第八章 §8.5 椭 圆（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（北师大版 皖赣桂豫陕）

§8.5　椭　圆 课标要求　1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用． 知识梳理 1．椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离|F1F2|叫作椭圆的焦距． 注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆； (2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段； (3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在． 2．椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝(0<e<1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 常用结论 椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ. (1)当P为短轴端点时，θ最大，最大． (2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c. (3)|PF1|·|PF2|≤2＝a2. (4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. (5)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)设F1(－4,0)，F2(4,0)为定点，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是椭圆．(　×　) (2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(　√　) (3)＋＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆．(　×　) (4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　×　) 2．若椭圆＋＝1上一点P与焦点F1的距离为4，则点P与另一个焦点F2的距离为(　　) A．6 B．3 C．4 D．2 答案　A 解析　由椭圆方程＋＝1， 得a2＝25，即a＝5， 则|PF1|＋|PF2|＝2a＝10， 因为|PF1|＝4， 所以|PF2|＝6，即点P与另一个焦点F2的距离为6. 3．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由已知可得b2＝4，c＝2，则a2＝b2＋c2＝8，所以a＝2， 则离心率e＝＝. 4．若椭圆C：＋＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为(　　) A．3 B．2＋ C．2 D.＋1 答案　A 解析　由题意知a＝2，b＝，所以c＝1，则椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c＝3. 题型一　椭圆的定义及其应用 例1 (1)已知圆C1：(x＋1)2＋y2＝25，圆C2：(x－1)2＋y2＝1，动圆M与圆C2外切，同时与圆C1内切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋y2＝1 D.＋＝1 答案　D 解析　如图，由题意得，|C1M|＝5－|MQ|，|C2M|＝1＋|MP|，其中|MQ|＝|MP|， 所以|C1M|＋|C2M|＝5－|MQ|＋1＋|MP|＝6>2＝|C1C2|， 由椭圆定义可知，动圆圆心M的轨迹为以C1，C2为焦点且长轴长为6的椭圆，设＋＝1， 则2a＝6，c＝1，解得a＝3，b2＝a2－c2＝9－1＝8， 故动圆圆心M的轨迹方程为＋＝1. (2)(2023·眉山模拟)已知P是椭圆＋＝1上的点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若＝，则△F1PF2的面积为________． 答案　3 解析　因为a＝5，b＝3，c＝＝4， 所以||＋||＝10， 因为cos〈，〉＝＝， 且0°≤〈，〉<180°，所以∠F1PF2＝60°， 由余弦定理可得cos 60°＝cos〈，〉 ＝ ＝＝， 所以||||＝12， 则＝||||sin 60°＝×12×＝3. 思维升华 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等． (2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 跟踪训练1 (1)(2023·郑州模拟)若F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，A，B为C上两动点，且A，B，F1三点共线，则△ABF2的周长为(　　) A．4 B．8 C．10 D．20 答案　D 解析　由椭圆的定义可得△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝|AF2|＋|BF2|＋|AF1|＋|BF1|＝(|AF2|＋|AF1|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝2a＋2a＝4a＝20. (2)(2024·哈尔滨模拟)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容．例如，用一张圆形纸片，按如下步骤折纸(如图)． 步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好经过点F； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕； 步骤4：不停重复步骤2和步骤3，就能得到越来越多的折痕．圆面上所有这些折痕围成一条曲线，记为C. 现有半径为4的圆形纸片，定点F到圆心E的距离为2，按上述方法折纸，在C上任取一点M，O为线段EF的中点，则|OM|的最小值为________． 答案　 解析　如图，设点F关于折痕的对称点为点A， 由对称性可知 |MF|＝|MA|， 且A，M，E三点共线， 以FE所在直线为x轴，EF的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 所以|ME|＋|MF|＝|EA|＝4>|EF|＝2， 所以曲线C是以F，E为焦点，长轴长为4，焦距为2的椭圆， 则可得a＝2，c＝1，则b＝＝， 所以曲线C的方程为＋＝1， 设点M(x0，y0)，则＋＝1， 所以y＝3－且－2≤x0≤2， 所以|OM|＝＝＝≥，当且仅当x0＝0时，等号成立，故|OM|的最小值为. 题型二　椭圆的标准方程 例2 (1)过点(3,2)且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的椭圆方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　C 解析　由3x2＋8y2＝24化简可得＋＝1， 焦点为(±，0)在x轴上， 设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)， 则解得a2＝15，b2＝10. 故所求椭圆方程为＋＝1. (2)已知过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F(－1,0)的直线与椭圆交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，点C，F是线段AB的三等分点，则该椭圆的标准方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　B 解析　不妨设A(xA，yA)在第一象限，由椭圆的左焦点F(－1,0)，点C，F是线段AB的三等分点， 则C为AF的中点，F为BC的中点，所以xA＝1， 所以＋＝1，则yA＝，即A， 所以C，B， 将点B的坐标代入椭圆方程得＋＝1， 即＋＝1， 又a2－b2＝1，所以a2＝5，b2＝4， 所以椭圆的标准方程是＋＝1. 思维升华 根据条件求椭圆方程的主要方法 (1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义． (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)；与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为＋＝1(a>b>0，m>－b2)；与椭圆＋＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为＋＝λ或＋＝λ(a>b>0，λ>0)． 跟踪训练2 (1)(2024·南京模拟)已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,2)，F2(0，－2)，P为椭圆上任意一点，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项，则此椭圆的标准方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　D 解析　由题意|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝8＝2a，故a＝4，又c＝2，则b＝2， 焦点在y轴上，故椭圆的标准方程为＋＝1. (2)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且PF2⊥F2Q，且＝4，|PF2|＋|F2Q|＝6，则椭圆E的标准方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　C 解析　如图，连接PF1，QF1， 由椭圆的对称性得四边形PF1QF2为平行四边形， 所以|PF2|＋|F2Q|＝|PF2|＋|PF1|＝2a＝6，得a＝3. 又因为PF2⊥F2Q， 所以四边形PF1QF2为矩形， 设|PF2|＝m，|F2Q|＝n， 则＝mn＝4， 所以得或 则|F1F2|＝2， 则c＝，b2＝a2－c2＝4， 椭圆E的标准方程为＋＝1. 题型三　椭圆的几何性质 命题点1　离心率 例3 (1)(2023·太原模拟)设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1且斜率为的直线交椭圆于点P，若2∠PF1F2＝∠PF2F1，则椭圆E的离心率为(　　) A．2－ B.－1 C. D. 答案　B 解析　因为过点F1且斜率为的直线交椭圆于点P，且2∠PF1F2＝∠PF2F1，则有∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°， 因此，在△PF1F2中，∠F1PF2＝90°，令椭圆半焦距为c，于是得|PF1|＝|F1F2|cos 30°＝c，|PF2|＝|F1F2|sin 30°＝c， 由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，则e＝＝＝－1， 所以椭圆E的离心率为－1. (2)(2022·全国甲卷)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设P(m，n)(n≠0)， 则Q(－m，n)，易知A(－a,0)， 所以kAP·kAQ＝·＝＝.(*) 因为点P在椭圆C上， 所以＋＝1，得n2＝(a2－m2)， 代入(*)式，得＝， 所以e＝＝＝. 思维升华 求椭圆离心率或其范围的方法 (1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解． (2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解． (3)构造a，c的方程．可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. 命题点2　与椭圆有关的范围(最值)问题 例4 (多选)已知椭圆＋＝1，F1，F2为左、右焦点，B为上顶点，P为椭圆上任一点，则(　　) A．的最大值为4 B．|PF1|的取值范围是[4－2，4＋2] C．不存在点P使PF1⊥PF2 D．|PB|的最大值为2 答案　AB 解析　依题意知，a＝4，b＝2，c＝2，当P为短轴顶点时，()max＝×2c×b＝4，故A正确； 由椭圆的性质知|PF1|的取值范围是[a－c，a＋c]，即[4－2，4＋2]，故B正确； 对于C，sin∠F2BO＝＝，所以∠F2BO＝，所以∠F1BF2＝，即∠F1PF2的最大值为，最小为0，所以存在点P使PF1⊥PF2，故C错误； 对于D，设P(x0，y0)，所以|PB|＝， 又＋＝1，所以x＝16－4y，所以|PB|＝＝＝，又－2≤y0≤2，故当y0＝－时，|PB|max＝＝，故D错误． 思维升华 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质． (2)利用函数，尤其是二次函数． (3)利用不等式，尤其是基本不等式． 跟踪训练3 (1)已知M，N是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上关于原点O对称的两点，P是椭圆C上异于M，N的点，且·的最大值是a2，则椭圆C的离心率是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意可得＝＋，＝＋＝－，则·＝(＋)·(－)＝2－2， 由椭圆可知||，||∈[b，a]，则·＝2－2的最大值为a2－b2＝c2， 即a2＝c2，整理得椭圆C的离心率e＝＝＝. (2)已知椭圆＋＝1的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则·的取值范围为(　　) A．[－16,0] B．[－8,0] C．[0,8] D．[0,16] 答案　D 解析　方法一　由题意知A(－4,0)，F(2,0)，设M(x0，y0)， 则·＝(－4－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝(x0－2)(x0＋4)＋y＝x＋2x0－8＋12－x＝x＋2x0＋4＝(x0＋4)2， 因为＋＝1，所以＝1－≤1， 所以－4≤x0≤4，所以0≤·≤16. 方法二　由题意知A(－4,0)，F(2,0)， 设M(x0，y0)，取线段AF的中点N， 则N(－1,0)，连接MN，如图， 则·＝＝＝2－9＝(x0＋1)2＋y－9＝x＋2x0＋1＋12－x－9＝x＋2x0＋4＝(x0＋4)2， 因为＋＝1，所以＝1－≤1， 所以－4≤x0≤4，所以0≤·≤16. 课时精练 一、单项选择题 1．“1<k<5”是方程“＋＝1表示椭圆”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　当方程＋＝1表示椭圆时，必有所以1<k<5且k≠3， 当1<k<5时，该方程不一定表示椭圆，例如当k＝3时，方程变为x2＋y2＝2，它表示一个圆， 即“1<k<5”是“方程＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件． 2．(2024·济南模拟)若椭圆C：＋＝1的离心率为，则椭圆C的长轴长为(　　) A．2 B.或2 C．2 D．2或2 答案　D 解析　因为e2＝＝＝1－＝2＝， 所以＝. (1)若椭圆C的焦点在x轴上，则＝＝， 可得m＝6，则a＝＝， 此时椭圆C的长轴长为2； (2)若椭圆C的焦点在y轴上，则＝＝， 可得m＝，则a＝， 此时椭圆C的长轴长为2. 综上所述，椭圆C的长轴长为2或2. 3．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则C的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋y2＝1 答案　B 解析　依题意得A1(－a,0)，A2(a,0)，B(0，b)， 所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)， ·＝－a2＋b2＝－(a2－b2)＝－c2＝－1，故c＝1， 又C的离心率e＝＝＝， 所以a＝3，a2＝9，b2＝a2－c2＝8， 所以C的方程为＋＝1. 4．(2024·昆明模拟)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx与椭圆C交于A，B两点，若|AB|＝|F1F2|，则△ABF1的面积等于(　　) A．18 B．10 C．9 D．6 答案　C 解析　根据题意，四边形AF1BF2是矩形， 设|AF1|＝m，|AF2|＝n， 则有m＋n＝10，m2＋n2＝(2c)2＝64， 由此可得mn＝18， 所以△AF1F2的面积是mn＝9， 又△ABF1的面积与△AF1F2的面积相等， 所以△ABF1的面积等于9. 5．(2023·沈阳模拟)魏晋时期数学家刘徽(图(1))为研究球体的体积公式，创造了一个独特的立体图形“牟合方盖”，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上．将两个底面半径为1的圆柱分别从纵横两个方向嵌入棱长为2的正方体时(如图(2))，两圆柱公共部分形成的几何体(如图(3))即得一个“牟合方盖”，图(4)是该“牟合方盖”的直观图(图中标出的各点A，B，C，D，P，Q均在原正方体的表面上)． 由“牟合方盖”产生的过程可知，图(4)中的曲线PBQD为一个椭圆，则此椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　如图，连接AC，BD交于点O，连接PO， 由“牟合方盖”产生的过程可知，图中的曲线PBQD所对应的椭圆的长轴长2a＝|BD|＝2，短轴长2b＝|PQ|＝2， 于是可得此椭圆的半焦距c＝＝1， 因此离心率e＝＝. 6．(2023·陕西省安康中学模拟)已知P为椭圆C：＋＝1(a>b>0)上一点，若C的右焦点F的坐标为(3,0)，点M满足||＝1，·＝0，若||的最小值为2，则椭圆C的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　B 解析　如图，∵||＝1，∴|FM|＝1， 又∵·＝0， ∴⊥，即PM⊥FM， ∴||＝|PM|＝＝， ∴当点P为椭圆的右顶点时，|PF|取最小值，|PF|min＝a－c＝a－3， 此时||min＝＝2， 解得a＝0(舍)或a＝6， ∴b2＝a2－c2＝36－9＝27， ∴椭圆C的方程为＋＝1. 二、多项选择题 7．(2023·长沙模拟)人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒定律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c，下列结论正确的是(　　) A．卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c] B．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大 C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越圆 D．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 答案　ACD 解析　根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]，A正确； 根据面积守恒定律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，B不正确； ＝＝－1，比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C正确； 当卫星在左半椭圆弧上运行时，对应的速度慢，根据面积守恒定律，则运行时间长，D正确． 8．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于△PF1F2的说法正确的有(　　) A．△PF1F2的周长为4＋2 B．当∠PF1F2＝90°时，|PF1|＝2 C．当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为 D．椭圆上有且仅有6个点P，使得△PF1F2为直角三角形 答案　AD 解析　由椭圆的方程可得，a＝2，b＝，c＝， △PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝4＋2，故A正确； 当∠PF1F2＝90°时，PF1⊥x轴，令x＝－，可得y＝±1， 所以|PF1|＝1，故B不正确； 当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为b2·tan 30°＝2×＝，故C不正确； 当点P位于椭圆的上、下顶点时，|PF1|＝|PF2|＝a＝2，而|F1F2|＝2c＝2， 此时∠F1PF2＝90°，有2个直角三角形， 当PF1⊥F1F2时，∠PF1F2＝90°， 此时点P位于第二或第三象限，有2个直角三角形， 同理可得PF2⊥F1F2时，∠PF2F1＝90°， 此时有2个直角三角形，所以共有6个直角三角形，故D正确． 三、填空题 9．已知F1(－2,0)，F2(2,0)是椭圆C的焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝6，则椭圆C的方程为________________． 答案　＋＝1 解析　由题意设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)， 则a2－b2＝c2＝4， 因为|AB|＝6，得＝3，所以b2＝3a， 所以a2－3a－4＝0，解得a＝4或a＝－1(舍去)， 所以b2＝12， 所以椭圆C的方程为＋＝1. 10．椭圆＋＝1(m>0)的两个焦点分别为F1，F2，与y轴的一个交点为A，若∠F1AF2＝，则m＝________. 答案　 解析　在椭圆＋＝1(m>0)中， a＝，b＝m，c＝1. 如图，易知|AF1|＝|AF2|＝a. 又∠F1AF2＝， 所以△F1AF2为等边三角形，即|AF1|＝|F1F2|， 所以＝2，即m＝. 11．已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点分别为F1，F2，在椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2＝60°，设△PF1F2的内切圆半径为r，则r的值为________． 