－2)>f(3)>f(4) C.f(3)<f(4)<f(－2) D.f(4)<f(－2)<f(3) 因为对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有<0， 例4　(2023·四川外国语大学附中模拟)函数f(x)＝x－＋1在[1,4]上的值域为 A. B.[0,1] C. D. 故值域为. 由y＝x在[1,4]上单调递增，且y＝在[1,4]上单调递减， 可得f(x)＝x－＋1在[1,4]上单调递增， 又f(1)＝0，f(4)＝， B.函数y＝的值域为R C.函数y＝2x－的值域为 D.函数y＝＋的值域为[，＋∞) 对于B，(分离常数法)y＝＝＝2＋  ，显然≠0，∴y≠2. 对于C，(换元法)设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0，∴y＝2(t2＋1)－t＝22＋， 由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为. ∵y＝与y＝在[1，＋∞)上均单调递增，∴y＝＋在[1，＋∞)上为增函数， ∴当x＝1时，ymin＝， 即函数的值域为[，＋∞). 依题意得⇒－1≤a<1. 例6　(2024·恩施模拟)已知函数f(x)＝满足：对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，都有>0成立，则实数a的取值范围是 A.[2，＋∞) B. C. D.[1,2] 所以实数a的取值范围是. 对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，都有>0成立， 所以函数f(x)＝在R上是增函数， 所以解得<a≤1， 跟踪训练2　(1)已知函数f(x)＝则不等式f(x＋2)<f(x2＋2x)的解集是 由函数f(x)＝的图象(图略)可得f(x)在R上是增函数， (2)若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________.  f(x)＝＝＝1＋， ∴⇒1≤a<2. A.y＝－x2＋1 B.y＝ C.y＝ D.y＝3－x  y＝是[0，＋∞)上的增函数，所以在区间(0,1)上单调递增，故B符合题意；  y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以在区间(0,1)上单调递减，故C不符合题意； ∵y＝|x－2|＝ 4.已知函数f(x)＝，则f(x)在区间[2,6]上的最大值为 A. B.3 C.4 D.5 ∵f(x)＝＝2＋在[2,6]上单调递减，   ∵>－1⇔f(x1)－f(x2)<－(x1－x2)⇔f(x1)＋x1<f(x2)＋x2， 7.下列说法中，正确的是 A.若对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，>0，则y＝f(x)在I上单调递增 B.函数y＝x2在R上是增函数 C.函数y＝－在定义域上是增函数 D.函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞) 对于A，若对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，>0，则有f(x1)<f(x2)，由函数单调性的定义可知y＝f(x)在I上单调递增，故A正确； 对于C，由反比例函数单调性可知，y＝－在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增，故C错误； 对于D，由反比例函数单调性可知，y＝的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，故D正确.   ∴a<1，g(x)＝＝x＋－2a(x≥1)， 任取1≤x1<x2，g(x1)－g(x2)＝x1＋－x2－＝x1－x2＋＝(x1－  x2)， 所以g(x)＝x＋－2a在区间[1，＋∞)上单调递增，函数的最小值为  g(1)＝1－a，无最大值. 9.函数f(x)＝的单调递增区间为________.  f(3x－1)<f(1－x)等价于3x－1<1－x，得x<. 一，如f(x)＝只要满足题意即可) 当0<a<1时，x2－ax＋3＝2＋3－≥3－>0恒成立， 因此≥1，并且12－a×1＋3>0，解得2≤a<4， 13.(2023·昆明统考)给定函数f(x)＝x，g(x)＝－x2＋4x＋1，x∈R. 14.(2023·重庆联考)已知f(x)＝(x∈R).  f(x)＝＝1－在R上是增函数. 易知f(－x)＝＝＝－f(x)， 15.(多选)(2024·长沙模拟)已知函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且对于y＝f(x)(x∈R)，当x1，x2∈(－∞，0)且x1≠x2时，<0恒成立，若  f(2ax)<f(2x2＋1)对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围可以是 A.(－，－1) B. C.[0，) D.(，＋∞) 当x≠0时，|2a|<＝2|x|＋在x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)上恒成立， 其中2|x|＋≥2＝2，当且仅当2|x|＝，即|x|＝时，等号成立， 故|2a|<2，解得－<a<， 综上，a的取值范围为－<a<， A选项，由于(－，－1)⊆(－，)，A正确； B选项，⊆(－，)，B正确； C选项，[0，)⊆(－，)，C正确； D选项，(，＋∞)显然不是(－，)的子集，D错误. 16.已知函数f(x)＝若对任意x1，x2∈R，且x1≠x2都有 <0，则实数a的取值范围为__________；若f(x)在[－1，t)上的值域为[0,4]，则实数t的取值范围为______. 若对任意x1，x2∈R，且x1≠x2都有<0， 则f(x)在R上是减函数，则≤0，即a≤0，所以实数a的取值范围为(－∞，0]； 当a>0时，若f(x)在[－1，t)上的值域为[0,4]，则f ＝－＝4， $