第五章 §5.4 平面向量中的综合应用（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（北师大版 皖赣桂豫陕）

§5.4　平面向量中的综合应用 重点解读　平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等． 题型一　平面向量在几何中的应用 例1 (1)(多选)(2023·武汉模拟)在△ABC所在平面内有三点O，N，P，则下列命题正确的是(　　) A．若·＝·＝·，则P是△ABC的垂心 B．若＝λ，则直线AP必过△ABC的外心 C．若||＝||＝||，则O为△ABC的外心 D．若＋＋＝0，则N是△ABC的重心 答案　ACD 解析　对于A，由题意可得·－·＝·(－)＝·＝0， 所以PB⊥AC，同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，故P为△ABC的垂心，故A正确； 对于B，如图设＝，＝，则||＝||＝1， 以AE，AF为邻边作平行四边形AEQF，则平行四边形AEQF为菱形， 则＝＋＝＋， 所以＝λ＝λ， 又因为AQ平分∠BAC，故AP必经过△ABC的内心，故B错误； 对于C，因为||＝||＝||，所以O到△ABC的三个顶点距离相等，所以O为△ABC的外心，故C正确； 对于D，记AB，BC，CA的中点分别为D，E，F，由题意＋＝2＝－，则NC＝2ND，同理可得NA＝2NE，NB＝2NF，则N是△ABC的重心，故D正确． (2)(2023·南宁模拟)△ABC的外心O满足＋＋＝0，||＝，则△ABC的面积为(　　) A. B. C. D．2 答案　B 解析　设AB的中点为D， 则＋＋＝0可化为2＋＝0， 即为＝－， ∴ O，D，C三点共线且CD⊥AB， ∴△ABC为等腰三角形， 由垂径定理得||2＝||2＋||2， 设△ABC外接圆的半径为R， 则R2＝2＋2， 解得R＝1，CD＝1＋， ∴S△ABC＝|AB||CD|＝××＝. 思维升华 用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题． 跟踪训练1 (1)在四边形ABCD中，＝＝(3，)，且满足 ＋＝，则||等于(　　) A．2 B．6 C. D．2 答案　D 解析　由＝＝(3，)， 得四边形ABCD为平行四边形， 设m，n，p都是单位向量且m＋n＝p， 则(m＋n)2＝p2，即1＋2m·n＋1＝1， 则m·n＝－⇒cos〈m，n〉＝－， 所以〈m，n〉＝120°， 因此由＋＝知∠BAD＝120°，且AC是∠BAD的平分线， 因此四边形ABCD是菱形，而||＝2， 所以||＝||＝2. (2)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，点D满足＝2，AD＝，则BC的长为(　　) A．3 B．3 C．3 D．6 答案　A 解析　因为＝2， 所以＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋， 设AB＝x，x>0， 则||2＝2， 得37＝x2＋×x×9cos 60°＋×92， 即2x2＋9x－126＝0， 解得x＝6(舍负)，即AB＝6， 所以||＝|－| ＝ ＝＝3. 题型二　和向量有关的最值(范围)问题 命题点1　与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题 例2 如图，在△ABC中，点P满足2＝，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若＝x，＝y(x>0，y>0)，则2x＋y的最小值为(　　) A．3 B．3 C．1 D. 答案　A 解析　由题意知，＝＋＝＋＝＋＝＋，又＝x，＝y(x>0，y>0)，∴＝＋， 由M，P，N三点共线，得＋＝1， ∴2x＋y＝(2x＋y)＝＋＋ ≥＋2＝3， 当且仅当x＝y时，等号成立． 故2x＋y的最小值为3. 命题点2　与数量积有关的最值(范围)问题 例3 (2024·开封模拟)已知等边△ABC的边长为，P为△ABC所在平面内的动点，且||＝1，则·的取值范围是(　　) A. B. C．[1,4] D．[1,7] 答案　B 解析　方法一　如图，建立平面直角坐标系， 设P(cos θ，sin θ)，θ∈[0,2π]， ∴B(，0)，C， ∴＝(－cos θ，－sin θ)，＝， ∴·＝(－cos θ)－sin θ＝－cos θ－sin θ ＝－3sin， ∵θ∈[0,2π]，∴sin∈[－1,1]， ∴·∈. 方法二　如图，建立平面直角坐标系，则A，B，C， 设P(x，y)， 则点P在以A为圆心，1为半径的圆上， 即点P的轨迹方程为2＋y2＝1， 而＝，＝， 故·＝x2－x＋y2－y＝2＋2－， 综上，只需求出定点与圆2＋y2＝1上点的距离的平方的范围即可， 而圆心A与定点的距离d＝＝， 故定点与圆上点的距离的范围为， ∴·∈. 