答案　 解析　因为椭圆的离心率为，长轴长为4， 所以a＝2，c＝1， 在△PF1F2中，由余弦定理得 |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|， 解得|PF1||PF2|＝4， 所以＝|PF1||PF2|sin 60°＝r(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)， 即×4×＝r×(4＋2)，解得r＝. 12．(2023·潍坊模拟)如图，菱形架ABCD是一种作图工具，由四根长度均为4的直杆用铰链首尾连接而成．已知A，C可在带滑槽的直杆l上滑动；另一根带滑槽的直杆DH长度为4，且一端记为H，另一端用铰链连接在D处，上述两根带滑槽直杆的交点P处有一栓子(可在带滑槽的直杆上滑动)．若将H，B固定在桌面上，且两点之间距离为2，转动杆HD，则点P到点B距离的最大值为________． 答案　3 解析　连接BD，PB，BH(图略)， 因为四边形ABCD为菱形，则AC为线段BD的垂直平分线，故|PB|＝|PD|， 所以|PH|＋|PB|＝|PH|＋|PD|＝|DH|＝4>2＝|BH|， 故点P的轨迹是以B，H为焦点且长轴长为4的椭圆， 可得2a＝4,2c＝2，即a＝2，c＝1， 所以|PB|的最大值为a＋c＝3. 四、解答题 13．(2024·西安模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，过F2作垂直于x轴的直线l交椭圆于A，B两点，且满足|AF2|＝c. (1)求椭圆C的离心率； (2)M，N是椭圆C短轴的两个端点，设点P是椭圆C上一点(异于椭圆C的顶点)，直线MP，NP分别与x轴相交于R，Q两点，O为坐标原点，若|OR|·|OQ|＝4，求椭圆C的方程． 解　(1)由题意，令x＝c，可得y2＝b2， 解得y＝±，可得＝c， 又由c2＝a2－b2，整理得6a2－6c2＝ac， 即6－6e2＝e， 即6e2＋e－6＝0，解得e＝， 即椭圆C的离心率为. (2)由椭圆C的方程，可得M(0，b)，N(0，－b)， 设P(x0，y0)，所以b2x＋a2y＝a2b2， 则直线MP的方程为y＝x＋b， 令y＝0，可得xR＝， 同理直线NP的方程为y＝x－b， 令y＝0，可得xQ＝， 因为|OR||OQ|＝＝a2＝4，解得a＝2， 又因为e＝，所以c＝， 则b＝＝1， 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. 14．在平面直角坐标系中，点B与点A关于原点对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－. (1)求动点P的轨迹方程，并注明x的取值范围； (2)设直线AP与BP分别与直线x＝3交于M，N，问是否存在点P使得△PAB与△PMN面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 解　(1)因为点B与点A关于原点对称， 所以点B的坐标为， 设点P的坐标为(x，y)， 由题意得·＝－， 化简得＋＝1(x≠±1)， 故动点P的轨迹方程为＋＝1(x≠±1)． (2)若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为(x0，y0)， 则|PA|·|PB|·sin∠APB＝|PM|·|PN|·sin∠MPN， 因为sin∠APB＝sin∠MPN，所以＝， 所以＝，即(3－x0)2＝|x－1|， 解得x0＝， 因为＋＝1(x≠±1)，所以y0＝±， 故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等， 此时点P的坐标为. 15．(2023·衡阳联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作直线l与椭圆C相交于M，N两点，∠MF2N＝90°，且4|F2N|＝3|F2M|，则椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　如图所示，设|F1F2|＝2c， 因为4|F2N|＝3|F2M|， 设|F2N|＝3t，则|F2M|＝4t， 在Rt△F2MN中，|MN|＝＝5t， 由椭圆定义可知|F1N|＝2a－3t，|F1M|＝2a－4t， |F1N|＋|F1M|＝|MN|＝4a－7t＝5t， 解得a＝3t， 所以|F1N|＝2a－3t＝3t＝|F2N|， |F1M|＝2a－4t＝2t， 在△F1NF2中，可得cos∠NF1F2＝， 在△F1MF2中，由余弦定理可得 cos∠MF1F2＝， 因为∠NF1F2＋∠MF1F2＝π， 所以cos∠NF1F2＋cos∠MF1F2＝0， 即＋＝0，解得c＝， 所以椭圆的离心率e＝＝. 16．(2024·呼和浩特模拟)已知点P是椭圆＋＝1上异于顶点的动点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M是∠F1PF2平分线上的一点，且·＝0，则||的取值范围是________． 答案　(0,4) 解析　如图，延长PF2，F1M相交于点N，连接OM， 因为·＝0，则⊥，即F1M⊥MP， 因为PM为∠F1PF2的平分线， 所以|PN|＝|PF1|，则点M为F1N的中点， 因为O为F1F2的中点， 所以|OM|＝|F2N|＝||PN|－|PF2||＝||PF1|－|PF2||， 设点P(x0，y0)，由已知可得a＝8，b＝4，c＝＝4， 则－8<x0<8且x0≠0，且有y＝48－x， |PF1|＝ ＝ ＝ ＝＝8＋x0， 故|PF2|＝16－|PF1|＝8－x0， 所以|OM|＝||PF1|－|PF2||＝|x0|∈(0,4)． 学科网（北京）股份有限公司 $