第一章 §1.6 一元二次不等式（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（北师大版 皖赣桂豫陕）

§1.6　一元二次不等式 课标要求　1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法． 知识梳理 1.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1< x<x2} ∅ ∅ 2.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 3．简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)． 常用结论 1．一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0； (2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0； (3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形． 2．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形． 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　×　) (2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(　√　) (3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(　×　) (4)不等式≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　×　) 2．已知A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则A∪B＝__________. 答案　R 解析　已知A＝{x|x2－16<0}＝{x|－4<x<4}，B＝{x|x2－4x＋3>0}＝{x|x<1或x>3}，则A∪B＝R. 3．若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为__________． 答案　(－3,0] 解析　当k＝0时，满足题意； 当k≠0时， 解得－3<k<0， 所以－3<k≤0. 4．已知不等式x2－ax－b<0的解集为(2,3)，则a＋b＝________. 答案　－1 解析　由题意知，方程x2－ax－b＝0的解为x＝2或x＝3， 由根与系数的关系，得解得 所以a＋b＝5－6＝－1. 题型一　求解一元二次不等式 命题点1　不含参的不等式 例1 (多选)下列选项中，正确的是(　　) A．不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1} B．不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2} C．不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D．设x∈R，则“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件 答案　ABD 解析　因为方程x2＋x－2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1}，故A正确； 因为 －1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤x<2，所以不等式的解集为{x|－3≤x<2}，故B正确； 由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1， 解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C错误； 由|x－1|<1，可得－1<x－1<1，解得0<x<2，由<0，可得－4<x<5，因此，“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件，故D正确． 命题点2　含参的不等式 例2 已知函数f(x)＝ax2＋(b－2)x＋3. (1)若不等式f(x)>0的解集为{x|－1<x<3}，求a，b的值； (2)若b＝－a，求不等式f(x)≤1的解集． 解　(1)由题意得，－1和3是方程ax2＋(b－2)x＋3＝0的两个根，且a<0， 则解得 (2)当b＝－a时，不等式f(x)≤1， 即ax2－(a＋2)x＋2≤0，即(ax－2)(x－1)≤0. ①当a＝0时，－2x＋2≤0，解得x≥1； ②当a<0时，不等式可化为(x－1)≥0， 解得x≤或x≥1； ③当a>0时，不等式可化为(x－1)≤0， 若1<，即0<a<2，解得1≤x≤； 若1＝，即a＝2，解得x＝1； 若1>，即a>2，解得≤x≤1. 综上所述，当a＝0时，解集为{x|x≥1}； 当a<0时，解集为； 当0<a<2时，解集为； 当a＝2时，解集为{x|x＝1}； 当a>2时，解集为. 思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 跟踪训练1 设函数f(x)＝ax2－(1＋a)x＋1. (1)若a＝－2，解不等式f(x)>0； (2)若a>0，解关于x的不等式f(x)<0. 解　(1)当a＝－2时，由f(x)＝－2x2＋x＋1>0， 即(2x＋1)(x－1)<0， 解得－<x<1， 故当a＝－2时，不等式f(x)>0的解集为. (2)由f(x)<0，可得(ax－1)(x－1)<0， 所以(ax－1)(x－1)＝0的两根为x1＝1，x2＝. 