第六章 §6.4 数列中的构造问题（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（北师大版 皖赣桂豫陕）

§6.4　数列中的构造问题 重点解读　数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式． 题型一　an＋1＝pan＋f(n)型 命题点1　an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0，其中a1＝a) 例1 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，则an＝________. 答案　2·3n－1－1 解析　∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， ∴＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3， 又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1， ∴an＝2·3n－1－1. 命题点2　an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0) 例2 若a1＝1，an＋1＝2an－3n，n∈N＋，求数列{an}的通项公式． 解　设an＋1＋λ(n＋1)＋u＝2(an＋λn＋u)， 所以an＋1＝2an＋λn＋u－λ， 所以解得λ＝u＝－3， 又a1－3－3＝－5≠0， 所以＝2， 所以数列{an－3n－3}是以－5为首项，2为公比的等比数列， 所以an－3n－3＝－5·2n－1， 所以an＝－5·2n－1＋3n＋3. 命题点3　an＋1＝pan＋qn(p≠0,1，q≠0,1) 例3 已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N＋，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝(2n＋1)·3n B．an＝(n－1)·2n C．an＝(2n－1)·3n D．an＝(n＋1)·2n 答案　C 解析　由an＋1＝3an＋2·3n＋1得＝＋2， ∴－＝2，即数列是首项为1，公差为2的等差数列， ∴＝2n－1，故an＝(2n－1)·3n. 思维升华 形式 构造方法 an＋1＝pan＋q 引入参数c，构造新的等比数列{an－c} an＋1＝pan＋qn＋c 引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y} an＋1＝pan＋qn 两边同除以qn＋1，构造新的数列 跟踪训练1 (多选)已知数列{an}，下列结论正确的有(　　) A．若a1＝2,2(n＋1)an－nan＋1＝0，则an＝n·2n B．在数列{an}中，a1＝1，且an＝2an－1＋3(n≥2，且n∈N＋)，则数列{an}的通项公式为an＝2n＋1－3 C．若a1＝2，an＝an－1＋n(n≥2)，则数列是等比数列 D．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋n－1，则数列{an}的通项公式为an＝2n－n＋1 答案　AB 解析　∵2(n＋1)an－nan＋1＝0， ∴＝， ∴是首项为＝2，公比为2的等比数列， ∴＝2·2n－1，∴an＝n·2n，故A正确； 由an＝2an－1＋3(n≥2)，得an＋3＝2(an－1＋3)， 即＝2， 又a1＋3＝1＋3＝4，于是数列{an＋3}是首项为4，公比为2的等比数列， ∴an＋3＝4×2n－1，即an＝2n＋1－3， ∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋1－3，故B正确； 根据题意，an＝an－1＋n⇔－＝1，n≥2， 又＝6，∴是首项为6，公差为1的等差数列，故C错误； 设an＋1＋k(n＋1)＋b＝2(an＋kn＋b)， 所以an＋1＝2an＋kn＋b－k， 由an＋1＝2an＋n－1， 得解得 ∴＝2， 即{an＋n}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列． ∴an＋n＝2×2n－1＝2n，故an＝2n－n，故D错误． 题型二　相邻两项的差为特殊数列(an＋1＝pan＋qan－1型，其中a1＝a，a2＝b) 例4 已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)． (1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明　∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)， ∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)． ∵a1＝5，a2＝5，∴a2＋2a1＝15， ∴an＋2an－1≠0(n≥2)，∴＝3(n≥2)， ∴数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)解　由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n， 则an＋1＝－2an＋5×3n， ∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)． 又∵a1－3＝2， ∴an－3n≠0， ∴{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴an－3n＝2×(－2)n－1， 即an＝－(－2)n＋3n. 思维升华 可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}． 跟踪训练2 已知数列{an}满足3anan＋2－anan＋1＝2an＋1an＋2，且a1＝3a2＝1.证明数列为等比数列，并求数列{an}的通项公式． 证明　因为3anan＋2－anan＋1＝2an＋1an＋2，an≠0， 等式两边同除以anan＋1an＋2，得 ＝－， 则－＝2， 所以数列是以－＝2为首项，2为公比的等比数列， 则－＝2×2n－1＝2n， 所以＝＋＋…＋＋＝2n＋2n－1＋…＋21＋1＝2n＋1－1， 则an＋1＝， 当n≥2时，an＝， 又当n＝1时，上式也成立， 故an＝. 题型三　倒数为特殊数列 例5 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)，求数列{an}的通项公式． 解　因为an＋1＝(n∈N＋)， 所以＝＋1， 设＋t＝3， 所以3t－t＝1，解得t＝， 所以＋＝3， 又＋＝1＋＝， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以＋＝×3n－1＝， 所以an＝. 思维升华 两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型，求出的通项公式，再求an. 跟踪训练3 在数列{bn}中，b1＝－1，bn＋1＝，则数列{bn}的通项公式bn＝________. 答案　 解析　bn＋1＝的两边同时取倒数， 得＝，即＝＋3， 因此＋3＝2， 又＋3＝2， 故是以2为首项，2为公比的等比数列， 于是＋3＝2·2n－1＝2n，可得bn＝. 课时精练 一、单项选择题 1．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝，则a1 000等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　an＋1＝两边同时取倒数， 得＝＋1，则－＝1， 故数列是首项为2，公差为1的等差数列， 则＝n＋1，an＝，故a1 000＝. 2．在数列{an}中，若a1＝3，an＋1＝a，则an等于(　　) A．2n－1 B．3n－1 C． D． 答案　D 解析　由a1＝3，an＋1＝a知an>0， 对an＋1＝a两边取以3为底的对数得， log3an＋1＝2log3an， 则数列{log3an}是以log3a1＝1为首项，2为公比的等比数列， 则log3an＝1·2n－1＝2n－1，即an＝. 3．已知数列{an}中，a1＝1，2an＋1an＝(n＋1)an－nan＋1，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ 答案　C 解析　2an＋1an＝(n＋1)an－nan＋1， 显然an≠0， 两边同时除以an＋1an，得－＝2， 又＝1， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列． 所以＝1＋2(n－1)＝2n－1， 所以an＝. 4．(2024·商洛模拟)已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝a2＝1，an＋an＋1＝2n＋1(n≥2)，则等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为an＋an＋1＝2n＋1(n≥2)， 所以an＋1－(n＋1)＝－(an－n)(n≥2)． 因为a2－2＝－1，所以{an－n}从第二项起是公比为－1的等比数列， 所以an＝n＋(－1)n－1(n≥2)， 所以an＝ 所以S2 023＝1＋2－1＋3＋1＋…＋2 023＋1＝2 023×1 012， S2 024＝1＋2－1＋3＋1＋…＋2 024－1＝2 023×1 013， 所以＝. 二、多项选择题 5．已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，且an＋1＝3Sn＋2(n∈N＋)，则下列说法正确的有(　　) A．a1＝ B．S4＝ C．{an}是等比数列 D.是等比数列 答案　ABD 解析　由题意，数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，且an＋1＝3Sn＋2， 则a2＝3S1＋2＝3a1＋2， 所以a1＝，故A正确； 因为an＋1＝3Sn＋2，① 所以当n≥2 时，an＝3Sn－1＋2，② ①－②得，an＋1－an＝3an，即an＋1＝4an， 当n＝1时，a1＝，不满足a2＝4a1， 故数列{an}不是等比数列，故C错误； 当n≥2时，an＋1＝4an， 则a3＝4a2＝12，a4＝4a3＝48， 故S4＝＋3＋12＋48＝，故B正确； 由an＋1＝3Sn＋2， 得Sn＋1－Sn＝3Sn＋2， 所以Sn＋1＝4Sn＋2， 令Sn＋1＋λ＝4(Sn＋λ)， 则Sn＋1＝4Sn＋3λ， 所以3λ＝2，即λ＝， 所以Sn＋1＋＝4，即＝4， 故是首项为S1＋＝a1＋＝1， 公比为4的等比数列，故D正确． 6．已知数列{an}满足a1＝1，an－3an＋1＝2anan＋1(n∈N＋)，则下列结论正确的是(　　) A.为等比数列 B．{an}的通项公式为an＝ C．{an}为递增数列 D.的前n项和Tn＝3n－n 答案　AB 解析　因为an－3an＋1＝2anan＋1， 所以＋1＝3， 又＋1＝2≠0，所以是以2为首项，3为公比的等比数列，故A正确； ＋1＝2×3n－1，即an＝，故B正确； 所以{an}为递减数列，故C错误； 的前n项和 Tn＝(2×30－1)＋(2×31－1)＋…＋(2×3n－1－1)＝2(30＋31＋…＋3n－1)－n＝2×－n＝3n－n－1，故D错误． 三、填空题 7．已知首项为1的数列{an}满足an＋1＝5an－3，则an＝________. 答案　＋×5n－1 解析　由an＋1＝5an－3，得an＋1－＝5， 因为a1＝1，所以a1－＝，进而an－≠0， 所以数列是首项为，公比为5的等比数列， 所以an－＝×5n－1，即an＝＋×5n－1. 8．(2023·阜阳统考)已知Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，an＋1＋an＝3×2n，则S10＝____. 答案　2 046 解析　方法一　由an＋1＋an＝3×2n，得 an＋1－2n＋1＝－(an－2n)． 又a1－21＝－1， 所以{an－2n}是首项为－1，公比为－1的等比数列，所以an－2n＝(－1)n， 即an＝2n＋(－1)n， 所以S10＝21＋22＋…＋29＋210＋(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)9＋(－1)10＝＝211－2 ＝2 046. 方法二　∵an＋1＋an＝3×2n， ∴a2＋a1＝3×2，a4＋a3＝3×23，a6＋a5＝3×25，a8＋a7＝3×27，a10＋a9＝3×29， 则S10＝3×(2＋23＋25＋27＋29)＝3×＝2 046. 四、解答题 9．已知数列{an}中，a1＝2，且an＝2an－1－n＋2(n≥2，n∈N＋)． (1)求a2，a3，并证明{an－n}是等比数列； (2)求{an}的通项公式． 解　(1)由a1＝2，an＝2an－1－n＋2(n≥2，n∈N＋)， 得a2＝2a1－2＋2＝4，a3＝2a2－3＋2＝7， ∵an－n＝2an－1－2n＋2＝2[an－1－(n－1)]，a1－1＝1， ∴＝2(n≥2，n∈N＋)， ∴{an－n}是首项为1，公比为2的等比数列． (2)由(1)知an－n＝1×2n－1＝2n－1， ∴an＝2n－1＋n. 10．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时， 4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1. (1)求a4的值； (2)证明：数列为等比数列； (3)求数列{an}的通项公式． (1)解　当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1， 即4×＋5×＝8×＋1，解得a4＝. (2)证明　∵4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)， ∴4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)， 即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)， ∵4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，符合上式， ∴4an＋2＋an＝4an＋1， ∵＝＝＝＝， ∴数列是以a2－a1＝1为首项，为公比的等比数列． (3)解　由(2)知，是以1为首项，为公比的等比数列， ∴an＋1－an＝n－1.即－＝4， ∴数列是以＝2为首项，4为公差的等差数列， ∴＝2＋(n－1)×4＝4n－2， 即 an＝(4n－2)×n＝(2n－1)×n－1， ∴数列{an}的通项公式是an＝(2n－1)×n－1. 学科网（北京）股份有限公司 $