第二章 §2.3 函数的奇偶性、周期性（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（北师大版 皖赣桂豫陕）

第二章 §2.3　函数的奇偶性、周期性 1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义. 2.会依据函数的性质进行简单的应用. 课标要求 内容索引 第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型 课时精练 第一部分 落实主干知识 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D，且 ，那么称函数f(x)为偶函数 关于 对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D，且 ，那么称函数f(x)为奇函数 关于 对称 f(－x)＝f(x) y轴 f(－x)＝－f(x) 原点 知识梳理 5 2.周期性 (1)一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D，且满足 ，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的 . (2)最小正周期：如果在周期函数y＝f(x)的所有 中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f(x)的 . f(x＋T)＝f(x) 周期 周期 最小正周期 知识梳理 1.函数奇偶性常用结论 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. 2.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量x的值： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). 常用结论 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.(　　) (2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.(　　) (3)对于函数y＝f(x)，若f(－2)＝－f(2)，则函数y＝f(x)是奇函数.(　　) (4)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N＋)也是函数f(x)的一个周期.(　　) √ × × × 自主诊断 2.(2023·济南统考)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－6x，则f(－1)等于 A.－7 B.－5 C.5 　D.7 因为f(x)为奇函数， 所以f(－1)＝－f(1)＝5. √ 自主诊断 3.(2023·盐城检测)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2＋1，则f(2 024.5)等于 √ 由f(x＋2)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为2， 当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2＋1， 自主诊断 4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，其在[0，＋∞)上的图象如图所示.则不等式xf(x)>0的解集为_____________. 根据奇函数的图象关于原点对称，可得f(x)的图象如图所示. xf(x)>0即图象上点的横坐标与纵坐标同号，且均不为0. 结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2). (－2,0)∪(0,2) 返回 自主诊断 第二部分 探究核心题型 题型一　函数奇偶性的判断 例1　(1)(多选)下列函数是奇函数的是 √ √ 对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝x2－x≠±f(x)，故函数为非奇非偶函数； 对于D，函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数. (2)已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2，则函数f(x)＋2为________函数.(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) 由题意得函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称， 令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)＋2，故f(0)＝－2. 令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＋2， 故f(x)＋2＝－f(－x)－2＝－[f(－x)＋2]. 故f(x)＋2为奇函数. 奇 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数. (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立. 思维升华 跟踪训练1　(2024·哈尔滨模拟)下列函数中不具有奇偶性的是 √ A项，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－f(x)知，f(x)为奇函数； D项，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝f(x)知，f(x)为偶函数. 