第九章 必刷大题18 统计与统计案例（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（北师大版 皖赣桂豫陕）

第九章 必刷大题18　统计与统计案例 1.某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩(满分100分)，得到了样本的频率分布直方图(如图). 一般学校认为成绩大于等于80分的学生为优秀. (1)根据频率分布直方图，估计3 000名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生数； 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 由样本的频率分布直方图可知， 在该次数学考试中成绩优秀的频率是 (0.020＋0.008)×10＝0.28， 则估计3 000名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生有3 000×0.28＝840(名). 1 2 3 4 5 6 (2)依据样本的频率分布直方图，估计总体成绩的众数和平均数(每组数据以所在区间的中点值为代表). 平均数为0.002×10×35＋0.006×10× 45＋0.012×10×55＋0.024×10×65＋0.028×10×75＋0.020×10×85＋0.008 ×10×95＝71.2. 所以估计总体成绩的众数为75，平均数为71.2. 1 2 3 4 5 6 2.(2024·海南模拟)实验发现，猴痘病毒与天花病毒有共同抗原，两者之间有很强的血清交叉反应和交叉免疫，故猴痘流行的时候可接种牛痘疫苗预防.某医学研究机构对120个接种与未接种牛痘疫苗的密切接触者进行医学观察后，统计了感染病毒情况，得到下面的2×2列联表：   感染猴痘病毒 未感染猴痘病毒 未接种牛痘疫苗 20 30 已接种牛痘疫苗 10 60 (1)根据上表，分别估计在未接种牛痘疫苗和已接种牛痘疫苗的情况下，感染猴痘病毒的概率； 1 2 3 4 5 6   感染猴痘病毒 未感染猴痘病毒 未接种牛痘疫苗 20 30 已接种牛痘疫苗 10 60 1 2 3 4 5 6 (2)是否有99%的把握认为密切接触者未感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗有关？ 1 2 3 4 5 6   感染猴痘病毒 未感染猴痘病毒 未接种牛痘疫苗 20 30 已接种牛痘疫苗 10 60 1 2 3 4 5 6 列联表如表所示：   感染猴痘病毒 未感染猴痘病毒 总计 未接种牛痘疫苗 20 30 50 已接种牛痘疫苗 10 60 70 总计 30 90 120 所以有99%的把握认为密切接触者未感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗有关. 1 2 3 4 5 6 3.(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据： 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 1 2 3 4 5 6 (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 1 2 3 4 5 6 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06 m2，平均一棵的材积量为0.39 m3. 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 1 2 3 4 5 6 (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)； 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值. 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 1 2 3 4 5 6 设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3， 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比， 解得Y＝1 209. 则该林区这种树木的总材积量的估计值为1 209 m3. 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 4.(2024·沧州模拟)“绿水青山就是金山银山”的口号已经深入民心，人们对环境的保护意识日益增强，质检部门也会不时地对一些企业的生产污染情况进行排查，并作出相应的处理，本次排查了30个企业，共查出510个污染点，其中造成污染点前10名的企业分别造成的污染点数为58,36,36,35,33,32,28,26,24,22. (1)求这30个企业造成污染点的80%分位数； 1 2 3 4 5 6 根据定义可得，此30个数据从小到大排列，且30×80%＝24， 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 (2)已知造成污染点前10名的企业的方差为92.4，其他20个企业造成污染点的方差为44.7，求这30个企业造成污染点的总体方差. 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 所以这30个企业造成污染点的总体方差为188.6. 5.某网红奶茶品牌公司计划在W市某区开设加盟分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的5个区域的数据作了初步处理后得到下列表格，记X表示在5个区域开设分店的个数，Y表示这X个分店的年收入之和. 1 2 3 4 5 6 X(个) 2 3 4 5 6 Y(十万元) 2.5 3 4 4.5 6 (1)该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合Y与X的关系，求Y关于X的线性回归方程； 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 ∴Y关于X的线性回归方程为Y＝0.85X＋0.6. 1 2 3 4 5 6 (2)如果该公司最终决定在该区选择两个合适的地段各开设一个分店，根据市场调查得到如下统计数据，第一分店每天的顾客平均为30人，其中 5人会购买该品牌奶茶，第二分店每天的顾客平均为80人，其中20人会购买该品牌奶茶.是否有90%的把握认为两个店的顾客下单率有差异？ X(个) 2 3 4 5 6 Y(十万元) 2.5 3 4 4.5 6 由题意可知2×2列联表如表所示： 1 2 3 4 5 6   不下单 下单 总计 分店一 25 5 30 分店二 60 20 80 总计 85 25 110 ∴没有90%的把握认为两个店的顾客下单率有差异. 1 2 3 4 5 6 6.(2023·福州模拟)国内某大学想了解本校学生的运动状况，采用简单随机抽样的方法从全校学生中抽取2 000人，调查他们平均每天运动的时间(单位：小时)，统计表明该校学生平均每天运动的时间范围是[0,3]，记平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，少于2小时的学生为“非运动达人”.整理分析数据得到的列联表如表所示(单位：人)： 性别 运动时间 “运动达人” “非运动达人” 总计 男生 1 100 300 1 400 女生 400 200 600 总计 1 500 500 2 000 1 2 3 4 5 6 根据列联表中的数据，算得χ2≈31.746，所以有99%的把握认为运动时间与性别有关. (1)如果将表中所有数据都缩小为原来的 ，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断运动时间与性别之间的关联性，结论还一样吗？请用统计语言解释其中的原因； 性别 运动时间 “运动达人” “非运动达人” 总计 男生 1 100 300 1 400 女生 400 200 600 总计 1 500 500 2 000 1 2 3 4 5 6 性别 运动时间 “运动达人” “非运动达人” 总计 男生 1 100 300 1 400 女生 400 200 600 总计 1 500 500 2 000 方法一　改变数据之后的列联表为 1 2 3 4 5 6 性别 运动时间 “运动达人” “非运动达人” 总计 男生 110 30 140 女生 40 20 60 总计 150 50 200 则没有99%的把握认为运动时间与性别有关. 与之前结论不一样， 1 2 3 4 5 6 当样本容量越大，用样本估计总体的准确性会越高. 则没有99%的把握认为运动时间与性别有关. 1 2 3 4 5 6 当样本容量越大，用样本估计总体的准确性会越高. 1 2 3 4 5 6 (2)采用分层随机抽样的方法抽取20名同学，并统计每位同学的运动时间，统计数据为男生运动时间的平均数为2.5，方差为1；女生运动时间的平均数为1.5，方差为0.5，求这20名同学运动时间的均值与方差. 性别 运动时间 “运动达人” “非运动达人” 总计 男生 1 100 300 1 400 女生 400 200 600 总计 1 500 500 2 000 1 2 3 4 5 6 所以这20名同学运动时间的均值为2.2，方差为1.06. 由样本的频率分布直方图可知，估计总体成绩的众数为＝75， 由题意可知，估计未接种牛痘疫苗者感染猴痘病毒的概率为P1＝＝， 已接种牛痘疫苗者感染猴痘病毒的概率为P2＝＝. 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. 则χ2＝≈10.286>6.635， 并计算得x＝0.038，y＝1.615 8，xiyi＝0.247 4. 样本中10棵这种树木的材积量的平均值＝＝0.39(m3)， 样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值＝＝0.06(m2)， 附：样本相关系数r＝＝，≈1.377. ＝ ＝≈≈0.97. r＝ 可得＝， 所以这30个企业造成污染的80%分位数是第24个数据与第25个数据的平均数，即前10名中第六名与第七名数据的平均数，即＝30. 把剩下10个数据记为y1，y2，…，y10，其平均数记为，方差记为s； 把总样本数据的平均数记为，方差记为s2.  ＝×(58＋36＋36＋35＋33＋32＋28＋26＋24＋22)＝×330＝33， 则＝×(510－330)＝9， 按照企业造成的污染点数从小到大排列，记为x1，x2，…，x20，其平均数记为，方差记为s； 由题意可知，＝＝17， s2＝×{20[s＋(－)2]＋10[s＋(－)2]} 代入数据可得s2＝×{20×[44.7＋(9－17)2]＋10×[92.4＋(33－17)2]}＝188.6， 由题知s＝44.7，s＝92.4， 参考公式：＝，＝－；χ2＝. iyi＝2×2.5＋3×3＋4×4＋5×4.5＋6×6＝88.5， ＝22＋32＋42＋52＋62＝90， 设Y关于X的线性回归方程为Y＝X＋， 由题意可得，＝＝4，＝＝4， ＝－＝4－0.85×4＝0.6， 则＝＝＝0.85， ∴χ2＝＝≈0.863<2.706， 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 则调整后的χ2＝＝≈3.175<6.635. 方法二　调整后的χ2＝ ＝＝≈3.175<6.635， 原因是每个数据都缩小为原来的，相当于样本容量缩小为原来的，导致推断结论发生了变化， 与之前结论不一样，原因是每个数据都缩小为原来的，相当于样本容量缩小为原来的，导致推断结论发生了变化， 由已知男生运动时间的平均数为＝2.5，样本方差为s＝1； 女生运动时间的平均数为＝1.5，样本方差为s＝0.5. 记样本均值为，则＝＝2.2， 记样本方差为s2，则s2＝＝1.06， 男生抽取×20＝14(人)，女生抽取×20＝6(人)， $