第二章 §2.7 指数运算与指数函数（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（北师大版 皖赣桂豫陕）

null 第二章 §2.7　指数运算与指数函数 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象. 3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用. 课标要求 内容索引 第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型 课时精练 第一部分 落实主干知识 1.分数指数幂 (1)正分数指数幂 给定 数a和正 数m，n(n>1，且m，n互素)，若存在唯一的 数b，使得 ，则称b为a的 次幂，记作b＝___.这就是正分数指数幂. (2)负分数指数幂 给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，定义 ＝_____＝____， 这就是负分数指数幂. 正 整 正 bn＝am 知识梳理 5 2.无理数指数幂 一般地，给定正数a，对于任意的正无理数α，可以定义一个实数aα，自 然地，规定a－α＝___. 3.指数幂的运算性质 aαaβ＝ ；(aα)β＝ ；(ab)α＝ (a>0，b>0，α，β∈R). 4.指数函数及其性质 (1)定义：给定正数a，且a≠1时，对于任意的实数x，都有 的正数y＝ax与之对应，因此y＝ax是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数. aα＋β aαβ aαbα 唯一确定 知识梳理 (2)指数函数的图象与性质   a>1 0<a<1 图象     定义域 R 值域 _________ (0，＋∞) 知识梳理   a>1 0<a<1 性质 过定点 ，即x＝0时，y＝1 当x>0时， ；当x<0时，______ 当x<0时， ；当x>0时，______ 在R上是_______ 在R上是_______ (0,1) y>1 0<y<1 y>1 0<y<1 增函数 减函数 知识梳理 2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大. 常用结论 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)　　　 ＝－4.(　　) (2)2a·2b＝2ab.(　　) (3)指数函数y＝ax与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称.(　　) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　) × × × √ 自主诊断 2.已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于 A.不确定 B.0 C.1 D.2 √ 由函数y＝a·2x是指数函数，得a＝1， 由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1. 自主诊断 3.已知关于x的不等式 ≥3－2x，则该不等式的解集为 A.[－4，＋∞) B.(－4，＋∞) C.(－∞，－4) D.(－4,1] √ 由于y＝3x是增函数， 所以4－x≥－2x，解得x≥－4， 所以原不等式的解集为[－4，＋∞). 自主诊断 ＝－4＋1＋0.5×16＝5. 5 返回 自主诊断 第二部分 探究核心题型 题型一　指数幂的运算 例1　计算： 原式＝ ＝6×3＝18. (1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加. ②运算的先后顺序. (2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 思维升华 跟踪训练1　(多选)下列计算正确的是 √ √ 对于B， ＝－9a(a>0，b> 0)，所以B正确； 对于D，因为(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝4，所以x＋x－1＝±2，所以D错误. 题型二　指数函数的图象及应用 例2　(1)(多选)已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为 A.a＝b B.0<b<a C.a<b<0 D.0<a<b √ √ √ 由题意，在同一平面直角坐标系内分别画出函数 y＝3x和y＝6x的图象，如图所示， 由图象知，当a＝b＝0时，3a＝6b＝1，故选项A 正确； 作出直线y＝k，当k>1时，若3a＝6b＝k，则0<b<a，故选项B正确； 作出直线y＝m，当0<m<1时，若3a＝6b＝m，则a<b<0，故选项C正确； 当0<a<b时，易得2b>1，则3a<3b<2b·3b＝6b，故选项D错误. (2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________. 在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的 图象，如图所示. ∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函 数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点. ∴实数b的取值范围是(0,2). (0,2) 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 思维升华 跟踪训练2　(多选)已知函数f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象不经过第三象限，则a，b的取值范围可能为 A.0<a<1，b<0 B.0<a<1,0<b≤1 C.a>1，b<0 D.a>1,0<b≤1 √ √ √ 若0<a<1，则函数y＝ax的图象如图所示， 要想f(x)＝ax－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，或向下平移不超过1个单位长度，故－b>0或－1≤－b<0，解得b<0或0<b≤1，故A，B正确； 若a>1，则函数y＝ax的图象如图所示，要想f(x)＝ax－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，故－b >0，解得b<0，即C正确，D错误. 题型三　指数函数的性质及应用 命题点1　比较指数式的大小 √ 所以b<c<1，所以b<c<a. 命题点2　解简单的指数方程或不等式 例4　已知p：ax<1(a>1)，q：2x＋1－x<2，则p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ ∵ax<1，当a>1时，y＝ax是增函数， ∴p：{x|x<0}. 对于不等式2x＋1<x＋2， 作出函数y＝2x＋1与y＝x＋2的图象，如图所示. 由图象可知，不等式2x＋1<x＋2的解集为{x|－1<x<0}， ∴q：{x|－1<x<0}. 又∵{x|－1<x<0}⊆{x|x<0}， ∴p是q的必要不充分条件. 命题点3　指数函数性质的综合应用 例5　已知函数f(x)＝ (a为常数，且a≠0，a∈R)是奇函数. (1)求a的值； 因为f(x)是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)， (2)若∀x∈[1,2]，都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围. 由(1)知a＝－1， 令t＝2x，t∈[2,4]， (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量. (2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断. 思维升华 跟踪训练3　(1)(多选)(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝ ，则下列结论正确的是 A.函数f(x)的定义域为R B.函数f(x)的值域为(－1,1) C.函数f(x)是奇函数 D.函数f(x)为减函数 √ √ √ 因为ex>0，所以ex＋1>0， 所以函数f(x)的定义域为R，故A正确； 所以函数f(x)的值域为(－1,1)，故B正确； 所以函数f(x)是奇函数，故C正确； 因为函数y＝ex＋1是增函数，所以y＝ex＋1>1， (2)(2023·银川模拟)函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最 小值大 ，则a的值为________. 返回 当a>1时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递增， 当 0<a<1时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递减， 课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 一、单项选择题 1.下列结论中，正确的是 √ 知识过关 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，根据分数指数幂的运算法则，可得 ，当a＝1时， ＝a；当a≠1时， ≠a，故A错误； 对于C，a＋a－1＝3，则 ＝a＋a－1＋2＝3＋2＝5，因为 a>0，所以 ＝ ，故C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知函数f(x)＝ax－a(a>1)，则函数f(x)的图象不经过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ y＝ax(a>1)是增函数，经过点(0,1)， 因为a>1， 所以函数f(x)的图象需由函数y＝ax(a>1)的图象向下平移超过1个单位长度得到， 所以函数f(x)＝ax－a的图象如图所示. 故函数f(x)的图象不经过第二象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知a＝31.2，b＝1.20，c＝ ，则a，b，c的大小关系是 A.a<c<b B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a √ 且y＝3x为增函数，1.2>0.9>0， 所以31.2>30.9>30＝1，即a>c>b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(2023·新高考全国Ⅰ)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是 A.(－∞，－2] B.[－2,0) C.(0,2] D.[2，＋∞) √ 函数y＝2x在R上是增函数，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减， 所以a的取值范围是[2，＋∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(2023·潍坊模拟)“关于x的方程a(2|x|＋1)＝2|x|没有实数解”的一个必要不充分条件是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a(2|x|＋1)＝2|x|， 因为2|x|≥20＝1， 要使a(2|x|＋1)＝2|x|没有实数解， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 D为充要条件，不符合要求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(2024·辽源模拟)已知函数f(x)＝2x－2－x＋1，若f(a2)＋f(a－2)>2，则实数a的取值范围是 A.