题型二　函数奇偶性的应用 命题点1　利用奇偶性求值(解析式) 例2　(1)设函数f(x)＝x5＋2x3＋3x＋1在区间[－2 025,2 025]上的最大值是M，最小值为m，则M＋m等于 A.0 B.2 C.1 D.3 √ 由题意知，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 令g(x)＝f(x)－1＝x5＋2x3＋3x， 则函数g(x)为奇函数， ∴g(x)在区间[－2 025,2 025]上的最大值与最小值之和为0， 即M－1＋m－1＝0， ∴M＋m＝2. (2)(2023·吕梁统考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝e－x＋2x－1，则当x≥0时，f(x)＝____________. 因为f(x)是定义在R上的奇函数， 则当x＝0时，f(0)＝0. 当x>0时，－x<0，f(x)＝－f(－x)＝－(ex－2x－1)＝－ex＋2x＋1， 又f(0)＝－e0＋2×0＋1＝0， 则当x≥0时，f(x)＝－ex＋2x＋1. －ex＋2x＋1 命题点2　利用奇偶性解不等式 例3　(2023·龙岩模拟)若定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则满足xf(x－2)<0的x的取值范围为 A.(－∞，－1)∪(2,5) B.(－∞，－1)∪(0,5) C.(－1,0)∪(2,5) D.(－1,0)∪(5，＋∞) √ 因为定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0， 所以f(x)在(－∞，0)上也单调递增，且f(－3)＝0，f(0)＝0， 所以当x∈(－∞，－3)∪(0,3)时，f(x)<0， 当x∈(－3,0)∪(3，＋∞)时，f(x)>0， 解得－1<x<0或2<x<5，即x∈(－1,0)∪(2,5). 抽象函数 抽象函数主要研究赋值求值、证明函数的性质、解不等式等，一般通过代入特殊值求值、通过f(x1)－f(x2)的变换判定单调性、出现f(x)及f(－x)判定抽象函数的奇偶性、换x为x＋T确定周期性. (1)判断抽象函数单调性的方法 ①若给出的是“和型”抽象函数f(x＋y)＝…，判断符号时要变形为f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f((x1－x2)＋x2)； 微拓展 (2)常见的抽象函数模型 ①正比例函数f(x)＝kx(k≠0)，对应f(x±y)＝f(x)±f(y)； 微拓展 ⑤正弦函数f(x)＝sin x，对应f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y)，来源于sin 2α－ sin 2β＝sin(α＋β)sin(α－β)； 微拓展 微拓展 典例　(1)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)>0，且满足f(2)＝1，则下列说法正确的是 A.f(x)为奇函数 B.f(－2)＝－1 C.不等式f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－5，＋∞) D.f(－2 024)＋f(－2 023)＋…＋f(0)＋…＋f(2 023)＋f(2 024)＝2 023 √ √ 微拓展 对于A，令x＝y＝0，可得f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0， 令y＝－x，得到f(－x)＋f(x)＝f(0)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确； 对于B，因为f(x)为奇函数， 所以f(－2)＝－f(2)＝－1，故B正确； 对于C，设x1>x2，x＝x1，y＝－x2， 可得f(x1－x2)＝f(x1)＋f(－x2)， 微拓展 所以f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)， 又因为x1>x2，所以x1－x2>0， 所以f(x1－x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以f(x)在R上单调递增，因为f(－2)＝－1， 所以f(－4)＝f(－2－2)＝2f(－2)＝－2， 由f(2x)－f(x－3)>－2， 可得f(2x)>f(x－3)＋f(－4)， 微拓展 所以f(2x)>f(x－3－4)＝f(x－7)， 所以2x>x－7，得到x>－7， 所以f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－7，＋∞)，故C错误； 对于D，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0， 所以f(－2 024)＋f(2 024)＝f(－2 023)＋f(2 023)＝…＝f(－1)＋f(1)＝0， 又f(0)＝0，故f(－2 024)＋f(－2 023)＋…＋f(0)＋…＋f(2 023)＋f(2 024) ＝0，故D错误. 微拓展 (2)已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，对任意x，y满足f(x－y)＝f(x)g(y)－g(x)f(y)，且f(－2)＝f(1)≠0，则下列说法正确的是 A.f(0)＝1 B.函数g(2x＋1)的图象关于点(1,0)对称 C.g(1)＋g(－1)＝0 D.若f(1)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝1 √ 微拓展 对于A，令x＝y＝0，代入已知等式得f(0)＝f(0)g(0)－g(0)f(0)＝0，得f(0)＝0，故A错误； 因为g(3)＝cos 2π＝1≠0，所以g(x)的图象不关于点(3,0)对称，所以 函数g(2x＋1)的图象不关于点(1,0)对称，故B错误； 微拓展 对于C，令y＝0，x＝1，代入已知等式得f(1)＝f(1)g(0)－g(1)f(0)，可得f(1)[1－g(0)]＝－g(1)f(0)＝0， 结合f(1)≠0得1－g(0)＝0，g(0)＝1， 再令x＝0，代入已知等式得 f(－y)＝f(0)g(y)－g(0)f(y)， 将f(0)＝0，g(0)＝1代入上式，得f(－y)＝－f(y)， 所以函数f(x)为奇函数. 微拓展 令x＝1，y＝－1，代入已知等式，得f(2)＝f(1)g(－1)－g(1)f(－1)， 因为f(－1)＝－f(1)，所以f(2)＝f(1)[g(－1)＋g(1)]， 又因为f(2)＝－f(－2)＝－f(1)， 所以－f(1)＝f(1)[g(－1)＋g(1)]， 因为f(1)≠0，所以g(1)＋g(－1)＝－1，故C错误； 对于D，分别令y＝－1和y＝1，代入已知等式，得以下两个等式： f(x＋1)＝f(x)g(－1)－g(x)f(－1)，f(x－1)＝f(x)g(1)－g(x)f(1)， 微拓展 两式相加易得f(x＋1)＋f(x－1)＝－f(x)， 所以f(x＋2)＋f(x)＝－f(x＋1)， 即f(x)＝－f(x＋1)－f(x＋2)， 有－f(x)＋f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)－f(x＋1)－f(x＋2)＝0，即f(x－1)＝f(x＋2)， 所以f(x)为周期函数，且一个周期为3， 因为f(1)＝1，所以f(－2)＝1， 微拓展 所以f(2)＝－f(－2)＝－1，f(3)＝f(0)＝0， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＝0， 微拓展 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 思维升华 跟踪训练2　(1)已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ex＋x＋m，则f(－1)等于 A.e B.－e C.e＋1 D.－e－1 √ 因为函数f(x)为R上的奇函数， 则f(0)＝e0＋0＋m＝0，解得m＝－1， f(－1)＝－f(1)＝－(e＋1－1)＝－e. (2)若f(x)＝sin x＋x3＋x，则不等式f(x＋1)＋f(2x)>0的解集是 √ f(x)的定义域为R，f(－x)＝sin(－x)－x3－x＝－sin x－x3－x＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数， f′(x)＝cos x＋3x2＋1>0， 所以f(x)在R上是增函数， 由f(x＋1)＋f(2x)>0， 得f(x＋1)>－f(2x)＝f(－2x)， √ 方法一　因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)， 由(2x－1)(2x＋1)>0， 此时f(x)为偶函数，符合题意. 故a＝0. 所以g(x)为奇函数. 则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0. 题型三　函数的周期性 √ 因为f(x)是定义域为R的偶函数， 所以f(－x)＝f(x)， 故f(2＋x)＝f(－x)＝f(x)， 所以f(x)的一个周期为2， (2)(2023·泸州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，且周期为3，又f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)的值是 A.2 024 B.2 023 C.1 D.0 √ 因为f(x)的周期为3， f(－1)＝1，则f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝1， 又f(0)＝－2，则f(3)＝f(0＋3)＝f(0)＝－2， 因为函数f(x)在R上的图象关于y轴对称， 所以f(x)为偶函数， 故f(1)＝f(－1)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＝0. 故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)＝675×0＝0. (1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期. (2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题. 思维升华 跟踪训练3　(多选)(2023·深圳模拟)已知非常数函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋2)＋f(x)＝0，f(－x)＝－f(x)，则 A.f(2)＝0 B.f(x＋4)为偶函数 C.f(x)为周期函数 D.f(x)的图象关于点(－4,0)对称 √ √ √ 因为f(x＋2)＋f(x)＝0， 所以f(x)＝－f(x＋2)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的一个周期是4，故C正确； 又f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数，f(0)＝0， 所以f(2)＋f(0)＝0，即f(2)＝0，故A正确； 又f(x)的一个周期为4，且为奇函数， 所以f(x＋4)为奇函数，故B不正确； 因为f(x)的图象关于(0,0)对称，所以f(x)的图象也关于点(－4,0)对称，故D正确. 返回 课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 一、单项选择题 1.(2023·宁波统考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，则f(2 024)等于 A.－1 B.0 C.1 D.2 √ 知识过关 因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(0)＝0， 又f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是周期为2的周期函数， 所以f(2 024)＝f(0)＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(2023·全国乙卷)已知f(x)＝ 是偶函数，则a等于 A.－2 B.－1 C.1 D.2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又因为x≠0，可得ex－e(a－1)x＝0， 即ex＝e(a－1)x， 则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(2023·长沙模拟)已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，且f(x)在区间[0,1]上单调递增，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是 A.f(－1)<f(0)<f(－6.5) B.f(－6.5)<f(0)<f(－1) C.f(－1)<f(－6.5)<f(0) D.f(0)<f(－6.5)<f(－1) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f(x)对于任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)， ∴f(x)的周期为2， ∵偶函数f(x)在区间[0,1]上单调递增， f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)， ∴f(0)<f(0.5)<f(1)， 即f(0)<f(－6.5)<f(－1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝ ，则下列函数中为奇函数的是 A.f(x－1)－1 B.f(x－1)＋1 C.f(x＋1)－1 D.f(x＋1)＋1 √ f(x)＝ ＝－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(2023·绍兴统考)若f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)＋g(x)＝2x，则f(0)＋g(1)等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(x)＋g(x)＝2x， ① 则f(－x)＋g(－x)＝2－x， 又f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数， ∴－f(x)＋g(x)＝2－x， ② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以f(x)为偶函数，图象关于y轴对称， 因为f(2m)<f(m＋1)，所以|m＋1|<|2m|，即(m＋1)2<(2m)2， 展开可得3m2－2m－1>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二、多项选择题 7.(2023·松原模拟)下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是 A.f(x)＝x－sin x B.f(x)＝x2cos x C.f(x)＝x＋x3 D.f(x)＝ln(2－x)－ln(x＋2) √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，f(－x)＝－x－sin(－x)＝－x＋sin x＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数， 又f′(x)＝1－cos x≥0，所以f(x)在R上单调递增，故A正确； 对于B，f(－x)＝(－x)2cos(－x)＝x2cos x＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故B错误； 对于C，显然y＝x与y＝x3在R上既是奇函数又单调递增， 所以f(x)＝x＋x3在R上既是奇函数又单调递增，故C正确； 对于D，f(－x)＝ln(2＋x)－ln(2－x)＝－f(x)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以f(x)为(－2,2)上的奇函数， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)满足 A.f(0)＝0 B.y＝f(x)为奇函数 C.f(x)在R上单调递增 D.f(x－1)＋f(x2－1)>0的解集为{x|－2<x<1} √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， 对于A，令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0，故A正确； 对于B，令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)， 所以y＝f(x)为奇函数，故B正确； 对于C，任取x1，x2∈R，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)， 因为x1<x2，所以x1－x2<0，所以f(x1－x2)>0， 即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在R上单调递减，故C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D，由f(x－1)＋f(x2－1)>0，可得f(x－1)>－f(x2－1)＝f(1－x2)， 由C知函数f(x)在R上单调递减，所以x－1<1－x2， 解得－2<x<1，所以f(x－1)＋f(x2－1)>0的解集为{x|－2<x<1}，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 三、填空题 9.(2024·太原模拟)写出一个最小正周期为3的偶函数__________________ _________. 不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由最小正周期为3的偶函数，可考虑三角函数中的余弦型函数f(x)＝Acos ωx＋b(A≠0)， 满足f(－x)＝Acos ωx＋b＝f(x)，即是偶函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝(x－1)2＋ax＋cos x＝x2＋(a－2)x＋1＋cos x， 且函数为偶函数， ∴a－2＝0，解得a＝2. 经验证，当a＝2时满足题意. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝2，则f(2 023)＋f(2 024)＝_______. －2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0， 又因为f(x＋2)为偶函数， 所以f(－x＋2)＝f(x＋2)，即f(－x)＝f(x＋4)， 对比以上两式得f(x)＝－f(x＋4)， 从而f(x)＝－f(x＋4)＝f(x＋8)， 即函数f(x)是一个周期为8的周期函数， 所以f(2 023)＋f(2 024)＝f(253×8－1)＋f(253×8)＝f(－1)＋f(0)， 又因为f(1)＝2， 所以f(2 023)＋f(2 024)＝f(－1)＋f(0)＝－f(1)＋f(0)＝－2＋0＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(2023·南昌联考)已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(6－x)＝f(－x)， 且当0<x<3时，f(x)＝2ax＋b(a>0，b>0)，若f(2 023)＝3，则 的最小值 为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为函数f(x)满足f(6－x)＝f(－x)， 所以函数f(x)的周期为6， 又因为f(2 023)＝3， 所以f(6×337＋1)＝f(1)＝3， 因为当0<x<3时，f(x)＝2ax＋b(a>0，b>0)， 则有2a＋b＝3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 四、解答题 13.(2023·银川模拟)已知函数f(x)是偶函数.当x>0时，f(x)＝logax的图象过点(3，－1). (1)求实数a的值； ∵当x>0时，f(x)＝logax的图象过点(3，－1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求函数f(x)的解析式； 设x<0，则－x>0， ∴f(－x)＝ ， 又∵f(x)为偶函数， ∴f(x)＝f(－x)＝ . 综上所述，f(x)＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)求不等式f(x)<1的解集. ∵f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(2023·潍坊模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x. (1)求f(π)的值； 由f(x＋2)＝－f(x)， 得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)， ∴f(π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当－1≤x≤3时，求f(x)的解析式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若－1≤x≤0，则0≤－x≤1，则f(－x)＝－x， ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－x＝－f(x)， 即f(x)＝x，－1≤x≤0， 即当－1≤x≤1时，f(x)＝x； 若1<x≤3，则－1<x－2≤1， ∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x)＝－f(x－2)＝－(x－2)＝2－x， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)当－4≤x≤4时，求方程f(x)＝m(－1≤m<0)的所有实根之和. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 作出函数f(x)在[－4,4]上的图象，如图， 则函数的最小值为－1， 若m＝－1，则方程f(x)＝m在[－4,4]上的解为x＝－1或x＝3，则－1＋3＝2； 若－1<m<0，则方程f(x)＝m在[－4,4]上共有4个解， 则它们分别关于直线x＝－1和直线x＝3对称， 设它们从小到大依次为a，b，c，d， 则a＋b＝－2，c＋d＝6，即a＋b＋c＋d＝－2＋6＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 能力拓展 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x>0时，因为f(x)是偶函数， 所以有f(x)＝f(－x)⇒21＋x－21－x＝m·2－x＋n·2x⇒(2x)2(2－n)＝m＋2， 当x<0时，因为f(x)是偶函数， 所以有f(x)＝f(－x)⇒21－x－21＋x＝m·2x＋n·2－x⇒(2－x)2(2－n)＝m＋2， 综上所述，m－n＝－4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则 等于 A.－3 B.－2 C.0 D.1 √ 因为f(1)＝1， 所以在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中， 令y＝1， 得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)， 所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)， ① 所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1). ② 由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0， 故f(x＋3)＋f(x)＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以f(x＋3)＝－f(x)， 所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)， 所以函数f(x)的一个周期为6. 在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中， 令x＝1，y＝0，得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)， 所以f(0)＝2. 令x＝y＝1，得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)， 所以f(2)＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由f(x＋3)＝－f(x)， 得f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1， f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝－f(3)＝2， 所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0). A. B. C.2 D.1 ∴f(2 024.5)＝f ＝f ＝＋1＝. A.f(x)＝tan x B.f(x)＝x2＋x C.f(x)＝ D.f(x)＝ln|1＋x| 对于A，函数的定义域为，关于原点对称，且  f(－x)＝tan(－x)＝－tan x＝－f(x)，故函数为奇函数； 对于C，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝＝－ f(x)，故函数为奇函数； A.f(x)＝x＋sin x B.f(x)＝(x－1) C.f(x)＝ln(－x) D.f(x)＝2x＋ B项，令≥0，解得x≤－1或x>1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪(1，＋∞)，不关于原点对称，即f(x)为非奇非偶函数； C项，因为x2＋1>x2，所以－x>0恒成立，即f(x)的定义域为R，又f(－x)＋f(x)＝ln(＋x)＋ln(－x)＝0，故f(x)为奇函数； 所以由xf(x－2)<0，可得或 ②若给出的是“积型”抽象函数f(xy)＝…，判断符号时要变形为f(x2)－  f(x1)＝f －f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f . ②幂函数f(x)＝xa，对应f(xy)＝f(x)f(y)或f ＝； ③指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，对应f(x＋y)＝f(x)f(y)或f(x－y)＝； ⑥余弦函数f(x)＝cos x，对应f(x)＋f(y)＝2f  f ，来源于cos α＋cos β＝2cos ·cos ； ④对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，对应f(xy)＝f(x)＋f(y)或f ＝f(x)－  f(y)或f(xn)＝nf(x)； ⑦正切函数f(x)＝tan x，对应f(x±y)＝，来源于tan(α±β) ＝. 对于B，取f(x)＝sin x，g(x)＝cos x，满足f(x－y)＝f(x)g(y)－  g(x)f(y)及f(－2)＝f(1)≠0， 所以(n)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝f(2 023)＝f(1)＝1，故D正确. A. B.(1，＋∞) C. D. 所以x＋1>－2x，解得x>－， 所以不等式f(x＋1)＋f(2x)>0的解集是. (3)(2023·新高考全国Ⅱ)若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a等于 A.－1 B.0 C. D.1 即(1＋a)ln ＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0. 当a＝0时，f(x)＝xln . 解得x>或x<－， 则其定义域为，关于原点对称.  f(－x)＝(－x)ln ＝(－x)ln ＝(－x)ln －1＝  xln ＝f(x)， 方法二　设g(x)＝ln ， 易知g(x)的定义域为∪， 且g(－x)＝ln ＝ln ＝－ln ＝－g(x)， 若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数， 例4　(1)(2024·安康统考)设f(x)是定义域为R的偶函数，且f(2＋x)＝f(－x)，  f ＝，则f 等于 A.－ B.－ C. D. 故f ＝f ＝f ＝f ＝. 因为f(x)＝为偶函数， 则f(x)－f(－x)＝－ ＝＝0， ＝＝ A.1 B.2 C. D. ①②两式相加除以2得g(x)＝， 相减除以2得f(x)＝， ∴f(0)＝0，g(1)＝＝， ∴f(0)＋g(1)＝. 6.(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝2－|x|＋，则使得不等式f(2m)<f(m＋1)成立的实数m的取值范围是 A. B. C.∪(1，＋∞) D.∪(1，＋∞) 因为f(－x)＝2－|x|＋＝f(x)， 又因为当x>0时，y＝2－x和y＝单调递减，所以f(x)＝2－|x|＋  在(0，＋∞)上单调递减， 解得m∈∪(1，＋∞).  f(x)＝ln(2－x)－ln(x＋2)＝ln ＝ln，显然f(x)为减函数，故D错误.  f(x)＝cos x(答案 根据最小正周期T＝＝3，可得ω＝. 令A＝1，b＝0，f(x)＝cos x. 10.(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin为偶函数，则a＝______. ∵f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin ＋ 所以＋＝(2a＋b)＝≥＝， 当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号. ∴loga3＝－1，解得a＝. 1＝ ＝f ， ∴f(x)<1⇒f(x)<f ， ∴|x|>，解得x<－或x>. 故不等式的解集为. 即当－1≤x≤3时，f(x)的解析式为f(x)＝ 15.(2024·金华模拟)已知函数f(x)＝是定义在R上的偶函数，则m－n等于 A.2 B.0 C.－2 D.－4 要想x>0上式恒成立，只需⇒m－n＝－4， 要想x<0上式恒成立，只需⇒m－n＝－4， f(k) 根据函数的周期性知，f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3，故选A. $