命题点3　与模有关的最值(范围)问题 例4 已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是(　　) A．[－1，＋1] B．[－1，] C．[，＋1] D．[2－，2＋] 答案　A 解析　a，b是单位向量，a·b＝0，设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，|c－a－b|＝|(x－1，y－1)|＝＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴|c|表示以(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，故－1≤|c|≤＋1，∴－1≤|c|≤＋1. 思维升华 向量求最值(范围)的常用方法 (1)利用三角函数求最值(范围)． (2)利用基本不等式求最值(范围)． (3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)． (4)数形结合，应用图形的几何性质求最值． 跟踪训练2 (1)已知向量a，b，c，|a|＝|b|＝1，a⊥b且(c－a)⊥(c－b)，则|c|的最大值为________． 答案　 解析　方法一　设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)， 则c－a＝(x－1，y)，c－b＝(x，y－1)， ∵(c－a)⊥(c－b)， ∴x(x－1)＋y(y－1)＝0， 得2＋2＝， 则点(x，y)在以点P为圆心，为半径的圆上，|c|＝≤OP＋＝. 方法二　如图，作＝a，＝b，＝c， 则＝c－a，＝c－b， 则AC⊥BC，又OA⊥OB， 则四边形OBCA四点共圆， 则(OC)max为圆直径AB， 又AB＝＝， ∴|c|max＝(OC)max＝. (2)(多选)在直角△ABC中，斜边AB＝2，P为△ABC所在平面内一点，＝sin2θ·＋cos2θ·(其中θ∈R)，则(　　) A.·的取值范围是(0,4) B．点P经过△ABC的外心 C．点P所在轨迹的长度为2 D.·(＋)的取值范围是 答案　ABD 解析　由·＝2，又斜边AB＝2，则||∈(0,2)，则·∈(0,4)，A正确； 若O为AB中点，则＝，故＝sin2θ·＋cos2θ·，又sin2θ＋cos2θ＝1，所以O，P，C共线，故P在线段OC上，轨迹长为1，又O是△ABC的外心，所以B正确，C错误； 又＋＝2，则·(＋)＝2·＝－2||||， 又||＋||＝||＝1， 则||||≤2＝， 当且仅当||＝||＝时，等号成立， 所以·(＋)＝－2||||∈，D正确． 课时精练 一、单项选择题 1．(2023·邢台模拟)在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则四边形ABCD的面积S等于(　　) A. B．5 C．10 D．20 答案　B 解析　因为＝(1,2)，＝(－4,2)， 所以·＝1×(－4)＋2×2＝0，则AC⊥BD， 又||＝＝，||＝＝2， 所以四边形ABCD的面积S＝||||＝××2＝5. 2．已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D为AC的中点，点M为边BC上一动点，则·的最小值为(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 答案　C 解析　因为AB＝AC＝10，所以△ABC是等腰三角形，以BC所在直线为x轴，BC的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图，则C(6,0)，A(0,8)，D(3,4)， 设M(x,0)，－6≤x≤6， 则＝(3－x,4)，＝(6－x,0)， 所以·＝(3－x,4)·(6－x,0)＝x2－9x＋18， 因此，当x＝时，·取得最小值－. 3．(2023·绵阳模拟)已知圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，点P在直线y＝x＋3上，线段AB为圆C的直径，则|＋|的最小值为(　　) A. B．3 C．4 D．3 答案　B 解析　因为C为AB的中点， 所以＋＝2， 从而|＋|＝|2|＝2||， 可知||的最小值为点C到直线y＝x＋3的距离，d＝＝， 所以|＋|min＝2×＝3. 4．(2023·上饶模拟)如图，AB是圆O的一条直径且AB＝2，EF是圆O的一条弦，且EF＝1，点P在线段EF上，则·的最小值是(　　) A. B．－ C．－ D．