(－∞，1) B.(－2,1) C.(－∞，－2)∪(1，＋∞) D.(－1,2) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令g(x)＝2x－2－x，定义域为R，且g(－x)＝－g(x)， 所以函数g(x)是奇函数，且是增函数， 因为f(x)＝g(x)＋1，f(a2)＋f(a－2)>2， 则g(a2)＋g(a－2)>0，即g(a2)>－g(a－2)， 又因为g(x)是奇函数， 所以g(a2)>g(2－a)， 又因为g(x)是增函数，所以a2>2－a， 解得a<－2或a>1，故实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二、多项选择题 7.已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(a<b)，则 A.2a＋2b>2 B.∃a，b∈R，使得0<a＋b<1 C.2a＋2b＝2 D.a＋b<0 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示. 由图知1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2，故A错误， C正确； 所以2a＋b<1，则a＋b<0，故B错误，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为y＝ex是增函数，y＝ex>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f(x)是减函数， 所以y＝f(x)与y＝n最多有1个交点， 故f(x)－n＝0最多有一个实数根， 即不存在实数n，使得关于x的方程f(x)－n＝0有两个不相等的实数根，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 三、填空题 原式＝ 9. ＝________. 81 ＝2－1＋8＋(23×32)＝81. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(2023·福州模拟)写出一个同时具备下列性质的函数f(x)＝______________. ①f(x＋1)＝f(x)f(1)；②f′(x)<0. ∵f(x＋1)＝f(x)f(1)是加变乘， ∴考虑指数函数类型， 又f′(x)<0，∴f(x)是减函数， ∴f(x)＝e－x满足要求. e－x(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知函数f(x)＝ 有最大值3，则a的值为________. 1 令g(x)＝ax2－4x＋3， ∵f(x)有最大值3，∴g(x)有最小值－1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(2024·宁波模拟)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)＝－f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”.设f(x)＝3x＋m－1(m∈R，m≠0)是 定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是_________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f(x)＝3x＋m－1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”， ∴存在x0∈[－1,1]满足f(－x0)＝－f(x0)， ∴ ＋m－1＝ －m＋1， ∴2m＝ ＋2， 构造函数y＝ ＋2，x0∈[－1,1]， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴当t＝1时，函数取得最大值0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 四、解答题 13.如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2. 当a>1时，因为x∈[－1,1]， 所以ymax＝(a＋1)2－2＝14， 解得a＝3或a＝－5(舍去)； 当0<a<1时，因为x∈[－1,1]， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求a，b的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数， 又因为f(－x)＝－f(x)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x≠0时，有b·2x＋1＝b＋2x， 即(b－1)(2x－1)＝0， 又因为当x≠0时，有2x－1≠0， 所以b－1＝0，所以b＝1. 经检验符合题意，所以a＝1，b＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)判断f(x)的单调性； 因为y＝1＋2x为增函数，且1＋2x>0，则函数f(x)是减函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)若存在t∈[0,4]，使f(k＋t2)＋f(4t－2t2)<0成立，求实数k的取值范围. 