第六章 必刷小题11 数 列（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（北师大版 皖赣桂豫陕）

必刷小题11　数　列 一、单项选择题 1．(2023·赣州统考)已知等差数列{an}中，Sn是其前n项和，若a3＋S3＝22，a4－S4＝－15，则a5等于(　　) A．7 B．10 C．11 D．13 答案　C 解析　设公差为d，则a1＋2d＋3a1＋3d＝22，a1＋3d－4a1－6d＝－15， 解得a1＝3，d＝2， 故a5＝a1＋4d＝3＋8＝11. 2．已知等差数列{an}的公差为4，且a2，a3，a6成等比数列，则a14等于(　　) A．46 B．48 C．50 D．52 答案　C 解析　由题意得a＝a2a6＝(a3－4)(a3＋3×4)， 解得a3＝6， 所以a14＝a3＋11×4＝50. 3．已知数列{an}满足a1＝1，anan＋1＝2n(n∈N＋)，则a10等于(　　) A．64 B．32 C．16 D．8 答案　B 解析　∵数列{an}满足a1＝1，anan＋1＝2n， ∴a1a2＝2，解得a2＝2. 当n≥2时，＝2，即＝2， 所以···＝24，所以＝24， 故a10＝25＝32. 4．(2023·漳州模拟)已知数列为等比数列，且a4＝2，a8＝16，则a10等于(　　) A．30 B．±30 C．40 D．±40 答案　C 解析　令bn＝，设数列的公比为q， 因为a4＝2，a8＝16， 所以b4＝＝，b8＝＝2， 又b8＝b4q4，所以q4＝＝4，得到q2＝2， 所以b10＝＝b8q2＝4，所以a10＝40. 5．(2024·榆林联考)《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．”意思是今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍．若要使莞的长度是蒲的长度的2倍，则需要的时间为(　　) A．4天 B．5天 C．6天 D．7天 答案　A 解析　由题意，蒲第一天长高四尺，以后蒲每天长高为前一天的一半， ∴蒲的生长构成首项为4，公比为的等比数列，其前n项和为 Sn＝＝8－n－3， 又由莞第一天长高一尺，每天长高为前一天的两倍，则莞的生长构成首项为1，公比为2的等比数列， 其前n项和为Tn＝＝2n－1， 又∵Tn＝2Sn，∴2n－1＝2×， 解得n＝4或n＝0(舍去)． 6．若数列{an}满足a1＝1，＝＋1，则a9等于(　　) A. B. C．210－1 D．29－1 答案　B 解析　因为a1＝1，＝＋1， 所以＋1＝2， 又＋1＝2，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以＋1＝2n， 即an＝，所以a9＝. 7．小明同学在研究数列{an}时，发现其递推公式an＋2＝an＋1＋an(n∈N＋)可以利用“叠罗汉”的思想来处理，即如果该数列{an}的前两项分别为a1＝1，a2＝2，其前n项和记为Sn，若a2 026＝m，则S2 024等于(　　) A．2m B. C．m＋2 D．m－2 答案　D 解析　由an＋2＝an＋1＋an(n∈N＋)， 得an＝an＋2－an＋1(n∈N＋)， 所以S2 024＝a2 024＋a2 023＋a2 022＋…＋a3＋a2＋a1 ＝(a2 026－a2 025)＋(a2 025－a2 024)＋(a2 024－a2 023)＋…＋(a5－a4)＋(a4－a3)＋(a3－a2) ＝a2 026－a2＝m－2. 8．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，S－3nan＋1＝Sn(Sn＋2·3n)，则S2 023等于(　　) A．32 023－1 B. C. D. 答案　C 解析　由题意得， S－3n(Sn＋1－Sn)＝Sn(Sn＋2·3n)， 则S－S＝3n(Sn＋1＋Sn)， 又{an}都为正项，则Sn>0， 故Sn＋1－Sn＝3n， 所以S2 023－S2 022＋…＋S3－S2＋S2－S1＝32 022＋…＋32＋3＝， 所以S2 023－S1＝S2 023－2＝， 故S2 023＝. 二、多项选择题 9．已知正项等比数列{an}的公比为q，a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an＋1an＋2an＋3＝324，则下列说法正确的是(　　) A．q2＝3 B．a＝4 C．a4a6＝2 D．n＝12 答案　BD 解析　正项等比数列{an}的公比为q， 则an＝a1qn－1， 由a1a2a3＝4，a4a5a6＝12， 得a＝4，a＝12，故B正确； 而a5＝a2q3，于是(a2q3)3＝12， 即q9＝3，故A错误； 而a5＝，则a4a6＝a＝2，故C错误； 由an＋1an＋2an＋3＝324， 得a＝324，即(a2qn)3＝324， 因为a＝4，因此q3n＝81＝34＝(q9)4＝q36， 显然q>1，所以3n＝36，解得n＝12，故D正确． 10．记Sn为等比数列{an}的前n项和，则(　　) A.是等比数列 B．{anan＋1}是等比数列 C．Sn，S2n，S3n成等比数列 D．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列 答案　AB 解析　设等比数列{an}的公比为q(q≠0)， 则有＝q，所以＝＝， 所以是以为公比的等比数列，故A正确； ＝q2， 所以{anan＋1}是以q2为公比的等比数列，故B正确； 若公比q＝－1，则S2n＝0， 所以Sn，S2n，S3n不能构成等比数列，故C错误； 若公比q＝－1，且n为偶数， 则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n都等于0， 此时不能构成等比数列，故D错误． 11．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，且d≠0，a1，a4，a6成等比数列，则(　　) A．S19＝0 B．a9＝0 C．当d<0时，S9是Sn的最大值 D．当d>0时，S10是Sn的最小值 答案　ACD 解析　因为a1，a4，a6成等比数列， 所以a1a6＝a， 即a1(a1＋5d)＝(a1＋3d)2，整理得a1d＝－9d2， 因为d≠0，所以a1＝－9d， 所以a10＝a1＋9d＝0， 则S19＝＝19a10＝0，故A正确，B错误； 当d<0时，{an}是递减数列， 此时a1>a2>…>a9>a10＝0>a11>…， 所以当n＝9或n＝10时，Sn取得最大值， 即(Sn)max＝S9＝S10，故C正确； 当d>0时，{an}是递增数列， 此时a1<a2<…<a9<a10＝0<a11<…， 所以当n＝9或n＝10时，Sn取得最小值， 即(Sn)min＝S9＝S10，故D正确． 12．(2024·保定模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，a2＝2，an＋1＝4an－3an－1(n≥2)，则下列说法正确的是(　　) A．数列{an＋1－an}为等比数列 B．数列{an＋1－3an}为等差数列 C．an＝3n－1＋1 D．Sn＝＋ 答案　ABD 解析　因为＝＝＝3(n≥2)，所以数列{an＋1－an}为公比为3的等比数列，故A正确； 因为(an＋1－3an)－(an－3an－1)＝an＋1－4an＋3an－1＝0，即an＋1－3an＝an－3an－1(n≥2)， 所以数列{an＋1－3an}为常数列，即公差为0的等差数列，故B正确； 由以上分析可得an＋1－an＝1×3n－1，且an＋1－3an＝－1， 解得an＝，故C错误； Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝＋＋…＋ ＝×(30＋31＋…＋3n－1)＋ ＝×＋＝＋，故D正确． 三、填空题 13．已知数列{an}满足anan＋2＝a，n∈N＋，若a7＝16，a3a5＝4，则a2的值为________． 答案　－或 解析　因为anan＋2＝a，n∈N＋， 所以数列{an}为等比数列，设其公比为q. 由a7＝16，a3a5＝a＝4， 得a4＝±2，q3＝＝±8，所以q＝±2. 当q＝2时，a4＝2，则a2＝； 当q＝－2时，a4＝－2，则a2＝－. 综上，a2的值为－或. 14．(2023·重庆模拟)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋2an＝－1，则an＝________. 答案　－×n－1 解析　由题意得Sn＋2an＝－1， 即Sn＝－2an－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2an－1－(－2an－1－1)＝－2an＋2an－1，即an＝an－1， 当n＝1时，3a1＝－1，即a1＝－， 因此数列{an}是首项为－，公比为的等比数列， 所以an＝－×n－1. 15．(2023·德州模拟)写出一个同时具有下列性质①②的数列{an}的通项公式：an＝________. ①am－n＝am－an(m>n，m，n∈N＋)；②{an}是递增数列． 答案　2n(符合kn(k>0)的形式即可) 解析　假设数列为等差数列，设其公差为d，首项为a1， 由性质①可得a1＋(m－n－1)d＝a1＋(m－1)d－a1－(n－1)d， 整理得a1＝d， 即an＝a1＋(n－1)d＝dn， 再根据②可知，公差d>0，取d＝2， 显然an＝2n满足题意．(符合kn(k>0)的形式即可) 16．已知向量序列：a1，a2，a3，…，an满足如下条件：|a1|＝4|d|＝2,2a1·d＝－1且an－an－1＝d(n＝2,3,4，…)．若a1·ak＝0，则k＝________；|a1|，|a2|，|a3|，…，|an|，…中第________项最小． 答案　9　3 解析　因为an－an－1＝d(n＝2,3,4，…)， 所以an－an－1＝d，an－1－an－2＝d，…，a2－a1＝d， 累加得an＝a1＋(n－1)d， 所以ak＝a1＋(k－1)d， 则a1·ak＝a＋(k－1)a1·d＝0， 即4－＝0，解得k＝9； an＝a1＋(n－1)d， 即a＝|an|2＝[a1＋(n－1)d]2＝－(n－1)＋4(n∈N＋)， 易知当n－1＝－＝2，即n＝3时，|an|取得最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $