4.3.1 第2课时 等比数列的性质及判定 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（人教A版）

4.3.1 第2课时 等比数列的性质及判定 [课时跟踪检测] 1.已知等比数列{an}满足a1=1,a3a5=4(a4-1),则a7的值为 (　　) A.2 B.4 C. D.6 解析:选B　根据等比数列的性质得a3a5=,∴=4(a4-1),即(a4-2)2=0,解得a4=2.又a1=1,a1a7==4,∴a7=4. 2.[多选]已知数列{an}是等比数列,下列数列一定是等比数列的为 (　　) A.{|an|} B.{an-} C. D.{kan} 解析:选AC　当数列{an}为1,1,1,1,…时,数列{an-an+1}不是等比数列;当k=0时,数列{kan}不是等比数列,而{|an|}和一定是等比数列. 3.(2025·北京高考)已知{an}是公差不为0的等差数列,a1=-2,若a3,a4,a6成等比数列,则a10= (　　) A.-20 B.-18 C.16 D.18 解析:选C　设等差数列{an}的公差为d,(d≠0), 因为a3,a4,a6成等比数列,且a1=-2, 所以=a3a6,即(-2+3d)2=(-2+2d)(-2+5d),解得d=2或d=0(舍去), 所以a10=a1+9d=-2+9×2=16. 4.等比数列{an}中,若a12=4,a18=8,则a36为 (　　) A.32 B.64 C.128 D.256 解析:选B　设等比数列{an}的公比为q,由等比数列的性质可知,a12,a18,a24,a30,a36成等比数列,且=2=q6,故a36=a18q18=8×23=64. 5.[多选]设公比为q的等比数列{an},若a1a5a9=64,则 (　　) A.a5=4 B.当a1=1时,q=± C.a1和a9的等比中项为4 D.+≥32 解析:选ABD　由题意,a1a5a9==64,即a5=4,故A正确;当a1=1时,a5=a1q4=4,所以q=±,故B正确;因为a1a9==16,所以a1和a9的等比中项为4或-4,故C错误;由+≥2a1a9=32,当且仅当a1=a9=4时,等号成立,故D正确.故选ABD. 6.[多选]设{an}是各项均为正数的数列,以an,an+1为直角边长的直角三角形面积记为Sn(n∈N*),则{Sn}为等比数列的充分条件是 (　　) A.{an}是等比数列 B.a1,a3,…,a2n-1,…或a2,a4,…,a2n,…是等比数列 C.a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列 D.a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列,且公比相同 解析:选AD　{Sn}为等比数列等价于为常数,也就是等价于即为常数.对于A,因为{an}是等比数列,所以=q2(q为{an}的公比)为常数,故A满足.对于B,取a2n-1=2n-1,a2n=2n,此时满足a2,a4,…,a2n,…是等比数列,a1,a3,…,a2n-1,…不是等比数列,不是常数,故B不满足.对于C,取a2n-1=3n,a2n=2n,此时满足a2,a4,…,a2n,…是等比数列,a1,a3,…,a2n-1,…是等比数列,=3,=2,两者不相等,故C不满足.对于D,根据条件可得为常数,故D满足. 7.[多选]已知数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,{an}的前n项和为Sn,若a1+a6+a11=3π,b1b5b9=8,则 (　　) A.S11=11π B.sin= C.a3+a7+a8=3π D.b3+b7≥4 解析:选ACD　因为数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,a1+a6+a11=3π,b1b5b9=8,所以a1+a6+a11=3a6=3π,即a6=π,b1b5b9==8,即b5=2.对于A,S11==11a6=11π,故A正确;对于B,a2+a10=2a6=2π,b4b6==4,所以sin=sin=1,故B错误;对于C,设等差数列{an}的公差为d,则a3+a7+a8=a6-3d+a6+d+a6+2d=3a6=3π,故C正确;对于D,由b5=2,得b3>0,b7>0,故b3+b7≥2=2=4,当且仅当b3=b7=2时等号成立,故D正确. 8.