－ 答案　B 解析　由题意可得， ·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝||2－||2＝||2－1， 为使·最小，只需||最小，只需OP⊥EF，根据圆的性质可得，此时P为EF中点， 又EF＝1，因此||min＝＝， 所以·的最小值为－. 5．(2024·沈阳模拟)已知单位向量a，b，若对任意实数x，|xa＋b|≥恒成立，则向量a，b的夹角的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　已知a，b是单位向量， 由|xa＋b|≥， 得(xa＋b)2≥，则x2＋2(a·b)x＋≥0， 依题意，不等式x2＋2(a·b)x＋≥0对任意实数x恒成立，则Δ＝4(a·b)2－1≤0， 解得－≤a·b≤， 而cos〈a，b〉＝＝a·b， 则－≤cos〈a，b〉≤， 又0≤〈a，b〉≤π，函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，所以≤〈a，b〉≤， 所以向量a，b的夹角的取值范围为. 二、多项选择题 6．设点D是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的有(　　) A．若＝(＋)，则点D是边BC的中点 B．若＝，则直线AD过△ABC的垂心 C．若＝2－，则点D在边BC的延长线上 D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△BCD是△ABC面积的一半 答案　ABD 解析　对于A，∵＝(＋)， 即－＝－，即＝， 即点D是边BC的中点，故A正确； 对于B，·＝ ＝(－||＋||)＝0，即AD⊥BC， 故直线AD过△ABC的垂心，故B正确； 对于C，∵＝2－， 即－＝－，即＝， 即点D在边CB的延长线上，故C错误； 对于D，∵＝x＋y，且x＋y＝， 设＝2， 则＝2＝2x＋2y，且2x＋2y＝1， 故M，B，C三点共线，且||＝2||， 即△BCD是△ABC面积的一半，故D正确． 7.(2024·六安模拟)正方形ABCD的边长为4，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意一点，＝λ＋μ，则(　　) A．μ最大值为1 B．λ最大值为2 C.·最大值是8 D.·最大值是8＋4 答案　ACD 解析　如图，以线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系， 设P(2cos θ，2sin θ)，θ∈[0，π]， 又A(－2,0)，B(2,0)，E(2,2)，D(－2,4)，C(2,4)， 则＝(2cos θ＋2,2sin θ)，＝(0,4)，＝(4,2)， ∵＝λ＋μ， 即(2cos θ＋2,2sin θ)＝λ(0,4)＋μ(4,2) ∴解得 ∵θ∈[0，π]，则－1≤cos θ≤1,0≤sin θ≤1， ∴μ＝∈[0,1]， λ＝＝， 其中sin φ＝，cos φ＝，φ为锐角， 当sin(θ－φ)＝1，即θ＝＋φ时， λ取最大值，故A正确，B错误； ·＝(2cos θ＋2,2sin θ)·(0,4)＝8sin θ∈[0,8]，故C正确； ·＝(2cos θ＋2,2sin θ)·(4,2)＝4sin θ＋8cos θ＋8＝4sin(θ＋α)＋8， 其中sin α＝，cos α＝，α为锐角， 当sin(θ＋α)＝1，即θ＝－α时，·取最大值8＋4，故D正确． 三、填空题 8．已知向量a，b，|b|＝2，|a－b|＝1，则|a|的最大值为________． 答案　3 解析　|a|＝|a－b＋b|≤|a－b|＋|b|＝1＋2＝3，当a－b与b方向相同时，等号成立． 9．(2023·广州模拟)在△ABC中，D为AC上一点且满足＝，若P为BD上一点，且满足＝λ＋μ，λ，μ为正实数，则λμ的最大值为________． 答案　 解析　∵λ，μ为正实数，＝， 故＝4，∴＝λ＋4μ， 又P，B，D三点共线，∴λ＋4μ＝1， ∴λμ＝·λ·4μ≤2＝， 当且仅当λ＝，μ＝时取等号， 故λμ的最大值为. 10．(2023·福州模拟)已知平面向量a，b满足a·b＝|a|＝|b|＝2，若e为单位向量，则|a·e＋b·e|的最大值为________． 答案　2 解析　∵a·b＝|a|＝|b|＝2， 设a与b的夹角为θ， 则a·b＝|a||b|cos θ＝2×2×cos θ＝2， ∴cos θ＝， 又θ∈[0，π]，则θ＝， 不妨设a＝(2,0)，b＝(1，)， 再设e＝(cos α，sin α)， 则|a·e＋b·e|＝|(a＋b)·e|＝|(3，)·(cos α，sin α)| ＝|3cos α＋sin α|＝≤2， 即|a·e＋b·e|≤2， ∴|a·e＋b·e|的最大值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $