第八章 §8.6 双曲线（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（北师大版 皖赣桂豫陕）

§8.6　双曲线 课标要求　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用． 知识梳理 1．双曲线的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离|F1F2|叫作双曲线的焦距． 注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在． (2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支． (3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线． 2．双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 常用结论 1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. 3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为. 4．与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的双曲线方程可表示为－＝t(t≠0)． 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　×　) (2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　×　) (3)双曲线－＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是±＝0.(　√　) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　√　) 2．已知曲线C的方程为＋＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是(　　) A．－1<k<5 B．k>5 C．k<－1 D．k≠－1或5 答案　C 解析　若曲线C是焦点在y轴上的双曲线， 则解得k<－1. 3．双曲线9y2－16x2＝144的渐近线方程是________． 答案　y＝±x 解析　依题意知，双曲线－＝1的焦点在y轴上，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3， 所以双曲线9y2－16x2＝144的渐近线方程是y＝±x. 4．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________. 答案　17 解析　根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8， 因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17. 又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17. 题型一　双曲线的定义 例1 (1)(多选)(2024·邵阳模拟)已知点P为定圆O上的动点，点A为圆O所在平面上异于点O的定点，线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则点Q的轨迹可能是(　　) A．一个点 B．直线 C．椭圆 D．双曲线 答案　ACD 解析　分以下几种情况讨论：设定圆O的半径为R， ①当点A在圆O上，连接OA(图略)，则|OA|＝|OP|，所以点O在线段AP的垂直平分线上，由垂直平分线的性质可知|AQ|＝|PQ|. 又因为点Q是线段AP的垂直平分线与OP的公共点，此时点Q与点O重合， 此时，点Q的轨迹为圆心O，故A正确； ②当点A在圆O内，且点A不与圆心O重合，连接AQ(图略)，由垂直平分线的性质可得|QA|＝|QP|，所以|QA|＋|QO|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝R>|OA|， 此时，点Q的轨迹是以点A，O为焦点，且长轴长为R的椭圆，故C正确； ③当点A在圆O外，连接AQ(图略)，由垂直平分线的性质可得|QA|＝|QP|， 所以||QA|－|QO||＝||QP|－|QO||＝|OP|＝R<|OA|， 此时，点Q的轨迹是以点A，O为焦点，且实轴长为R的双曲线，故D正确． (2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______． 答案　2 解析　不妨设点P在双曲线的右支上， 则|PF1|－|PF2|＝2a＝2， 在△F1PF2中，由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝＝， ∴|PF1|·|PF2|＝8， ∴＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2. 圆锥曲线的第二定义 平面内到一个定点和相应一条定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹： (1)当0<e<1时，轨迹为椭圆． (2)当e>1时，轨迹为双曲线． ①定点为焦点，定直线l叫准线，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线． ②焦点在x轴上的椭圆(双曲线)的准线方程为x＝±. 典例　(1)椭圆＋＝1(a>b>0)，焦距为4，P为椭圆上任一点，若P到点(2,0)的距离与到直线x＝的距离之比为，则椭圆方程为___________________． 答案　＋＝1 解析　依题意，右焦点F2(2,0)，右准线x＝， 由椭圆第二定义知＝， ∵c＝2，故a＝4，∴b2＝a2－c2＝12， ∴椭圆方程为＋＝1. (2)已知双曲线－＝1的右焦点为F2，M是双曲线右支上一点，定点A(9,2)，则|MA|＋|MF2|的最小值为________． 答案　 解析　设M到直线x＝＝的距离为d，由双曲线第二定义知， ＝e＝，∴d＝|MF2|， ∴|MA|＋|MF2|＝|MA|＋d， 如图，可知(|MA|＋d)min＝xA－＝9－＝. 思维升华 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系，利用三角形的面积公式求解．对于选择题或填空题直接利用焦点三角形的面积公式计算即可． 跟踪训练1 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A．x2－＝1 B.－y2＝1 C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1(x≥1) 答案　C 解析　设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切， 得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r， |MC2|－|MC1|＝2<6， 所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支， 且2a＝2，解得a＝1，又c＝3， 则b2＝c2－a2＝8， 所以动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)． (2)已知F1，F2为双曲线C：－＝1的左、右焦点，P是C的右支上一点，则的最小值为(　　) A．16 B．18 C．8＋4 D．9＋ 答案　A 解析　因为F1，F2为双曲线C：－＝1的左、右焦点，P是C的右支上的一点， 所以|PF1|＝|PF2|＋4， 所以＝＝ ＝|PF2|＋＋8≥2＋8＝16， 当且仅当|PF2|＝，即|PF2|＝4时，等号成立． 因为c＝＝， 所以c－a＝－2<4， 所以|PF2|＝4成立，的最小值为16. 题型二　双曲线的标准方程 例2 (1)与椭圆C：＋＝1共焦点且过点(1，)的双曲线的标准方程为(　　) A．x2－＝1 B．y2－2x2＝1 C.－＝1 D.－x2＝1 答案　C 解析　椭圆C的焦点坐标为(0，±2)， 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 由双曲线的定义可得2a＝|－| ＝(＋)－(－)＝2， ∴a＝，∵c＝2，∴b＝＝， 因此双曲线的方程为－＝1. (2)(2023·安阳模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，P为C上一点，PF1的中点为Q，△PF2Q为等边三角形，则双曲线C的方程为(　　) A．x2－＝1 B.－y2＝1 C.－＝1 D．3x2－＝1 答案　A 解析　由题可知双曲线的焦距为2c＝2，即c＝. 因为PF1的中点为Q，△PF2Q为等边三角形， 所以|F1Q|＝|F2Q|＝|F2P|＝|PQ|， 所以∠PF2Q＝60°，∠F1F2Q＝30°， 故PF2⊥F1F2， 所以|PF2|＝＝，|PF1|＝2|PF2|＝， 所以|PF1|－|PF2|＝－＝＝2a， 所以＝，所以a＝1，b＝. 所以双曲线C的方程为x2－＝1. 思维升华 求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2. (2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－a2<λ<b2)；与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)． 跟踪训练2 (1)(2024·榆林模拟)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永．现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示．若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是(　　) A.－＝1 B.－y2＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　D 解析　由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点(4,3)在该双曲线上． 设该双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 则解得 故该双曲线的标准方程是－＝1. (2)(2023·内江模拟)设F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，过左焦点F1作直线F1P与圆x2＋y2＝a2切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足＝(＋)，||＝，则双曲线的方程为________． 答案　－＝1 解析　依题意作图，如图所示， 由条件＝(＋)知，E是PF1的中点，并且OE⊥PF1， ∴△OPF1是等腰三角形，|OP|＝|OF1|＝c， 又|OF2|＝c，∴△F1PF2的外接圆是以O为圆心，|OF1|＝c为半径的圆， ∴F1P⊥PF2， 由|OE|＝知a＝，a2＝2， 在Rt△OEF1中，|EF1|＝＝， |PF1|＝2|EF1|＝2，|PF2|＝2|OE|＝2， 根据双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a， ∴|PF1|＝4，即2＝4，c2＝10， ∴b2＝c2－a2＝8， ∴双曲线的方程为－＝1. 题型三　双曲线的几何性质 命题点1　渐近线 例3 (1)(2023·连云港模拟)若双曲线经过点(1，)，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程是________． 答案　4x2－y2＝1 解析　方法一　由题意可知，①若双曲线的焦点在x轴上，则可设－＝1(a>0，b>0)，则－＝1且＝2，联立解得a＝，b＝1，则双曲线的方程为4x2－y2＝1； ②若双曲线的焦点在y轴上，则可设－＝1(a>0，b>0)，则－＝1，且＝2，此时无解． 综上，双曲线的方程为4x2－y2＝1. 方法二　由题可设双曲线方程为4x2－y2＝λ(λ≠0)， ∵双曲线经过点(1，)， ∴λ＝4×12－()2＝1， ∴双曲线方程为4x2－y2＝1. (2)(2023·渭南统考)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，若△AF1F2的面积为bc，则双曲线C的渐近线方程为________． 答案　y＝±x 解析　由题意知双曲线C的渐近线方程为y＝±x， 如图，由双曲线的对称性，不妨取y＝x，即bx－ay＝0， 则|F2A|＝＝b， 所以|OA|＝＝＝a， 所以＝ab， 因为△AF1F2的面积为bc，＝， 所以bc＝2×ab，即c＝2a， 所以a2＋b2＝4a2，即＝3，故＝， 所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x. 思维升华 (1)渐近线的求法：求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0. (2)在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±，满足关系式e2＝1＋k2. 命题点2　离心率 例4 (1)(2023·郑州模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率e为(　　) A．2或 B. C. D.或2 答案　A 解析　由题意得双曲线的渐近线方程为y＝±x， 而两条渐近线的夹角为， 故y＝x的倾斜角为或，故＝或， e＝＝或2. (2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，过F1作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且|DF2|＝2|OD|，则C的离心率为(　　) A. B．2 C. D．3 答案　C 解析　如图所示，双曲线C的左焦点F1(－c,0)，|DF1|＝b， 由勾股定理得|OD|＝a， 在Rt△DOF1中，∠ODF1＝， ∴cos∠DOF1＝＝， 在△DOF2中，|OD|＝a，|DF2|＝2a，|OF2|＝c， cos∠DOF2＝cos(π－∠DOF1)＝－cos∠DOF1＝－， 由余弦定理的推论得cos∠DOF2＝＝＝－， 化简得c2＝5a2，即c＝a， 因此双曲线C的离心率e＝＝. 思维升华 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)． 跟踪训练3 (1)(2023·全国甲卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题知e＝， 则＝＝1＋＝5， 解得＝2， 所以双曲线的一条渐近线不妨取y＝2x， 即2x－y＝0， 则圆心(2,3)到渐近线的距离d＝＝， 所以弦长|AB|＝2＝2＝. (2)(2024·海口模拟)设双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的离心率为e，直线l过点(0，b)和双曲线E的一个焦点，若直线l与圆x2＋y2＝a2相切，则e2＝________. 答案　 解析　因为直线l过点(0，b)和双曲线E的右焦点F(c,0)， 设直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0， 由直线l与圆x2＋y2＝a2相切，可得＝a， 整理得b2c2＝a2(b2＋c2)， 又b2＝c2－a2，所以(c2－a2)c2＝a2(2c2－a2)， 即c4－3a2c2＋a4＝0， 所以4－32＋1＝0，即e4－3e2＋1＝0， 解得e2＝或e2＝， 又e>1，所以e2>1，所以e2＝. 课时精练 一、单项选择题 1．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1或－＝1 C.－＝1 D.－＝1或－＝1 答案　D 解析　设双曲线方程为－＝1(m≠0)， ∵2a＝4，∴a2＝4， 当m>0时，2m＝4，m＝2； 当m<0时，－m＝4，m＝－4. 故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. 2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　) A．y＝±2x B．y＝±3x C．y＝±x D．y＝±x 答案　A 解析　由题意，该双曲线的离心率e＝＝，则＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y＝±2x. 3．若双曲线－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为圆x2＋y2＝4与此双曲线的一个公共点，则△PF1F2的面积为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案　D 解析　由题意得a＝，b＝1，c＝＝2， 所以线段F1F2是圆x2＋y2＝4的直径， 因此PF1⊥PF2， 所以 所以|PF1||PF2|＝2，＝|PF1||PF2|＝1. 4．(2024·安阳模拟)以双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F为圆心作圆，与C的一条渐近线相切于点Q，则C的焦距为(　　) A．4 B．2 C．6 D．8 答案　C 解析　由题意设F(c,0)，不妨设双曲线的渐近线方程为y＝x，则＝. 又kFQ×＝×＝－1， 联立解得c＝3，即2c＝6. 5．(2023·洛阳模拟)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为(　　) A.－＝1(x>2) B.－＝1(x>3) C.＋＝1(0<x<2) D.＋＝1(0<x<3) 答案　A 解析　如图，设△ABC的边AC，AB，BC与内切圆的切点分别为D，E，F， 则有|AD|＝|AE|＝5， |BF|＝|BE|＝1， |CD|＝|CF|， 所以|CA|－|CB|＝5－1＝4. 根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支(右顶点除外)， 即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5， 所以顶点C的轨迹方程为－＝1(x>2)． 6．(2023·广州大学附属中学模拟)设点F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1作直线交双曲线C的两条渐近线于点A，B，连接F2B，满足＝，·＝0，则双曲线的离心率为(　　) A. B. C．2 D. 答案　C 解析　设点B位于第一象限，如图所示， 因为＝，则A为线段F1B的中点， 又因为O为F1F2的中点，则OA∥F2B， 因为·＝0，则F1B⊥F2B， 所以OA⊥BF1，所以|OB|＝|OF1|， 则∠AOF1＝∠AOB， 又因为∠AOF1＝∠BOF2， 所以∠AOF1＋∠AOB＋∠BOF2＝3∠BOF2＝π， 可得∠BOF2＝， 易知直线OB的方程为y＝x，则＝tan ＝， 因此该双曲线的离心率为e＝＝＝＝2. 二、多项选择题 7．(2023·江门模拟)已知曲线C：x2sin α＋y2cos α＝1(0≤α<π)，则下列说法正确的是(　　) A．若曲线C表示两条平行线，则α＝0 B．若曲线C表示双曲线，则<α<π C．若0<α<，则曲线C表示椭圆 D．若0<α<，则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆 答案　BD 解析　若曲线C表示两条平行线，则有sin α＝0或cos α＝0，且0≤α<π. 若sin α＝0，则α＝0，此时曲线C的方程为y2＝1，可得y＝－1或y＝1，符合题意， 若cos α＝0，则α＝， 此时曲线C的方程为x2＝1，可得x＝－1或x＝1，符合题意，故A错； 若曲线C表示双曲线，则sin αcos α<0， 由于0≤α<π且sin α≠0，则sin α>0， 可得cos α<0，则<α<π，故B对； 若曲线C表示椭圆，则 解得0<α<且α≠，故C错； 若0<α<，则0<sin α<cos α， 则>>0， 曲线C的方程可化为＋＝1， 此时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，故D对． 8．(2023·重庆模拟)已知双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，若△ABF1为直角三角形，则(　　) A．b＝2＋2 B．双曲线的离心率为＋1 C．双曲线的焦距为2 D．△ABF1的面积为12＋8 答案　BD 解析　如图所示， 若△ABF1为直角三角形，由双曲线的对称性可知， AF1⊥BF1， 且|AF1|＝|BF1|. 设|AF2|＝m，则由双曲线的定义得 |AF1|＝|BF1|＝|AF2|＋2a＝2＋m，|AB|＝2m. 所以在Rt△ABF1中， 由勾股定理得(2＋m)2＋(2＋m)2＝4m2. 解得m＝2＋2， 所以|AF1|＝|BF1|＝4＋2， 所以△ABF1的面积为|AF1|·|BF1|＝×(4＋2)2＝12＋8，故D正确； |AF1|·|BF1|＝|AB|·|F1F2|， 所以|F1F2|＝2＋2，故C不正确； 由x2－＝1(b>0)可知，a＝1，c＝1＋， 所以b2＝(1＋)2－1＝2＋2，故A不正确； e＝＝1＋，故B正确． 三、填空题 9．(2023·唐山模拟)已知直线l：x－y－2＝0过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且与C的一条渐近线平行，则C的实轴长为________． 答案　2 解析　直线x－y－2＝0与x轴交点为(2,0)，斜率为，由题意解得所以双曲线的实轴长为2a＝2. 10．双曲线的一条渐近线方程为x＋2y＝0，且焦距为10，则该双曲线的标准方程为________________． 答案　－＝1或－＝1 解析　依题意，2c＝10，∴c＝5， 若双曲线的焦点在x轴上，则 解得b2＝5，a2＝20， 双曲线的标准方程为－＝1. 若双曲线的焦点在y轴上，则 解得b2＝20，a2＝5， 双曲线的标准方程为－＝1. 综上，该双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. 11．从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且AB＝BC＝CD＝2，设AD所在直线为x轴，则双曲线的标准方程为________． 答案　x2－＝1 解析　设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，如图，因为AB＝BC＝CD＝2， 易知a＝1， 又坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，所以在双曲线上， 得到－＝1，整理得b2＝， 故所求双曲线的标准方程为x2－＝1. 12．(2023·上饶模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点B(0，b)，直线F1B与双曲线的渐近线在第一象限交于点A，若|F2A|＝|F1F2|，则双曲线的离心率为________． 答案　＋1 解析　因为F1(－c,0)，F2(c,0)，B(0，b)， 所以直线F1B的方程为y＝x＋b， 又双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x， 由解得所以A， 又因为|F2A|＝|F1F2|， 所以2＋2＝4c2， 整理得2c2－4ac＋a2＝0， 即2e2－4e＋1＝0， 解得e＝＋1或e＝1－(舍去)． 四、解答题 13．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与双曲线－＝1有相同的渐近线，且经过点M(，－)． (1)求双曲线C的方程； (2)求双曲线C的实轴长、离心率、焦点到渐近线的距离． 解　(1)在双曲线－＝1中，a′＝2，b′＝， 则渐近线方程为y＝±x＝±x， ∵双曲线C：－＝1与双曲线－＝1有相同的渐近线，∴＝， ∴方程可化为－＝1， 又双曲线C经过点M(，－)，代入方程得 －＝1，解得a＝1，故b＝， ∴双曲线C的方程为x2－＝1. (2)由(1)知双曲线C的方程为x2－＝1， ∵a＝1，b＝，c＝， ∴实轴长2a＝2，离心率为e＝＝， 设双曲线C的一个焦点为(－，0)，一条渐近线方程为y＝x， ∴焦点到渐近线的距离d＝＝. 14．已知点F1，F2分别为双曲线C：x2－＝1(b>0)的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴的上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°. (1)求双曲线C的方程； (2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1，P2，求·的值． 解　(1)在Rt△MF1F2中， 因为∠MF1F2＝30°， 所以tan∠MF1F2＝＝＝， 又a＝1，a2＋b2＝c2，联立解得c＝，b＝， 所以双曲线C的方程是x2－＝1. (2)设P(x0，y0)是双曲线C上任意一点，故有2x－y＝2， 两条渐近线方程为l1：x－y＝0，l2：x＋y＝0，设l1：x－y＝0的倾斜角为α， 故tan α＝， 设两条渐近线在第一、四象限的夹角为θ， 所以cos θ＝cos 2α＝＝－， 于是有cos〈，〉＝－cos θ＝. 因为P到双曲线两条渐近线的距离为|PP1|＝，|PP2|＝， 所以·＝··cos〈，〉＝·＝. 15．(2023·咸阳模拟)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作F1F2的垂线，交双曲线于A，B两点，D是双曲线的右顶点，连接AD，BD并延长，分别交y轴于点M，N.若点P(－3a,0)在以MN为直径的圆上，则双曲线C的离心率为_______． 答案　2 解析　由－＝1得y2＝b2＝， 即y＝±， 不妨设A，而D(a,0)， 所以直线AD的方程为y－0＝(x－a)， y＝(x－a)， 令x＝0得y＝，则M， 同理可求得N， 所以以MN为直径的圆的方程为x2＋y2＝2， 将P(－3a,0)代入上式得9a2＝2＝＝ ＝＝(c＋a)2， 即c2＋2ac－8a2＝0，即(c－2a)(c＋4a)＝0， 则c＝2a，即离心率为＝2. 16．(2023·安庆模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，过x轴上方的焦点F1的直线与双曲线上支交于M，N两点，以NF2为直径的圆经过点M，若|MF2|，|MN|，|NF2|成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为________． 答案　y＝±x 解析　如图所示， 由双曲线的定义知|MF2|＝2a＋|MF1|，|NF2|＝2a＋|NF1|， 所以|MF2|＋|NF2|＝4a＋|MF1|＋|NF1|＝4a＋|MN|. 因为|MF2|，|MN|，|NF2|成等差数列， 所以|MF2|＋|NF2|＝2|MN|，即4a＋|MN|＝2|MN|，|MN|＝4a. 令|MF1|＝x，在△MNF2中，MF2⊥MN， 所以|MF2|2＋|MN|2＝|NF2|2， 即(2a＋x)2＋(4a)2＝(6a－x)2， 解得x＝a，即|MF1|＝a，|MF2|＝3a， 又在Rt△F1MF2中，a2＋(3a)2＝(2c)2，2c2＝5a2， 又c2＝a2＋b2，所以2b2＝3a2，即＝， 故该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x. 学科网（北京）股份有限公司 $