因为存在t∈[0,4]，使f(k＋t2)＋f(4t－2t2)<0成立，且函数f(x)是定义在R上的奇函数， 所以不等式可转化为f(k＋t2)<f(2t2－4t)， 又因为函数f(x)是减函数，所以k＋t2>2t2－4t，所以k>t2－4t， 令g(t)＝t2－4t＝(t－2)2－4， 由题意可知，问题等价转化为k>g(t)min， 又因为g(t)min＝g(2)＝－4，所以k>－4， 即实数k的取值范围为(－4，＋∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.b>c>a B.c>b>a C.c>a>b D.a>b>c √ 能力拓展 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为y＝(cos α)x在(0,1)上单调递减， 故c＝(cos α)cos α>(cos α)sin α＝a； 因为幂函数y＝xcos α在(0,1)上单调递增， 故c＝(cos α)cos α<(sin α)cos α＝b，故b>c>a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由e1－2m＋2－2m＝en－1＋n，得e1－2m＋(1－2m)＝en－1＋(n－1)， 令f(x)＝ex＋x，则原等式为f(1－2m)＝f(n－1)，显然函数f(x)为增函数， 于是1－2m＝n－1，即2m＋n＝2， 而m>0，n>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 1.指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，. x－4 不等式x－4≥3－2x，即34－x≥3－2x， 4.(2023·福州质检)＋0＋　　 ×－4＝________. ＋0＋ ×－4 ＝ －2× －2＋ (1)0.5－2× －2×0＋－2； ＝－2×－2＋＝－－2＋＝－. 原式＝ －2× －2＋2 (2)2×3×. A.＝ B. C.＝ D.已知x2＋x－2＝2，则x＋x－1＝2 对于A，＝＝ ＝≠，所以A错误； 对于C，＝ ＝，所以C正确； 例3　(2024·海口模拟)已知a＝1.30.6，b＝－0.4，c＝0.3，则 A.c<b<a B.a<b<c C.c<a<b D.b<c<a a＝1.30.6>1.30＝1，b＝－0.4＝0.4，c＝0.3， 因为指数函数y＝x是减函数， 所以0.4<0.3<0＝1， 即＋1＝0，解得a＝－1.  f(x)＝·2x＋， 即·＋2x＝－， 所以＝0， 设y＝＋2x，则y＝t＋，t∈[2,4]， 所以f(x)＝－2x，x∈[1,2]， 所以－22x≥m， 所以m≥＋2x，x∈[1,2]， 由于y＝t＋在[2,4]上单调递增， 所以m≥4＋＝. 所以实数m的取值范围是.  f(x)＝＝1－， 由ex>0⇒ex＋1>1⇒0<<1⇒－2<－<0⇒－1<1－<1， 因为f(－x)＝＝＝＝－f(x)， 所以函数y＝是减函数，所以函数y＝－是增函数， 故f(x)＝＝1－是增函数，故D不正确. 或 解得a＝或a＝0(舍去)，综上所述，a＝或 a＝. 由题意可得，f(2)－f(1)＝a2－a＝， 解得a＝或a＝0(舍去)； 由题意可得，f(1)－f(2)＝a－a2＝， A.若a>0，则 ＝a B.若m8＝2，则m＝± C.若a＋a－1＝3，则 ＝± D.＝2－π 对于B，m8＝2，故m＝±，故B正确； 对于D，＝|2－π|＝π－2，故D错误. －0.9 因为b＝1.20＝1，c＝－0.9＝30.9， 则函数y＝x(x－a)＝2－在区间(0,1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2， A.a≤ B.a>1 C.a≤或a≥1 D.a<或a≥1 因为2|x|＋1>0，所以a＝＝1－， 所以2|x|＋1≥2,0<≤，≤1－<1， 则a<或a≥1， 由于a<或a≥1不能推出a≤，故A不成立； 由于a<或a≥1不能推出a>1，故B不成立； 由于a<或a≥1⇒a≤或a≥1，且a≤或a≥1不能推出a<或a≥1，故C正确； 由基本不等式可得2＝2a＋2b>2＝2， 8.已知函数f(x)＝m－是定义域为R的奇函数，则下列说法正确的是 A.m＝ B.函数f(x)在R上的最大值为 C.函数f(x)是减函数 D.存在实数n，使得关于x的方程f(x)－n＝0有两个不相等的实数根 因为函数f(x)＝m－是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝m－＝0， 解得m＝，此时f(x)＝－， 则f(－x)＝－＝－ ＝－＝－1＋ ＝－＝－f(x)，符合题意，故A正确； 又f(x)＝－＝－＝－， 因为ex>0，所以ex＋1>1，则0<<1， 所以－<f(x)<， 即f(x)∈，故B错误； 且y＝在(0，＋∞)上单调递减， 所以f(x)＝－是减函数，故C正确； 则f(x)＝g(x)， 则解得a＝1. 令t＝ ，t∈， 则y＝－－t＋2＝2－在上单调递增，在(1,3]上单调递减， 当t＝或t＝3时，函数取得最小值－， ∴y∈， 又∵m≠0，∴－≤2m<0，∴－≤m<0. 所以t∈， 又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增， 所以t∈， 又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增， 则ymax＝2－2＝14， 解得a＝或a＝－(舍去). 综上，a＝3或a＝. 14.已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数. 所以f(0)＝0，即＝0，所以a＝1， 所以＝－， 将a＝1代入，整理得＝， 由(1)知，函数f(x)＝＝＝－1＋， 15.(2023·深圳模拟)已知α∈，a＝(cos α)sin α，b＝(sin α)cos α，c＝ (cos α)cos α，则 已知α∈，则0<cos α<sin α<1， 16.(2023·徐州模拟)正实数m，n满足e1－2m＋2－2m＝en－1＋n，则＋的最小值为________. 因此＋＝＋＝＋＋≥2＋＝， 当且仅当＝，即m＝n＝时取等号， 所以当m＝n＝时，＋取得最小值. $