(5分)在等比数列{an}中,存在正整数m,若am=3,=24,则=　　　　.  解析:由题意知q5==8,am+15=amq15=3×83=1 536. 答案:1 536 9.(5分)在等比数列{an}中,若a2a3a6a9a10=32,则的值为　　　　.  解析:因为==a6,又a2a3a6a9a10=(a2a10)a6(a3a9)==32,所以a6=2,故=a6=2. 答案:2 10.(5分)若m,n是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同零点,且m,n,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则pq=　　　　.  解析:由题可得⇒则m,-2,n或n,-2,m成等比数列,得mn=(-2)2=4.不妨设m<n, 则-2,m,n成等差数列,得2m=n-2.结合mn=4,可得(2m+2)m=4⇒m(m+1)=2,解得m=1或m=-2(舍去), 即⇒⇒pq=20. 答案:20 11.(5分)若数列{an}满足-=0,则称{an}为“梦想数列”,已知正项数列为“梦想数列”,且b1+b2+b3=1,则b6+b7+b8=　　　　.  解析:由题意可知,若数列{an}为“梦想数列”,则-=0,可得=,所以“梦想数列”{an}是公比为的等比数列,若正项数列为“梦想数列”,则=,所以=2,即正项数列{bn}是公比为2的等比数列,因为b1+b2+b3=1,因此,b6+b7+b8=25(b1+b2+b3)=32. 答案:32 12.(5分)在正项等比数列{an}中,a1a5-2a3a5+a3a7=36,a2a4+2a2a6+a4a6=100,则数列{an}的通项公式为　　　　.  解析:∵a1a5=,a3a7=, ∴由题意,得-2a3a5+=36, 同理得+2a3a5+=100,∴ ∵an>0,∴ 解得或 分别解得或∴an=a1qn-1=2n-2或an=a1qn-1=26-n. 答案:an=2n-2或an=26-n 13.(10分)已知数列{an}满足a1=,且an+1=an+,n∈N*. (1)求证:是等比数列;(6分) (2)求数列{an}的通项公式.(4分) 解:(1)证明:由已知,得an+1-=an-=,即=,因为a1=,所以a1-=,所以是以为首项,为公比的等比数列. (2)由(1)知,是以为首项,为公比的等比数列,所以an-=×,所以an=×+. 14.(10分)在4与之间插入3个数,使这5个数成等比数列,求插入的3个数. 解:法一　依题意,a1=4,a5=,由等比数列的通项公式,得=4q4,解得q=±. 当q=时,插入的3个数分别为4×=2,2×=1,1×=; 当q=-时,插入的3个数分别为4×=-2,(-2)×=1,1×=-. 因此,插入的3个数分别为2,1,或-2,1,-. 法二　因为等比数列共有5项,即a1,a2,a3,a4,a5. 又因为2×3=1+5,所以=a1a5=4×=1,即a3=±1. 又因为a3要与a1同号,因此a3=1. 类似地,有=a1a3,=a3a5,而且a2与a4同号. 因此,当a2===2时,a4===;当a2=-=-=-2时,a4=-=-=-. 因此,插入的3个数分别为2,1,或-2,1,-. 15.(10分)已知数列{an}和{bn}满足a1=λ,an+1=an+n-4,其中λ为实数,n为正整数. (1)求证:对任意实数λ,数列{an}不是等比数列;(4分) (2)bn=(-1)n(an-3n+21),试判断{bn}是否为等比数列.(6分) 解:(1)证明:∵an+1=an+n-4且a1=λ,∴a2=λ-3,a3=λ-4. 假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列,则=a1a3,即=λ, 即λ2-4λ+9=λ2-4λ,该方程无解,∴对任意实数λ,数列{an}不是等比数列. (2)∵bn=(-1)n(an-3n+21),∴bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21]=(-1)n+1=-(-1)n(an-3n+21)=-bn. ∵b1=-(λ+18), ∴当λ=-18时,b1=0, 此时数列{bn}不是等比数列; 当λ≠-18时,b1≠0,此时=-(n∈N*),数列{bn}是等比数列. 综上,当λ=-18时,{bn}不是等比数列;当λ≠-18时,{bn}是等比数列. 学科网（北京）股份有限公司 $