当0<a<1时，>1，解得1<x<； 当a＝1时，原不等式即为(x－1)2<0，该不等式的解集为∅； 当a>1时，<1，解得<x<1. 综上所述，当0<a<1时，原不等式的解集为； 当a＝1时，原不等式的解集为∅； 当a>1时，原不等式的解集为. 题型二　三个二次之间的关系 例3 (1)(多选)已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－4或x≥5}，则下列说法正确的是(　　) A．a>0 B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－5} C．不等式cx2－bx＋a<0的解集为 D．a＋b＋c>0 答案　AC 解析　由题意得，二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向上，即a>0，故A正确； 因为－4,5是方程ax2＋bx＋c＝0的根， 所以解得 所以 bx＋c>0，即－ax－20a>0，解得x<－20，故B错误； 不等式cx2－bx＋a<0等价于－20ax2＋ax＋a<0，即20x2－x－1>0， 即(5x＋1)(4x－1)>0， 解得x<－或x>，故C正确； 因为1∉{x|x≤－4或x≥5}，所以a＋b＋c<0，故D错误． (2)若方程x2－4x＋a＝0的两根都在区间(1，＋∞)内，则实数a的取值范围是________． 答案　(3,4] 解析　设方程x2－4x＋a＝0的两根为x1，x2， 则x1>1，x2>1， 所以Δ＝(－4)2－4a≥0，x1＋x2>2，(x1－1)(x2－1)>0， 由Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4； 由x1＋x2>2，得4>2显然成立； 由(x1－1)(x2－1)>0， 得x1x2－(x1＋x2)＋1>0， 即a－4＋1>0，解得a>3， 综上可得，3<a≤4， 所以实数a的取值范围是(3,4]． 一元二次方程根的分布 解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解． (1)判别式Δ的符号． (2)对称轴x＝－与所给区间的位置关系． (3)区间端点处函数值的符号． 典例　已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有两个不相等的实数根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求实数m的取值范围； (2)若方程的两个不相等的实数根均在区间(0,1)内，求实数m的取值范围． 解　(1)依题意知，函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图， 得即 解得－<m<－. 故实数m的取值范围为. (2)依题意知，函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点落在区间(0,1)内，画出示意图， 得即 解得－<m<1－. 故实数m的取值范围为. 思维升华 已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负． 跟踪训练2 (1)(多选)已知关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是(x1，x2)(x1<x2)，则下列结论正确的是(　　) A．x1＋x2＝2 B．x1x2<－3 C．－1<x1<x2<3 D．x2－x1>4 答案　ABD 解析　由题意得，a<0，且x1，x2是一元二次方程a(x＋1)(x－3)＋1＝0，即ax2－2ax＋1－3a＝0的两根， 所以x1＋x2＝－＝2，故A正确； x1x2＝＝－3<－3，故B正确； x2－x1＝＝＝2>4，故D正确； 由x2－x1>4，可得－1<x1<x2<3是错误的，故C错误． (2)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(x)<0恰有3个整数解，写出一个符合题意的函数解析式为f(x)＝________. 答案　x2－4x(答案不唯一) 解析　因为f(x)<0恰有3个整数解， 所以设三个整数解分别为1,2,3， 则f(x)<0的解集可以为(0,4)， 故x1＝0，x2＝4是ax2＋bx＋c＝0的两个根， 故0＋4＝－，0×4＝， 所以c＝0，b＝－4a， 令a＝1，则b＝－4， 故f(x)＝x2－4x.(答案不唯一) 题型三　一元二次不等式恒成立问题 例4 已知函数f(x)＝mx2－(m－1)x＋m－1. (1)若不等式f(x)<1的解集为R，求m的取值范围； (2)若不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立，求m的取值范围； (3)若不等式f(x)>2对一切m∈(0,2)恒成立，求x的取值范围． 解　(1)不等式f(x)<1， 即mx2－(m－1)x＋m－2<0， 当m＝0时，x－2<0，解得x<2，不符合题意； 当m≠0时， 有 解得m<， 综上所述，m的取值范围为. (2)不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立， 即m(x2－x＋1)≥1－x对一切x∈恒成立， 因为x2－x＋1＝2＋>0， 则不等式等价于m≥对一切x∈恒成立， 由x∈， 得＝＝＝≤＝1， 当且仅当1－x＝，即x＝0时等号成立， 所以max＝1， 所以m≥1，即m的取值范围是[1，＋∞)． (3)不等式f(x)>2对一切m∈(0,2)恒成立， 即(x2－x＋1)m＋x－3>0对一切m∈(0,2)恒成立， 令h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3， 因为x2－x＋1＝2＋>0， 所以函数h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3在(0,2)上单调递增， 则h(0)＝x－3≥0，解得x≥3， 所以x的取值范围为[3，＋∞)． 思维升华 恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论． 跟踪训练3 已知函数f(x)＝x2－3x＋a. (1)若f(x)>0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围； (2)若f(x)<0在x∈(－1,2)上恒成立，求实数a的取值范围． 解　(1)f(x)＝x2－3x＋a＝2＋a－， 则f(x)min＝f ＝a－， f(x)>0在x∈R上恒成立，即f(x)min＝a－>0，故a>. 故实数a的取值范围是. (2)f(x)＝x2－3x＋a＝2＋a－， f(x)在[－1,2]上的最大值为f(x)max＝f(－1)＝2＋a－＝4＋a， 故f(x)在x∈(－1,2)上满足f(x)<4＋a，故4＋a≤0，解得a≤－4. 故实数a的取值范围是(－∞，－4]． 课时精练 一、单项选择题 1．(2023·湖州模拟)已知集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝，则A∩B等于(　　) A．{x|－1<x≤3} B．{x|x≤3或x>4} C．{x|－2≤x≤4} D．{x|－2≤x≤－1} 答案　A 解析　因为不等式x2－x－6≤0的解集为{x|－2≤x≤3}， 又不等式≤0的解集为{x|－1<x≤4}， 所以A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|－1<x≤4}， 所以A∩B＝{x|－1<x≤3}． 2．若不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|－1≤a<2} B．{a|－1<a≤2} C．{a|－1<a<2} D．{a|－1≤a≤2} 答案　B 解析　当a＝2时，原不等式为－12<0，满足解集为R； 当a≠2时，根据题意得a－2<0，且Δ＝16(a－2)2－4(a－2)×(－12)<0，解得－1<a<2. 综上，－1<a≤2，故a的取值范围为{a|－1<a≤2}． 3．若存在x∈[0,1]，不等式x2－4x－m≥0成立，则m的最大值为(　　) A．0 B．1 C．－3 D．3 答案　A 解析　由题意得，当x∈[0,1]时，m≤(x2－4x)max. 令f(x)＝x2－4x，x∈[0,1]， 由f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4可知，当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝0， 所以m≤0，故m的最大值为0. 4．已知二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则m的值可能为(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 答案　B 解析　令f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3， 则f(1)＝m＋2－2m－4＋3m＋3＝2m＋1， 由题可知，m≠－2，且(m＋2)f(1)<0， 即(m＋2)(2m＋1)<0，解得－2<m<－. 5．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是(－∞，－1)∪(2，＋∞)，则不等式bx2＋ax－c≤0的解集是(　　) A．[－1,2] B．(－∞，－1]∪[2，＋∞) C．[－2,1] D．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 答案　A 解析　由题意可知，ax2＋bx＋c＝0的两个实数根是－1和2，且a<0， 则解得 bx2＋ax－c≤0可化为－ax2＋ax＋2a≤0，即x2－x－2≤0， 解得－1≤x≤2， 所以不等式的解集是[－1,2]． 6．若关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中恰有2个整数解，则实数a的取值范围为(　　) A．(－1,0]∪[2,3) B．[－2，－1)∪(3,4] C．(－2，－1)∪(3,4) D．[－1,0)∪(2,3] 答案　B 解析　不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0， 当a＝1时，不等式无解； 当a<1时，不等式的解为a<x<1，若解集中恰有2个整数解，则－2≤a<－1； 当a>1时，不等式的解为1<x<a，若解集中恰有2个整数解，则3<a≤4. 综上，a的取值范围是[－2，－1)∪(3,4]． 二、多项选择题 7．对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a(x－a)(x＋1)>0的解集可能为(　　) A．∅ B．(－1，a) C．(a，－1) D．(a，＋∞) 答案　ABC 解析　根据题意，易知a≠0. 当a>0时，函数y＝a(x－a)(x＋1)的图象开口向上，故不等式的解集为(－∞，－1)∪(a，＋∞)． 当a<0时，函数y＝a(x－a)(x＋1)的图象开口向下，若a＝－1，则不等式的解集为∅； 若－1<a<0，则不等式的解集为(－1，a)； 若a<－1，则不等式的解集为(a，－1)． 8．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则下列结论正确的是(　　) A．a>0 B．c<0 C．a＋b>0 D．关于x的不等式cx2＋bx＋a>0的解集为{x|－3<x<－1} 答案　BC 解析　由题意得，a<0，和1是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根， 由根与系数的关系可得 解得a＝3c，b＝－4c，则c<0， 故A错误，B正确；a＋b＝－c>0，故C正确； 不等式cx2＋bx＋a>0可化为cx2－4cx＋3c>0， 即x2－4x＋3<0，解得1<x<3， 故不等式解集为{x|1<x<3}，故D错误． 三、填空题 9．不等式≥2的解集为________． 答案　 解析　因为≥2， 则－2＝≥0， 等价于(1－2x)(x＋2)≥0(x≠－2)， 解得－2<x≤， 即不等式≥2的解集为. 10．甲、乙两人解关于x的不等式x2＋bx＋c<0，甲写错了常数b，得到的解集为(－3,2)，乙写错了常数c，得到的解集为(－3,4)．那么原不等式的解集为________． 答案　(－2,3) 解析　依题意知，c＝－3×2＝－6，－b＝－3＋4＝1，即b＝－1， 因此不等式x2＋bx＋c<0，即x2－x－6<0， 解得－2<x<3， 所以原不等式的解集为(－2,3)． 11．已知对任意x∈[－1,1]，使得不等式x2－x＋≥m恒成立，则实数m的取值范围是______． 答案　 解析　因为对任意x∈[－1,1]，不等式x2－x＋≥m恒成立． 所以min≥m，x∈[－1,1]， 设y＝x2－x＋，x∈[－1,1]， 因为y＝x2－x＋＝2＋， 所以当x＝时，函数y＝x2－x＋，x∈[－1,1]取最小值，最小值为， 所以m≤， 故实数m的取值范围是. 12．一般地，把b－a称为区间(a，b)的“长度”．已知关于x的不等式x2－kx＋2k<0有实数解，且解集区间长度不超过3个单位长度，则实数k的取值范围为________． 答案　[－1,0)∪(8,9] 解析　不等式x2－kx＋2k<0有实数解等价于x2－kx＋2k＝0有两个不相等的实数根， 则Δ＝(－k)2－8k>0，解得k>8或k<0. 设x2－kx＋2k＝0的两根为x1，x2， 令x1<x2，则x1＋x2＝k，x1x2＝2k. 由题意得x2－x1＝＝≤3， 解得－1≤k≤9，又k>8或k<0， 所以－1≤k<0或8<k≤9， 所以实数k的取值范围为[－1,0)∪(8,9]． 四、解答题 13．已知函数f(x)＝ax2＋3x－2，且f(x)>0的解集为{x|b<x<2}(b<2)． (1)求a，b的值； (2)若对于任意的x∈[－1,2]，不等式f(x)≥2＋m恒成立，求实数m的取值范围． 解　(1)由题意得，a<0，且b,2为方程ax2＋3x－2＝0的两根， 所以解得 (2)由(1)可得，不等式f(x)≥2＋m可化为－x2＋3x－2≥2＋m， 所以m≤－x2＋3x－4. 因为对于任意的x∈[－1,2]，不等式f(x)≥2＋m恒成立， 所以对于任意的x∈[－1,2]，不等式m≤－x2＋3x－4恒成立， 即m≤(－x2＋3x－4)min，x∈[－1,2]， 因为y＝－x2＋3x－4＝－2－，x∈[－1,2]， 所以当x＝－1时，y＝－x2＋3x－4取最小值，最小值为－8， 所以m≤－8， 故实数m的取值范围为(－∞，－8]． 14．已知函数f(x)＝mx2＋mx＋3，m∈R. (1)若关于x的不等式f(x)>0在实数集R上恒成立，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式f(x)>(3m－1)x＋5. 解　(1)依题意，mx2＋mx＋3>0在实数集R上恒成立． ①当m＝0时，3>0，成立； ②当m≠0时，要使原不等式恒成立， 则解得0<m<12. 综上，0≤m<12， 故实数m的取值范围是{m|0≤m<12}． (2)不等式f(x)>(3m－1)x＋5， 等价于mx2＋(1－2m)x－2>0， 即(x－2)(mx＋1)>0. ①当m>0时，解得x>2或x<－； ②当m＝0时，不等式整理为x－2>0，解得x>2； ③当m<0时，方程(x－2)(mx＋1)＝0的两根为x1＝－，x2＝2. (ⅰ)当－>2，即－<m<0时，解得2<x<－； (ⅱ)当－＝2，即m＝－时，原不等式的解集为∅； (ⅲ)当－<2，即m<－时，解得－<x<2， 综上所述，当m<－时，原不等式的解集为； 当m＝－时，原不等式的解集为∅； 当－<m<0时，原不等式的解集为； 当m＝0时，原不等式的解集为{x|x>2}； 当m>0时，原不等式的解集为. 15．关于x的不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是R，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D.∪ 答案　A 解析　不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是R， 即对于∀x∈R，ax2－|x|＋2a≥0恒成立， 即a≥max， 当x＝0时，a≥0， 当x≠0时，a≥＝， 因为≤＝，当且仅当|x|＝，即|x|＝，即x＝±时，等号成立， 所以a≥，综上所述，a∈. 16．若对于任意m∈[－1,1]，任意y∈R，使得不等式x2＋(3－m)x－6<|y－1|＋|y－3|成立，则实数x的取值范围是__________． 答案　(－4,2－2) 解析　因为对于任意m∈[－1,1]，任意y∈R， 使得不等式x2＋(3－m)x－6<|y－1|＋|y－3|成立， 设t(y)＝|y－1|＋|y－3|， 则x2＋(3－m)x－6<t(y)min， 又因为t(y)＝|y－1|＋|y－3|≥|(y－1)－(y－3)|＝2，所以t(y)min＝2. 所以x2＋(3－m)x－6<2， 即x2＋(3－m)x－8<0， 设g(m)＝x2＋(3－m)x－8＝－mx＋x2＋3x－8， 对于任意m∈[－1,1]，g(m)＝－mx＋x2＋3x－8<0，应用一次函数性质可知 即得 解得 则实数x的取值范围是(－4,2－2)． 学科网（北京）股份有限公司 $